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你好，我是朱维刚。欢迎你继续跟我学习线性代数。
今天我要讲的内容是“如何通过有限向量空间加持的希尔密码，提高密码被破译的难度”。
这篇的内容会非常有趣，是和密码加密、解密有关的。不知道你有没有看过电影《模仿游戏》，故事描述的是阿兰·图灵在二战期间破译德军的恩尼格玛密码机（Enigma），很精彩，我看了很多遍。
不过电影毕竟是电影，有许多内容是不现实的，好在表达出来的破译恩尼格玛密码的核心观点是正确的。要破译一份被恩尼格玛机加密的密文，需要这三类信息：
- 恩格玛机的工作原理及内部构造，包括每个转子的线路连接；
- 德军对恩格玛机的操作守则；
- 德军所使用的每日初始设置。恩格玛机的每日初始设置包含了三个信息：即转子的排列顺序、每个转子的初始位置，以及插线板的设置。这些信息被印刷在密码本上分发至德军全军，每24小时更换一次设置，每月更换一次密码本。
这些在电影里确实都交代了，我也不过多剧透了。其实，恩尼格玛密码机的本质就是替换密码。而今天我要讲的也是一种替换密码——希尔密码。因为我们专栏讲的是线性代数，所以，这篇应用我们会以矩阵论原理为基础，来进行讲解。
为什么需要希尔密码？
要讲密码，我们得先知道人们为什么需要它。
最古老、最原始的加密算法，会把明文的字母按照某种配对关系替换成其他的字母，从而得到一段别人看不懂的密文，许多谍战剧用到过这类方法。看起来，这个方法好像很难人为进行破解，但从语言和统计学角度看，它其实是漏洞百出的。
举个例子，在一篇普通英语文章中，各字母出现的概率有很大的不同。如果我们对足够多的文本进行分析，就可以统计出每一个字母在英文文本中出现的平均概率。
上面这张图来自维基百科，显示的是26个字母在普通的英文文本中出现的概率。
只要我们能够获取足够长的密文进行分析的话，通过字母出现的频率，我们同样能够猜到相应的原始字母，这并不安全。所以，随着安全性需求的提高，人们有必要寻找一种容易将字母的自然频度隐蔽或均匀化，并使得统计分析足够安全可靠的加密方法。而希尔密码能基本满足这一要求，那么希尔密码是怎么做到这一点的呢？
希尔密码原理
我们先来看一下希尔密码的原理。根据百度百科的定义，希尔密码（Hill Cipher）是运用基本矩阵论原理的替换密码，由Lester S. Hill在1929年发明。每个字母当作26进制数字：A=0，B=1，C=2… ，把一串字母当成$n$维向量，和一个$n×n$的矩阵相乘，再将得出的结果和26进行模运算。
所以，希尔加密算法的基本思想是，通过线性变换将固定数量的明文字母转换为同样数量的密文字母，解密只要作一次逆变换就可以了，而密钥就是变换矩阵本身。
现在，我们再通过数学的方式来表达一下，希尔密码是如何通过三步来实现加密的。
第一步，设置加密矩阵$E$。
第二步，对照字母编码表（自行设定）得到数字，并把明文消息分割成大小为n的多个块：$v_{1},v_{2},…$，并且忽略空格。这里之所以忽略空格，是因为一般情况下密码传递的信息不会过于复杂。如果密码过于复杂，是可以分多次传递的。这里的n表示的密钥的阶数，密钥的阶数越高，也就是n越大的话，破译的难度也就越大，所需要的计算量也就越大。
第三步，每个消息块和加密矩阵$E$相乘：$Ev_{1}, Ev_{2},…$，并和26进行模运算，最后对照字母编码表得到密文。
同样，我们把这三步倒过来，就能实现解密了。
第一步，计算加密矩阵$E$的逆矩阵$D \equiv E^{-1}(\bmod 26)$。
第二步，对照字母编码表得到数字，把它和解密矩阵$D$相乘，并和26进行模运算。
第三步，对照编码表，得到原始明文。
这里你需要注意的是，加密矩阵很关键，它就是我们通常意义上所说的“密钥”，也就是打开密码的钥匙。
通过前面讲解的加密解密步骤，我们可以看出，希尔密码之所以很难被破译，是因为它设置了三道关卡：
- 列矩阵的维度未知；
- 对应字母表的排列未知；
- 加密矩阵（或者说密钥）未知。
想要破解希尔密码，就需要同时获取到通过这三道关卡的钥匙，这谈何容易。
希尔密码实例
好了，原理都讲完了，现在我们通过一个例子来实际地看下希尔密码加密和解密的过程。
假设：A和B双方有一条重要消息要沟通，双方很早就建立了密钥沟通机制，每过一段时间都会更新密钥。在这次的密钥更新周期中，正确的密钥，也就是加密矩阵是一个3×3矩阵。
$$
E=\left[\begin{array}{ccc}
6 & 24 & 1 \<br>
13 & 16 & 10 \<br>
20 & 17 & 15
\end{array}\right]
这一次A要给B的消息是“ILIKEBODYCOMBAT”，我们用之前的三步在A方先来加密：
第一步，定义加密矩阵，也就是刚才的$E$矩阵。
<img src="https://static001.geekbang.org/resource/image/9c/f1/9c7678f672c3fc46746b5504d336d0f1.png" alt="">
第二步，对照字母编码表得到数字：8、11、8、10、4、1、14、3、24、2、14、12、1、0、19。接下来，把明文消息分割成大小为3的5个块，也就是维度为3的5个列矩阵。
$$<br>
v_{1}=\left[\begin{array}{c}<br>
8 \\\<br>
11 \\\<br>
8<br>
\end{array}\right], v_{2}=\left[\begin{array}{c}<br>
10 \\\<br>
4 \\\<br>
1<br>
\end{array}\right], v_{3}=\left[\begin{array}{c}<br>
14 \\\<br>
3 \\\<br>
24<br>
\end{array}\right], v_{4}=\left[\begin{array}{c}<br>
2 \\\<br>
14 \\\<br>
12<br>
\end{array}\right], v_{5}=\left[\begin{array}{c}<br>
1 \\\<br>
0 \\\<br>
19<br>
\end{array}\right]<br>
第三步，将每个消息块和加密矩阵$E$相乘：
$$
E v_{1}=\left[\begin{array}{ccc}
6 & 24 & 1 \<br>
13 & 16 & 10 \<br>
20 & 17 & 15
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
8 \<br>
11 \<br>
8
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
320 \<br>
360 \<br>
467
\end{array}\right] \bmod 26=\left[\begin{array}{c}
8 \<br>
22 \<br>
25
\end{array}\right]
$$<br>
E v_{2}=\left[\begin{array}{ccc}<br>
6 & 24 & 1 \\\<br>
13 & 16 & 10 \\\<br>
20 & 17 & 15<br>
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}<br>
10 \\\<br>
4 \\\<br>
1<br>
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}<br>
157 \\\<br>
204 \\\<br>
283<br>
\end{array}\right] \bmod 26=\left[\begin{array}{c}<br>
1 \\\<br>
22 \\\<br>
23<br>
\end{array}\right]<br>
$$
E v_{3}=\left[\begin{array}{ccc}
6 & 24 & 1 \<br>
13 & 16 & 10 \<br>
20 & 17 & 15
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
14 \<br>
3 \<br>
24
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
180 \<br>
470 \<br>
691
\end{array}\right] \bmod 26=\left[\begin{array}{c}
24 \<br>
2 \<br>
15
\end{array}\right]
$$<br>
E v_{4}=\left[\begin{array}{ccc}<br>
6 & 24 & 1 \\\<br>
13 & 16 & 10 \\\<br>
20 & 17 & 15<br>
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}<br>
2 \\\<br>
14 \\\<br>
12<br>
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}<br>
360 \\\<br>
370 \\\<br>
458<br>
\end{array}\right] \bmod 26=\left[\begin{array}{c}<br>
22 \\\<br>
6 \\\<br>
16<br>
\end{array}\right]<br>
$$
E v_{5}=\left[\begin{array}{ccc}
6 & 24 & 1 \<br>
13 & 16 & 10 \<br>
20 & 17 & 15
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
1 \<br>
0 \<br>
19
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
25 \<br>
203 \<br>
305
\end{array}\right] \bmod 26=\left[\begin{array}{c}
25 \<br>
21 \<br>
19
\end{array}\right]
最后，对照字母编码表得到密文：“IWZBWXBCGWGQZVT”。
B拿到这个密文后，使用三步来解密：
第一步，计算加密矩阵E的逆矩阵$D$：
$$<br>
D \equiv\left[\begin{array}{ccc}<br>
6 & 24 & 1 \\\<br>
13 & 16 & 10 \\\<br>
20 & 17 & 15<br>
\end{array}\right]^{-1}(\bmod 26) \equiv\left[\begin{array}{ccc}<br>
8 & 5 & 10 \\\<br>
21 & 8 & 21 \\\<br>
21 & 12 & 8<br>
\end{array}\right]<br>
第二步，对照字母编码表得到数字，把它和解密矩阵D相乘，并和26进行模运算，得到相应结果。
$$
\left[\begin{array}{ccc}
8 & 5 & 10 \<br>
21 & 8 & 21 \<br>
21 & 12 & 8
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
8 \<br>
22 \<br>
25
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
424 \<br>
869 \<br>
632
\end{array}\right] \bmod 26=\left[\begin{array}{c}
8 \<br>
11 \<br>
8
\end{array}\right]
$$<br>
\left[\begin{array}{ccc}<br>
8 & 5 & 10 \\\<br>
21 & 8 & 21 \\\<br>
21 & 12 & 8<br>
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}<br>
1 \\\<br>
22 \\\<br>
23<br>
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}<br>
348 \\\<br>
680 \\\<br>
469<br>
\end{array}\right] \bmod 26=\left[\begin{array}{c}<br>
10 \\\<br>
4 \\\<br>
1<br>
\end{array}\right]<br>
$$
\left[\begin{array}{ccc}
8 & 5 & 10 \<br>
21 & 8 & 21 \<br>
21 & 12 & 8
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
24 \<br>
2 \<br>
15
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
352 \<br>
835 \<br>
648
\end{array}\right] \bmod 26=\left[\begin{array}{c}
14 \<br>
3 \<br>
24
\end{array}\right]
$$<br>
\left[\begin{array}{ccc}<br>
8 & 5 & 10 \\\<br>
21 & 8 & 21 \\\<br>
21 & 12 & 8<br>
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}<br>
22 \\\<br>
6 \\\<br>
16<br>
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}<br>
366 \\\<br>
846 \\\<br>
662<br>
\end{array}\right] \bmod 26=\left[\begin{array}{c}<br>
2 \\\<br>
14 \\\<br>
12<br>
\end{array}\right]<br>
$$
\left[\begin{array}{ccc}
8 & 5 & 10 \<br>
21 & 8 & 21 \<br>
21 & 12 & 8
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
25 \<br>
21 \<br>
19
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
495 \<br>
1092 \<br>
929
\end{array}\right] \bmod 26=\left[\begin{array}{c}
1 \<br>
0 \<br>
19
\end{array}\right]
最后，B通过对照编码表，得到了原始明文：“ILIKEBODYCOMBAT”。
这里，你也许会问，密钥为什么用的是3×3的可逆矩阵？那是我为了例子方便而设置的，你完全可以设置更高阶的矩阵。就像之前说的，密钥的阶数越高，也就是$n$越大的话，破译的难度也就越大，所需要的计算量也就越大。
所以，从破译密码的角度来看，传统的密码有一个致命弱点，就是破译者可从统计出来的字符频率中找到规律，进而找出破译的突破口。尤其是在计算机技术高度发达的今天，破译的速度更快。而希尔密码算法则完全克服了这一缺陷，它通过采用线性代数中的矩阵乘法运算和逆运算，能够较好地抵抗频率分析，很难被攻破。
## 本节小结
这一节课的内容都和密码学有关，感觉像是搞谍战一样。但其实它的核心很简单，就是通过基础篇中学到的矩阵和逆矩阵的知识，来实现希尔密码。希尔密码的关键就是定义加密矩阵，或者说密钥、字母表排列方式和列矩阵的维度，通过线性变换将固定数量的明文字母转换为同样数量的密文字母，而解密则只要作一次逆变换就可以了。
当然，现实中还有更复杂的加密算法，其中最著名的，且用到线性代数的加密算法是AES，想必你平时也经常看到或用到过。AES是一个迭代的、对称密钥分组的密码，它可以使用128、192和256位密钥，并且用128、192和256位分组加密和解密数据，其中密钥长度与分组长度是独立的。
## 线性代数练习场
请你做一回“特工”，尝试使用希尔密码来给明文“MACHINELEARNING”做加密和解密。
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提醒：你可以自行定义加密矩阵、字母表排列方式和列矩阵的维度。加密矩阵可以使用之前介绍的3×3可逆矩阵，也可以使用其它n×n的可逆矩阵。
欢迎在留言区晒出你的加密和解密过程，我会及时回复。同时，也欢迎你把这篇文章分享给你的朋友，一起讨论、学习。