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# 8.3 Top-k 問題

Question

給定一個長度為 \(n\) 的無序陣列 `nums` ，請返回陣列中最大的 \(k\) 個元素。

對於該問題，我們先介紹兩種思路比較直接的解法，再介紹效率更高的堆積解法。

## 8.3.1 方法一：走訪選擇

我們可以進行圖 8-6 所示的 \(k\) 輪走訪，分別在每輪中提取第 \(1\)、\(2\)、\(\dots\)、\(k\) 大的元素，時間複雜度為 \(O(nk)\) 。

此方法只適用於 \(k \ll n\) 的情況，因為當 \(k\) 與 \(n\) 比較接近時，其時間複雜度趨向於 \(O(n^2)\) ，非常耗時。

圖 8-6 走訪尋找最大的 k 個元素

Tip

當 \(k = n\) 時，我們可以得到完整的有序序列，此時等價於“選擇排序”演算法。

## 8.3.2 方法二：排序

如圖 8-7 所示，我們可以先對陣列 `nums` 進行排序，再返回最右邊的 \(k\) 個元素，時間複雜度為 \(O(n \log n)\) 。

顯然，該方法“超額”完成任務了，因為我們只需找出最大的 \(k\) 個元素即可，而不需要排序其他元素。

圖 8-7 排序尋找最大的 k 個元素

## 8.3.3 方法三：堆積

我們可以基於堆積更加高效地解決 Top-k 問題，流程如圖 8-8 所示。

1. 初始化一個小頂堆積，其堆積頂元素最小。
2. 先將陣列的前 \(k\) 個元素依次入堆積。
3. 從第 \(k + 1\) 個元素開始，若當前元素大於堆積頂元素，則將堆積頂元素出堆積，並將當前元素入堆積。
4. 走訪完成後，堆積中儲存的就是最大的 \(k\) 個元素。

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圖 8-8 基於堆積尋找最大的 k 個元素

示例程式碼如下：

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby Zig
top_k.py

    def top_k_heap(nums: list[int], k: int) -> list[int]:
        """基於堆積查詢陣列中最大的 k 個元素"""
        # 初始化小頂堆積
        heap = []
        # 將陣列的前 k 個元素入堆積
        for i in range(k):
            heapq.heappush(heap, nums[i])
        # 從第 k+1 個元素開始，保持堆積的長度為 k
        for i in range(k, len(nums)):
            # 若當前元素大於堆積頂元素，則將堆積頂元素出堆積、當前元素入堆積
            if nums[i] > heap[0]:
                heapq.heappop(heap)
                heapq.heappush(heap, nums[i])
        return heap

top_k.cpp

    /* 基於堆積查詢陣列中最大的 k 個元素 */
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> topKHeap(vector<int> &nums, int k) {
        // 初始化小頂堆積
        priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;
        // 將陣列的前 k 個元素入堆積
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            heap.push(nums[i]);
        }
        // 從第 k+1 個元素開始，保持堆積的長度為 k
        for (int i = k; i < nums.size(); i++) {
            // 若當前元素大於堆積頂元素，則將堆積頂元素出堆積、當前元素入堆積
            if (nums[i] > heap.top()) {
                heap.pop();
                heap.push(nums[i]);
            }
        }
        return heap;
    }

top_k.java

    /* 基於堆積查詢陣列中最大的 k 個元素 */
    Queue<Integer> topKHeap(int[] nums, int k) {
        // 初始化小頂堆積
        Queue<Integer> heap = new PriorityQueue<Integer>();
        // 將陣列的前 k 個元素入堆積
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            heap.offer(nums[i]);
        }
        // 從第 k+1 個元素開始，保持堆積的長度為 k
        for (int i = k; i < nums.length; i++) {
            // 若當前元素大於堆積頂元素，則將堆積頂元素出堆積、當前元素入堆積
            if (nums[i] > heap.peek()) {
                heap.poll();
                heap.offer(nums[i]);
            }
        }
        return heap;
    }

top_k.cs

    /* 基於堆積查詢陣列中最大的 k 個元素 */
    PriorityQueue<int, int> TopKHeap(int[] nums, int k) {
        // 初始化小頂堆積
        PriorityQueue<int, int> heap = new();
        // 將陣列的前 k 個元素入堆積
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            heap.Enqueue(nums[i], nums[i]);
        }
        // 從第 k+1 個元素開始，保持堆積的長度為 k
        for (int i = k; i < nums.Length; i++) {
            // 若當前元素大於堆積頂元素，則將堆積頂元素出堆積、當前元素入堆積
            if (nums[i] > heap.Peek()) {
                heap.Dequeue();
                heap.Enqueue(nums[i], nums[i]);
            }
        }
        return heap;
    }

top_k.go

    /* 基於堆積查詢陣列中最大的 k 個元素 */
    func topKHeap(nums []int, k int) *minHeap {
        // 初始化小頂堆積
        h := &minHeap{}
        heap.Init(h)
        // 將陣列的前 k 個元素入堆積
        for i := 0; i < k; i++ {
            heap.Push(h, nums[i])
        }
        // 從第 k+1 個元素開始，保持堆積的長度為 k
        for i := k; i < len(nums); i++ {
            // 若當前元素大於堆積頂元素，則將堆積頂元素出堆積、當前元素入堆積
            if nums[i] > h.Top().(int) {
                heap.Pop(h)
                heap.Push(h, nums[i])
            }
        }
        return h
    }

top_k.swift

    /* 基於堆積查詢陣列中最大的 k 個元素 */
    func topKHeap(nums: [Int], k: Int) -> [Int] {
        // 初始化一個小頂堆積，並將前 k 個元素建堆積
        var heap = Heap(nums.prefix(k))
        // 從第 k+1 個元素開始，保持堆積的長度為 k
        for i in nums.indices.dropFirst(k) {
            // 若當前元素大於堆積頂元素，則將堆積頂元素出堆積、當前元素入堆積
            if nums[i] > heap.min()! {
                _ = heap.removeMin()
                heap.insert(nums[i])
            }
        }
        return heap.unordered
    }

top_k.js

    /* 元素入堆積 */
    function pushMinHeap(maxHeap, val) {
        // 元素取反
        maxHeap.push(-val);
    }

    /* 元素出堆積 */
    function popMinHeap(maxHeap) {
        // 元素取反
        return -maxHeap.pop();
    }

    /* 訪問堆積頂元素 */
    function peekMinHeap(maxHeap) {
        // 元素取反
        return -maxHeap.peek();
    }

    /* 取出堆積中元素 */
    function getMinHeap(maxHeap) {
        // 元素取反
        return maxHeap.getMaxHeap().map((num) => -num);
    }

    /* 基於堆積查詢陣列中最大的 k 個元素 */
    function topKHeap(nums, k) {
        // 初始化小頂堆積
        // 請注意：我們將堆積中所有元素取反，從而用大頂堆積來模擬小頂堆積
        const maxHeap = new MaxHeap([]);
        // 將陣列的前 k 個元素入堆積
        for (let i = 0; i < k; i++) {
            pushMinHeap(maxHeap, nums[i]);
        }
        // 從第 k+1 個元素開始，保持堆積的長度為 k
        for (let i = k; i < nums.length; i++) {
            // 若當前元素大於堆積頂元素，則將堆積頂元素出堆積、當前元素入堆積
            if (nums[i] > peekMinHeap(maxHeap)) {
                popMinHeap(maxHeap);
                pushMinHeap(maxHeap, nums[i]);
            }
        }
        // 返回堆積中元素
        return getMinHeap(maxHeap);
    }

top_k.ts

    /* 元素入堆積 */
    function pushMinHeap(maxHeap: MaxHeap, val: number): void {
        // 元素取反
        maxHeap.push(-val);
    }

    /* 元素出堆積 */
    function popMinHeap(maxHeap: MaxHeap): number {
        // 元素取反
        return -maxHeap.pop();
    }

    /* 訪問堆積頂元素 */
    function peekMinHeap(maxHeap: MaxHeap): number {
        // 元素取反
        return -maxHeap.peek();
    }

    /* 取出堆積中元素 */
    function getMinHeap(maxHeap: MaxHeap): number[] {
        // 元素取反
        return maxHeap.getMaxHeap().map((num: number) => -num);
    }

    /* 基於堆積查詢陣列中最大的 k 個元素 */
    function topKHeap(nums: number[], k: number): number[] {
        // 初始化小頂堆積
        // 請注意：我們將堆積中所有元素取反，從而用大頂堆積來模擬小頂堆積
        const maxHeap = new MaxHeap([]);
        // 將陣列的前 k 個元素入堆積
        for (let i = 0; i < k; i++) {
            pushMinHeap(maxHeap, nums[i]);
        }
        // 從第 k+1 個元素開始，保持堆積的長度為 k
        for (let i = k; i < nums.length; i++) {
            // 若當前元素大於堆積頂元素，則將堆積頂元素出堆積、當前元素入堆積
            if (nums[i] > peekMinHeap(maxHeap)) {
                popMinHeap(maxHeap);
                pushMinHeap(maxHeap, nums[i]);
            }
        }
        // 返回堆積中元素
        return getMinHeap(maxHeap);
    }

top_k.dart

    /* 基於堆積查詢陣列中最大的 k 個元素 */
    MinHeap topKHeap(List<int> nums, int k) {
      // 初始化小頂堆積，將陣列的前 k 個元素入堆積
      MinHeap heap = MinHeap(nums.sublist(0, k));
      // 從第 k+1 個元素開始，保持堆積的長度為 k
      for (int i = k; i < nums.length; i++) {
        // 若當前元素大於堆積頂元素，則將堆積頂元素出堆積、當前元素入堆積
        if (nums[i] > heap.peek()) {
          heap.pop();
          heap.push(nums[i]);
        }
      }
      return heap;
    }

top_k.rs

    /* 基於堆積查詢陣列中最大的 k 個元素 */
    fn top_k_heap(nums: Vec<i32>, k: usize) -> BinaryHeap<Reverse<i32>> {
        // BinaryHeap 是大頂堆積，使用 Reverse 將元素取反，從而實現小頂堆積
        let mut heap = BinaryHeap::<Reverse<i32>>::new();
        // 將陣列的前 k 個元素入堆積
        for &num in nums.iter().take(k) {
            heap.push(Reverse(num));
        }
        // 從第 k+1 個元素開始，保持堆積的長度為 k
        for &num in nums.iter().skip(k) {
            // 若當前元素大於堆積頂元素，則將堆積頂元素出堆積、當前元素入堆積
            if num > heap.peek().unwrap().0 {
                heap.pop();
                heap.push(Reverse(num));
            }
        }
        heap
    }

top_k.c

    /* 元素入堆積 */
    void pushMinHeap(MaxHeap *maxHeap, int val) {
        // 元素取反
        push(maxHeap, -val);
    }

    /* 元素出堆積 */
    int popMinHeap(MaxHeap *maxHeap) {
        // 元素取反
        return -pop(maxHeap);
    }

    /* 訪問堆積頂元素 */
    int peekMinHeap(MaxHeap *maxHeap) {
        // 元素取反
        return -peek(maxHeap);
    }

    /* 取出堆積中元素 */
    int *getMinHeap(MaxHeap *maxHeap) {
        // 將堆積中所有元素取反並存入 res 陣列
        int *res = (int *)malloc(maxHeap->size * sizeof(int));
        for (int i = 0; i < maxHeap->size; i++) {
            res[i] = -maxHeap->data[i];
        }
        return res;
    }

    /* 取出堆積中元素 */
    int *getMinHeap(MaxHeap *maxHeap) {
        // 將堆積中所有元素取反並存入 res 陣列
        int *res = (int *)malloc(maxHeap->size * sizeof(int));
        for (int i = 0; i < maxHeap->size; i++) {
            res[i] = -maxHeap->data[i];
        }
        return res;
    }

    // 基於堆積查詢陣列中最大的 k 個元素的函式
    int *topKHeap(int *nums, int sizeNums, int k) {
        // 初始化小頂堆積
        // 請注意：我們將堆積中所有元素取反，從而用大頂堆積來模擬小頂堆積
        int *empty = (int *)malloc(0);
        MaxHeap *maxHeap = newMaxHeap(empty, 0);
        // 將陣列的前 k 個元素入堆積
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            pushMinHeap(maxHeap, nums[i]);
        }
        // 從第 k+1 個元素開始，保持堆積的長度為 k
        for (int i = k; i < sizeNums; i++) {
            // 若當前元素大於堆積頂元素，則將堆積頂元素出堆積、當前元素入堆積
            if (nums[i] > peekMinHeap(maxHeap)) {
                popMinHeap(maxHeap);
                pushMinHeap(maxHeap, nums[i]);
            }
        }
        int *res = getMinHeap(maxHeap);
        // 釋放記憶體
        delMaxHeap(maxHeap);
        return res;
    }

top_k.kt

    /* 基於堆積查詢陣列中最大的 k 個元素 */
    fun topKHeap(nums: IntArray, k: Int): Queue<Int> {
        // 初始化小頂堆積
        val heap = PriorityQueue<Int>()
        // 將陣列的前 k 個元素入堆積
        for (i in 0..<k) {
            heap.offer(nums[i])
        }
        // 從第 k+1 個元素開始，保持堆積的長度為 k
        for (i in k..<nums.size) {
            // 若當前元素大於堆積頂元素，則將堆積頂元素出堆積、當前元素入堆積
            if (nums[i] > heap.peek()) {
                heap.poll()
                heap.offer(nums[i])
            }
        }
        return heap
    }

top_k.rb

    ### 基於堆積查詢陣列中最大的 k 個元素 ###
    def top_k_heap(nums, k)
      # 初始化小頂堆積
      # 請注意：我們將堆積中所有元素取反，從而用大頂堆積來模擬小頂堆積
      max_heap = MaxHeap.new([])

      # 將陣列的前 k 個元素入堆積
      for i in 0...k
        push_min_heap(max_heap, nums[i])
      end

      # 從第 k+1 個元素開始，保持堆積的長度為 k
      for i in k...nums.length
        # 若當前元素大於堆積頂元素，則將堆積頂元素出堆積、當前元素入堆積
        if nums[i] > peek_min_heap(max_heap)
          pop_min_heap(max_heap)
          push_min_heap(max_heap, nums[i])
        end
      end

      get_min_heap(max_heap)
    end

top_k.zig

    [class]{}-[func]{topKHeap}

視覺化執行

全螢幕觀看 >

總共執行了 \(n\) 輪入堆積和出堆積，堆積的最大長度為 \(k\) ，因此時間複雜度為 \(O(n \log k)\) 。該方法的效率很高，當 \(k\) 較小時，時間複雜度趨向 \(O(n)\) ；當 \(k\) 較大時，時間複雜度不會超過 \(O(n \log n)\) 。

另外，該方法適用於動態資料流的使用場景。在不斷加入資料時，我們可以持續維護堆積內的元素，從而實現最大的 \(k\) 個元素的動態更新。

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