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# 11.3 泡沫排序

泡沫排序（bubble sort）透過連續地比較與交換相鄰元素實現排序。這個過程就像氣泡從底部升到頂部一樣，因此得名泡沫排序。

如圖 11-4 所示，冒泡過程可以利用元素交換操作來模擬：從陣列最左端開始向右走訪，依次比較相鄰元素大小，如果“左元素 > 右元素”就交換二者。走訪完成後，最大的元素會被移動到陣列的最右端。

<1><2><3><4><5><6><7>

圖 11-4 利用元素交換操作模擬冒泡

## 11.3.1 演算法流程

設陣列的長度為 \(n\) ，泡沫排序的步驟如圖 11-5 所示。

1. 首先，對 \(n\) 個元素執行“冒泡”，將陣列的最大元素交換至正確位置。
2. 接下來，對剩餘 \(n - 1\) 個元素執行“冒泡”，將第二大元素交換至正確位置。
3. 以此類推，經過 \(n - 1\) 輪“冒泡”後，前 \(n - 1\) 大的元素都被交換至正確位置。
4. 僅剩的一個元素必定是最小元素，無須排序，因此陣列排序完成。

圖 11-5 泡沫排序流程

示例程式碼如下：

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby Zig
bubble_sort.py

    def bubble_sort(nums: list[int]):
        """泡沫排序"""
        n = len(nums)
        # 外迴圈：未排序區間為 [0, i]
        for i in range(n - 1, 0, -1):
            # 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端
            for j in range(i):
                if nums[j] > nums[j + 1]:
                    # 交換 nums[j] 與 nums[j + 1]
                    nums[j], nums[j + 1] = nums[j + 1], nums[j]

bubble_sort.cpp

    /* 泡沫排序 */
    void bubbleSort(vector<int> &nums) {
        // 外迴圈：未排序區間為 [0, i]
        for (int i = nums.size() - 1; i > 0; i--) {
            // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                    // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1]
                    // 這裡使用了 std::swap() 函式
                    swap(nums[j], nums[j + 1]);
                }
            }
        }
    }

bubble_sort.java

    /* 泡沫排序 */
    void bubbleSort(int[] nums) {
        // 外迴圈：未排序區間為 [0, i]
        for (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
            // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                    // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1]
                    int tmp = nums[j];
                    nums[j] = nums[j + 1];
                    nums[j + 1] = tmp;
                }
            }
        }
    }

bubble_sort.cs

    /* 泡沫排序 */
    void BubbleSort(int[] nums) {
        // 外迴圈：未排序區間為 [0, i]
        for (int i = nums.Length - 1; i > 0; i--) {
            // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                    // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1]
                    (nums[j + 1], nums[j]) = (nums[j], nums[j + 1]);
                }
            }
        }
    }

bubble_sort.go

    /* 泡沫排序 */
    func bubbleSort(nums []int) {
        // 外迴圈：未排序區間為 [0, i]
        for i := len(nums) - 1; i > 0; i-- {
            // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端
            for j := 0; j < i; j++ {
                if nums[j] > nums[j+1] {
                    // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1]
                    nums[j], nums[j+1] = nums[j+1], nums[j]
                }
            }
        }
    }

bubble_sort.swift

    /* 泡沫排序 */
    func bubbleSort(nums: inout [Int]) {
        // 外迴圈：未排序區間為 [0, i]
        for i in nums.indices.dropFirst().reversed() {
            // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端
            for j in 0 ..< i {
                if nums[j] > nums[j + 1] {
                    // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1]
                    nums.swapAt(j, j + 1)
                }
            }
        }
    }

bubble_sort.js

    /* 泡沫排序 */
    function bubbleSort(nums) {
        // 外迴圈：未排序區間為 [0, i]
        for (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
            // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端
            for (let j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                    // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1]
                    let tmp = nums[j];
                    nums[j] = nums[j + 1];
                    nums[j + 1] = tmp;
                }
            }
        }
    }

bubble_sort.ts

    /* 泡沫排序 */
    function bubbleSort(nums: number[]): void {
        // 外迴圈：未排序區間為 [0, i]
        for (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
            // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端
            for (let j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                    // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1]
                    let tmp = nums[j];
                    nums[j] = nums[j + 1];
                    nums[j + 1] = tmp;
                }
            }
        }
    }

bubble_sort.dart

    /* 泡沫排序 */
    void bubbleSort(List<int> nums) {
      // 外迴圈：未排序區間為 [0, i]
      for (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
        // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端
        for (int j = 0; j < i; j++) {
          if (nums[j] > nums[j + 1]) {
            // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1]
            int tmp = nums[j];
            nums[j] = nums[j + 1];
            nums[j + 1] = tmp;
          }
        }
      }
    }

bubble_sort.rs

    /* 泡沫排序 */
    fn bubble_sort(nums: &mut [i32]) {
        // 外迴圈：未排序區間為 [0, i]
        for i in (1..nums.len()).rev() {
            // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端
            for j in 0..i {
                if nums[j] > nums[j + 1] {
                    // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1]
                    nums.swap(j, j + 1);
                }
            }
        }
    }

bubble_sort.c

    /* 泡沫排序 */
    void bubbleSort(int nums[], int size) {
        // 外迴圈：未排序區間為 [0, i]
        for (int i = size - 1; i > 0; i--) {
            // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                    int temp = nums[j];
                    nums[j] = nums[j + 1];
                    nums[j + 1] = temp;
                }
            }
        }
    }

bubble_sort.kt

    /* 泡沫排序 */
    fun bubbleSort(nums: IntArray) {
        // 外迴圈：未排序區間為 [0, i]
        for (i in nums.size - 1 downTo 1) {
            // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端
            for (j in 0..<i) {
                if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                    // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1]
                    val temp = nums[j]
                    nums[j] = nums[j + 1]
                    nums[j + 1] = temp
                }
            }
        }
    }

bubble_sort.rb

    ### 泡沫排序 ###
    def bubble_sort(nums)
      n = nums.length
      # 外迴圈：未排序區間為 [0, i]
      for i in (n - 1).downto(1)
        # 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端
        for j in 0...i
          if nums[j] > nums[j + 1]
            # 交換 nums[j] 與 nums[j + 1]
            nums[j], nums[j + 1] = nums[j + 1], nums[j]
          end
        end
      end
    end

bubble_sort.zig

    // 泡沫排序
    fn bubbleSort(nums: []i32) void {
        // 外迴圈：未排序區間為 [0, i]
        var i: usize = nums.len - 1;
        while (i > 0) : (i -= 1) {
            var j: usize = 0;
            // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端
            while (j < i) : (j += 1) {
                if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                    // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1]
                    var tmp = nums[j];
                    nums[j] = nums[j + 1];
                    nums[j + 1] = tmp;
                }
            }
        }
    }

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## 11.3.2 效率最佳化

我們發現，如果某輪“冒泡”中沒有執行任何交換操作，說明陣列已經完成排序，可直接返回結果。因此，可以增加一個標誌位 `flag` 來監測這種情況，一旦出現就立即返回。

經過最佳化，泡沫排序的最差時間複雜度和平均時間複雜度仍為 \(O(n^2)\) ；但當輸入陣列完全有序時，可達到最佳時間複雜度 \(O(n)\) 。

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby Zig
bubble_sort.py

    def bubble_sort_with_flag(nums: list[int]):
        """泡沫排序（標誌最佳化）"""
        n = len(nums)
        # 外迴圈：未排序區間為 [0, i]
        for i in range(n - 1, 0, -1):
            flag = False  # 初始化標誌位
            # 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端
            for j in range(i):
                if nums[j] > nums[j + 1]:
                    # 交換 nums[j] 與 nums[j + 1]
                    nums[j], nums[j + 1] = nums[j + 1], nums[j]
                    flag = True  # 記錄交換元素
            if not flag:
                break  # 此輪“冒泡”未交換任何元素，直接跳出

bubble_sort.cpp

    /* 泡沫排序（標誌最佳化）*/
    void bubbleSortWithFlag(vector<int> &nums) {
        // 外迴圈：未排序區間為 [0, i]
        for (int i = nums.size() - 1; i > 0; i--) {
            bool flag = false; // 初始化標誌位
            // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                    // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1]
                    // 這裡使用了 std::swap() 函式
                    swap(nums[j], nums[j + 1]);
                    flag = true; // 記錄交換元素
                }
            }
            if (!flag)
                break; // 此輪“冒泡”未交換任何元素，直接跳出
        }
    }

bubble_sort.java

    /* 泡沫排序（標誌最佳化） */
    void bubbleSortWithFlag(int[] nums) {
        // 外迴圈：未排序區間為 [0, i]
        for (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
            boolean flag = false; // 初始化標誌位
            // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                    // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1]
                    int tmp = nums[j];
                    nums[j] = nums[j + 1];
                    nums[j + 1] = tmp;
                    flag = true; // 記錄交換元素
                }
            }
            if (!flag)
                break; // 此輪“冒泡”未交換任何元素，直接跳出
        }
    }

bubble_sort.cs

    /* 泡沫排序（標誌最佳化）*/
    void BubbleSortWithFlag(int[] nums) {
        // 外迴圈：未排序區間為 [0, i]
        for (int i = nums.Length - 1; i > 0; i--) {
            bool flag = false; // 初始化標誌位
            // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                    // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1]
                    (nums[j + 1], nums[j]) = (nums[j], nums[j + 1]);
                    flag = true;  // 記錄交換元素
                }
            }
            if (!flag) break;     // 此輪“冒泡”未交換任何元素，直接跳出
        }
    }

bubble_sort.go

    /* 泡沫排序（標誌最佳化）*/
    func bubbleSortWithFlag(nums []int) {
        // 外迴圈：未排序區間為 [0, i]
        for i := len(nums) - 1; i > 0; i-- {
            flag := false // 初始化標誌位
            // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端
            for j := 0; j < i; j++ {
                if nums[j] > nums[j+1] {
                    // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1]
                    nums[j], nums[j+1] = nums[j+1], nums[j]
                    flag = true // 記錄交換元素
                }
            }
            if flag == false { // 此輪“冒泡”未交換任何元素，直接跳出
                break
            }
        }
    }

bubble_sort.swift

    /* 泡沫排序（標誌最佳化）*/
    func bubbleSortWithFlag(nums: inout [Int]) {
        // 外迴圈：未排序區間為 [0, i]
        for i in nums.indices.dropFirst().reversed() {
            var flag = false // 初始化標誌位
            for j in 0 ..< i {
                if nums[j] > nums[j + 1] {
                    // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1]
                    nums.swapAt(j, j + 1)
                    flag = true // 記錄交換元素
                }
            }
            if !flag { // 此輪“冒泡”未交換任何元素，直接跳出
                break
            }
        }
    }

bubble_sort.js

    /* 泡沫排序（標誌最佳化）*/
    function bubbleSortWithFlag(nums) {
        // 外迴圈：未排序區間為 [0, i]
        for (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
            let flag = false; // 初始化標誌位
            // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端
            for (let j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                    // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1]
                    let tmp = nums[j];
                    nums[j] = nums[j + 1];
                    nums[j + 1] = tmp;
                    flag = true; // 記錄交換元素
                }
            }
            if (!flag) break; // 此輪“冒泡”未交換任何元素，直接跳出
        }
    }

bubble_sort.ts

    /* 泡沫排序（標誌最佳化）*/
    function bubbleSortWithFlag(nums: number[]): void {
        // 外迴圈：未排序區間為 [0, i]
        for (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
            let flag = false; // 初始化標誌位
            // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端
            for (let j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                    // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1]
                    let tmp = nums[j];
                    nums[j] = nums[j + 1];
                    nums[j + 1] = tmp;
                    flag = true; // 記錄交換元素
                }
            }
            if (!flag) break; // 此輪“冒泡”未交換任何元素，直接跳出
        }
    }

bubble_sort.dart

    /* 泡沫排序（標誌最佳化）*/
    void bubbleSortWithFlag(List<int> nums) {
      // 外迴圈：未排序區間為 [0, i]
      for (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
        bool flag = false; // 初始化標誌位
        // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端
        for (int j = 0; j < i; j++) {
          if (nums[j] > nums[j + 1]) {
            // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1]
            int tmp = nums[j];
            nums[j] = nums[j + 1];
            nums[j + 1] = tmp;
            flag = true; // 記錄交換元素
          }
        }
        if (!flag) break; // 此輪“冒泡”未交換任何元素，直接跳出
      }
    }

bubble_sort.rs

    /* 泡沫排序（標誌最佳化） */
    fn bubble_sort_with_flag(nums: &mut [i32]) {
        // 外迴圈：未排序區間為 [0, i]
        for i in (1..nums.len()).rev() {
            let mut flag = false; // 初始化標誌位
            // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端
            for j in 0..i {
                if nums[j] > nums[j + 1] {
                    // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1]
                    nums.swap(j, j + 1);
                    flag = true; // 記錄交換元素
                }
            }
            if !flag {
                break; // 此輪“冒泡”未交換任何元素，直接跳出
            };
        }
    }

bubble_sort.c

    /* 泡沫排序（標誌最佳化）*/
    void bubbleSortWithFlag(int nums[], int size) {
        // 外迴圈：未排序區間為 [0, i]
        for (int i = size - 1; i > 0; i--) {
            bool flag = false;
            // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                    int temp = nums[j];
                    nums[j] = nums[j + 1];
                    nums[j + 1] = temp;
                    flag = true;
                }
            }
            if (!flag)
                break;
        }
    }

bubble_sort.kt

    /* 泡沫排序（標誌最佳化） */
    fun bubbleSortWithFlag(nums: IntArray) {
        // 外迴圈：未排序區間為 [0, i]
        for (i in nums.size - 1 downTo 1) {
            var flag = false // 初始化標誌位
            // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端
            for (j in 0..<i) {
                if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                    // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1]
                    val temp = nums[j]
                    nums[j] = nums[j + 1]
                    nums[j + 1] = temp
                    flag = true // 記錄交換元素
                }
            }
            if (!flag) break // 此輪“冒泡”未交換任何元素，直接跳出
        }
    }

bubble_sort.rb

    ### 泡沫排序（標誌最佳化）###
    def bubble_sort_with_flag(nums)
      n = nums.length
      # 外迴圈：未排序區間為 [0, i]
      for i in (n - 1).downto(1)
        flag = false # 初始化標誌位

        # 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端
        for j in 0...i
          if nums[j] > nums[j + 1]
            # 交換 nums[j] 與 nums[j + 1]
            nums[j], nums[j + 1] = nums[j + 1], nums[j]
            flag = true # 記錄交換元素
          end
        end

        break unless flag # 此輪“冒泡”未交換任何元素，直接跳出
      end
    end

bubble_sort.zig

    // 泡沫排序（標誌最佳化）
    fn bubbleSortWithFlag(nums: []i32) void {
        // 外迴圈：未排序區間為 [0, i]
        var i: usize = nums.len - 1;
        while (i > 0) : (i -= 1) {
            var flag = false;   // 初始化標誌位
            var j: usize = 0;
            // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端
            while (j < i) : (j += 1) {
                if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                    // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1]
                    var tmp = nums[j];
                    nums[j] = nums[j + 1];
                    nums[j + 1] = tmp;
                    flag = true;
                }
            }
            if (!flag) break;   // 此輪“冒泡”未交換任何元素，直接跳出
        }
    }

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## 11.3.3 演算法特性

- 時間複雜度為 \(O(n^2)\)、自適應排序：各輪“冒泡”走訪的陣列長度依次為 \(n - 1\)、\(n - 2\)、\(\dots\)、\(2\)、\(1\) ，總和為 \((n - 1) n / 2\) 。在引入 `flag` 最佳化後，最佳時間複雜度可達到 \(O(n)\) 。
- 空間複雜度為 \(O(1)\)、原地排序：指標 \(i\) 和 \(j\) 使用常數大小的額外空間。
- 穩定排序：由於在“冒泡”中遇到相等元素不交換。

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