跳轉至
紙質書（簡體中文版）已發行，詳情請見這裡

# 10.3 二分搜尋邊界

## 10.3.1 查詢左邊界

Question

給定一個長度為 \(n\) 的有序陣列 `nums` ，其中可能包含重複元素。請返回陣列中最左一個元素 `target` 的索引。若陣列中不包含該元素，則返回 \(-1\) 。

回憶二分搜尋插入點的方法，搜尋完成後 \(i\) 指向最左一個 `target` ，因此查詢插入點本質上是在查詢最左一個 `target` 的索引。

考慮透過查詢插入點的函式實現查詢左邊界。請注意，陣列中可能不包含 `target` ，這種情況可能導致以下兩種結果。

- 插入點的索引 \(i\) 越界。
- 元素 `nums[i]` 與 `target` 不相等。

當遇到以上兩種情況時，直接返回 \(-1\) 即可。程式碼如下所示：

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby Zig
binary_search_edge.py

    def binary_search_left_edge(nums: list[int], target: int) -> int:
        """二分搜尋最左一個 target"""
        # 等價於查詢 target 的插入點
        i = binary_search_insertion(nums, target)
        # 未找到 target ，返回 -1
        if i == len(nums) or nums[i] != target:
            return -1
        # 找到 target ，返回索引 i
        return i

binary_search_edge.cpp

    /* 二分搜尋最左一個 target */
    int binarySearchLeftEdge(vector<int> &nums, int target) {
        // 等價於查詢 target 的插入點
        int i = binarySearchInsertion(nums, target);
        // 未找到 target ，返回 -1
        if (i == nums.size() || nums[i] != target) {
            return -1;
        }
        // 找到 target ，返回索引 i
        return i;
    }

binary_search_edge.java

    /* 二分搜尋最左一個 target */
    int binarySearchLeftEdge(int[] nums, int target) {
        // 等價於查詢 target 的插入點
        int i = binary_search_insertion.binarySearchInsertion(nums, target);
        // 未找到 target ，返回 -1
        if (i == nums.length || nums[i] != target) {
            return -1;
        }
        // 找到 target ，返回索引 i
        return i;
    }

binary_search_edge.cs

    /* 二分搜尋最左一個 target */
    int BinarySearchLeftEdge(int[] nums, int target) {
        // 等價於查詢 target 的插入點
        int i = binary_search_insertion.BinarySearchInsertion(nums, target);
        // 未找到 target ，返回 -1
        if (i == nums.Length || nums[i] != target) {
            return -1;
        }
        // 找到 target ，返回索引 i
        return i;
    }

binary_search_edge.go

    /* 二分搜尋最左一個 target */
    func binarySearchLeftEdge(nums []int, target int) int {
        // 等價於查詢 target 的插入點
        i := binarySearchInsertion(nums, target)
        // 未找到 target ，返回 -1
        if i == len(nums) || nums[i] != target {
            return -1
        }
        // 找到 target ，返回索引 i
        return i
    }

binary_search_edge.swift

    /* 二分搜尋最左一個 target */
    func binarySearchLeftEdge(nums: [Int], target: Int) -> Int {
        // 等價於查詢 target 的插入點
        let i = binarySearchInsertion(nums: nums, target: target)
        // 未找到 target ，返回 -1
        if i == nums.endIndex || nums[i] != target {
            return -1
        }
        // 找到 target ，返回索引 i
        return i
    }

binary_search_edge.js

    /* 二分搜尋最左一個 target */
    function binarySearchLeftEdge(nums, target) {
        // 等價於查詢 target 的插入點
        const i = binarySearchInsertion(nums, target);
        // 未找到 target ，返回 -1
        if (i === nums.length || nums[i] !== target) {
            return -1;
        }
        // 找到 target ，返回索引 i
        return i;
    }

binary_search_edge.ts

    /* 二分搜尋最左一個 target */
    function binarySearchLeftEdge(nums: Array<number>, target: number): number {
        // 等價於查詢 target 的插入點
        const i = binarySearchInsertion(nums, target);
        // 未找到 target ，返回 -1
        if (i === nums.length || nums[i] !== target) {
            return -1;
        }
        // 找到 target ，返回索引 i
        return i;
    }

binary_search_edge.dart

    /* 二分搜尋最左一個 target */
    int binarySearchLeftEdge(List<int> nums, int target) {
      // 等價於查詢 target 的插入點
      int i = binarySearchInsertion(nums, target);
      // 未找到 target ，返回 -1
      if (i == nums.length || nums[i] != target) {
        return -1;
      }
      // 找到 target ，返回索引 i
      return i;
    }

binary_search_edge.rs

    /* 二分搜尋最左一個 target */
    fn binary_search_left_edge(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
        // 等價於查詢 target 的插入點
        let i = binary_search_insertion(nums, target);
        // 未找到 target ，返回 -1
        if i == nums.len() as i32 || nums[i as usize] != target {
            return -1;
        }
        // 找到 target ，返回索引 i
        i
    }

binary_search_edge.c

    /* 二分搜尋最左一個 target */
    int binarySearchLeftEdge(int *nums, int numSize, int target) {
        // 等價於查詢 target 的插入點
        int i = binarySearchInsertion(nums, numSize, target);
        // 未找到 target ，返回 -1
        if (i == numSize || nums[i] != target) {
            return -1;
        }
        // 找到 target ，返回索引 i
        return i;
    }

binary_search_edge.kt

    /* 二分搜尋最左一個 target */
    fun binarySearchLeftEdge(nums: IntArray, target: Int): Int {
        // 等價於查詢 target 的插入點
        val i = binarySearchInsertion(nums, target)
        // 未找到 target ，返回 -1
        if (i == nums.size || nums[i] != target) {
            return -1
        }
        // 找到 target ，返回索引 i
        return i
    }

binary_search_edge.rb

    ### 二分搜尋最左一個 target ###
    def binary_search_left_edge(nums, target)
      # 等價於查詢 target 的插入點
      i = binary_search_insertion(nums, target)

      # 未找到 target ，返回 -1
      return -1 if i == nums.length || nums[i] != target

      i # 找到 target ，返回索引 i
    end

binary_search_edge.zig

    [class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}

視覺化執行

全螢幕觀看 >

## 10.3.2 查詢右邊界

那麼如何查詢最右一個 `target` 呢？最直接的方式是修改程式碼，替換在 `nums[m] == target` 情況下的指標收縮操作。程式碼在此省略，有興趣的讀者可以自行實現。

下面我們介紹兩種更加取巧的方法。

### 1. 複用查詢左邊界

實際上，我們可以利用查詢最左元素的函式來查詢最右元素，具體方法為：將查詢最右一個 `target` 轉化為查詢最左一個 `target + 1`。

如圖 10-7 所示，查詢完成後，指標 \(i\) 指向最左一個 `target + 1`（如果存在），而 \(j\) 指向最右一個 `target` ，因此返回 \(j\) 即可。

圖 10-7 將查詢右邊界轉化為查詢左邊界

請注意，返回的插入點是 \(i\) ，因此需要將其減 \(1\) ，從而獲得 \(j\) ：

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby Zig
binary_search_edge.py

    def binary_search_right_edge(nums: list[int], target: int) -> int:
        """二分搜尋最右一個 target"""
        # 轉化為查詢最左一個 target + 1
        i = binary_search_insertion(nums, target + 1)
        # j 指向最右一個 target ，i 指向首個大於 target 的元素
        j = i - 1
        # 未找到 target ，返回 -1
        if j == -1 or nums[j] != target:
            return -1
        # 找到 target ，返回索引 j
        return j

binary_search_edge.cpp

    /* 二分搜尋最右一個 target */
    int binarySearchRightEdge(vector<int> &nums, int target) {
        // 轉化為查詢最左一個 target + 1
        int i = binarySearchInsertion(nums, target + 1);
        // j 指向最右一個 target ，i 指向首個大於 target 的元素
        int j = i - 1;
        // 未找到 target ，返回 -1
        if (j == -1 || nums[j] != target) {
            return -1;
        }
        // 找到 target ，返回索引 j
        return j;
    }

binary_search_edge.java

    /* 二分搜尋最右一個 target */
    int binarySearchRightEdge(int[] nums, int target) {
        // 轉化為查詢最左一個 target + 1
        int i = binary_search_insertion.binarySearchInsertion(nums, target + 1);
        // j 指向最右一個 target ，i 指向首個大於 target 的元素
        int j = i - 1;
        // 未找到 target ，返回 -1
        if (j == -1 || nums[j] != target) {
            return -1;
        }
        // 找到 target ，返回索引 j
        return j;
    }

binary_search_edge.cs

    /* 二分搜尋最右一個 target */
    int BinarySearchRightEdge(int[] nums, int target) {
        // 轉化為查詢最左一個 target + 1
        int i = binary_search_insertion.BinarySearchInsertion(nums, target + 1);
        // j 指向最右一個 target ，i 指向首個大於 target 的元素
        int j = i - 1;
        // 未找到 target ，返回 -1
        if (j == -1 || nums[j] != target) {
            return -1;
        }
        // 找到 target ，返回索引 j
        return j;
    }

binary_search_edge.go

    /* 二分搜尋最右一個 target */
    func binarySearchRightEdge(nums []int, target int) int {
        // 轉化為查詢最左一個 target + 1
        i := binarySearchInsertion(nums, target+1)
        // j 指向最右一個 target ，i 指向首個大於 target 的元素
        j := i - 1
        // 未找到 target ，返回 -1
        if j == -1 || nums[j] != target {
            return -1
        }
        // 找到 target ，返回索引 j
        return j
    }

binary_search_edge.swift

    /* 二分搜尋最右一個 target */
    func binarySearchRightEdge(nums: [Int], target: Int) -> Int {
        // 轉化為查詢最左一個 target + 1
        let i = binarySearchInsertion(nums: nums, target: target + 1)
        // j 指向最右一個 target ，i 指向首個大於 target 的元素
        let j = i - 1
        // 未找到 target ，返回 -1
        if j == -1 || nums[j] != target {
            return -1
        }
        // 找到 target ，返回索引 j
        return j
    }

binary_search_edge.js

    /* 二分搜尋最右一個 target */
    function binarySearchRightEdge(nums, target) {
        // 轉化為查詢最左一個 target + 1
        const i = binarySearchInsertion(nums, target + 1);
        // j 指向最右一個 target ，i 指向首個大於 target 的元素
        const j = i - 1;
        // 未找到 target ，返回 -1
        if (j === -1 || nums[j] !== target) {
            return -1;
        }
        // 找到 target ，返回索引 j
        return j;
    }

binary_search_edge.ts

    /* 二分搜尋最右一個 target */
    function binarySearchRightEdge(nums: Array<number>, target: number): number {
        // 轉化為查詢最左一個 target + 1
        const i = binarySearchInsertion(nums, target + 1);
        // j 指向最右一個 target ，i 指向首個大於 target 的元素
        const j = i - 1;
        // 未找到 target ，返回 -1
        if (j === -1 || nums[j] !== target) {
            return -1;
        }
        // 找到 target ，返回索引 j
        return j;
    }

binary_search_edge.dart

    /* 二分搜尋最右一個 target */
    int binarySearchRightEdge(List<int> nums, int target) {
      // 轉化為查詢最左一個 target + 1
      int i = binarySearchInsertion(nums, target + 1);
      // j 指向最右一個 target ，i 指向首個大於 target 的元素
      int j = i - 1;
      // 未找到 target ，返回 -1
      if (j == -1 || nums[j] != target) {
        return -1;
      }
      // 找到 target ，返回索引 j
      return j;
    }

binary_search_edge.rs

    /* 二分搜尋最右一個 target */
    fn binary_search_right_edge(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
        // 轉化為查詢最左一個 target + 1
        let i = binary_search_insertion(nums, target + 1);
        // j 指向最右一個 target ，i 指向首個大於 target 的元素
        let j = i - 1;
        // 未找到 target ，返回 -1
        if j == -1 || nums[j as usize] != target {
            return -1;
        }
        // 找到 target ，返回索引 j
        j
    }

binary_search_edge.c

    /* 二分搜尋最右一個 target */
    int binarySearchRightEdge(int *nums, int numSize, int target) {
        // 轉化為查詢最左一個 target + 1
        int i = binarySearchInsertion(nums, numSize, target + 1);
        // j 指向最右一個 target ，i 指向首個大於 target 的元素
        int j = i - 1;
        // 未找到 target ，返回 -1
        if (j == -1 || nums[j] != target) {
            return -1;
        }
        // 找到 target ，返回索引 j
        return j;
    }

binary_search_edge.kt

    /* 二分搜尋最右一個 target */
    fun binarySearchRightEdge(nums: IntArray, target: Int): Int {
        // 轉化為查詢最左一個 target + 1
        val i = binarySearchInsertion(nums, target + 1)
        // j 指向最右一個 target ，i 指向首個大於 target 的元素
        val j = i - 1
        // 未找到 target ，返回 -1
        if (j == -1 || nums[j] != target) {
            return -1
        }
        // 找到 target ，返回索引 j
        return j
    }

binary_search_edge.rb

    ### 二分搜尋最右一個 target ###
    def binary_search_right_edge(nums, target)
      # 轉化為查詢最左一個 target + 1
      i = binary_search_insertion(nums, target + 1)

      # j 指向最右一個 target ，i 指向首個大於 target 的元素
      j = i - 1

      # 未找到 target ，返回 -1
      return -1 if j == -1 || nums[j] != target

      j # 找到 target ，返回索引 j
    end

binary_search_edge.zig

    [class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}

視覺化執行

全螢幕觀看 >

### 2. 轉化為查詢元素

我們知道，當陣列不包含 `target` 時，最終 \(i\) 和 \(j\) 會分別指向首個大於、小於 `target` 的元素。

因此，如圖 10-8 所示，我們可以構造一個陣列中不存在的元素，用於查詢左右邊界。

- 查詢最左一個 `target` ：可以轉化為查詢 `target - 0.5` ，並返回指標 \(i\) 。
- 查詢最右一個 `target` ：可以轉化為查詢 `target + 0.5` ，並返回指標 \(j\) 。

圖 10-8 將查詢邊界轉化為查詢元素

程式碼在此省略，以下兩點值得注意。

- 給定陣列不包含小數，這意味著我們無須關心如何處理相等的情況。
- 因為該方法引入了小數，所以需要將函式中的變數 `target` 改為浮點數型別（Python 無須改動）。

#####