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# 11.10 基數排序

上一節介紹了計數排序，它適用於資料量 \(n\) 較大但資料範圍 \(m\) 較小的情況。假設我們需要對 \(n = 10^6\) 個學號進行排序，而學號是一個 \(8\) 位數字，這意味著資料範圍 \(m = 10^8\) 非常大，使用計數排序需要分配大量記憶體空間，而基數排序可以避免這種情況。

基數排序（radix sort）的核心思想與計數排序一致，也透過統計個數來實現排序。在此基礎上，基數排序利用數字各位之間的遞進關係，依次對每一位進行排序，從而得到最終的排序結果。

## 11.10.1 演算法流程

以學號資料為例，假設數字的最低位是第 \(1\) 位，最高位是第 \(8\) 位，基數排序的流程如圖 11-18 所示。

1. 初始化位數 \(k = 1\) 。
2. 對學號的第 \(k\) 位執行“計數排序”。完成後，資料會根據第 \(k\) 位從小到大排序。
3. 將 \(k\) 增加 \(1\) ，然後返回步驟 `2.` 繼續迭代，直到所有位都排序完成後結束。

圖 11-18 基數排序演算法流程

下面剖析程式碼實現。對於一個 \(d\) 進位制的數字 \(x\) ，要獲取其第 \(k\) 位 \(x_k\) ，可以使用以下計算公式：

\[ x_k = \lfloor\frac{x}{d^{k-1}}\rfloor \bmod d \]

其中 \(\lfloor a \rfloor\) 表示對浮點數 \(a\) 向下取整，而 \(\bmod \: d\) 表示對 \(d\) 取模（取餘）。對於學號資料，\(d = 10\) 且 \(k \in [1, 8]\) 。

此外，我們需要小幅改動計數排序程式碼，使之可以根據數字的第 \(k\) 位進行排序：

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby Zig
radix_sort.py

    def digit(num: int, exp: int) -> int:
        """獲取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1)"""
        # 傳入 exp 而非 k 可以避免在此重複執行昂貴的次方計算
        return (num // exp) % 10

    def counting_sort_digit(nums: list[int], exp: int):
        """計數排序（根據 nums 第 k 位排序）"""
        # 十進位制的位範圍為 0~9 ，因此需要長度為 10 的桶陣列
        counter = [0] * 10
        n = len(nums)
        # 統計 0~9 各數字的出現次數
        for i in range(n):
            d = digit(nums[i], exp)  # 獲取 nums[i] 第 k 位，記為 d
            counter[d] += 1  # 統計數字 d 的出現次數
        # 求前綴和，將“出現個數”轉換為“陣列索引”
        for i in range(1, 10):
            counter[i] += counter[i - 1]
        # 倒序走訪，根據桶內統計結果，將各元素填入 res
        res = [0] * n
        for i in range(n - 1, -1, -1):
            d = digit(nums[i], exp)
            j = counter[d] - 1  # 獲取 d 在陣列中的索引 j
            res[j] = nums[i]  # 將當前元素填入索引 j
            counter[d] -= 1  # 將 d 的數量減 1
        # 使用結果覆蓋原陣列 nums
        for i in range(n):
            nums[i] = res[i]

    def radix_sort(nums: list[int]):
        """基數排序"""
        # 獲取陣列的最大元素，用於判斷最大位數
        m = max(nums)
        # 按照從低位到高位的順序走訪
        exp = 1
        while exp <= m:
            # 對陣列元素的第 k 位執行計數排序
            # k = 1 -> exp = 1
            # k = 2 -> exp = 10
            # 即 exp = 10^(k-1)
            counting_sort_digit(nums, exp)
            exp *= 10

radix_sort.cpp

    /* 獲取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
    int digit(int num, int exp) {
        // 傳入 exp 而非 k 可以避免在此重複執行昂貴的次方計算
        return (num / exp) % 10;
    }

    /* 計數排序（根據 nums 第 k 位排序） */
    void countingSortDigit(vector<int> &nums, int exp) {
        // 十進位制的位範圍為 0~9 ，因此需要長度為 10 的桶陣列
        vector<int> counter(10, 0);
        int n = nums.size();
        // 統計 0~9 各數字的出現次數
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int d = digit(nums[i], exp); // 獲取 nums[i] 第 k 位，記為 d
            counter[d]++;                // 統計數字 d 的出現次數
        }
        // 求前綴和，將“出現個數”轉換為“陣列索引”
        for (int i = 1; i < 10; i++) {
            counter[i] += counter[i - 1];
        }
        // 倒序走訪，根據桶內統計結果，將各元素填入 res
        vector<int> res(n, 0);
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            int d = digit(nums[i], exp);
            int j = counter[d] - 1; // 獲取 d 在陣列中的索引 j
            res[j] = nums[i];       // 將當前元素填入索引 j
            counter[d]--;           // 將 d 的數量減 1
        }
        // 使用結果覆蓋原陣列 nums
        for (int i = 0; i < n; i++)
            nums[i] = res[i];
    }

    /* 基數排序 */
    void radixSort(vector<int> &nums) {
        // 獲取陣列的最大元素，用於判斷最大位數
        int m = *max_element(nums.begin(), nums.end());
        // 按照從低位到高位的順序走訪
        for (int exp = 1; exp <= m; exp *= 10)
            // 對陣列元素的第 k 位執行計數排序
            // k = 1 -> exp = 1
            // k = 2 -> exp = 10
            // 即 exp = 10^(k-1)
            countingSortDigit(nums, exp);
    }

radix_sort.java

    /* 獲取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
    int digit(int num, int exp) {
        // 傳入 exp 而非 k 可以避免在此重複執行昂貴的次方計算
        return (num / exp) % 10;
    }

    /* 計數排序（根據 nums 第 k 位排序） */
    void countingSortDigit(int[] nums, int exp) {
        // 十進位制的位範圍為 0~9 ，因此需要長度為 10 的桶陣列
        int[] counter = new int[10];
        int n = nums.length;
        // 統計 0~9 各數字的出現次數
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int d = digit(nums[i], exp); // 獲取 nums[i] 第 k 位，記為 d
            counter[d]++;                // 統計數字 d 的出現次數
        }
        // 求前綴和，將“出現個數”轉換為“陣列索引”
        for (int i = 1; i < 10; i++) {
            counter[i] += counter[i - 1];
        }
        // 倒序走訪，根據桶內統計結果，將各元素填入 res
        int[] res = new int[n];
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            int d = digit(nums[i], exp);
            int j = counter[d] - 1; // 獲取 d 在陣列中的索引 j
            res[j] = nums[i];       // 將當前元素填入索引 j
            counter[d]--;           // 將 d 的數量減 1
        }
        // 使用結果覆蓋原陣列 nums
        for (int i = 0; i < n; i++)
            nums[i] = res[i];
    }

    /* 基數排序 */
    void radixSort(int[] nums) {
        // 獲取陣列的最大元素，用於判斷最大位數
        int m = Integer.MIN_VALUE;
        for (int num : nums)
            if (num > m)
                m = num;
        // 按照從低位到高位的順序走訪
        for (int exp = 1; exp <= m; exp *= 10) {
            // 對陣列元素的第 k 位執行計數排序
            // k = 1 -> exp = 1
            // k = 2 -> exp = 10
            // 即 exp = 10^(k-1)
            countingSortDigit(nums, exp);
        }
    }

radix_sort.cs

    /* 獲取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
    int Digit(int num, int exp) {
        // 傳入 exp 而非 k 可以避免在此重複執行昂貴的次方計算
        return (num / exp) % 10;
    }

    /* 計數排序（根據 nums 第 k 位排序） */
    void CountingSortDigit(int[] nums, int exp) {
        // 十進位制的位範圍為 0~9 ，因此需要長度為 10 的桶陣列
        int[] counter = new int[10];
        int n = nums.Length;
        // 統計 0~9 各數字的出現次數
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int d = Digit(nums[i], exp); // 獲取 nums[i] 第 k 位，記為 d
            counter[d]++;                // 統計數字 d 的出現次數
        }
        // 求前綴和，將“出現個數”轉換為“陣列索引”
        for (int i = 1; i < 10; i++) {
            counter[i] += counter[i - 1];
        }
        // 倒序走訪，根據桶內統計結果，將各元素填入 res
        int[] res = new int[n];
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            int d = Digit(nums[i], exp);
            int j = counter[d] - 1; // 獲取 d 在陣列中的索引 j
            res[j] = nums[i];       // 將當前元素填入索引 j
            counter[d]--;           // 將 d 的數量減 1
        }
        // 使用結果覆蓋原陣列 nums
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            nums[i] = res[i];
        }
    }

    /* 基數排序 */
    void RadixSort(int[] nums) {
        // 獲取陣列的最大元素，用於判斷最大位數
        int m = int.MinValue;
        foreach (int num in nums) {
            if (num > m) m = num;
        }
        // 按照從低位到高位的順序走訪
        for (int exp = 1; exp <= m; exp *= 10) {
            // 對陣列元素的第 k 位執行計數排序
            // k = 1 -> exp = 1
            // k = 2 -> exp = 10
            // 即 exp = 10^(k-1)
            CountingSortDigit(nums, exp);
        }
    }

radix_sort.go

    /* 獲取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
    func digit(num, exp int) int {
        // 傳入 exp 而非 k 可以避免在此重複執行昂貴的次方計算
        return (num / exp) % 10
    }

    /* 計數排序（根據 nums 第 k 位排序） */
    func countingSortDigit(nums []int, exp int) {
        // 十進位制的位範圍為 0~9 ，因此需要長度為 10 的桶陣列
        counter := make([]int, 10)
        n := len(nums)
        // 統計 0~9 各數字的出現次數
        for i := 0; i < n; i++ {
            d := digit(nums[i], exp) // 獲取 nums[i] 第 k 位，記為 d
            counter[d]++             // 統計數字 d 的出現次數
        }
        // 求前綴和，將“出現個數”轉換為“陣列索引”
        for i := 1; i < 10; i++ {
            counter[i] += counter[i-1]
        }
        // 倒序走訪，根據桶內統計結果，將各元素填入 res
        res := make([]int, n)
        for i := n - 1; i >= 0; i-- {
            d := digit(nums[i], exp)
            j := counter[d] - 1 // 獲取 d 在陣列中的索引 j
            res[j] = nums[i]    // 將當前元素填入索引 j
            counter[d]--        // 將 d 的數量減 1
        }
        // 使用結果覆蓋原陣列 nums
        for i := 0; i < n; i++ {
            nums[i] = res[i]
        }
    }

    /* 基數排序 */
    func radixSort(nums []int) {
        // 獲取陣列的最大元素，用於判斷最大位數
        max := math.MinInt
        for _, num := range nums {
            if num > max {
                max = num
            }
        }
        // 按照從低位到高位的順序走訪
        for exp := 1; max >= exp; exp *= 10 {
            // 對陣列元素的第 k 位執行計數排序
            // k = 1 -> exp = 1
            // k = 2 -> exp = 10
            // 即 exp = 10^(k-1)
            countingSortDigit(nums, exp)
        }
    }

radix_sort.swift

    /* 獲取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
    func digit(num: Int, exp: Int) -> Int {
        // 傳入 exp 而非 k 可以避免在此重複執行昂貴的次方計算
        (num / exp) % 10
    }

    /* 計數排序（根據 nums 第 k 位排序） */
    func countingSortDigit(nums: inout [Int], exp: Int) {
        // 十進位制的位範圍為 0~9 ，因此需要長度為 10 的桶陣列
        var counter = Array(repeating: 0, count: 10)
        // 統計 0~9 各數字的出現次數
        for i in nums.indices {
            let d = digit(num: nums[i], exp: exp) // 獲取 nums[i] 第 k 位，記為 d
            counter[d] += 1 // 統計數字 d 的出現次數
        }
        // 求前綴和，將“出現個數”轉換為“陣列索引”
        for i in 1 ..< 10 {
            counter[i] += counter[i - 1]
        }
        // 倒序走訪，根據桶內統計結果，將各元素填入 res
        var res = Array(repeating: 0, count: nums.count)
        for i in nums.indices.reversed() {
            let d = digit(num: nums[i], exp: exp)
            let j = counter[d] - 1 // 獲取 d 在陣列中的索引 j
            res[j] = nums[i] // 將當前元素填入索引 j
            counter[d] -= 1 // 將 d 的數量減 1
        }
        // 使用結果覆蓋原陣列 nums
        for i in nums.indices {
            nums[i] = res[i]
        }
    }

    /* 基數排序 */
    func radixSort(nums: inout [Int]) {
        // 獲取陣列的最大元素，用於判斷最大位數
        var m = Int.min
        for num in nums {
            if num > m {
                m = num
            }
        }
        // 按照從低位到高位的順序走訪
        for exp in sequence(first: 1, next: { m >= ($0 * 10) ? $0 * 10 : nil }) {
            // 對陣列元素的第 k 位執行計數排序
            // k = 1 -> exp = 1
            // k = 2 -> exp = 10
            // 即 exp = 10^(k-1)
            countingSortDigit(nums: &nums, exp: exp)
        }
    }

radix_sort.js

    /* 獲取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
    function digit(num, exp) {
        // 傳入 exp 而非 k 可以避免在此重複執行昂貴的次方計算
        return Math.floor(num / exp) % 10;
    }

    /* 計數排序（根據 nums 第 k 位排序） */
    function countingSortDigit(nums, exp) {
        // 十進位制的位範圍為 0~9 ，因此需要長度為 10 的桶陣列
        const counter = new Array(10).fill(0);
        const n = nums.length;
        // 統計 0~9 各數字的出現次數
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            const d = digit(nums[i], exp); // 獲取 nums[i] 第 k 位，記為 d
            counter[d]++; // 統計數字 d 的出現次數
        }
        // 求前綴和，將“出現個數”轉換為“陣列索引”
        for (let i = 1; i < 10; i++) {
            counter[i] += counter[i - 1];
        }
        // 倒序走訪，根據桶內統計結果，將各元素填入 res
        const res = new Array(n).fill(0);
        for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {
            const d = digit(nums[i], exp);
            const j = counter[d] - 1; // 獲取 d 在陣列中的索引 j
            res[j] = nums[i]; // 將當前元素填入索引 j
            counter[d]--; // 將 d 的數量減 1
        }
        // 使用結果覆蓋原陣列 nums
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            nums[i] = res[i];
        }
    }

    /* 基數排序 */
    function radixSort(nums) {
        // 獲取陣列的最大元素，用於判斷最大位數
        let m = Number.MIN_VALUE;
        for (const num of nums) {
            if (num > m) {
                m = num;
            }
        }
        // 按照從低位到高位的順序走訪
        for (let exp = 1; exp <= m; exp *= 10) {
            // 對陣列元素的第 k 位執行計數排序
            // k = 1 -> exp = 1
            // k = 2 -> exp = 10
            // 即 exp = 10^(k-1)
            countingSortDigit(nums, exp);
        }
    }

radix_sort.ts

    /* 獲取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
    function digit(num: number, exp: number): number {
        // 傳入 exp 而非 k 可以避免在此重複執行昂貴的次方計算
        return Math.floor(num / exp) % 10;
    }

    /* 計數排序（根據 nums 第 k 位排序） */
    function countingSortDigit(nums: number[], exp: number): void {
        // 十進位制的位範圍為 0~9 ，因此需要長度為 10 的桶陣列
        const counter = new Array(10).fill(0);
        const n = nums.length;
        // 統計 0~9 各數字的出現次數
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            const d = digit(nums[i], exp); // 獲取 nums[i] 第 k 位，記為 d
            counter[d]++; // 統計數字 d 的出現次數
        }
        // 求前綴和，將“出現個數”轉換為“陣列索引”
        for (let i = 1; i < 10; i++) {
            counter[i] += counter[i - 1];
        }
        // 倒序走訪，根據桶內統計結果，將各元素填入 res
        const res = new Array(n).fill(0);
        for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {
            const d = digit(nums[i], exp);
            const j = counter[d] - 1; // 獲取 d 在陣列中的索引 j
            res[j] = nums[i]; // 將當前元素填入索引 j
            counter[d]--; // 將 d 的數量減 1
        }
        // 使用結果覆蓋原陣列 nums
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            nums[i] = res[i];
        }
    }

    /* 基數排序 */
    function radixSort(nums: number[]): void {
        // 獲取陣列的最大元素，用於判斷最大位數
        let m = Number.MIN_VALUE;
        for (const num of nums) {
            if (num > m) {
                m = num;
            }
        }
        // 按照從低位到高位的順序走訪
        for (let exp = 1; exp <= m; exp *= 10) {
            // 對陣列元素的第 k 位執行計數排序
            // k = 1 -> exp = 1
            // k = 2 -> exp = 10
            // 即 exp = 10^(k-1)
            countingSortDigit(nums, exp);
        }
    }

radix_sort.dart

    /* 獲取元素 _num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
    int digit(int _num, int exp) {
      // 傳入 exp 而非 k 可以避免在此重複執行昂貴的次方計算
      return (_num ~/ exp) % 10;
    }

    /* 計數排序（根據 nums 第 k 位排序） */
    void countingSortDigit(List<int> nums, int exp) {
      // 十進位制的位範圍為 0~9 ，因此需要長度為 10 的桶陣列
      List<int> counter = List<int>.filled(10, 0);
      int n = nums.length;
      // 統計 0~9 各數字的出現次數
      for (int i = 0; i < n; i++) {
        int d = digit(nums[i], exp); // 獲取 nums[i] 第 k 位，記為 d
        counter[d]++; // 統計數字 d 的出現次數
      }
      // 求前綴和，將“出現個數”轉換為“陣列索引”
      for (int i = 1; i < 10; i++) {
        counter[i] += counter[i - 1];
      }
      // 倒序走訪，根據桶內統計結果，將各元素填入 res
      List<int> res = List<int>.filled(n, 0);
      for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        int d = digit(nums[i], exp);
        int j = counter[d] - 1; // 獲取 d 在陣列中的索引 j
        res[j] = nums[i]; // 將當前元素填入索引 j
        counter[d]--; // 將 d 的數量減 1
      }
      // 使用結果覆蓋原陣列 nums
      for (int i = 0; i < n; i++) nums[i] = res[i];
    }

    /* 基數排序 */
    void radixSort(List<int> nums) {
      // 獲取陣列的最大元素，用於判斷最大位數
      // dart 中 int 的長度是 64 位的
      int m = -1 << 63;
      for (int _num in nums) if (_num > m) m = _num;
      // 按照從低位到高位的順序走訪
      for (int exp = 1; exp <= m; exp *= 10)
        // 對陣列元素的第 k 位執行計數排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        countingSortDigit(nums, exp);
    }

radix_sort.rs

    /* 獲取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
    fn digit(num: i32, exp: i32) -> usize {
        // 傳入 exp 而非 k 可以避免在此重複執行昂貴的次方計算
        return ((num / exp) % 10) as usize;
    }

    /* 計數排序（根據 nums 第 k 位排序） */
    fn counting_sort_digit(nums: &mut [i32], exp: i32) {
        // 十進位制的位範圍為 0~9 ，因此需要長度為 10 的桶陣列
        let mut counter = [0; 10];
        let n = nums.len();
        // 統計 0~9 各數字的出現次數
        for i in 0..n {
            let d = digit(nums[i], exp); // 獲取 nums[i] 第 k 位，記為 d
            counter[d] += 1; // 統計數字 d 的出現次數
        }
        // 求前綴和，將“出現個數”轉換為“陣列索引”
        for i in 1..10 {
            counter[i] += counter[i - 1];
        }
        // 倒序走訪，根據桶內統計結果，將各元素填入 res
        let mut res = vec![0; n];
        for i in (0..n).rev() {
            let d = digit(nums[i], exp);
            let j = counter[d] - 1; // 獲取 d 在陣列中的索引 j
            res[j] = nums[i]; // 將當前元素填入索引 j
            counter[d] -= 1; // 將 d 的數量減 1
        }
        // 使用結果覆蓋原陣列 nums
        nums.copy_from_slice(&res);
    }

    /* 基數排序 */
    fn radix_sort(nums: &mut [i32]) {
        // 獲取陣列的最大元素，用於判斷最大位數
        let m = *nums.into_iter().max().unwrap();
        // 按照從低位到高位的順序走訪
        let mut exp = 1;
        while exp <= m {
            counting_sort_digit(nums, exp);
            exp *= 10;
        }
    }

radix_sort.c

    /* 獲取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
    int digit(int num, int exp) {
        // 傳入 exp 而非 k 可以避免在此重複執行昂貴的次方計算
        return (num / exp) % 10;
    }

    /* 計數排序（根據 nums 第 k 位排序） */
    void countingSortDigit(int nums[], int size, int exp) {
        // 十進位制的位範圍為 0~9 ，因此需要長度為 10 的桶陣列
        int *counter = (int *)malloc((sizeof(int) * 10));
        // 統計 0~9 各數字的出現次數
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            // 獲取 nums[i] 第 k 位，記為 d
            int d = digit(nums[i], exp);
            // 統計數字 d 的出現次數
            counter[d]++;
        }
        // 求前綴和，將“出現個數”轉換為“陣列索引”
        for (int i = 1; i < 10; i++) {
            counter[i] += counter[i - 1];
        }
        // 倒序走訪，根據桶內統計結果，將各元素填入 res
        int *res = (int *)malloc(sizeof(int) * size);
        for (int i = size - 1; i >= 0; i--) {
            int d = digit(nums[i], exp);
            int j = counter[d] - 1; // 獲取 d 在陣列中的索引 j
            res[j] = nums[i];       // 將當前元素填入索引 j
            counter[d]--;           // 將 d 的數量減 1
        }
        // 使用結果覆蓋原陣列 nums
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            nums[i] = res[i];
        }
    }

    /* 基數排序 */
    void radixSort(int nums[], int size) {
        // 獲取陣列的最大元素，用於判斷最大位數
        int max = INT32_MIN;
        for (size_t i = 0; i < size - 1; i++) {
            if (nums[i] > max) {
                max = nums[i];
            }
        }
        // 按照從低位到高位的順序走訪
        for (int exp = 1; max >= exp; exp *= 10)
            // 對陣列元素的第 k 位執行計數排序
            // k = 1 -> exp = 1
            // k = 2 -> exp = 10
            // 即 exp = 10^(k-1)
            countingSortDigit(nums, size, exp);
    }

radix_sort.kt

    /* 獲取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
    fun digit(num: Int, exp: Int): Int {
        // 傳入 exp 而非 k 可以避免在此重複執行昂貴的次方計算
        return (num / exp) % 10
    }

    /* 計數排序（根據 nums 第 k 位排序） */
    fun countingSortDigit(nums: IntArray, exp: Int) {
        // 十進位制的位範圍為 0~9 ，因此需要長度為 10 的桶陣列
        val counter = IntArray(10)
        val n = nums.size
        // 統計 0~9 各數字的出現次數
        for (i in 0..<n) {
            val d = digit(nums[i], exp) // 獲取 nums[i] 第 k 位，記為 d
            counter[d]++                // 統計數字 d 的出現次數
        }
        // 求前綴和，將“出現個數”轉換為“陣列索引”
        for (i in 1..9) {
            counter[i] += counter[i - 1]
        }
        // 倒序走訪，根據桶內統計結果，將各元素填入 res
        val res = IntArray(n)
        for (i in n - 1 downTo 0) {
            val d = digit(nums[i], exp)
            val j = counter[d] - 1 // 獲取 d 在陣列中的索引 j
            res[j] = nums[i]       // 將當前元素填入索引 j
            counter[d]--           // 將 d 的數量減 1
        }
        // 使用結果覆蓋原陣列 nums
        for (i in 0..<n)
            nums[i] = res[i]
    }

    /* 基數排序 */
    fun radixSort(nums: IntArray) {
        // 獲取陣列的最大元素，用於判斷最大位數
        var m = Int.MIN_VALUE
        for (num in nums) if (num > m) m = num
        var exp = 1
        // 按照從低位到高位的順序走訪
        while (exp <= m) {
            // 對陣列元素的第 k 位執行計數排序
            // k = 1 -> exp = 1
            // k = 2 -> exp = 10
            // 即 exp = 10^(k-1)
            countingSortDigit(nums, exp)
            exp *= 10
        }
    }

radix_sort.rb

    ### 獲取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) ###
    def digit(num, exp)
      # 轉入 exp 而非 k 可以避免在此重複執行昂貴的次方計算
      (num / exp) % 10
    end

    ### 計數排序（根據 nums 第 k 位排序）###
    def counting_sort_digit(nums, exp)
      # 十進位制的位範圍為 0~9 ，因此需要長度為 10 的桶陣列
      counter = Array.new(10, 0)
      n = nums.length
      # 統計 0~9 各數字的出現次數
      for i in 0...n
        d = digit(nums[i], exp) # 獲取 nums[i] 第 k 位，記為 d
        counter[d] += 1 # 統計數字 d 的出現次數
      end
      # 求前綴和，將“出現個數”轉換為“陣列索引”
      (1...10).each { |i| counter[i] += counter[i - 1] }
      # 倒序走訪，根據桶內統計結果，將各元素填入 res
      res = Array.new(n, 0)
      for i in (n - 1).downto(0)
        d = digit(nums[i], exp)
        j = counter[d] - 1 # 獲取 d 在陣列中的索引 j
        res[j] = nums[i] # 將當前元素填入索引 j
        counter[d] -= 1 # 將 d 的數量減 1
      end
      # 使用結果覆蓋原陣列 nums
      (0...n).each { |i| nums[i] = res[i] }
    end

    ### 基數排序 ###
    def radix_sort(nums)
      # 獲取陣列的最大元素，用於判斷最大位數
      m = nums.max
      # 按照從低位到高位的順序走訪
      exp = 1
      while exp <= m
        # 對陣列元素的第 k 位執行計數排序
        # k = 1 -> exp = 1
        # k = 2 -> exp = 10
        # 即 exp = 10^(k-1)
        counting_sort_digit(nums, exp)
        exp *= 10
      end
    end

radix_sort.zig

    // 獲取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1)
    fn digit(num: i32, exp: i32) i32 {
        // 傳入 exp 而非 k 可以避免在此重複執行昂貴的次方計算
        return @mod(@divFloor(num, exp), 10);
    }

    // 計數排序（根據 nums 第 k 位排序）
    fn countingSortDigit(nums: []i32, exp: i32) !void {
        // 十進位制的位範圍為 0~9 ，因此需要長度為 10 的桶陣列
        var mem_arena = std.heap.ArenaAllocator.init(std.heap.page_allocator);
        // defer mem_arena.deinit();
        const mem_allocator = mem_arena.allocator();
        var counter = try mem_allocator.alloc(usize, 10);
        @memset(counter, 0);
        var n = nums.len;
        // 統計 0~9 各數字的出現次數
        for (nums) |num| {
            var d: u32 = @bitCast(digit(num, exp)); // 獲取 nums[i] 第 k 位，記為 d
            counter[d] += 1; // 統計數字 d 的出現次數
        }
        // 求前綴和，將“出現個數”轉換為“陣列索引”
        var i: usize = 1;
        while (i < 10) : (i += 1) {
            counter[i] += counter[i - 1];
        }
        // 倒序走訪，根據桶內統計結果，將各元素填入 res
        var res = try mem_allocator.alloc(i32, n);
        i = n - 1;
        while (i >= 0) : (i -= 1) {
            var d: u32 = @bitCast(digit(nums[i], exp));
            var j = counter[d] - 1; // 獲取 d 在陣列中的索引 j
            res[j] = nums[i];       // 將當前元素填入索引 j
            counter[d] -= 1;        // 將 d 的數量減 1
            if (i == 0) break;
        }
        // 使用結果覆蓋原陣列 nums
        i = 0;
        while (i < n) : (i += 1) {
            nums[i] = res[i];
        }
    }

    // 基數排序
    fn radixSort(nums: []i32) !void {
        // 獲取陣列的最大元素，用於判斷最大位數
        var m: i32 = std.math.minInt(i32);
        for (nums) |num| {
            if (num > m) m = num;
        }
        // 按照從低位到高位的順序走訪
        var exp: i32 = 1;
        while (exp <= m) : (exp *= 10) {
            // 對陣列元素的第 k 位執行計數排序
            // k = 1 -> exp = 1
            // k = 2 -> exp = 10
            // 即 exp = 10^(k-1)
            try countingSortDigit(nums, exp);
        }
    }

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為什麼從最低位開始排序？

在連續的排序輪次中，後一輪排序會覆蓋前一輪排序的結果。舉例來說，如果第一輪排序結果 \(a < b\) ，而第二輪排序結果 \(a > b\) ，那麼第二輪的結果將取代第一輪的結果。由於數字的高位優先順序高於低位，因此應該先排序低位再排序高位。

## 11.10.2 演算法特性

相較於計數排序，基數排序適用於數值範圍較大的情況，但前提是資料必須可以表示為固定位數的格式，且位數不能過大。例如，浮點數不適合使用基數排序，因為其位數 \(k\) 過大，可能導致時間複雜度 \(O(nk) \gg O(n^2)\) 。

- 時間複雜度為 \(O(nk)\)、非自適應排序：設資料量為 \(n\)、資料為 \(d\) 進位制、最大位數為 \(k\) ，則對某一位執行計數排序使用 \(O(n + d)\) 時間，排序所有 \(k\) 位使用 \(O((n + d)k)\) 時間。通常情況下，\(d\) 和 \(k\) 都相對較小，時間複雜度趨向 \(O(n)\) 。
- 空間複雜度為 \(O(n + d)\)、非原地排序：與計數排序相同，基數排序需要藉助長度為 \(n\) 和 \(d\) 的陣列 `res` 和 `counter` 。
- 穩定排序：當計數排序穩定時，基數排序也穩定；當計數排序不穩定時，基數排序無法保證得到正確的排序結果。

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