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# 10.3 二分查找边界

## 10.3.1 查找左边界

Question

给定一个长度为 \(n\) 的有序数组 `nums` ，其中可能包含重复元素。请返回数组中最左一个元素 `target` 的索引。若数组中不包含该元素，则返回 \(-1\) 。

回忆二分查找插入点的方法，搜索完成后 \(i\) 指向最左一个 `target` ，因此查找插入点本质上是在查找最左一个 `target` 的索引。

考虑通过查找插入点的函数实现查找左边界。请注意，数组中可能不包含 `target` ，这种情况可能导致以下两种结果。

- 插入点的索引 \(i\) 越界。
- 元素 `nums[i]` 与 `target` 不相等。

当遇到以上两种情况时，直接返回 \(-1\) 即可。代码如下所示：

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby Zig
binary_search_edge.py

    def binary_search_left_edge(nums: list[int], target: int) -> int:
        """二分查找最左一个 target"""
        # 等价于查找 target 的插入点
        i = binary_search_insertion(nums, target)
        # 未找到 target ，返回 -1
        if i == len(nums) or nums[i] != target:
            return -1
        # 找到 target ，返回索引 i
        return i

binary_search_edge.cpp

    /* 二分查找最左一个 target */
    int binarySearchLeftEdge(vector<int> &nums, int target) {
        // 等价于查找 target 的插入点
        int i = binarySearchInsertion(nums, target);
        // 未找到 target ，返回 -1
        if (i == nums.size() || nums[i] != target) {
            return -1;
        }
        // 找到 target ，返回索引 i
        return i;
    }

binary_search_edge.java

    /* 二分查找最左一个 target */
    int binarySearchLeftEdge(int[] nums, int target) {
        // 等价于查找 target 的插入点
        int i = binary_search_insertion.binarySearchInsertion(nums, target);
        // 未找到 target ，返回 -1
        if (i == nums.length || nums[i] != target) {
            return -1;
        }
        // 找到 target ，返回索引 i
        return i;
    }

binary_search_edge.cs

    /* 二分查找最左一个 target */
    int BinarySearchLeftEdge(int[] nums, int target) {
        // 等价于查找 target 的插入点
        int i = binary_search_insertion.BinarySearchInsertion(nums, target);
        // 未找到 target ，返回 -1
        if (i == nums.Length || nums[i] != target) {
            return -1;
        }
        // 找到 target ，返回索引 i
        return i;
    }

binary_search_edge.go

    /* 二分查找最左一个 target */
    func binarySearchLeftEdge(nums []int, target int) int {
        // 等价于查找 target 的插入点
        i := binarySearchInsertion(nums, target)
        // 未找到 target ，返回 -1
        if i == len(nums) || nums[i] != target {
            return -1
        }
        // 找到 target ，返回索引 i
        return i
    }

binary_search_edge.swift

    /* 二分查找最左一个 target */
    func binarySearchLeftEdge(nums: [Int], target: Int) -> Int {
        // 等价于查找 target 的插入点
        let i = binarySearchInsertion(nums: nums, target: target)
        // 未找到 target ，返回 -1
        if i == nums.endIndex || nums[i] != target {
            return -1
        }
        // 找到 target ，返回索引 i
        return i
    }

binary_search_edge.js

    /* 二分查找最左一个 target */
    function binarySearchLeftEdge(nums, target) {
        // 等价于查找 target 的插入点
        const i = binarySearchInsertion(nums, target);
        // 未找到 target ，返回 -1
        if (i === nums.length || nums[i] !== target) {
            return -1;
        }
        // 找到 target ，返回索引 i
        return i;
    }

binary_search_edge.ts

    /* 二分查找最左一个 target */
    function binarySearchLeftEdge(nums: Array<number>, target: number): number {
        // 等价于查找 target 的插入点
        const i = binarySearchInsertion(nums, target);
        // 未找到 target ，返回 -1
        if (i === nums.length || nums[i] !== target) {
            return -1;
        }
        // 找到 target ，返回索引 i
        return i;
    }

binary_search_edge.dart

    /* 二分查找最左一个 target */
    int binarySearchLeftEdge(List<int> nums, int target) {
      // 等价于查找 target 的插入点
      int i = binarySearchInsertion(nums, target);
      // 未找到 target ，返回 -1
      if (i == nums.length || nums[i] != target) {
        return -1;
      }
      // 找到 target ，返回索引 i
      return i;
    }

binary_search_edge.rs

    /* 二分查找最左一个 target */
    fn binary_search_left_edge(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
        // 等价于查找 target 的插入点
        let i = binary_search_insertion(nums, target);
        // 未找到 target ，返回 -1
        if i == nums.len() as i32 || nums[i as usize] != target {
            return -1;
        }
        // 找到 target ，返回索引 i
        i
    }

binary_search_edge.c

    /* 二分查找最左一个 target */
    int binarySearchLeftEdge(int *nums, int numSize, int target) {
        // 等价于查找 target 的插入点
        int i = binarySearchInsertion(nums, numSize, target);
        // 未找到 target ，返回 -1
        if (i == numSize || nums[i] != target) {
            return -1;
        }
        // 找到 target ，返回索引 i
        return i;
    }

binary_search_edge.kt

    /* 二分查找最左一个 target */
    fun binarySearchLeftEdge(nums: IntArray, target: Int): Int {
        // 等价于查找 target 的插入点
        val i = binarySearchInsertion(nums, target)
        // 未找到 target ，返回 -1
        if (i == nums.size || nums[i] != target) {
            return -1
        }
        // 找到 target ，返回索引 i
        return i
    }

binary_search_edge.rb

    ### 二分查找最左一个 target ###
    def binary_search_left_edge(nums, target)
      # 等价于查找 target 的插入点
      i = binary_search_insertion(nums, target)

      # 未找到 target ，返回 -1
      return -1 if i == nums.length || nums[i] != target

      i # 找到 target ，返回索引 i
    end

binary_search_edge.zig

    [class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}

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## 10.3.2 查找右边界

那么如何查找最右一个 `target` 呢？最直接的方式是修改代码，替换在 `nums[m] == target` 情况下的指针收缩操作。代码在此省略，有兴趣的读者可以自行实现。

下面我们介绍两种更加取巧的方法。

### 1. 复用查找左边界

实际上，我们可以利用查找最左元素的函数来查找最右元素，具体方法为：将查找最右一个 `target` 转化为查找最左一个 `target + 1`。

如图 10-7 所示，查找完成后，指针 \(i\) 指向最左一个 `target + 1`（如果存在），而 \(j\) 指向最右一个 `target` ，因此返回 \(j\) 即可。

图 10-7 将查找右边界转化为查找左边界

请注意，返回的插入点是 \(i\) ，因此需要将其减 \(1\) ，从而获得 \(j\) ：

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby Zig
binary_search_edge.py

    def binary_search_right_edge(nums: list[int], target: int) -> int:
        """二分查找最右一个 target"""
        # 转化为查找最左一个 target + 1
        i = binary_search_insertion(nums, target + 1)
        # j 指向最右一个 target ，i 指向首个大于 target 的元素
        j = i - 1
        # 未找到 target ，返回 -1
        if j == -1 or nums[j] != target:
            return -1
        # 找到 target ，返回索引 j
        return j

binary_search_edge.cpp

    /* 二分查找最右一个 target */
    int binarySearchRightEdge(vector<int> &nums, int target) {
        // 转化为查找最左一个 target + 1
        int i = binarySearchInsertion(nums, target + 1);
        // j 指向最右一个 target ，i 指向首个大于 target 的元素
        int j = i - 1;
        // 未找到 target ，返回 -1
        if (j == -1 || nums[j] != target) {
            return -1;
        }
        // 找到 target ，返回索引 j
        return j;
    }

binary_search_edge.java

    /* 二分查找最右一个 target */
    int binarySearchRightEdge(int[] nums, int target) {
        // 转化为查找最左一个 target + 1
        int i = binary_search_insertion.binarySearchInsertion(nums, target + 1);
        // j 指向最右一个 target ，i 指向首个大于 target 的元素
        int j = i - 1;
        // 未找到 target ，返回 -1
        if (j == -1 || nums[j] != target) {
            return -1;
        }
        // 找到 target ，返回索引 j
        return j;
    }

binary_search_edge.cs

    /* 二分查找最右一个 target */
    int BinarySearchRightEdge(int[] nums, int target) {
        // 转化为查找最左一个 target + 1
        int i = binary_search_insertion.BinarySearchInsertion(nums, target + 1);
        // j 指向最右一个 target ，i 指向首个大于 target 的元素
        int j = i - 1;
        // 未找到 target ，返回 -1
        if (j == -1 || nums[j] != target) {
            return -1;
        }
        // 找到 target ，返回索引 j
        return j;
    }

binary_search_edge.go

    /* 二分查找最右一个 target */
    func binarySearchRightEdge(nums []int, target int) int {
        // 转化为查找最左一个 target + 1
        i := binarySearchInsertion(nums, target+1)
        // j 指向最右一个 target ，i 指向首个大于 target 的元素
        j := i - 1
        // 未找到 target ，返回 -1
        if j == -1 || nums[j] != target {
            return -1
        }
        // 找到 target ，返回索引 j
        return j
    }

binary_search_edge.swift

    /* 二分查找最右一个 target */
    func binarySearchRightEdge(nums: [Int], target: Int) -> Int {
        // 转化为查找最左一个 target + 1
        let i = binarySearchInsertion(nums: nums, target: target + 1)
        // j 指向最右一个 target ，i 指向首个大于 target 的元素
        let j = i - 1
        // 未找到 target ，返回 -1
        if j == -1 || nums[j] != target {
            return -1
        }
        // 找到 target ，返回索引 j
        return j
    }

binary_search_edge.js

    /* 二分查找最右一个 target */
    function binarySearchRightEdge(nums, target) {
        // 转化为查找最左一个 target + 1
        const i = binarySearchInsertion(nums, target + 1);
        // j 指向最右一个 target ，i 指向首个大于 target 的元素
        const j = i - 1;
        // 未找到 target ，返回 -1
        if (j === -1 || nums[j] !== target) {
            return -1;
        }
        // 找到 target ，返回索引 j
        return j;
    }

binary_search_edge.ts

    /* 二分查找最右一个 target */
    function binarySearchRightEdge(nums: Array<number>, target: number): number {
        // 转化为查找最左一个 target + 1
        const i = binarySearchInsertion(nums, target + 1);
        // j 指向最右一个 target ，i 指向首个大于 target 的元素
        const j = i - 1;
        // 未找到 target ，返回 -1
        if (j === -1 || nums[j] !== target) {
            return -1;
        }
        // 找到 target ，返回索引 j
        return j;
    }

binary_search_edge.dart

    /* 二分查找最右一个 target */
    int binarySearchRightEdge(List<int> nums, int target) {
      // 转化为查找最左一个 target + 1
      int i = binarySearchInsertion(nums, target + 1);
      // j 指向最右一个 target ，i 指向首个大于 target 的元素
      int j = i - 1;
      // 未找到 target ，返回 -1
      if (j == -1 || nums[j] != target) {
        return -1;
      }
      // 找到 target ，返回索引 j
      return j;
    }

binary_search_edge.rs

    /* 二分查找最右一个 target */
    fn binary_search_right_edge(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
        // 转化为查找最左一个 target + 1
        let i = binary_search_insertion(nums, target + 1);
        // j 指向最右一个 target ，i 指向首个大于 target 的元素
        let j = i - 1;
        // 未找到 target ，返回 -1
        if j == -1 || nums[j as usize] != target {
            return -1;
        }
        // 找到 target ，返回索引 j
        j
    }

binary_search_edge.c

    /* 二分查找最右一个 target */
    int binarySearchRightEdge(int *nums, int numSize, int target) {
        // 转化为查找最左一个 target + 1
        int i = binarySearchInsertion(nums, numSize, target + 1);
        // j 指向最右一个 target ，i 指向首个大于 target 的元素
        int j = i - 1;
        // 未找到 target ，返回 -1
        if (j == -1 || nums[j] != target) {
            return -1;
        }
        // 找到 target ，返回索引 j
        return j;
    }

binary_search_edge.kt

    /* 二分查找最右一个 target */
    fun binarySearchRightEdge(nums: IntArray, target: Int): Int {
        // 转化为查找最左一个 target + 1
        val i = binarySearchInsertion(nums, target + 1)
        // j 指向最右一个 target ，i 指向首个大于 target 的元素
        val j = i - 1
        // 未找到 target ，返回 -1
        if (j == -1 || nums[j] != target) {
            return -1
        }
        // 找到 target ，返回索引 j
        return j
    }

binary_search_edge.rb

    ### 二分查找最右一个 target ###
    def binary_search_right_edge(nums, target)
      # 转化为查找最左一个 target + 1
      i = binary_search_insertion(nums, target + 1)

      # j 指向最右一个 target ，i 指向首个大于 target 的元素
      j = i - 1

      # 未找到 target ，返回 -1
      return -1 if j == -1 || nums[j] != target

      j # 找到 target ，返回索引 j
    end

binary_search_edge.zig

    [class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}

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### 2. 转化为查找元素

我们知道，当数组不包含 `target` 时，最终 \(i\) 和 \(j\) 会分别指向首个大于、小于 `target` 的元素。

因此，如图 10-8 所示，我们可以构造一个数组中不存在的元素，用于查找左右边界。

- 查找最左一个 `target` ：可以转化为查找 `target - 0.5` ，并返回指针 \(i\) 。
- 查找最右一个 `target` ：可以转化为查找 `target + 0.5` ，并返回指针 \(j\) 。

图 10-8 将查找边界转化为查找元素

代码在此省略，以下两点值得注意。

- 给定数组不包含小数，这意味着我们无须关心如何处理相等的情况。
- 因为该方法引入了小数，所以需要将函数中的变量 `target` 改为浮点数类型（Python 无须改动）。

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