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# 12.4 河內塔問題

在合併排序和構建二元樹中，我們都是將原問題分解為兩個規模為原問題一半的子問題。然而對於河內塔問題，我們採用不同的分解策略。

Question

給定三根柱子，記為 `A`、`B` 和 `C` 。起始狀態下，柱子 `A` 上套著 \(n\) 個圓盤，它們從上到下按照從小到大的順序排列。我們的任務是要把這 \(n\) 個圓盤移到柱子 `C` 上，並保持它們的原有順序不變（如圖 12-10 所示）。在移動圓盤的過程中，需要遵守以下規則。

1. 圓盤只能從一根柱子頂部拿出，從另一根柱子頂部放入。
2. 每次只能移動一個圓盤。
3. 小圓盤必須時刻位於大圓盤之上。

圖 12-10 河內塔問題示例

我們將規模為 \(i\) 的河內塔問題記作 \(f(i)\) 。例如 \(f(3)\) 代表將 \(3\) 個圓盤從 `A` 移動至 `C` 的河內塔問題。

### 1. 考慮基本情況

如圖 12-11 所示，對於問題 \(f(1)\) ，即當只有一個圓盤時，我們將它直接從 `A` 移動至 `C` 即可。

<1><2>

圖 12-11 規模為 1 的問題的解

如圖 12-12 所示，對於問題 \(f(2)\) ，即當有兩個圓盤時，由於要時刻滿足小圓盤在大圓盤之上，因此需要藉助 `B` 來完成移動。

1. 先將上面的小圓盤從 `A` 移至 `B` 。
2. 再將大圓盤從 `A` 移至 `C` 。
3. 最後將小圓盤從 `B` 移至 `C` 。

<1><2><3><4>

圖 12-12 規模為 2 的問題的解

解決問題 \(f(2)\) 的過程可總結為：將兩個圓盤藉助 `B` 從 `A` 移至 `C` 。其中，`C` 稱為目標柱、`B` 稱為緩衝柱。

### 2. 子問題分解

對於問題 \(f(3)\) ，即當有三個圓盤時，情況變得稍微複雜了一些。

因為已知 \(f(1)\) 和 \(f(2)\) 的解，所以我們可從分治角度思考，將 `A` 頂部的兩個圓盤看作一個整體，執行圖 12-13 所示的步驟。這樣三個圓盤就被順利地從 `A` 移至 `C` 了。

1. 令 `B` 為目標柱、`C` 為緩衝柱，將兩個圓盤從 `A` 移至 `B` 。
2. 將 `A` 中剩餘的一個圓盤從 `A` 直接移動至 `C` 。
3. 令 `C` 為目標柱、`A` 為緩衝柱，將兩個圓盤從 `B` 移至 `C` 。

<1><2><3><4>

圖 12-13 規模為 3 的問題的解

從本質上看，我們將問題 \(f(3)\) 劃分為兩個子問題 \(f(2)\) 和一個子問題 \(f(1)\) 。按順序解決這三個子問題之後，原問題隨之得到解決。這說明子問題是獨立的，而且解可以合併。

至此，我們可總結出圖 12-14 所示的解決河內塔問題的分治策略：將原問題 \(f(n)\) 劃分為兩個子問題 \(f(n-1)\) 和一個子問題 \(f(1)\) ，並按照以下順序解決這三個子問題。

1. 將 \(n-1\) 個圓盤藉助 `C` 從 `A` 移至 `B` 。
2. 將剩餘 \(1\) 個圓盤從 `A` 直接移至 `C` 。
3. 將 \(n-1\) 個圓盤藉助 `A` 從 `B` 移至 `C` 。

對於這兩個子問題 \(f(n-1)\) ，可以透過相同的方式進行遞迴劃分，直至達到最小子問題 \(f(1)\) 。而 \(f(1)\) 的解是已知的，只需一次移動操作即可。

圖 12-14 解決河內塔問題的分治策略

### 3. 程式碼實現

在程式碼中，我們宣告一個遞迴函式 `dfs(i, src, buf, tar)` ，它的作用是將柱 `src` 頂部的 \(i\) 個圓盤藉助緩衝柱 `buf` 移動至目標柱 `tar` ：

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby Zig
hanota.py

    def move(src: list[int], tar: list[int]):
        """移動一個圓盤"""
        # 從 src 頂部拿出一個圓盤
        pan = src.pop()
        # 將圓盤放入 tar 頂部
        tar.append(pan)

    def dfs(i: int, src: list[int], buf: list[int], tar: list[int]):
        """求解河內塔問題 f(i)"""
        # 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
        if i == 1:
            move(src, tar)
            return
        # 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, tar, buf)
        # 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
        move(src, tar)
        # 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, src, tar)

    def solve_hanota(A: list[int], B: list[int], C: list[int]):
        """求解河內塔問題"""
        n = len(A)
        # 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
        dfs(n, A, B, C)

hanota.cpp

    /* 移動一個圓盤 */
    void move(vector<int> &src, vector<int> &tar) {
        // 從 src 頂部拿出一個圓盤
        int pan = src.back();
        src.pop_back();
        // 將圓盤放入 tar 頂部
        tar.push_back(pan);
    }

    /* 求解河內塔問題 f(i) */
    void dfs(int i, vector<int> &src, vector<int> &buf, vector<int> &tar) {
        // 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
        if (i == 1) {
            move(src, tar);
            return;
        }
        // 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, tar, buf);
        // 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
        move(src, tar);
        // 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, src, tar);
    }

    /* 求解河內塔問題 */
    void solveHanota(vector<int> &A, vector<int> &B, vector<int> &C) {
        int n = A.size();
        // 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
        dfs(n, A, B, C);
    }

hanota.java

    /* 移動一個圓盤 */
    void move(List<Integer> src, List<Integer> tar) {
        // 從 src 頂部拿出一個圓盤
        Integer pan = src.remove(src.size() - 1);
        // 將圓盤放入 tar 頂部
        tar.add(pan);
    }

    /* 求解河內塔問題 f(i) */
    void dfs(int i, List<Integer> src, List<Integer> buf, List<Integer> tar) {
        // 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
        if (i == 1) {
            move(src, tar);
            return;
        }
        // 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, tar, buf);
        // 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
        move(src, tar);
        // 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, src, tar);
    }

    /* 求解河內塔問題 */
    void solveHanota(List<Integer> A, List<Integer> B, List<Integer> C) {
        int n = A.size();
        // 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
        dfs(n, A, B, C);
    }

hanota.cs

    /* 移動一個圓盤 */
    void Move(List<int> src, List<int> tar) {
        // 從 src 頂部拿出一個圓盤
        int pan = src[^1];
        src.RemoveAt(src.Count - 1);
        // 將圓盤放入 tar 頂部
        tar.Add(pan);
    }

    /* 求解河內塔問題 f(i) */
    void DFS(int i, List<int> src, List<int> buf, List<int> tar) {
        // 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
        if (i == 1) {
            Move(src, tar);
            return;
        }
        // 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
        DFS(i - 1, src, tar, buf);
        // 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
        Move(src, tar);
        // 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
        DFS(i - 1, buf, src, tar);
    }

    /* 求解河內塔問題 */
    void SolveHanota(List<int> A, List<int> B, List<int> C) {
        int n = A.Count;
        // 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
        DFS(n, A, B, C);
    }

hanota.go

    /* 移動一個圓盤 */
    func move(src, tar *list.List) {
        // 從 src 頂部拿出一個圓盤
        pan := src.Back()
        // 將圓盤放入 tar 頂部
        tar.PushBack(pan.Value)
        // 移除 src 頂部圓盤
        src.Remove(pan)
    }

    /* 求解河內塔問題 f(i) */
    func dfsHanota(i int, src, buf, tar *list.List) {
        // 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
        if i == 1 {
            move(src, tar)
            return
        }
        // 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
        dfsHanota(i-1, src, tar, buf)
        // 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
        move(src, tar)
        // 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
        dfsHanota(i-1, buf, src, tar)
    }

    /* 求解河內塔問題 */
    func solveHanota(A, B, C *list.List) {
        n := A.Len()
        // 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
        dfsHanota(n, A, B, C)
    }

hanota.swift

    /* 移動一個圓盤 */
    func move(src: inout [Int], tar: inout [Int]) {
        // 從 src 頂部拿出一個圓盤
        let pan = src.popLast()!
        // 將圓盤放入 tar 頂部
        tar.append(pan)
    }

    /* 求解河內塔問題 f(i) */
    func dfs(i: Int, src: inout [Int], buf: inout [Int], tar: inout [Int]) {
        // 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
        if i == 1 {
            move(src: &src, tar: &tar)
            return
        }
        // 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
        dfs(i: i - 1, src: &src, buf: &tar, tar: &buf)
        // 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
        move(src: &src, tar: &tar)
        // 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
        dfs(i: i - 1, src: &buf, buf: &src, tar: &tar)
    }

    /* 求解河內塔問題 */
    func solveHanota(A: inout [Int], B: inout [Int], C: inout [Int]) {
        let n = A.count
        // 串列尾部是柱子頂部
        // 將 src 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
        dfs(i: n, src: &A, buf: &B, tar: &C)
    }

hanota.js

    /* 移動一個圓盤 */
    function move(src, tar) {
        // 從 src 頂部拿出一個圓盤
        const pan = src.pop();
        // 將圓盤放入 tar 頂部
        tar.push(pan);
    }

    /* 求解河內塔問題 f(i) */
    function dfs(i, src, buf, tar) {
        // 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
        if (i === 1) {
            move(src, tar);
            return;
        }
        // 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, tar, buf);
        // 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
        move(src, tar);
        // 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, src, tar);
    }

    /* 求解河內塔問題 */
    function solveHanota(A, B, C) {
        const n = A.length;
        // 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
        dfs(n, A, B, C);
    }

hanota.ts

    /* 移動一個圓盤 */
    function move(src: number[], tar: number[]): void {
        // 從 src 頂部拿出一個圓盤
        const pan = src.pop();
        // 將圓盤放入 tar 頂部
        tar.push(pan);
    }

    /* 求解河內塔問題 f(i) */
    function dfs(i: number, src: number[], buf: number[], tar: number[]): void {
        // 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
        if (i === 1) {
            move(src, tar);
            return;
        }
        // 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, tar, buf);
        // 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
        move(src, tar);
        // 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, src, tar);
    }

    /* 求解河內塔問題 */
    function solveHanota(A: number[], B: number[], C: number[]): void {
        const n = A.length;
        // 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
        dfs(n, A, B, C);
    }

hanota.dart

    /* 移動一個圓盤 */
    void move(List<int> src, List<int> tar) {
      // 從 src 頂部拿出一個圓盤
      int pan = src.removeLast();
      // 將圓盤放入 tar 頂部
      tar.add(pan);
    }

    /* 求解河內塔問題 f(i) */
    void dfs(int i, List<int> src, List<int> buf, List<int> tar) {
      // 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
      if (i == 1) {
        move(src, tar);
        return;
      }
      // 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
      dfs(i - 1, src, tar, buf);
      // 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
      move(src, tar);
      // 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
      dfs(i - 1, buf, src, tar);
    }

    /* 求解河內塔問題 */
    void solveHanota(List<int> A, List<int> B, List<int> C) {
      int n = A.length;
      // 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
      dfs(n, A, B, C);
    }

hanota.rs

    /* 移動一個圓盤 */
    fn move_pan(src: &mut Vec<i32>, tar: &mut Vec<i32>) {
        // 從 src 頂部拿出一個圓盤
        let pan = src.pop().unwrap();
        // 將圓盤放入 tar 頂部
        tar.push(pan);
    }

    /* 求解河內塔問題 f(i) */
    fn dfs(i: i32, src: &mut Vec<i32>, buf: &mut Vec<i32>, tar: &mut Vec<i32>) {
        // 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
        if i == 1 {
            move_pan(src, tar);
            return;
        }
        // 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, tar, buf);
        // 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
        move_pan(src, tar);
        // 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, src, tar);
    }

    /* 求解河內塔問題 */
    fn solve_hanota(A: &mut Vec<i32>, B: &mut Vec<i32>, C: &mut Vec<i32>) {
        let n = A.len() as i32;
        // 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
        dfs(n, A, B, C);
    }

hanota.c

    /* 移動一個圓盤 */
    void move(int *src, int *srcSize, int *tar, int *tarSize) {
        // 從 src 頂部拿出一個圓盤
        int pan = src[*srcSize - 1];
        src[*srcSize - 1] = 0;
        (*srcSize)--;
        // 將圓盤放入 tar 頂部
        tar[*tarSize] = pan;
        (*tarSize)++;
    }

    /* 求解河內塔問題 f(i) */
    void dfs(int i, int *src, int *srcSize, int *buf, int *bufSize, int *tar, int *tarSize) {
        // 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
        if (i == 1) {
            move(src, srcSize, tar, tarSize);
            return;
        }
        // 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, srcSize, tar, tarSize, buf, bufSize);
        // 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
        move(src, srcSize, tar, tarSize);
        // 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, bufSize, src, srcSize, tar, tarSize);
    }

    /* 求解河內塔問題 */
    void solveHanota(int *A, int *ASize, int *B, int *BSize, int *C, int *CSize) {
        // 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
        dfs(*ASize, A, ASize, B, BSize, C, CSize);
    }

hanota.kt

    /* 移動一個圓盤 */
    fun move(src: MutableList<Int>, tar: MutableList<Int>) {
        // 從 src 頂部拿出一個圓盤
        val pan = src.removeAt(src.size - 1)
        // 將圓盤放入 tar 頂部
        tar.add(pan)
    }

    /* 求解河內塔問題 f(i) */
    fun dfs(i: Int, src: MutableList<Int>, buf: MutableList<Int>, tar: MutableList<Int>) {
        // 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
        if (i == 1) {
            move(src, tar)
            return
        }
        // 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, tar, buf)
        // 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
        move(src, tar)
        // 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, src, tar)
    }

    /* 求解河內塔問題 */
    fun solveHanota(A: MutableList<Int>, B: MutableList<Int>, C: MutableList<Int>) {
        val n = A.size
        // 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
        dfs(n, A, B, C)
    }

hanota.rb

    ### 移動一個圓盤 ###
    def move(src, tar)
      # 從 src 頂部拿出一個圓盤
      pan = src.pop
      # 將圓盤放入 tar 頂部
      tar << pan
    end

    ### 求解河內塔問題 f(i) ###
    def dfs(i, src, buf, tar)
      # 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
      if i == 1
        move(src, tar)
        return
      end

      # 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
      dfs(i - 1, src, tar, buf)
      # 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
      move(src, tar)
      # 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
      dfs(i - 1, buf, src, tar)
    end

    ### 求解河內塔問題 ###
    def solve_hanota(_A, _B, _C)
      n = _A.length
      # 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
      dfs(n, _A, _B, _C)
    end

hanota.zig

    [class]{}-[func]{move}

    [class]{}-[func]{dfs}

    [class]{}-[func]{solveHanota}

視覺化執行

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如圖 12-15 所示，河內塔問題形成一棵高度為 \(n\) 的遞迴樹，每個節點代表一個子問題，對應一個開啟的 `dfs()` 函式，因此時間複雜度為 \(O(2^n)\) ，空間複雜度為 \(O(n)\) 。

圖 12-15 河內塔問題的遞迴樹

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河內塔問題源自一個古老的傳說。在古印度的一個寺廟裡，僧侶們有三根高大的鑽石柱子，以及 \(64\) 個大小不一的金圓盤。僧侶們不斷地移動圓盤，他們相信在最後一個圓盤被正確放置的那一刻，這個世界就會結束。

然而，即使僧侶們每秒鐘移動一次，總共需要大約 \(2^{64} \approx 1.84×10^{19}\) 秒，合約 \(5850\) 億年，遠遠超過了現在對宇宙年齡的估計。所以，倘若這個傳說是真的，我們應該不需要擔心世界末日的到來。

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