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# 8.3 Top-K 问题

Question

给定一个长度为 \(n\) 无序数组 `nums` ，请返回数组中前 \(k\) 大的元素。

对于该问题，我们先介绍两种思路比较直接的解法，再介绍效率更高的堆解法。

## 8.3.1 方法一：遍历选择

我们可以进行图 8-6 所示的 \(k\) 轮遍历，分别在每轮中提取第 \(1\)、\(2\)、\(\dots\)、\(k\) 大的元素，时间复杂度为 \(O(nk)\) 。

此方法只适用于 \(k \ll n\) 的情况，因为当 \(k\) 与 \(n\) 比较接近时，其时间复杂度趋向于 \(O(n^2)\) ，非常耗时。

图 8-6 遍历寻找最大的 k 个元素

Tip

当 \(k = n\) 时，我们可以得到完整的有序序列，此时等价于“选择排序”算法。

## 8.3.2 方法二：排序

如图 8-7 所示，我们可以先对数组 `nums` 进行排序，再返回最右边的 \(k\) 个元素，时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。

显然，该方法“超额”完成任务了，因为我们只需要找出最大的 \(k\) 个元素即可，而不需要排序其他元素。

图 8-7 排序寻找最大的 k 个元素

## 8.3.3 方法三：堆

我们可以基于堆更加高效地解决 Top-K 问题，流程如图 8-8 所示。

1. 初始化一个小顶堆，其堆顶元素最小。
2. 先将数组的前 \(k\) 个元素依次入堆。
3. 从第 \(k + 1\) 个元素开始，若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆，并将当前元素入堆。
4. 遍历完成后，堆中保存的就是最大的 \(k\) 个元素。

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图 8-8 基于堆寻找最大的 k 个元素

总共执行了 \(n\) 轮入堆和出堆，堆的最大长度为 \(k\) ，因此时间复杂度为 \(O(n \log k)\) 。该方法的效率很高，当 \(k\) 较小时，时间复杂度趋向 \(O(n)\) ；当 \(k\) 较大时，时间复杂度不会超过 \(O(n \log n)\) 。

另外，该方法适用于动态数据流的使用场景。在不断加入数据时，我们可以持续维护堆内的元素，从而实现最大 \(k\) 个元素的动态更新。

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top_k.py

    def top_k_heap(nums: list[int], k: int) -> list[int]:
        """基于堆查找数组中最大的 k 个元素"""
        heap = []
        # 将数组的前 k 个元素入堆
        for i in range(k):
            heapq.heappush(heap, nums[i])
        # 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
        for i in range(k, len(nums)):
            # 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
            if nums[i] > heap[0]:
                heapq.heappop(heap)
                heapq.heappush(heap, nums[i])
        return heap

top_k.cpp

    /* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> topKHeap(vector<int> &nums, int k) {
        priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;
        // 将数组的前 k 个元素入堆
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            heap.push(nums[i]);
        }
        // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
        for (int i = k; i < nums.size(); i++) {
            // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
            if (nums[i] > heap.top()) {
                heap.pop();
                heap.push(nums[i]);
            }
        }
        return heap;
    }

top_k.java

    /* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
    Queue<Integer> topKHeap(int[] nums, int k) {
        Queue<Integer> heap = new PriorityQueue<Integer>();
        // 将数组的前 k 个元素入堆
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            heap.offer(nums[i]);
        }
        // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
        for (int i = k; i < nums.length; i++) {
            // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
            if (nums[i] > heap.peek()) {
                heap.poll();
                heap.offer(nums[i]);
            }
        }
        return heap;
    }

top_k.cs

    /* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
    PriorityQueue<int, int> topKHeap(int[] nums, int k) {
        PriorityQueue<int, int> heap = new PriorityQueue<int, int>();
        // 将数组的前 k 个元素入堆
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            heap.Enqueue(nums[i], nums[i]);
        }
        // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
        for (int i = k; i < nums.Length; i++) {
            // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
            if (nums[i] > heap.Peek()) {
                heap.Dequeue();
                heap.Enqueue(nums[i], nums[i]);
            }
        }
        return heap;
    }

top_k.go

    /* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
    func topKHeap(nums []int, k int) *minHeap {
        h := &minHeap{}
        heap.Init(h)
        // 将数组的前 k 个元素入堆
        for i := 0; i < k; i++ {
            heap.Push(h, nums[i])
        }
        // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
        for i := k; i < len(nums); i++ {
            // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
            if nums[i] > h.Top().(int) {
                heap.Pop(h)
                heap.Push(h, nums[i])
            }
        }
        return h
    }

top_k.swift

    /* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
    func topKHeap(nums: [Int], k: Int) -> [Int] {
        // 将数组的前 k 个元素入堆
        var heap = Array(nums.prefix(k))
        // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
        for i in stride(from: k, to: nums.count, by: 1) {
            // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
            if nums[i] > heap.first! {
                heap.removeFirst()
                heap.insert(nums[i], at: 0)
            }
        }
        return heap
    }

top_k.js

    /* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
    function topKHeap(nums, k) {
        // 使用大顶堆 MaxHeap ，对数组 nums 取相反数
        const invertedNums = nums.map((num) => -num);
        // 将数组的前 k 个元素入堆
        const heap = new MaxHeap(invertedNums.slice(0, k));
        // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
        for (let i = k; i < invertedNums.length; i++) {
            // 若当前元素小于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
            if (invertedNums[i] < heap.peek()) {
                heap.pop();
                heap.push(invertedNums[i]);
            }
        }
        // 取出堆中元素
        const maxHeap = heap.getMaxHeap();
        // 对堆中元素取相反数
        const invertedMaxHeap = maxHeap.map((num) => -num);
        return invertedMaxHeap;
    }

top_k.ts

    /* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
    function topKHeap(nums: number[], k: number): number[] {
        // 将堆中所有元素取反，从而用大顶堆来模拟小顶堆
        const invertedNums = nums.map((num) => -num);
        // 将数组的前 k 个元素入堆
        const heap = new MaxHeap(invertedNums.slice(0, k));
        // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
        for (let i = k; i < invertedNums.length; i++) {
            // 若当前元素小于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
            if (invertedNums[i] < heap.peek()) {
                heap.pop();
                heap.push(invertedNums[i]);
            }
        }
        // 取出堆中元素
        const maxHeap = heap.getMaxHeap();
        // 对堆中元素取相反数
        const invertedMaxHeap = maxHeap.map((num) => -num);
        return invertedMaxHeap;
    }

top_k.dart

    /* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
    MinHeap topKHeap(List<int> nums, int k) {
      // 将数组的前 k 个元素入堆
      MinHeap heap = MinHeap(nums.sublist(0, k));
      // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
      for (int i = k; i < nums.length; i++) {
        // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
        if (nums[i] > heap.peek()) {
          heap.pop();
          heap.push(nums[i]);
        }
      }
      return heap;
    }

top_k.rs

    /* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
    fn top_k_heap(nums: Vec<i32>, k: usize) -> BinaryHeap<Reverse<i32>> {
        // Rust 的 BinaryHeap 是大顶堆，使用 Reverse 将元素大小反转
        let mut heap = BinaryHeap::<Reverse<i32>>::new();
        // 将数组的前 k 个元素入堆
        for &num in nums.iter().take(k) {
            heap.push(Reverse(num));
        }
        // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
        for &num in nums.iter().skip(k) {
            // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
            if num > heap.peek().unwrap().0 {
                heap.pop();
                heap.push(Reverse(num));
            }
        }
        heap
    }

top_k.c

    [class]{}-[func]{topKHeap}

top_k.zig

    [class]{}-[func]{topKHeap}

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