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# 10.1 二分查找

「二分查找 binary search」是一种基于分治策略的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮减少一半搜索范围，直至找到目标元素或搜索区间为空为止。

Question

给定一个长度为 \(n\) 的数组 `nums` ，元素按从小到大的顺序排列，数组不包含重复元素。请查找并返回元素 `target` 在该数组中的索引。若数组不包含该元素，则返回 \(-1\) 。

图 10-1 二分查找示例数据

如图 10-2 所示，我们先初始化指针 \(i = 0\) 和 \(j = n - 1\) ，分别指向数组首元素和尾元素，代表搜索区间 \([0, n - 1]\) 。请注意，中括号表示闭区间，其包含边界值本身。

接下来，循环执行以下两步。

1. 计算中点索引 \(m = \lfloor {(i + j) / 2} \rfloor\) ，其中 \(\lfloor \: \rfloor\) 表示向下取整操作。
2. 判断 `nums[m]` 和 `target` 的大小关系，分为以下三种情况。
   1. 当 `nums[m] < target` 时，说明 `target` 在区间 \([m + 1, j]\) 中，因此执行 \(i = m + 1\) 。
   2. 当 `nums[m] > target` 时，说明 `target` 在区间 \([i, m - 1]\) 中，因此执行 \(j = m - 1\) 。
   3. 当 `nums[m] = target` 时，说明找到 `target` ，因此返回索引 \(m\) 。

若数组不包含目标元素，搜索区间最终会缩小为空。此时返回 \(-1\) 。

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图 10-2 二分查找流程

值得注意的是，由于 \(i\) 和 \(j\) 都是 `int` 类型，因此 \(i + j\) 可能会超出 `int` 类型的取值范围。为了避免大数越界，我们通常采用公式 \(m = \lfloor {i + (j - i) / 2} \rfloor\) 来计算中点。

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binary_search.py

    def binary_search(nums: list[int], target: int) -> int:
        """二分查找（双闭区间）"""
        # 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
        i, j = 0, len(nums) - 1
        # 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
        while i <= j:
            # 理论上 Python 的数字可以无限大（取决于内存大小），无须考虑大数越界问题
            m = (i + j) // 2  # 计算中点索引 m
            if nums[m] < target:
                i = m + 1  # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
            elif nums[m] > target:
                j = m - 1  # 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
            else:
                return m  # 找到目标元素，返回其索引
        return -1  # 未找到目标元素，返回 -1

binary_search.cpp

    /* 二分查找（双闭区间） */
    int binarySearch(vector<int> &nums, int target) {
        // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
        int i = 0, j = nums.size() - 1;
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
        while (i <= j) {
            int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
            if (nums[m] < target)    // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
                i = m + 1;
            else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
                j = m - 1;
            else // 找到目标元素，返回其索引
                return m;
        }
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1;
    }

binary_search.java

    /* 二分查找（双闭区间） */
    int binarySearch(int[] nums, int target) {
        // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
        int i = 0, j = nums.length - 1;
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
        while (i <= j) {
            int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
            if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
                i = m + 1;
            else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
                j = m - 1;
            else // 找到目标元素，返回其索引
                return m;
        }
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1;
    }

binary_search.cs

    /* 二分查找（双闭区间） */
    int binarySearch(int[] nums, int target) {
        // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
        int i = 0, j = nums.Length - 1;
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
        while (i <= j) {
            int m = i + (j - i) / 2;   // 计算中点索引 m
            if (nums[m] < target)      // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
                i = m + 1;
            else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
                j = m - 1;
            else                       // 找到目标元素，返回其索引
                return m;
        }
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1;
    }

binary_search.go

    /* 二分查找（双闭区间） */
    func binarySearch(nums []int, target int) int {
        // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
        i, j := 0, len(nums)-1
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
        for i <= j {
            m := i + (j-i)/2      // 计算中点索引 m
            if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
                i = m + 1
            } else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
                j = m - 1
            } else { // 找到目标元素，返回其索引
                return m
            }
        }
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1
    }

binary_search.swift

    /* 二分查找（双闭区间） */
    func binarySearch(nums: [Int], target: Int) -> Int {
        // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
        var i = 0
        var j = nums.count - 1
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
        while i <= j {
            let m = i + (j - i) / 2 // 计算中点索引 m
            if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
                i = m + 1
            } else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
                j = m - 1
            } else { // 找到目标元素，返回其索引
                return m
            }
        }
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1
    }

binary_search.js

    /* 二分查找（双闭区间） */
    function binarySearch(nums, target) {
        // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
        let i = 0,
            j = nums.length - 1;
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
        while (i <= j) {
            // 计算中点索引 m ，使用 parseInt() 向下取整
            const m = parseInt(i + (j - i) / 2);
            if (nums[m] < target)
                // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
                i = m + 1;
            else if (nums[m] > target)
                // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
                j = m - 1;
            else return m; // 找到目标元素，返回其索引
        }
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1;
    }

binary_search.ts

    /* 二分查找（双闭区间） */
    function binarySearch(nums: number[], target: number): number {
        // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
        let i = 0,
            j = nums.length - 1;
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
        while (i <= j) {
            // 计算中点索引 m
            const m = Math.floor(i + (j - i) / 2);
            if (nums[m] < target) {
                // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
                i = m + 1;
            } else if (nums[m] > target) {
                // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
                j = m - 1;
            } else {
                // 找到目标元素，返回其索引
                return m;
            }
        }
        return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
    }

binary_search.dart

    /* 二分查找（双闭区间） */
    int binarySearch(List<int> nums, int target) {
      // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
      int i = 0, j = nums.length - 1;
      // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
      while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) ~/ 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target) {
          // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
          i = m + 1;
        } else if (nums[m] > target) {
          // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
          j = m - 1;
        } else {
          // 找到目标元素，返回其索引
          return m;
        }
      }
      // 未找到目标元素，返回 -1
      return -1;
    }

binary_search.rs

    /* 二分查找（双闭区间） */
    fn binary_search(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
        // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
        let mut i = 0;
        let mut j = nums.len() as i32 - 1;
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
        while i <= j {
            let m = i + (j - i) / 2;      // 计算中点索引 m
            if nums[m as usize] < target {         // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
                i = m + 1;
            } else if nums[m as usize] > target {  // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
                j = m - 1;
            } else {                      // 找到目标元素，返回其索引
                return m;
            }
        }
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1;
    }

binary_search.c

    /* 二分查找（双闭区间） */
    int binarySearch(int *nums, int len, int target) {
        // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
        int i = 0, j = len - 1;
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
        while (i <= j) {
            int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
            if (nums[m] < target)    // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
                i = m + 1;
            else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
                j = m - 1;
            else // 找到目标元素，返回其索引
                return m;
        }
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1;
    }

binary_search.zig

    // 二分查找（双闭区间）
    fn binarySearch(comptime T: type, nums: std.ArrayList(T), target: T) T {
        // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
        var i: usize = 0;
        var j: usize = nums.items.len - 1;
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
        while (i <= j) {
            var m = i + (j - i) / 2;                // 计算中点索引 m
            if (nums.items[m] < target) {           // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
                i = m + 1;
            } else if (nums.items[m] > target) {    // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
                j = m - 1;
            } else {                                // 找到目标元素，返回其索引
                return @intCast(m);
            }
        }
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1;
    }

时间复杂度 \(O(\log n)\) ：在二分循环中，区间每轮缩小一半，循环次数为 \(\log_2 n\) 。

空间复杂度 \(O(1)\) ：指针 \(i\) 和 \(j\) 使用常数大小空间。

## 10.1.1 区间表示方法

除了上述的双闭区间外，常见的区间表示还有“左闭右开”区间，定义为 \([0, n)\) ，即左边界包含自身，右边界不包含自身。在该表示下，区间 \([i, j]\) 在 \(i = j\) 时为空。

我们可以基于该表示实现具有相同功能的二分查找算法。

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Zig
binary_search.py

    def binary_search_lcro(nums: list[int], target: int) -> int:
        """二分查找（左闭右开）"""
        # 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
        i, j = 0, len(nums)
        # 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
        while i < j:
            m = (i + j) // 2  # 计算中点索引 m
            if nums[m] < target:
                i = m + 1  # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
            elif nums[m] > target:
                j = m  # 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
            else:
                return m  # 找到目标元素，返回其索引
        return -1  # 未找到目标元素，返回 -1

binary_search.cpp

    /* 二分查找（左闭右开） */
    int binarySearchLCRO(vector<int> &nums, int target) {
        // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
        int i = 0, j = nums.size();
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
        while (i < j) {
            int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
            if (nums[m] < target)    // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
                i = m + 1;
            else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
                j = m;
            else // 找到目标元素，返回其索引
                return m;
        }
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1;
    }

binary_search.java

    /* 二分查找（左闭右开） */
    int binarySearchLCRO(int[] nums, int target) {
        // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
        int i = 0, j = nums.length;
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
        while (i < j) {
            int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
            if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
                i = m + 1;
            else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
                j = m;
            else // 找到目标元素，返回其索引
                return m;
        }
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1;
    }

binary_search.cs

    /* 二分查找（左闭右开） */
    int binarySearchLCRO(int[] nums, int target) {
        // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
        int i = 0, j = nums.Length;
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
        while (i < j) {
            int m = i + (j - i) / 2;   // 计算中点索引 m
            if (nums[m] < target)      // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
                i = m + 1;
            else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
                j = m;
            else                       // 找到目标元素，返回其索引
                return m;
        }
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1;
    }

binary_search.go

    /* 二分查找（左闭右开） */
    func binarySearchLCRO(nums []int, target int) int {
        // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
        i, j := 0, len(nums)
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
        for i < j {
            m := i + (j-i)/2      // 计算中点索引 m
            if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
                i = m + 1
            } else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
                j = m
            } else { // 找到目标元素，返回其索引
                return m
            }
        }
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1
    }

binary_search.swift

    /* 二分查找（左闭右开） */
    func binarySearchLCRO(nums: [Int], target: Int) -> Int {
        // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
        var i = 0
        var j = nums.count
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
        while i < j {
            let m = i + (j - i) / 2 // 计算中点索引 m
            if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
                i = m + 1
            } else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
                j = m
            } else { // 找到目标元素，返回其索引
                return m
            }
        }
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1
    }

binary_search.js

    /* 二分查找（左闭右开） */
    function binarySearchLCRO(nums, target) {
        // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
        let i = 0,
            j = nums.length;
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
        while (i < j) {
            // 计算中点索引 m ，使用 parseInt() 向下取整
            const m = parseInt(i + (j - i) / 2);
            if (nums[m] < target)
                // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
                i = m + 1;
            else if (nums[m] > target)
                // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
                j = m;
            // 找到目标元素，返回其索引
            else return m;
        }
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1;
    }

binary_search.ts

    /* 二分查找（左闭右开） */
    function binarySearchLCRO(nums: number[], target: number): number {
        // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
        let i = 0,
            j = nums.length;
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
        while (i < j) {
            // 计算中点索引 m
            const m = Math.floor(i + (j - i) / 2);
            if (nums[m] < target) {
                // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
                i = m + 1;
            } else if (nums[m] > target) {
                // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
                j = m;
            } else {
                // 找到目标元素，返回其索引
                return m;
            }
        }
        return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
    }

binary_search.dart

    /* 二分查找（左闭右开区间） */
    int binarySearchLCRO(List<int> nums, int target) {
      // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
      int i = 0, j = nums.length;
      // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
      while (i < j) {
        int m = i + (j - i) ~/ 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target) {
          // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
          i = m + 1;
        } else if (nums[m] > target) {
          // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
          j = m;
        } else {
          // 找到目标元素，返回其索引
          return m;
        }
      }
      // 未找到目标元素，返回 -1
      return -1;
    }

binary_search.rs

    /* 二分查找（左闭右开） */
    fn binary_search_lcro(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
        // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
        let mut i = 0;
        let mut j = nums.len() as i32;
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
        while i < j {
            let m = i + (j - i) / 2;      // 计算中点索引 m
            if nums[m as usize] < target {         // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
                i = m + 1;
            } else if nums[m as usize] > target {  // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
                j = m - 1;
            } else {                      // 找到目标元素，返回其索引
                return m;
            }
        }
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1;
    }

binary_search.c

    /* 二分查找（左闭右开） */
    int binarySearchLCRO(int *nums, int len, int target) {
        // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
        int i = 0, j = len;
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
        while (i < j) {
            int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
            if (nums[m] < target)    // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
                i = m + 1;
            else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
                j = m;
            else // 找到目标元素，返回其索引
                return m;
        }
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1;
    }

binary_search.zig

    // 二分查找（左闭右开）
    fn binarySearchLCRO(comptime T: type, nums: std.ArrayList(T), target: T) T {
        // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
        var i: usize = 0;
        var j: usize = nums.items.len;
        // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
        while (i <= j) {
            var m = i + (j - i) / 2;                // 计算中点索引 m
            if (nums.items[m] < target) {           // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
                i = m + 1;
            } else if (nums.items[m] > target) {    // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
                j = m;
            } else {                                // 找到目标元素，返回其索引
                return @intCast(m);
            }
        }
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1;
    }

如图 10-3 所示，在两种区间表示下，二分查找算法的初始化、循环条件和缩小区间操作皆有所不同。

由于“双闭区间”表示中的左右边界都被定义为闭区间，因此指针 \(i\) 和 \(j\) 缩小区间操作也是对称的。这样更不容易出错，因此一般建议采用“双闭区间”的写法。

图 10-3 两种区间定义

## 10.1.2 优点与局限性

二分查找在时间和空间方面都有较好的性能。

- 二分查找的时间效率高。在大数据量下，对数阶的时间复杂度具有显著优势。例如，当数据大小 \(n = 2^{20}\) 时，线性查找需要 \(2^{20} = 1048576\) 轮循环，而二分查找仅需 \(\log_2 2^{20} = 20\) 轮循环。
- 二分查找无须额外空间。相较于需要借助额外空间的搜索算法（例如哈希查找），二分查找更加节省空间。

然而，二分查找并非适用于所有情况，主要有以下原因。

- 二分查找仅适用于有序数据。若输入数据无序，为了使用二分查找而专门进行排序，得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为 \(O(n \log n)\) ，比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景，为保持数组有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 \(O(n)\) ，也是非常昂贵的。
- 二分查找仅适用于数组。二分查找需要跳跃式（非连续地）访问元素，而在链表中执行跳跃式访问的效率较低，因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构。
- 小数据量下，线性查找性能更佳。在线性查找中，每轮只需要 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，当数据量 \(n\) 较小时，线性查找反而比二分查找更快。

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