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# 12.4 &nbsp; 汉诺塔问题

在归并排序和构建二叉树中，我们都是将原问题分解为两个规模为原问题一半的子问题。然而对于汉诺塔问题，我们采用不同的分解策略。

!!! question

    给定三根柱子，记为 `A`、`B` 和 `C` 。起始状态下，柱子 `A` 上套着 $n$ 个圆盘，它们从上到下按照从小到大的顺序排列。我们的任务是要把这 $n$ 个圆盘移到柱子 `C` 上，并保持它们的原有顺序不变（如图 12-10 所示）。在移动圆盘的过程中，需要遵守以下规则。
    
    1. 圆盘只能从一根柱子顶部拿出，从另一根柱子顶部放入。
    2. 每次只能移动一个圆盘。
    3. 小圆盘必须时刻位于大圆盘之上。

![汉诺塔问题示例](hanota_problem.assets/hanota_example.png){ class="animation-figure" }

<p align="center"> 图 12-10 &nbsp; 汉诺塔问题示例 </p>

**我们将规模为 $i$ 的汉诺塔问题记作 $f(i)$** 。例如 $f(3)$ 代表将 $3$ 个圆盘从 `A` 移动至 `C` 的汉诺塔问题。

### 1. &nbsp; 考虑基本情况

如图 12-11 所示，对于问题 $f(1)$ ，即当只有一个圆盘时，我们将它直接从 `A` 移动至 `C` 即可。

=== "<1>"
    ![规模为 1 的问题的解](hanota_problem.assets/hanota_f1_step1.png){ class="animation-figure" }

=== "<2>"
    ![hanota_f1_step2](hanota_problem.assets/hanota_f1_step2.png){ class="animation-figure" }

<p align="center"> 图 12-11 &nbsp; 规模为 1 的问题的解 </p>

如图 12-12 所示，对于问题 $f(2)$ ，即当有两个圆盘时，**由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上，因此需要借助 `B` 来完成移动**。

1. 先将上面的小圆盘从 `A` 移至 `B` 。
2. 再将大圆盘从 `A` 移至 `C` 。
3. 最后将小圆盘从 `B` 移至 `C` 。

=== "<1>"
    ![规模为 2 的问题的解](hanota_problem.assets/hanota_f2_step1.png){ class="animation-figure" }

=== "<2>"
    ![hanota_f2_step2](hanota_problem.assets/hanota_f2_step2.png){ class="animation-figure" }

=== "<3>"
    ![hanota_f2_step3](hanota_problem.assets/hanota_f2_step3.png){ class="animation-figure" }

=== "<4>"
    ![hanota_f2_step4](hanota_problem.assets/hanota_f2_step4.png){ class="animation-figure" }

<p align="center"> 图 12-12 &nbsp; 规模为 2 的问题的解 </p>

解决问题 $f(2)$ 的过程可总结为：**将两个圆盘借助 `B` 从 `A` 移至 `C`** 。其中，`C` 称为目标柱、`B` 称为缓冲柱。

### 2. &nbsp; 子问题分解

对于问题 $f(3)$ ，即当有三个圆盘时，情况变得稍微复杂了一些。

因为已知 $f(1)$ 和 $f(2)$ 的解，所以我们可从分治角度思考，**将 `A` 顶部的两个圆盘看作一个整体**，执行图 12-13 所示的步骤。这样三个圆盘就被顺利地从 `A` 移至 `C` 了。

1. 令 `B` 为目标柱、`C` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `A` 移至 `B` 。
2. 将 `A` 中剩余的一个圆盘从 `A` 直接移动至 `C` 。
3. 令 `C` 为目标柱、`A` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `B` 移至 `C` 。

=== "<1>"
    ![规模为 3 的问题的解](hanota_problem.assets/hanota_f3_step1.png){ class="animation-figure" }

=== "<2>"
    ![hanota_f3_step2](hanota_problem.assets/hanota_f3_step2.png){ class="animation-figure" }

=== "<3>"
    ![hanota_f3_step3](hanota_problem.assets/hanota_f3_step3.png){ class="animation-figure" }

=== "<4>"
    ![hanota_f3_step4](hanota_problem.assets/hanota_f3_step4.png){ class="animation-figure" }

<p align="center"> 图 12-13 &nbsp; 规模为 3 的问题的解 </p>

从本质上看，**我们将问题 $f(3)$ 划分为两个子问题 $f(2)$ 和一个子问题 $f(1)$** 。按顺序解决这三个子问题之后，原问题随之得到解决。这说明子问题是独立的，而且解可以合并。

至此，我们可总结出图 12-14 所示的解决汉诺塔问题的分治策略：将原问题 $f(n)$ 划分为两个子问题 $f(n-1)$ 和一个子问题 $f(1)$ ，并按照以下顺序解决这三个子问题。

1. 将 $n-1$ 个圆盘借助 `C` 从 `A` 移至 `B` 。
2. 将剩余 $1$ 个圆盘从 `A` 直接移至 `C` 。
3. 将 $n-1$ 个圆盘借助 `A` 从 `B` 移至 `C` 。

对于这两个子问题 $f(n-1)$ ，**可以通过相同的方式进行递归划分**，直至达到最小子问题 $f(1)$ 。而 $f(1)$ 的解是已知的，只需一次移动操作即可。

![解决汉诺塔问题的分治策略](hanota_problem.assets/hanota_divide_and_conquer.png){ class="animation-figure" }

<p align="center"> 图 12-14 &nbsp; 解决汉诺塔问题的分治策略 </p>

### 3. &nbsp; 代码实现

在代码中，我们声明一个递归函数 `dfs(i, src, buf, tar)` ，它的作用是将柱 `src` 顶部的 $i$ 个圆盘借助缓冲柱 `buf` 移动至目标柱 `tar` ：

=== "Python"

    ```python title="hanota.py"
    def move(src: list[int], tar: list[int]):
        """移动一个圆盘"""
        # 从 src 顶部拿出一个圆盘
        pan = src.pop()
        # 将圆盘放入 tar 顶部
        tar.append(pan)

    def dfs(i: int, src: list[int], buf: list[int], tar: list[int]):
        """求解汉诺塔问题 f(i)"""
        # 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
        if i == 1:
            move(src, tar)
            return
        # 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, tar, buf)
        # 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
        move(src, tar)
        # 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, src, tar)

    def solve_hanota(A: list[int], B: list[int], C: list[int]):
        """求解汉诺塔问题"""
        n = len(A)
        # 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
        dfs(n, A, B, C)
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="hanota.cpp"
    /* 移动一个圆盘 */
    void move(vector<int> &src, vector<int> &tar) {
        // 从 src 顶部拿出一个圆盘
        int pan = src.back();
        src.pop_back();
        // 将圆盘放入 tar 顶部
        tar.push_back(pan);
    }

    /* 求解汉诺塔问题 f(i) */
    void dfs(int i, vector<int> &src, vector<int> &buf, vector<int> &tar) {
        // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
        if (i == 1) {
            move(src, tar);
            return;
        }
        // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, tar, buf);
        // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
        move(src, tar);
        // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, src, tar);
    }

    /* 求解汉诺塔问题 */
    void solveHanota(vector<int> &A, vector<int> &B, vector<int> &C) {
        int n = A.size();
        // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
        dfs(n, A, B, C);
    }
    ```

=== "Java"

    ```java title="hanota.java"
    /* 移动一个圆盘 */
    void move(List<Integer> src, List<Integer> tar) {
        // 从 src 顶部拿出一个圆盘
        Integer pan = src.remove(src.size() - 1);
        // 将圆盘放入 tar 顶部
        tar.add(pan);
    }

    /* 求解汉诺塔问题 f(i) */
    void dfs(int i, List<Integer> src, List<Integer> buf, List<Integer> tar) {
        // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
        if (i == 1) {
            move(src, tar);
            return;
        }
        // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, tar, buf);
        // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
        move(src, tar);
        // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, src, tar);
    }

    /* 求解汉诺塔问题 */
    void solveHanota(List<Integer> A, List<Integer> B, List<Integer> C) {
        int n = A.size();
        // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
        dfs(n, A, B, C);
    }
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="hanota.cs"
    /* 移动一个圆盘 */
    void Move(List<int> src, List<int> tar) {
        // 从 src 顶部拿出一个圆盘
        int pan = src[^1];
        src.RemoveAt(src.Count - 1);
        // 将圆盘放入 tar 顶部
        tar.Add(pan);
    }

    /* 求解汉诺塔问题 f(i) */
    void DFS(int i, List<int> src, List<int> buf, List<int> tar) {
        // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
        if (i == 1) {
            Move(src, tar);
            return;
        }
        // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
        DFS(i - 1, src, tar, buf);
        // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
        Move(src, tar);
        // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
        DFS(i - 1, buf, src, tar);
    }

    /* 求解汉诺塔问题 */
    void SolveHanota(List<int> A, List<int> B, List<int> C) {
        int n = A.Count;
        // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
        DFS(n, A, B, C);
    }
    ```

=== "Go"

    ```go title="hanota.go"
    /* 移动一个圆盘 */
    func move(src, tar *list.List) {
        // 从 src 顶部拿出一个圆盘
        pan := src.Back()
        // 将圆盘放入 tar 顶部
        tar.PushBack(pan.Value)
        // 移除 src 顶部圆盘
        src.Remove(pan)
    }

    /* 求解汉诺塔问题 f(i) */
    func dfsHanota(i int, src, buf, tar *list.List) {
        // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
        if i == 1 {
            move(src, tar)
            return
        }
        // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
        dfsHanota(i-1, src, tar, buf)
        // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
        move(src, tar)
        // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
        dfsHanota(i-1, buf, src, tar)
    }

    /* 求解汉诺塔问题 */
    func solveHanota(A, B, C *list.List) {
        n := A.Len()
        // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
        dfsHanota(n, A, B, C)
    }
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="hanota.swift"
    /* 移动一个圆盘 */
    func move(src: inout [Int], tar: inout [Int]) {
        // 从 src 顶部拿出一个圆盘
        let pan = src.popLast()!
        // 将圆盘放入 tar 顶部
        tar.append(pan)
    }

    /* 求解汉诺塔问题 f(i) */
    func dfs(i: Int, src: inout [Int], buf: inout [Int], tar: inout [Int]) {
        // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
        if i == 1 {
            move(src: &src, tar: &tar)
            return
        }
        // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
        dfs(i: i - 1, src: &src, buf: &tar, tar: &buf)
        // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
        move(src: &src, tar: &tar)
        // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
        dfs(i: i - 1, src: &buf, buf: &src, tar: &tar)
    }

    /* 求解汉诺塔问题 */
    func solveHanota(A: inout [Int], B: inout [Int], C: inout [Int]) {
        let n = A.count
        // 列表尾部是柱子顶部
        // 将 src 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
        dfs(i: n, src: &A, buf: &B, tar: &C)
    }
    ```

=== "JS"

    ```javascript title="hanota.js"
    /* 移动一个圆盘 */
    function move(src, tar) {
        // 从 src 顶部拿出一个圆盘
        const pan = src.pop();
        // 将圆盘放入 tar 顶部
        tar.push(pan);
    }

    /* 求解汉诺塔问题 f(i) */
    function dfs(i, src, buf, tar) {
        // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
        if (i === 1) {
            move(src, tar);
            return;
        }
        // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, tar, buf);
        // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
        move(src, tar);
        // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, src, tar);
    }

    /* 求解汉诺塔问题 */
    function solveHanota(A, B, C) {
        const n = A.length;
        // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
        dfs(n, A, B, C);
    }
    ```

=== "TS"

    ```typescript title="hanota.ts"
    /* 移动一个圆盘 */
    function move(src: number[], tar: number[]): void {
        // 从 src 顶部拿出一个圆盘
        const pan = src.pop();
        // 将圆盘放入 tar 顶部
        tar.push(pan);
    }

    /* 求解汉诺塔问题 f(i) */
    function dfs(i: number, src: number[], buf: number[], tar: number[]): void {
        // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
        if (i === 1) {
            move(src, tar);
            return;
        }
        // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, tar, buf);
        // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
        move(src, tar);
        // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, src, tar);
    }

    /* 求解汉诺塔问题 */
    function solveHanota(A: number[], B: number[], C: number[]): void {
        const n = A.length;
        // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
        dfs(n, A, B, C);
    }
    ```

=== "Dart"

    ```dart title="hanota.dart"
    /* 移动一个圆盘 */
    void move(List<int> src, List<int> tar) {
      // 从 src 顶部拿出一个圆盘
      int pan = src.removeLast();
      // 将圆盘放入 tar 顶部
      tar.add(pan);
    }

    /* 求解汉诺塔问题 f(i) */
    void dfs(int i, List<int> src, List<int> buf, List<int> tar) {
      // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
      if (i == 1) {
        move(src, tar);
        return;
      }
      // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
      dfs(i - 1, src, tar, buf);
      // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
      move(src, tar);
      // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
      dfs(i - 1, buf, src, tar);
    }

    /* 求解汉诺塔问题 */
    void solveHanota(List<int> A, List<int> B, List<int> C) {
      int n = A.length;
      // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
      dfs(n, A, B, C);
    }
    ```

=== "Rust"

    ```rust title="hanota.rs"
    /* 移动一个圆盘 */
    fn move_pan(src: &mut Vec<i32>, tar: &mut Vec<i32>) {
        // 从 src 顶部拿出一个圆盘
        let pan = src.pop().unwrap();
        // 将圆盘放入 tar 顶部
        tar.push(pan);
    }

    /* 求解汉诺塔问题 f(i) */
    fn dfs(i: i32, src: &mut Vec<i32>, buf: &mut Vec<i32>, tar: &mut Vec<i32>) {
        // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
        if i == 1 {
            move_pan(src, tar);
            return;
        }
        // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, tar, buf);
        // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
        move_pan(src, tar);
        // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, src, tar);
    }

    /* 求解汉诺塔问题 */
    fn solve_hanota(A: &mut Vec<i32>, B: &mut Vec<i32>, C: &mut Vec<i32>) {
        let n = A.len() as i32;
        // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
        dfs(n, A, B, C);
    }
    ```

=== "C"

    ```c title="hanota.c"
    /* 移动一个圆盘 */
    void move(int *src, int *srcSize, int *tar, int *tarSize) {
        // 从 src 顶部拿出一个圆盘
        int pan = src[*srcSize - 1];
        src[*srcSize - 1] = 0;
        (*srcSize)--;
        // 将圆盘放入 tar 顶部
        tar[*tarSize] = pan;
        (*tarSize)++;
    }

    /* 求解汉诺塔问题 f(i) */
    void dfs(int i, int *src, int *srcSize, int *buf, int *bufSize, int *tar, int *tarSize) {
        // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
        if (i == 1) {
            move(src, srcSize, tar, tarSize);
            return;
        }
        // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, srcSize, tar, tarSize, buf, bufSize);
        // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
        move(src, srcSize, tar, tarSize);
        // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, bufSize, src, srcSize, tar, tarSize);
    }

    /* 求解汉诺塔问题 */
    void solveHanota(int *A, int *ASize, int *B, int *BSize, int *C, int *CSize) {
        // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
        dfs(*ASize, A, ASize, B, BSize, C, CSize);
    }
    ```

=== "Kotlin"

    ```kotlin title="hanota.kt"
    /* 移动一个圆盘 */
    fun move(src: MutableList<Int>, tar: MutableList<Int>) {
        // 从 src 顶部拿出一个圆盘
        val pan = src.removeAt(src.size - 1)
        // 将圆盘放入 tar 顶部
        tar.add(pan)
    }

    /* 求解汉诺塔问题 f(i) */
    fun dfs(i: Int, src: MutableList<Int>, buf: MutableList<Int>, tar: MutableList<Int>) {
        // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
        if (i == 1) {
            move(src, tar)
            return
        }
        // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, tar, buf)
        // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
        move(src, tar)
        // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, src, tar)
    }

    /* 求解汉诺塔问题 */
    fun solveHanota(A: MutableList<Int>, B: MutableList<Int>, C: MutableList<Int>) {
        val n = A.size
        // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
        dfs(n, A, B, C)
    }
    ```

=== "Ruby"

    ```ruby title="hanota.rb"
    ### 移动一个圆盘 ###
    def move(src, tar)
      # 从 src 顶部拿出一个圆盘
      pan = src.pop
      # 将圆盘放入 tar 顶部
      tar << pan
    end

    ### 求解汉诺塔问题 f(i) ###
    def dfs(i, src, buf, tar)
      # 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
      if i == 1
        move(src, tar)
        return
      end

      # 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
      dfs(i - 1, src, tar, buf)
      # 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
      move(src, tar)
      # 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
      dfs(i - 1, buf, src, tar)
    end

    ### 求解汉诺塔问题 ###
    def solve_hanota(_A, _B, _C)
      n = _A.length
      # 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
      dfs(n, _A, _B, _C)
    end
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="hanota.zig"
    [class]{}-[func]{move}

    [class]{}-[func]{dfs}

    [class]{}-[func]{solveHanota}
    ```

??? pythontutor "可视化运行"

    <div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20move%28src%3A%20list%5Bint%5D,%20tar%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%A7%BB%E5%8A%A8%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%9C%86%E7%9B%98%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BB%8E%20src%20%E9%A1%B6%E9%83%A8%E6%8B%BF%E5%87%BA%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%9C%86%E7%9B%98%0A%20%20%20%20pan%20%3D%20src.pop%28%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%B0%86%E5%9C%86%E7%9B%98%E6%94%BE%E5%85%A5%20tar%20%E9%A1%B6%E9%83%A8%0A%20%20%20%20tar.append%28pan%29%0A%0A%0Adef%20dfs%28i%3A%20int,%20src%3A%20list%5Bint%5D,%20buf%3A%20list%5Bint%5D,%20tar%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%B1%82%E8%A7%A3%E6%B1%89%E8%AF%BA%E5%A1%94%E9%97%AE%E9%A2%98%20f%28i%29%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%20src%20%E5%8F%AA%E5%89%A9%E4%B8%8B%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%9C%86%E7%9B%98%EF%BC%8C%E5%88%99%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E5%B0%86%E5%85%B6%E7%A7%BB%E5%88%B0%20tar%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20move%28src,%20tar%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%20f%28i-1%29%20%EF%BC%9A%E5%B0%86%20src%20%E9%A1%B6%E9%83%A8%20i-1%20%E4%B8%AA%E5%9C%86%E7%9B%98%E5%80%9F%E5%8A%A9%20tar%20%E7%A7%BB%E5%88%B0%20buf%0A%20%20%20%20dfs%28i%20-%201,%20src,%20tar,%20buf%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%20f%281%29%20%EF%BC%9A%E5%B0%86%20src%20%E5%89%A9%E4%BD%99%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%9C%86%E7%9B%98%E7%A7%BB%E5%88%B0%20tar%0A%20%20%20%20move%28src,%20tar%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%20f%28i-1%29%20%EF%BC%9A%E5%B0%86%20buf%20%E9%A1%B6%E9%83%A8%20i-1%20%E4%B8%AA%E5%9C%86%E7%9B%98%E5%80%9F%E5%8A%A9%20src%20%E7%A7%BB%E5%88%B0%20tar%0A%20%20%20%20dfs%28i%20-%201,%20buf,%20src,%20tar%29%0A%0A%0Adef%20solve_hanota%28A%3A%20list%5Bint%5D,%20B%3A%20list%5Bint%5D,%20C%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%B1%82%E8%A7%A3%E6%B1%89%E8%AF%BA%E5%A1%94%E9%97%AE%E9%A2%98%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28A%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%B0%86%20A%20%E9%A1%B6%E9%83%A8%20n%20%E4%B8%AA%E5%9C%86%E7%9B%98%E5%80%9F%E5%8A%A9%20B%20%E7%A7%BB%E5%88%B0%20C%0A%20%20%20%20dfs%28n,%20A,%20B,%20C%29%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%97%E8%A1%A8%E5%B0%BE%E9%83%A8%E6%98%AF%E6%9F%B1%E5%AD%90%E9%A1%B6%E9%83%A8%0A%20%20%20%20A%20%3D%20%5B5,%204,%203,%202,%201%5D%0A%20%20%20%20B%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20C%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%88%9D%E5%A7%8B%E7%8A%B6%E6%80%81%E4%B8%8B%EF%BC%9A%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22A%20%3D%20%7BA%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22B%20%3D%20%7BB%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22C%20%3D%20%7BC%7D%22%29%0A%0A%20%20%20%20solve_hanota%28A,%20B,%20C%29%0A%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%9C%86%E7%9B%98%E7%A7%BB%E5%8A%A8%E5%AE%8C%E6%88%90%E5%90%8E%EF%BC%9A%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22A%20%3D%20%7BA%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22B%20%3D%20%7BB%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22C%20%3D%20%7BC%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=12&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
    <div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20move%28src%3A%20list%5Bint%5D,%20tar%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%A7%BB%E5%8A%A8%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%9C%86%E7%9B%98%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BB%8E%20src%20%E9%A1%B6%E9%83%A8%E6%8B%BF%E5%87%BA%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%9C%86%E7%9B%98%0A%20%20%20%20pan%20%3D%20src.pop%28%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%B0%86%E5%9C%86%E7%9B%98%E6%94%BE%E5%85%A5%20tar%20%E9%A1%B6%E9%83%A8%0A%20%20%20%20tar.append%28pan%29%0A%0A%0Adef%20dfs%28i%3A%20int,%20src%3A%20list%5Bint%5D,%20buf%3A%20list%5Bint%5D,%20tar%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%B1%82%E8%A7%A3%E6%B1%89%E8%AF%BA%E5%A1%94%E9%97%AE%E9%A2%98%20f%28i%29%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%20src%20%E5%8F%AA%E5%89%A9%E4%B8%8B%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%9C%86%E7%9B%98%EF%BC%8C%E5%88%99%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E5%B0%86%E5%85%B6%E7%A7%BB%E5%88%B0%20tar%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20move%28src,%20tar%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%20f%28i-1%29%20%EF%BC%9A%E5%B0%86%20src%20%E9%A1%B6%E9%83%A8%20i-1%20%E4%B8%AA%E5%9C%86%E7%9B%98%E5%80%9F%E5%8A%A9%20tar%20%E7%A7%BB%E5%88%B0%20buf%0A%20%20%20%20dfs%28i%20-%201,%20src,%20tar,%20buf%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%20f%281%29%20%EF%BC%9A%E5%B0%86%20src%20%E5%89%A9%E4%BD%99%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%9C%86%E7%9B%98%E7%A7%BB%E5%88%B0%20tar%0A%20%20%20%20move%28src,%20tar%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%20f%28i-1%29%20%EF%BC%9A%E5%B0%86%20buf%20%E9%A1%B6%E9%83%A8%20i-1%20%E4%B8%AA%E5%9C%86%E7%9B%98%E5%80%9F%E5%8A%A9%20src%20%E7%A7%BB%E5%88%B0%20tar%0A%20%20%20%20dfs%28i%20-%201,%20buf,%20src,%20tar%29%0A%0A%0Adef%20solve_hanota%28A%3A%20list%5Bint%5D,%20B%3A%20list%5Bint%5D,%20C%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%B1%82%E8%A7%A3%E6%B1%89%E8%AF%BA%E5%A1%94%E9%97%AE%E9%A2%98%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28A%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%B0%86%20A%20%E9%A1%B6%E9%83%A8%20n%20%E4%B8%AA%E5%9C%86%E7%9B%98%E5%80%9F%E5%8A%A9%20B%20%E7%A7%BB%E5%88%B0%20C%0A%20%20%20%20dfs%28n,%20A,%20B,%20C%29%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%97%E8%A1%A8%E5%B0%BE%E9%83%A8%E6%98%AF%E6%9F%B1%E5%AD%90%E9%A1%B6%E9%83%A8%0A%20%20%20%20A%20%3D%20%5B5,%204,%203,%202,%201%5D%0A%20%20%20%20B%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20C%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%88%9D%E5%A7%8B%E7%8A%B6%E6%80%81%E4%B8%8B%EF%BC%9A%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22A%20%3D%20%7BA%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22B%20%3D%20%7BB%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22C%20%3D%20%7BC%7D%22%29%0A%0A%20%20%20%20solve_hanota%28A,%20B,%20C%29%0A%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%9C%86%E7%9B%98%E7%A7%BB%E5%8A%A8%E5%AE%8C%E6%88%90%E5%90%8E%EF%BC%9A%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22A%20%3D%20%7BA%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22B%20%3D%20%7BB%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22C%20%3D%20%7BC%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=12&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 ></a></div>

如图 12-15 所示，汉诺塔问题形成一棵高度为 $n$ 的递归树，每个节点代表一个子问题，对应一个开启的 `dfs()` 函数，**因此时间复杂度为 $O(2^n)$ ，空间复杂度为 $O(n)$** 。

![汉诺塔问题的递归树](hanota_problem.assets/hanota_recursive_tree.png){ class="animation-figure" }

<p align="center"> 图 12-15 &nbsp; 汉诺塔问题的递归树 </p>

!!! quote

    汉诺塔问题源自一个古老的传说。在古印度的一个寺庙里，僧侣们有三根高大的钻石柱子，以及 $64$ 个大小不一的金圆盘。僧侣们不断地移动圆盘，他们相信在最后一个圆盘被正确放置的那一刻，这个世界就会结束。

    然而，即使僧侣们每秒钟移动一次，总共需要大约 $2^{64} \approx 1.84×10^{19}$ 秒，合约 $5850$ 亿年，远远超过了现在对宇宙年龄的估计。所以，倘若这个传说是真的，我们应该不需要担心世界末日的到来。
