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# 11.8. 基数排序

上一节我们介绍了计数排序，它适用于数据量 \(n\) 较大但数据范围 \(m\) 较小的情况。假设我们需要对 \(n = 10^6\) 个学号进行排序，而学号是一个 \(8\) 位数字，这意味着数据范围 \(m = 10^8\) 非常大，使用计数排序需要分配大量内存空间，而基数排序可以避免这种情况。

「基数排序 Radix Sort」的核心思想与计数排序一致，也通过统计个数来实现排序。在此基础上，基数排序利用数字各位之间的递进关系，依次对每一位进行排序，从而得到最终的排序结果。

## 11.8.1. 算法流程

以学号数据为例，假设数字的最低位是第 \(1\) 位，最高位是第 \(8\) 位，基数排序的步骤如下：

1. 初始化位数 \(k = 1\) ；
2. 对学号的第 \(k\) 位执行「计数排序」。完成后，数据会根据第 \(k\) 位从小到大排序；
3. 将 \(k\) 增加 \(1\) ，然后返回步骤 `2.` 继续迭代，直到所有位都排序完成后结束；

Fig. 基数排序算法流程

下面来剖析代码实现。对于一个 \(d\) 进制的数字 \(x\) ，要获取其第 \(k\) 位 \(x_k\) ，可以使用以下计算公式：

\[ x_k = \lfloor\frac{x}{d^{k-1}}\rfloor \mod d \]

其中 \(\lfloor a \rfloor\) 表示对浮点数 \(a\) 向下取整，而 \(\mod d\) 表示对 \(d\) 取余。对于学号数据，\(d = 10\) 且 \(k \in [1, 8]\) 。

此外，我们需要小幅改动计数排序代码，使之可以根据数字的第 \(k\) 位进行排序。

Java C++Python Go JavaScript TypeScript C C#Swift Zig
radix_sort.java

    /* 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
    int digit(int num, int exp) {
        // 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
        return (num / exp) % 10;
    }

    /* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
    void countingSortDigit(int[] nums, int exp) {
        // 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
        int[] counter = new int[10];
        int n = nums.length;
        // 统计 0~9 各数字的出现次数
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int d = digit(nums[i], exp); // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
            counter[d]++;                // 统计数字 d 的出现次数
        }
        // 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
        for (int i = 1; i < 10; i++) {
            counter[i] += counter[i - 1];
        }
        // 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
        int[] res = new int[n];
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            int d = digit(nums[i], exp);
            int j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
            res[j] = nums[i];       // 将当前元素填入索引 j
            counter[d]--;           // 将 d 的数量减 1
        }
        // 使用结果覆盖原数组 nums
        for (int i = 0; i < n; i++)
            nums[i] = res[i];
    }

    /* 基数排序 */
    void radixSort(int[] nums) {
        // 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
        int m = Integer.MIN_VALUE;
        for (int num : nums)
            if (num > m)
                m = num;
        // 按照从低位到高位的顺序遍历
        for (int exp = 1; exp <= m; exp *= 10)
            // 对数组元素的第 k 位执行计数排序
            // k = 1 -> exp = 1
            // k = 2 -> exp = 10
            // 即 exp = 10^(k-1)
            countingSortDigit(nums, exp);
    }

radix_sort.cpp

    /* 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
    int digit(int num, int exp) {
        // 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
        return (num / exp) % 10;
    }

    /* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
    void countingSortDigit(vector<int> &nums, int exp) {
        // 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
        vector<int> counter(10, 0);
        int n = nums.size();
        // 统计 0~9 各数字的出现次数
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int d = digit(nums[i], exp); // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
            counter[d]++;                // 统计数字 d 的出现次数
        }
        // 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
        for (int i = 1; i < 10; i++) {
            counter[i] += counter[i - 1];
        }
        // 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
        vector<int> res(n, 0);
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            int d = digit(nums[i], exp);
            int j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
            res[j] = nums[i];       // 将当前元素填入索引 j
            counter[d]--;           // 将 d 的数量减 1
        }
        // 使用结果覆盖原数组 nums
        for (int i = 0; i < n; i++)
            nums[i] = res[i];
    }

    /* 基数排序 */
    void radixSort(vector<int> &nums) {
        // 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
        int m = *max_element(nums.begin(), nums.end());
        // 按照从低位到高位的顺序遍历
        for (int exp = 1; exp <= m; exp *= 10)
            // 对数组元素的第 k 位执行计数排序
            // k = 1 -> exp = 1
            // k = 2 -> exp = 10
            // 即 exp = 10^(k-1)
            countingSortDigit(nums, exp);
    }

radix_sort.py

    def digit(num: int, exp: int) -> int:
        """获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1)"""
        # 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
        return (num // exp) % 10

    def counting_sort_digit(nums: list[int], exp: int) -> None:
        """计数排序（根据 nums 第 k 位排序）"""
        # 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
        counter = [0] * 10
        n = len(nums)
        # 统计 0~9 各数字的出现次数
        for i in range(n):
            d = digit(nums[i], exp)  # 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
            counter[d] += 1  # 统计数字 d 的出现次数
        # 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
        for i in range(1, 10):
            counter[i] += counter[i - 1]
        # 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
        res = [0] * n
        for i in range(n - 1, -1, -1):
            d = digit(nums[i], exp)
            j = counter[d] - 1  # 获取 d 在数组中的索引 j
            res[j] = nums[i]  # 将当前元素填入索引 j
            counter[d] -= 1  # 将 d 的数量减 1
        # 使用结果覆盖原数组 nums
        for i in range(n):
            nums[i] = res[i]

    def radix_sort(nums: list[int]) -> None:
        """基数排序"""
        # 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
        m = max(nums)
        # 按照从低位到高位的顺序遍历
        exp = 1
        while exp <= m:
            # 对数组元素的第 k 位执行计数排序
            # k = 1 -> exp = 1
            # k = 2 -> exp = 10
            # 即 exp = 10^(k-1)
            counting_sort_digit(nums, exp)
            exp *= 10

radix_sort.go

    /* 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
    func digit(num, exp int) int {
        // 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
        return (num / exp) % 10
    }

    /* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
    func countingSortDigit(nums []int, exp int) {
        // 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
        counter := make([]int, 10)
        n := len(nums)
        // 统计 0~9 各数字的出现次数
        for i := 0; i < n; i++ {
            d := digit(nums[i], exp) // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
            counter[d]++             // 统计数字 d 的出现次数
        }
        // 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
        for i := 1; i < 10; i++ {
            counter[i] += counter[i-1]
        }
        // 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
        res := make([]int, n)
        for i := n - 1; i >= 0; i-- {
            d := digit(nums[i], exp)
            j := counter[d] - 1 // 获取 d 在数组中的索引 j
            res[j] = nums[i]    // 将当前元素填入索引 j
            counter[d]--        // 将 d 的数量减 1
        }
        // 使用结果覆盖原数组 nums
        for i := 0; i < n; i++ {
            nums[i] = res[i]
        }
    }

    /* 基数排序 */
    func radixSort(nums []int) {
        // 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
        max := math.MinInt
        for _, num := range nums {
            if num > max {
                max = num
            }
        }
        // 按照从低位到高位的顺序遍历
        for exp := 1; max >= exp; exp *= 10 {
            // 对数组元素的第 k 位执行计数排序
            // k = 1 -> exp = 1
            // k = 2 -> exp = 10
            // 即 exp = 10^(k-1)
            countingSortDigit(nums, exp)
        }
    }

radix_sort.js

    /* 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
    function digit(num, exp) {
        // 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
        return Math.floor(num / exp) % 10;
    }

    /* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
    function countingSortDigit(nums, exp) {
        // 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
        const counter = new Array(10).fill(0);
        const n = nums.length;
        // 统计 0~9 各数字的出现次数
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            const d = digit(nums[i], exp); // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
            counter[d]++; // 统计数字 d 的出现次数
        }
        // 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
        for (let i = 1; i < 10; i++) {
            counter[i] += counter[i - 1];
        }
        // 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
        const res = new Array(n).fill(0);
        for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {
            const d = digit(nums[i], exp);
            const j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
            res[j] = nums[i]; // 将当前元素填入索引 j
            counter[d]--; // 将 d 的数量减 1
        }
        // 使用结果覆盖原数组 nums
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            nums[i] = res[i];
        }
    }

    /* 基数排序 */
    function radixSort(nums) {
        // 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
        let m = Number.MIN_VALUE;
        for (const num of nums) {
            if (num > m) {
                m = num;
            }
        }
        // 按照从低位到高位的顺序遍历
        for (let exp = 1; exp <= m; exp *= 10) {
            // 对数组元素的第 k 位执行计数排序
            // k = 1 -> exp = 1
            // k = 2 -> exp = 10
            // 即 exp = 10^(k-1)
            countingSortDigit(nums, exp);
        }
    }

radix_sort.ts

    /* 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
    function digit(num: number, exp: number): number {
        // 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
        return Math.floor(num / exp) % 10;
    }

    /* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
    function countingSortDigit(nums: number[], exp: number): void {
        // 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
        const counter = new Array(10).fill(0);
        const n = nums.length;
        // 统计 0~9 各数字的出现次数
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            const d = digit(nums[i], exp); // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
            counter[d]++; // 统计数字 d 的出现次数
        }
        // 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
        for (let i = 1; i < 10; i++) {
            counter[i] += counter[i - 1];
        }
        // 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
        const res = new Array(n).fill(0);
        for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {
            const d = digit(nums[i], exp);
            const j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
            res[j] = nums[i]; // 将当前元素填入索引 j
            counter[d]--; // 将 d 的数量减 1
        }
        // 使用结果覆盖原数组 nums
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            nums[i] = res[i];
        }
    }

    /* 基数排序 */
    function radixSort(nums: number[]): void {
        // 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
        let m = Number.MIN_VALUE;
        for (const num of nums) {
            if (num > m) {
                m = num;
            }
        }
        // 按照从低位到高位的顺序遍历
        for (let exp = 1; exp <= m; exp *= 10) {
            // 对数组元素的第 k 位执行计数排序
            // k = 1 -> exp = 1
            // k = 2 -> exp = 10
            // 即 exp = 10^(k-1)
            countingSortDigit(nums, exp);
        }
    }

radix_sort.c

    /* 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
    int digit(int num, int exp) {
        // 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
        return (num / exp) % 10;
    }

    /* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
    void countingSortDigit(int nums[], int size, int exp) {
        // 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
        int *counter = (int *)malloc((sizeof(int) * 10));
        // 统计 0~9 各数字的出现次数
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
            int d = digit(nums[i], exp);
            // 统计数字 d 的出现次数
            counter[d]++;
        }
        // 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
        for (int i = 1; i < 10; i++) {
            counter[i] += counter[i - 1];
        }
        // 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
        int *res = (int *)malloc(sizeof(int) * size);
        for (int i = size - 1; i >= 0; i--) {
            int d = digit(nums[i], exp);
            int j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
            res[j] = nums[i];       // 将当前元素填入索引 j
            counter[d]--;           // 将 d 的数量减 1
        }
        // 使用结果覆盖原数组 nums
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            nums[i] = res[i];
        }
    }

    /* 基数排序 */
    void radixSort(int nums[], int size) {
        // 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
        int max = INT32_MIN;
        for (size_t i = 0; i < size - 1; i++) {
            if (nums[i] > max) {
                max = nums[i];
            }
        }
        // 按照从低位到高位的顺序遍历
        for (int exp = 1; max >= exp; exp *= 10)
            // 对数组元素的第 k 位执行计数排序
            // k = 1 -> exp = 1
            // k = 2 -> exp = 10
            // 即 exp = 10^(k-1)
            countingSortDigit(nums, size, exp);
    }

radix_sort.cs

    /* 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
    int digit(int num, int exp) {
        // 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
        return (num / exp) % 10;
    }

    /* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
    void countingSortDigit(int[] nums, int exp) {
        // 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
        int[] counter = new int[10];
        int n = nums.Length;
        // 统计 0~9 各数字的出现次数
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int d = digit(nums[i], exp); // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
            counter[d]++;                // 统计数字 d 的出现次数
        }
        // 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
        for (int i = 1; i < 10; i++) {
            counter[i] += counter[i - 1];
        }
        // 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
        int[] res = new int[n];
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            int d = digit(nums[i], exp);
            int j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
            res[j] = nums[i];       // 将当前元素填入索引 j
            counter[d]--;           // 将 d 的数量减 1
        }
        // 使用结果覆盖原数组 nums
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            nums[i] = res[i];
        }
    }

    /* 基数排序 */
    void radixSort(int[] nums) {
        // 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
        int m = int.MinValue;
        foreach (int num in nums) {
            if (num > m) m = num;
        }
        // 按照从低位到高位的顺序遍历
        for (int exp = 1; exp <= m; exp *= 10) {
            // 对数组元素的第 k 位执行计数排序
            // k = 1 -> exp = 1
            // k = 2 -> exp = 10
            // 即 exp = 10^(k-1)
            countingSortDigit(nums, exp);
        }
    }

radix_sort.swift

    /* 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
    func digit(num: Int, exp: Int) -> Int {
        // 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
        (num / exp) % 10
    }

    /* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
    func countingSortDigit(nums: inout [Int], exp: Int) {
        // 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
        var counter = Array(repeating: 0, count: 10)
        let n = nums.count
        // 统计 0~9 各数字的出现次数
        for i in nums.indices {
            let d = digit(num: nums[i], exp: exp) // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
            counter[d] += 1 // 统计数字 d 的出现次数
        }
        // 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
        for i in 1 ..< 10 {
            counter[i] += counter[i - 1]
        }
        // 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
        var res = Array(repeating: 0, count: n)
        for i in stride(from: n - 1, through: 0, by: -1) {
            let d = digit(num: nums[i], exp: exp)
            let j = counter[d] - 1 // 获取 d 在数组中的索引 j
            res[j] = nums[i] // 将当前元素填入索引 j
            counter[d] -= 1 // 将 d 的数量减 1
        }
        // 使用结果覆盖原数组 nums
        for i in nums.indices {
            nums[i] = res[i]
        }
    }

    /* 基数排序 */
    func radixSort(nums: inout [Int]) {
        // 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
        var m = Int.min
        for num in nums {
            if num > m {
                m = num
            }
        }
        // 按照从低位到高位的顺序遍历
        for exp in sequence(first: 1, next: { m >= ($0 * 10) ? $0 * 10 : nil }) {
            // 对数组元素的第 k 位执行计数排序
            // k = 1 -> exp = 1
            // k = 2 -> exp = 10
            // 即 exp = 10^(k-1)
            countingSortDigit(nums: &nums, exp: exp)
        }
    }

radix_sort.zig

    // 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1)
    fn digit(num: i32, exp: i32) i32 {
        // 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
        return @mod(@divFloor(num, exp), 10);
    }

    // 计数排序（根据 nums 第 k 位排序）
    fn countingSortDigit(nums: []i32, exp: i32) !void {
        // 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
        var mem_arena = std.heap.ArenaAllocator.init(std.heap.page_allocator);
        // defer mem_arena.deinit();
        const mem_allocator = mem_arena.allocator();
        var counter = try mem_allocator.alloc(usize, 10);
        std.mem.set(usize, counter, 0);
        var n = nums.len;
        // 统计 0~9 各数字的出现次数
        for (nums) |num| {
            var d = @bitCast(u32, digit(num, exp)); // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
            counter[d] += 1; // 统计数字 d 的出现次数
        }
        // 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
        var i: usize = 1;
        while (i < 10) : (i += 1) {
            counter[i] += counter[i - 1];
        }
        // 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
        var res = try mem_allocator.alloc(i32, n);
        i = n - 1;
        while (i >= 0) : (i -= 1) {
            var d = @bitCast(u32, digit(nums[i], exp));
            var j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
            res[j] = nums[i];       // 将当前元素填入索引 j
            counter[d] -= 1;        // 将 d 的数量减 1
            if (i == 0) break;
        }
        // 使用结果覆盖原数组 nums
        i = 0;
        while (i < n) : (i += 1) {
            nums[i] = res[i];
        }
    }

    // 基数排序
    fn radixSort(nums: []i32) !void {
        // 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
        var m: i32 = std.math.minInt(i32);
        for (nums) |num| {
            if (num > m) m = num;
        }
        // 按照从低位到高位的顺序遍历
        var exp: i32 = 1;
        while (exp <= m) : (exp *= 10) {
            // 对数组元素的第 k 位执行计数排序
            // k = 1 -> exp = 1
            // k = 2 -> exp = 10
            // 即 exp = 10^(k-1)
            try countingSortDigit(nums, exp);
        }
    }

为什么从最低位开始排序？

在连续的排序轮次中，后一轮排序会覆盖前一轮排序的结果。举例来说，如果第一轮排序结果 \(a < b\) ，而第二轮排序结果 \(a > b\) ，那么第二轮的结果将取代第一轮的结果。由于数字的高位优先级高于低位，我们应该先排序低位再排序高位。

## 11.8.2. 算法特性

时间复杂度 \(O(nk)\) ：设数据量为 \(n\) 、数据为 \(d\) 进制、最大位数为 \(k\) ，则对某一位执行计数排序使用 \(O(n + d)\) 时间，排序所有 \(k\) 位使用 \(O((n + d)k)\) 时间。通常情况下，\(d\) 和 \(k\) 都相对较小，时间复杂度趋向 \(O(n)\) 。

空间复杂度 \(O(n + d)\) ：与计数排序相同，基数排序需要借助长度为 \(n\) 和 \(d\) 的数组 `res` 和 `counter` ，因此它是一种“非原地排序”。

基数排序与计数排序一样，都属于稳定排序。相较于计数排序，基数排序适用于数值范围较大的情况，但前提是数据必须可以表示为固定位数的格式，且位数不能过大。例如，浮点数不适合使用基数排序，因为其位数 \(k\) 过大，可能导致时间复杂度 \(O(nk) \gg O(n^2)\) 。

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