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# 8.2. 建堆操作

如果我们想要根据输入列表生成一个堆，这个过程被称为「建堆」。

## 8.2.1. 借助入堆方法实现

最直接的方法是借助“元素入堆操作”实现，首先创建一个空堆，然后将列表元素依次添加到堆中。

设元素数量为 \(n\) ，则最后一个元素入堆的时间复杂度为 \(O(\log n)\) 。在依次添加元素时，堆的平均长度为 \(\frac{n}{2}\) ，因此该方法的总体时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。

## 8.2.2. 基于堆化操作实现

有趣的是，存在一种更高效的建堆方法，其时间复杂度仅为 \(O(n)\) 。我们先将列表所有元素原封不动添加到堆中，然后迭代地对各个节点执行“从顶至底堆化”。当然，我们不需要对叶节点执行堆化操作，因为它们没有子节点。

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my_heap.java

    /* 构造方法，根据输入列表建堆 */
    MaxHeap(List<Integer> nums) {
        // 将列表元素原封不动添加进堆
        maxHeap = new ArrayList<>(nums);
        // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
        for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
            siftDown(i);
        }
    }

my_heap.cpp

    /* 构造方法，根据输入列表建堆 */
    MaxHeap(vector<int> nums) {
        // 将列表元素原封不动添加进堆
        maxHeap = nums;
        // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
        for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
            siftDown(i);
        }
    }

my_heap.py

    def __init__(self, nums: list[int]):
        """构造方法，根据输入列表建堆"""
        # 将列表元素原封不动添加进堆
        self.max_heap = nums
        # 堆化除叶节点以外的其他所有节点
        for i in range(self.parent(self.size() - 1), -1, -1):
            self.sift_down(i)

my_heap.go

    /* 构造函数，根据切片建堆 */
    func newMaxHeap(nums []any) *maxHeap {
        // 将列表元素原封不动添加进堆
        h := &maxHeap{data: nums}
        for i := len(h.data) - 1; i >= 0; i-- {
            // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
            h.siftDown(i)
        }
        return h
    }

my_heap.js

    /* 构造方法，建立空堆或根据输入列表建堆 */
    constructor(nums) {
        // 将列表元素原封不动添加进堆
        this.#maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
        // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
        for (let i = this.#parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
            this.#siftDown(i);
        }
    }

my_heap.ts

    /* 构造方法，建立空堆或根据输入列表建堆 */
    constructor(nums?: number[]) {
        // 将列表元素原封不动添加进堆
        this.maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
        // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
        for (let i = this.parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
            this.siftDown(i);
        }
    }

my_heap.c

    /* 构造函数，根据切片建堆 */
    maxHeap *newMaxHeap(int nums[], int size) {
        // 所有元素入堆
        maxHeap *h = (maxHeap *)malloc(sizeof(maxHeap));
        h->size = size;
        memcpy(h->data, nums, size * sizeof(int));
        for (int i = size - 1; i >= 0; i--) {
            // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
            siftDown(h, i);
        }
        return h;
    }

my_heap.cs

    /* 构造函数，根据输入列表建堆 */
    MaxHeap(IEnumerable<int> nums) {
        // 将列表元素原封不动添加进堆
        maxHeap = new List<int>(nums);
        // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
        var size = parent(this.size() - 1);
        for (int i = size; i >= 0; i--) {
            siftDown(i);
        }
    }

my_heap.swift

    /* 构造方法，根据输入列表建堆 */
    init(nums: [Int]) {
        // 将列表元素原封不动添加进堆
        maxHeap = nums
        // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
        for i in stride(from: parent(i: size() - 1), through: 0, by: -1) {
            siftDown(i: i)
        }
    }

my_heap.zig

    // 构造方法，根据输入列表建堆
    fn init(self: *Self, allocator: std.mem.Allocator, nums: []const T) !void {
        if (self.max_heap != null) return;
        self.max_heap = std.ArrayList(T).init(allocator);
        // 将列表元素原封不动添加进堆
        try self.max_heap.?.appendSlice(nums);
        // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
        var i: usize = parent(self.size() - 1) + 1;
        while (i > 0) : (i -= 1) {
            try self.siftDown(i - 1);
        }
    }

my_heap.dart

    /* 构造方法，根据输入列表建堆 */
    MaxHeap(List<int> nums) {
      // 将列表元素原封不动添加进堆
      _maxHeap = nums;
      // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
      for (int i = _parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
        _siftDown(i);
      }
    }

## 8.2.3. 复杂度分析

为什么第二种建堆方法的时间复杂度是 \(O(n)\) ？我们来展开推算一下。

- 完全二叉树中，设节点总数为 \(n\) ，则叶节点数量为 \((n + 1) / 2\) ，其中 \(/\) 为向下整除。因此，在排除叶节点后，需要堆化的节点数量为 \((n - 1)/2\) ，复杂度为 \(O(n)\) ；
- 在从顶至底堆化的过程中，每个节点最多堆化到叶节点，因此最大迭代次数为二叉树高度 \(O(\log n)\) ；

将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。然而，这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层节点数量远多于顶层节点的特性。

接下来我们来进行更为详细的计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）节点数量为 \(n\) ，树高度为 \(h\) 。上文提到，节点堆化最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离，而该距离正是“节点高度”。

Fig. 完美二叉树的各层节点数量

因此，我们可以将各层的“节点数量 \(\times\) 节点高度”求和，从而得到所有节点的堆化迭代次数的总和。

\[ T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{(h-1)}\times1 \]

化简上式需要借助中学的数列知识，先对 \(T(h)\) 乘以 \(2\) ，得到

\[ \begin{aligned} T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{h-1}\times1 \newline 2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \cdots + 2^{h}\times1 \newline \end{aligned} \]

使用错位相减法，令下式 \(2 T(h)\) 减去上式 \(T(h)\) ，可得

\[ 2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^{h-1} + 2^h \]

观察上式，发现 \(T(h)\) 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为

\[ \begin{aligned} T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline & = 2^{h+1} - h \newline & = O(2^h) \end{aligned} \]

进一步地，高度为 \(h\) 的完美二叉树的节点数量为 \(n = 2^{h+1} - 1\) ，易得复杂度为 \(O(2^h) = O(n)\) 。以上推算表明，输入列表并建堆的时间复杂度为 \(O(n)\) ，非常高效。

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