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# 2.2. 时间复杂度

## 2.2.1. 统计算法运行时间

运行时间可以直观且准确地反映算法的效率。然而，如果我们想要准确预估一段代码的运行时间，应该如何操作呢？

1. 确定运行平台，包括硬件配置、编程语言、系统环境等，这些因素都会影响代码的运行效率。
2. 评估各种计算操作所需的运行时间，例如加法操作 `+` 需要 1 ns，乘法操作 `*` 需要 10 ns，打印操作需要 5 ns 等。
3. 统计代码中所有的计算操作，并将所有操作的执行时间求和，从而得到运行时间。

例如以下代码，输入数据大小为 \(n\) ，根据以上方法，可以得到算法运行时间为 \(6n + 12\) ns 。

\[ 1 + 1 + 10 + (1 + 5) \times n = 6n + 12 \]
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    // 在某运行平台下
    void algorithm(int n) {
        int a = 2;  // 1 ns
        a = a + 1;  // 1 ns
        a = a * 2;  // 10 ns
        // 循环 n 次
        for (int i = 0; i < n; i++) {  // 1 ns ，每轮都要执行 i++
            System.out.println(0);     // 5 ns
        }
    }

    // 在某运行平台下
    void algorithm(int n) {
        int a = 2;  // 1 ns
        a = a + 1;  // 1 ns
        a = a * 2;  // 10 ns
        // 循环 n 次
        for (int i = 0; i < n; i++) {  // 1 ns ，每轮都要执行 i++
            cout << 0 << endl;         // 5 ns
        }
    }

    # 在某运行平台下
    def algorithm(n: int) -> None:
        a = 2      # 1 ns
        a = a + 1  # 1 ns
        a = a * 2  # 10 ns
        # 循环 n 次
        for _ in range(n):  # 1 ns
            print(0)        # 5 ns

    // 在某运行平台下
    func algorithm(n int) {
        a := 2      // 1 ns
        a = a + 1   // 1 ns
        a = a * 2   // 10 ns
        // 循环 n 次
        for i := 0; i < n; i++ {    // 1 ns
            fmt.Println(a)          // 5 ns
        }
    }

    // 在某运行平台下
    function algorithm(n) {
        var a = 2; // 1 ns
        a = a + 1; // 1 ns
        a = a * 2; // 10 ns
        // 循环 n 次
        for(let i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ，每轮都要执行 i++
            console.log(0); // 5 ns
        }
    }

    // 在某运行平台下
    function algorithm(n: number): void {
        var a: number = 2; // 1 ns
        a = a + 1; // 1 ns
        a = a * 2; // 10 ns
        // 循环 n 次
        for(let i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ，每轮都要执行 i++
            console.log(0); // 5 ns
        }
    }

    // 在某运行平台下
    void algorithm(int n) {
        int a = 2;  // 1 ns
        a = a + 1;  // 1 ns
        a = a * 2;  // 10 ns
        // 循环 n 次
        for (int i = 0; i < n; i++) {   // 1 ns ，每轮都要执行 i++
            printf("%d", 0);            // 5 ns
        }
    }

    // 在某运行平台下
    void algorithm(int n)
    {
        int a = 2;  // 1 ns
        a = a + 1;  // 1 ns
        a = a * 2;  // 10 ns
        // 循环 n 次
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {  // 1 ns ，每轮都要执行 i++
            Console.WriteLine(0);     // 5 ns
        }
    }

    // 在某运行平台下
    func algorithm(n: Int) {
        var a = 2 // 1 ns
        a = a + 1 // 1 ns
        a = a * 2 // 10 ns
        // 循环 n 次
        for _ in 0 ..< n { // 1 ns
            print(0) // 5 ns
        }
    }

    // 在某运行平台下
    void algorithm(int n) {
      int a = 2; // 1 ns
      a = a + 1; // 1 ns
      a = a * 2; // 10 ns
      // 循环 n 次
      for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ，每轮都要执行 i++
        print(0); // 5 ns
      }
    }

然而实际上，统计算法的运行时间既不合理也不现实。首先，我们不希望预估时间和运行平台绑定，因为算法需要在各种不同的平台上运行。其次，我们很难获知每种操作的运行时间，这给预估过程带来了极大的难度。

## 2.2.2. 统计时间增长趋势

「时间复杂度分析」采取了一种不同的方法，其统计的不是算法运行时间，而是算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势。

“时间增长趋势”这个概念较为抽象，我们通过一个例子来加以理解。假设输入数据大小为 \(n\) ，给定三个算法 `A` , `B` , `C` 。

- 算法 `A` 只有 \(1\) 个打印操作，算法运行时间不随着 \(n\) 增大而增长。我们称此算法的时间复杂度为「常数阶」。
- 算法 `B` 中的打印操作需要循环 \(n\) 次，算法运行时间随着 \(n\) 增大呈线性增长。此算法的时间复杂度被称为「线性阶」。
- 算法 `C` 中的打印操作需要循环 \(1000000\) 次，但运行时间仍与输入数据大小 \(n\) 无关。因此 `C` 的时间复杂度和 `A` 相同，仍为「常数阶」。

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    // 算法 A 时间复杂度：常数阶
    void algorithm_A(int n) {
        System.out.println(0);
    }
    // 算法 B 时间复杂度：线性阶
    void algorithm_B(int n) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            System.out.println(0);
        }
    }
    // 算法 C 时间复杂度：常数阶
    void algorithm_C(int n) {
        for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
            System.out.println(0);
        }
    }

    // 算法 A 时间复杂度：常数阶
    void algorithm_A(int n) {
        cout << 0 << endl;
    }
    // 算法 B 时间复杂度：线性阶
    void algorithm_B(int n) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            cout << 0 << endl;
        }
    }
    // 算法 C 时间复杂度：常数阶
    void algorithm_C(int n) {
        for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
            cout << 0 << endl;
        }
    }

    # 算法 A 时间复杂度：常数阶
    def algorithm_A(n: int) -> None:
        print(0)
    # 算法 B 时间复杂度：线性阶
    def algorithm_B(n: int) -> None:
        for _ in range(n):
            print(0)
    # 算法 C 时间复杂度：常数阶
    def algorithm_C(n: int) -> None:
        for _ in range(1000000):
            print(0)

    // 算法 A 时间复杂度：常数阶
    func algorithm_A(n int) {
        fmt.Println(0)
    }
    // 算法 B 时间复杂度：线性阶
    func algorithm_B(n int) {
        for i := 0; i < n; i++ {
            fmt.Println(0)
        }
    }
    // 算法 C 时间复杂度：常数阶
    func algorithm_C(n int) {
        for i := 0; i < 1000000; i++ {
            fmt.Println(0)
        }
    }

    // 算法 A 时间复杂度：常数阶
    function algorithm_A(n) {
        console.log(0);
    }
    // 算法 B 时间复杂度：线性阶
    function algorithm_B(n) {
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            console.log(0);
        }
    }
    // 算法 C 时间复杂度：常数阶
    function algorithm_C(n) {
        for (let i = 0; i < 1000000; i++) {
            console.log(0);
        }
    }

    // 算法 A 时间复杂度：常数阶
    function algorithm_A(n: number): void {
        console.log(0);
    }
    // 算法 B 时间复杂度：线性阶
    function algorithm_B(n: number): void {
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            console.log(0);
        }
    }
    // 算法 C 时间复杂度：常数阶
    function algorithm_C(n: number): void {
        for (let i = 0; i < 1000000; i++) {
            console.log(0);
        }
    }

    // 算法 A 时间复杂度：常数阶
    void algorithm_A(int n) {
        printf("%d", 0);
    }
    // 算法 B 时间复杂度：线性阶
    void algorithm_B(int n) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            printf("%d", 0);
        }
    }
    // 算法 C 时间复杂度：常数阶
    void algorithm_C(int n) {
        for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
            printf("%d", 0);
        }
    }

    // 算法 A 时间复杂度：常数阶
    void algorithm_A(int n)
    {
        Console.WriteLine(0);
    }
    // 算法 B 时间复杂度：线性阶
    void algorithm_B(int n)
    {
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            Console.WriteLine(0);
        }
    }
    // 算法 C 时间复杂度：常数阶
    void algorithm_C(int n)
    {
        for (int i = 0; i < 1000000; i++)
        {
            Console.WriteLine(0);
        }
    }

    // 算法 A 时间复杂度：常数阶
    func algorithmA(n: Int) {
        print(0)
    }

    // 算法 B 时间复杂度：线性阶
    func algorithmB(n: Int) {
        for _ in 0 ..< n {
            print(0)
        }
    }

    // 算法 C 时间复杂度：常数阶
    func algorithmC(n: Int) {
        for _ in 0 ..< 1000000 {
            print(0)
        }
    }

    // 算法 A 时间复杂度：常数阶
    void algorithmA(int n) {
      print(0);
    }
    // 算法 B 时间复杂度：线性阶
    void algorithmB(int n) {
      for (int i = 0; i < n; i++) {
        print(0);
      }
    }
    // 算法 C 时间复杂度：常数阶
    void algorithmC(int n) {
      for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
        print(0);
      }
    }

Fig. 算法 A, B, C 的时间增长趋势

相较于直接统计算法运行时间，时间复杂度分析有哪些优势和局限性呢？

时间复杂度能够有效评估算法效率。例如，算法 `B` 的运行时间呈线性增长，在 \(n > 1\) 时比算法 `A` 慢，在 \(n > 1000000\) 时比算法 `C` 慢。事实上，只要输入数据大小 \(n\) 足够大，复杂度为「常数阶」的算法一定优于「线性阶」的算法，这正是时间增长趋势所表达的含义。

时间复杂度的推算方法更简便。显然，运行平台和计算操作类型都与算法运行时间的增长趋势无关。因此在时间复杂度分析中，我们可以简单地将所有计算操作的执行时间视为相同的“单位时间”，从而将“计算操作的运行时间的统计”简化为“计算操作的数量的统计”，这样的简化方法大大降低了估算难度。

时间复杂度也存在一定的局限性。例如，尽管算法 `A` 和 `C` 的时间复杂度相同，但实际运行时间差别很大。同样，尽管算法 `B` 的时间复杂度比 `C` 高，但在输入数据大小 \(n\) 较小时，算法 `B` 明显优于算法 `C` 。在这些情况下，我们很难仅凭时间复杂度判断算法效率高低。当然，尽管存在上述问题，复杂度分析仍然是评判算法效率最有效且常用的方法。

## 2.2.3. 函数渐近上界

设算法的计算操作数量是一个关于输入数据大小 \(n\) 的函数，记为 \(T(n)\) ，则以下算法的操作数量为

\[ T(n) = 3 + 2n \]
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    void algorithm(int n) {
        int a = 1;  // +1
        a = a + 1;  // +1
        a = a * 2;  // +1
        // 循环 n 次
        for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++）
            System.out.println(0);    // +1
        }
    }

    void algorithm(int n) {
        int a = 1;  // +1
        a = a + 1;  // +1
        a = a * 2;  // +1
        // 循环 n 次
        for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++）
            cout << 0 << endl;    // +1
        }
    }

    def algorithm(n: int) -> None:
        a = 1      # +1
        a = a + 1  # +1
        a = a * 2  # +1
        # 循环 n 次
        for i in range(n):  # +1
            print(0)        # +1

    func algorithm(n int) {
        a := 1      // +1
        a = a + 1   // +1
        a = a * 2   // +1
        // 循环 n 次
        for i := 0; i < n; i++ {   // +1
            fmt.Println(a)         // +1
        }
    }

    function algorithm(n) {
        var a = 1; // +1
        a += 1; // +1
        a *= 2; // +1
        // 循环 n 次
        for(let i = 0; i < n; i++){ // +1（每轮都执行 i ++）
            console.log(0); // +1
        }
    }

    function algorithm(n: number): void{
        var a: number = 1; // +1
        a += 1; // +1
        a *= 2; // +1
        // 循环 n 次
        for(let i = 0; i < n; i++){ // +1（每轮都执行 i ++）
            console.log(0); // +1
        }
    }

    void algorithm(int n) {
        int a = 1;  // +1
        a = a + 1;  // +1
        a = a * 2;  // +1
        // 循环 n 次
        for (int i = 0; i < n; i++) {   // +1（每轮都执行 i ++）
            printf("%d", 0);            // +1
        }
    }

    void algorithm(int n)
    {
        int a = 1;  // +1
        a = a + 1;  // +1
        a = a * 2;  // +1
        // 循环 n 次
        for (int i = 0; i < n; i++) // +1（每轮都执行 i ++）
        {
            Console.WriteLine(0);   // +1
        }
    }

    func algorithm(n: Int) {
        var a = 1 // +1
        a = a + 1 // +1
        a = a * 2 // +1
        // 循环 n 次
        for _ in 0 ..< n { // +1
            print(0) // +1
        }
    }

    void algorithm(int n) {
      int a = 1; // +1
      a = a + 1; // +1
      a = a * 2; // +1
      // 循环 n 次
      for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++）
        print(0); // +1
      }
    }

\(T(n)\) 是一次函数，说明时间增长趋势是线性的，因此可以得出时间复杂度是线性阶。

我们将线性阶的时间复杂度记为 \(O(n)\) ，这个数学符号称为「大 \(O\) 记号 Big-\(O\) Notation」，表示函数 \(T(n)\) 的「渐近上界 Asymptotic Upper Bound」。

推算时间复杂度本质上是计算“操作数量函数 \(T(n)\)”的渐近上界。接下来，我们来看函数渐近上界的数学定义。

函数渐近上界

若存在正实数 \(c\) 和实数 \(n_0\) ，使得对于所有的 \(n > n_0\) ，均有 $$ T(n) \leq c \cdot f(n) $$ 则可认为 \(f(n)\) 给出了 \(T(n)\) 的一个渐近上界，记为 $$ T(n) = O(f(n)) $$

Fig. 函数的渐近上界

从本质上讲，计算渐近上界就是寻找一个函数 \(f(n)\) ，使得当 \(n\) 趋向于无穷大时，\(T(n)\) 和 \(f(n)\) 处于相同的增长级别，仅相差一个常数项 \(c\) 的倍数。

## 2.2.4. 推算方法

渐近上界的数学味儿有点重，如果你感觉没有完全理解，也无需担心。因为在实际使用中，我们只需要掌握推算方法，数学意义可以逐渐领悟。

根据定义，确定 \(f(n)\) 之后，我们便可得到时间复杂度 \(O(f(n))\) 。那么如何确定渐近上界 \(f(n)\) 呢？总体分为两步：首先统计操作数量，然后判断渐近上界。

### 第一步：统计操作数量

针对代码，逐行从上到下计算即可。然而，由于上述 \(c \cdot f(n)\) 中的常数项 \(c\) 可以取任意大小，因此操作数量 \(T(n)\) 中的各种系数、常数项都可以被忽略。根据此原则，可以总结出以下计数简化技巧：

1. 忽略与 \(n\) 无关的操作。因为它们都是 \(T(n)\) 中的常数项，对时间复杂度不产生影响。
2. 省略所有系数。例如，循环 \(2n\) 次、\(5n + 1\) 次等，都可以简化记为 \(n\) 次，因为 \(n\) 前面的系数对时间复杂度没有影响。
3. 循环嵌套时使用乘法。总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别套用上述 `1.` 和 `2.` 技巧。

以下示例展示了使用上述技巧前、后的统计结果。

\[ \begin{aligned} T(n) & = 2n(n + 1) + (5n + 1) + 2 & \text{完整统计 (-.-|||)} \newline & = 2n^2 + 7n + 3 \newline T(n) & = n^2 + n & \text{偷懒统计 (o.O)} \end{aligned} \]

最终，两者都能推出相同的时间复杂度结果，即 \(O(n^2)\) 。

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    void algorithm(int n) {
        int a = 1;  // +0（技巧 1）
        a = a + n;  // +0（技巧 1）
        // +n（技巧 2）
        for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
            System.out.println(0);
        }
        // +n*n（技巧 3）
        for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
            for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
                System.out.println(0);
            }
        }
    }

    void algorithm(int n) {
        int a = 1;  // +0（技巧 1）
        a = a + n;  // +0（技巧 1）
        // +n（技巧 2）
        for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
            cout << 0 << endl;
        }
        // +n*n（技巧 3）
        for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
            for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
                cout << 0 << endl;
            }
        }
    }

    def algorithm(n: int) -> None:
        a = 1      # +0（技巧 1）
        a = a + n  # +0（技巧 1）
        # +n（技巧 2）
        for i in range(5 * n + 1):
            print(0)
        # +n*n（技巧 3）
        for i in range(2 * n):
            for j in range(n + 1):
                print(0)

    func algorithm(n int) {
        a := 1     // +0（技巧 1）
        a = a + n  // +0（技巧 1）
        // +n（技巧 2）
        for i := 0; i < 5 * n + 1; i++ {
            fmt.Println(0)
        }
        // +n*n（技巧 3）
        for i := 0; i < 2 * n; i++ {
            for j := 0; j < n + 1; j++ {
                fmt.Println(0)
            }
        }
    }

    function algorithm(n) {
        let a = 1;  // +0（技巧 1）
        a = a + n;  // +0（技巧 1）
        // +n（技巧 2）
        for (let i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
            console.log(0);
        }
        // +n*n（技巧 3）
        for (let i = 0; i < 2 * n; i++) {
            for (let j = 0; j < n + 1; j++) {
                console.log(0);
            }
        }
    }

    function algorithm(n: number): void {
        let a = 1;  // +0（技巧 1）
        a = a + n;  // +0（技巧 1）
        // +n（技巧 2）
        for (let i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
            console.log(0);
        }
        // +n*n（技巧 3）
        for (let i = 0; i < 2 * n; i++) {
            for (let j = 0; j < n + 1; j++) {
                console.log(0);
            }
        }
    }

    void algorithm(int n) {
        int a = 1;  // +0（技巧 1）
        a = a + n;  // +0（技巧 1）
        // +n（技巧 2）
        for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
            printf("%d", 0);
        }
        // +n*n（技巧 3）
        for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
            for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
                printf("%d", 0);
            }
        }
    }

    void algorithm(int n)
    {
        int a = 1;  // +0（技巧 1）
        a = a + n;  // +0（技巧 1）
        // +n（技巧 2）
        for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++)
        {
            Console.WriteLine(0);
        }
        // +n*n（技巧 3）
        for (int i = 0; i < 2 * n; i++)
        {
            for (int j = 0; j < n + 1; j++)
            {
                Console.WriteLine(0);
            }
        }
    }

    func algorithm(n: Int) {
        var a = 1 // +0（技巧 1）
        a = a + n // +0（技巧 1）
        // +n（技巧 2）
        for _ in 0 ..< (5 * n + 1) {
            print(0)
        }
        // +n*n（技巧 3）
        for _ in 0 ..< (2 * n) {
            for _ in 0 ..< (n + 1) {
                print(0)
            }
        }
    }

    void algorithm(int n) {
      int a = 1; // +0（技巧 1）
      a = a + n; // +0（技巧 1）
      // +n（技巧 2）
      for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
        print(0);
      }
      // +n*n（技巧 3）
      for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
        for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
          print(0);
        }
      }
    }

### 第二步：判断渐近上界

时间复杂度由多项式 \(T(n)\) 中最高阶的项来决定。这是因为在 \(n\) 趋于无穷大时，最高阶的项将发挥主导作用，其他项的影响都可以被忽略。

以下表格展示了一些例子，其中一些夸张的值是为了强调“系数无法撼动阶数”这一结论。当 \(n\) 趋于无穷大时，这些常数变得无足轻重。

操作数量 \(T(n)\) | 时间复杂度 \(O(f(n))\)
--- | ---
\(100000\) | \(O(1)\)
\(3n + 2\) | \(O(n)\)
\(2n^2 + 3n + 2\) | \(O(n^2)\)
\(n^3 + 10000n^2\) | \(O(n^3)\)
\(2^n + 10000n^{10000}\) | \(O(2^n)\)

## 2.2.5. 常见类型

设输入数据大小为 \(n\) ，常见的时间复杂度类型包括（按照从低到高的顺序排列）：

\[ \begin{aligned} O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n \log n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!) \newline \text{常数阶} < \text{对数阶} < \text{线性阶} < \text{线性对数阶} < \text{平方阶} < \text{指数阶} < \text{阶乘阶} \end{aligned} \]

Fig. 时间复杂度的常见类型

Tip

部分示例代码需要一些预备知识，包括数组、递归算法等。如果遇到不理解的部分，请不要担心，可以在学习完后面章节后再回顾。现阶段，请先专注于理解时间复杂度的含义和推算方法。

### 常数阶 \(O(1)\)

常数阶的操作数量与输入数据大小 \(n\) 无关，即不随着 \(n\) 的变化而变化。

对于以下算法，尽管操作数量 `size` 可能很大，但由于其与数据大小 \(n\) 无关，因此时间复杂度仍为 \(O(1)\) 。

Java C++Python Go JavaScript TypeScript C C#Swift Zig Dart
time_complexity.java

    /* 常数阶 */
    int constant(int n) {
        int count = 0;
        int size = 100000;
        for (int i = 0; i < size; i++)
            count++;
        return count;
    }

time_complexity.cpp

    /* 常数阶 */
    int constant(int n) {
        int count = 0;
        int size = 100000;
        for (int i = 0; i < size; i++)
            count++;
        return count;
    }

time_complexity.py

    def constant(n: int) -> int:
        """常数阶"""
        count = 0
        size = 100000
        for _ in range(size):
            count += 1
        return count

time_complexity.go

    /* 常数阶 */
    func constant(n int) int {
        count := 0
        size := 100000
        for i := 0; i < size; i++ {
            count++
        }
        return count
    }

time_complexity.js

    /* 常数阶 */
    function constant(n) {
        let count = 0;
        const size = 100000;
        for (let i = 0; i < size; i++) count++;
        return count;
    }

time_complexity.ts

    /* 常数阶 */
    function constant(n: number): number {
        let count = 0;
        const size = 100000;
        for (let i = 0; i < size; i++) count++;
        return count;
    }

time_complexity.c

    /* 常数阶 */
    int constant(int n) {
        int count = 0;
        int size = 100000;
        int i = 0;
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            count++;
        }
        return count;
    }

time_complexity.cs

    /* 常数阶 */
    int constant(int n) {
        int count = 0;
        int size = 100000;
        for (int i = 0; i < size; i++)
            count++;
        return count;
    }

time_complexity.swift

    /* 常数阶 */
    func constant(n: Int) -> Int {
        var count = 0
        let size = 100_000
        for _ in 0 ..< size {
            count += 1
        }
        return count
    }

time_complexity.zig

    // 常数阶
    fn constant(n: i32) i32 {
        _ = n;
        var count: i32 = 0;
        const size: i32 = 100_000;
        var i: i32 = 0;
        while(i<size) : (i += 1) {
            count += 1;
        }
        return count;
    }

time_complexity.dart

    /* 常数阶 */
    int constant(int n) {
      int count = 0;
      int size = 100000;
      for (var i = 0; i < size; i++) {
        count++;
      }
      return count;
    }

### 线性阶 \(O(n)\)

线性阶的操作数量相对于输入数据大小以线性级别增长。线性阶通常出现在单层循环中。

Java C++Python Go JavaScript TypeScript C C#Swift Zig Dart
time_complexity.java

    /* 线性阶 */
    int linear(int n) {
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            count++;
        return count;
    }

time_complexity.cpp

    /* 线性阶 */
    int linear(int n) {
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            count++;
        return count;
    }

time_complexity.py

    def linear(n: int) -> int:
        """线性阶"""
        count = 0
        for _ in range(n):
            count += 1
        return count

time_complexity.go

    /* 线性阶 */
    func linear(n int) int {
        count := 0
        for i := 0; i < n; i++ {
            count++
        }
        return count
    }

time_complexity.js

    /* 线性阶 */
    function linear(n) {
        let count = 0;
        for (let i = 0; i < n; i++) count++;
        return count;
    }

time_complexity.ts

    /* 线性阶 */
    function linear(n: number): number {
        let count = 0;
        for (let i = 0; i < n; i++) count++;
        return count;
    }

time_complexity.c

    /* 线性阶 */
    int linear(int n) {
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            count++;
        }
        return count;
    }

time_complexity.cs

    /* 线性阶 */
    int linear(int n) {
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            count++;
        return count;
    }

time_complexity.swift

    /* 线性阶 */
    func linear(n: Int) -> Int {
        var count = 0
        for _ in 0 ..< n {
            count += 1
        }
        return count
    }

time_complexity.zig

    // 线性阶
    fn linear(n: i32) i32 {
        var count: i32 = 0;
        var i: i32 = 0;
        while (i < n) : (i += 1) {
            count += 1;
        }
        return count;
    }

time_complexity.dart

    /* 线性阶 */
    int linear(int n) {
      int count = 0;
      for (var i = 0; i < n; i++) {
        count++;
      }
      return count;
    }

遍历数组和遍历链表等操作的时间复杂度均为 \(O(n)\) ，其中 \(n\) 为数组或链表的长度。

如何确定输入数据大小 \(n\) ？

数据大小 \(n\) 需根据输入数据的类型来具体确定。例如，在上述示例中，我们直接将 \(n\) 视为输入数据大小；在下面遍历数组的示例中，数据大小 \(n\) 为数组的长度。

Java C++Python Go JavaScript TypeScript C C#Swift Zig Dart
time_complexity.java

    /* 线性阶（遍历数组） */
    int arrayTraversal(int[] nums) {
        int count = 0;
        // 循环次数与数组长度成正比
        for (int num : nums) {
            count++;
        }
        return count;
    }

time_complexity.cpp

    /* 线性阶（遍历数组） */
    int arrayTraversal(vector<int> &nums) {
        int count = 0;
        // 循环次数与数组长度成正比
        for (int num : nums) {
            count++;
        }
        return count;
    }

time_complexity.py

    def array_traversal(nums: list[int]) -> int:
        """线性阶（遍历数组）"""
        count = 0
        # 循环次数与数组长度成正比
        for num in nums:
            count += 1
        return count

time_complexity.go

    /* 线性阶（遍历数组） */
    func arrayTraversal(nums []int) int {
        count := 0
        // 循环次数与数组长度成正比
        for range nums {
            count++
        }
        return count
    }

time_complexity.js

    /* 线性阶（遍历数组） */
    function arrayTraversal(nums) {
        let count = 0;
        // 循环次数与数组长度成正比
        for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
            count++;
        }
        return count;
    }

time_complexity.ts

    /* 线性阶（遍历数组） */
    function arrayTraversal(nums: number[]): number {
        let count = 0;
        // 循环次数与数组长度成正比
        for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
            count++;
        }
        return count;
    }

time_complexity.c

    /* 线性阶（遍历数组） */
    int arrayTraversal(int *nums, int n) {
        int count = 0;
        // 循环次数与数组长度成正比
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            count++;
        }
        return count;
    }

time_complexity.cs

    /* 线性阶（遍历数组） */
    int arrayTraversal(int[] nums) {
        int count = 0;
        // 循环次数与数组长度成正比
        foreach (int num in nums) {
            count++;
        }
        return count;
    }

time_complexity.swift

    /* 线性阶（遍历数组） */
    func arrayTraversal(nums: [Int]) -> Int {
        var count = 0
        // 循环次数与数组长度成正比
        for _ in nums {
            count += 1
        }
        return count
    }

time_complexity.zig

    // 线性阶（遍历数组）
    fn arrayTraversal(nums: []i32) i32 {
        var count: i32 = 0;
        // 循环次数与数组长度成正比
        for (nums) |_| {
            count += 1;
        }
        return count;
    }

time_complexity.dart

    /* 线性阶（遍历数组） */
    int arrayTraversal(List<int> nums) {
      int count = 0;
      // 循环次数与数组长度成正比
      for (var num in nums) {
        count++;
      }
      return count;
    }

### 平方阶 \(O(n^2)\)

平方阶的操作数量相对于输入数据大小以平方级别增长。平方阶通常出现在嵌套循环中，外层循环和内层循环都为 \(O(n)\) ，因此总体为 \(O(n^2)\) 。

Java C++Python Go JavaScript TypeScript C C#Swift Zig Dart
time_complexity.java

    /* 平方阶 */
    int quadratic(int n) {
        int count = 0;
        // 循环次数与数组长度成平方关系
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                count++;
            }
        }
        return count;
    }

time_complexity.cpp

    /* 平方阶 */
    int quadratic(int n) {
        int count = 0;
        // 循环次数与数组长度成平方关系
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                count++;
            }
        }
        return count;
    }

time_complexity.py

    def quadratic(n: int) -> int:
        """平方阶"""
        count = 0
        # 循环次数与数组长度成平方关系
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                count += 1
        return count

time_complexity.go

    /* 平方阶 */
    func quadratic(n int) int {
        count := 0
        // 循环次数与数组长度成平方关系
        for i := 0; i < n; i++ {
            for j := 0; j < n; j++ {
                count++
            }
        }
        return count
    }

time_complexity.js

    /* 平方阶 */
    function quadratic(n) {
        let count = 0;
        // 循环次数与数组长度成平方关系
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            for (let j = 0; j < n; j++) {
                count++;
            }
        }
        return count;
    }

time_complexity.ts

    /* 平方阶 */
    function quadratic(n: number): number {
        let count = 0;
        // 循环次数与数组长度成平方关系
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            for (let j = 0; j < n; j++) {
                count++;
            }
        }
        return count;
    }

time_complexity.c

    /* 平方阶 */
    int quadratic(int n) {
        int count = 0;
        // 循环次数与数组长度成平方关系
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                count++;
            }
        }
        return count;
    }

time_complexity.cs

    /* 平方阶 */
    int quadratic(int n) {
        int count = 0;
        // 循环次数与数组长度成平方关系
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                count++;
            }
        }
        return count;
    }

time_complexity.swift

    /* 平方阶 */
    func quadratic(n: Int) -> Int {
        var count = 0
        // 循环次数与数组长度成平方关系
        for _ in 0 ..< n {
            for _ in 0 ..< n {
                count += 1
            }
        }
        return count
    }

time_complexity.zig

    // 平方阶
    fn quadratic(n: i32) i32 {
        var count: i32 = 0;
        var i: i32 = 0;
        // 循环次数与数组长度成平方关系
        while (i < n) : (i += 1) {
            var j: i32 = 0;
            while (j < n) : (j += 1) {
                count += 1;
            }
        }
        return count;
    }

time_complexity.dart

    /* 平方阶 */
    int quadratic(int n) {
      int count = 0;
      // 循环次数与数组长度成平方关系
      for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
          count++;
        }
      }
      return count;
    }

Fig. 常数阶、线性阶、平方阶的时间复杂度

以「冒泡排序」为例，外层循环执行 \(n - 1\) 次，内层循环执行 \(n-1, n-2, \cdots, 2, 1\) 次，平均为 \(\frac{n}{2}\) 次，因此时间复杂度为 \(O(n^2)\) 。

\[ O((n - 1) \frac{n}{2}) = O(n^2) \]
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time_complexity.java

    /* 平方阶（冒泡排序） */
    int bubbleSort(int[] nums) {
        int count = 0; // 计数器
        // 外循环：未排序区间为 [0, i]
        for (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
            // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                    // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
                    int tmp = nums[j];
                    nums[j] = nums[j + 1];
                    nums[j + 1] = tmp;
                    count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
                }
            }
        }
        return count;
    }

time_complexity.cpp

    /* 平方阶（冒泡排序） */
    int bubbleSort(vector<int> &nums) {
        int count = 0; // 计数器
        // 外循环：未排序区间为 [0, i]
        for (int i = nums.size() - 1; i > 0; i--) {
            // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                    // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
                    int tmp = nums[j];
                    nums[j] = nums[j + 1];
                    nums[j + 1] = tmp;
                    count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
                }
            }
        }
        return count;
    }

time_complexity.py

    def bubble_sort(nums: list[int]) -> int:
        """平方阶（冒泡排序）"""
        count = 0  # 计数器
        # 外循环：未排序区间为 [0, i]
        for i in range(len(nums) - 1, 0, -1):
            # 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
            for j in range(i):
                if nums[j] > nums[j + 1]:
                    # 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
                    tmp: int = nums[j]
                    nums[j] = nums[j + 1]
                    nums[j + 1] = tmp
                    count += 3  # 元素交换包含 3 个单元操作
        return count

time_complexity.go

    /* 平方阶（冒泡排序） */
    func bubbleSort(nums []int) int {
        count := 0 // 计数器
        // 外循环：未排序区间为 [0, i]
        for i := len(nums) - 1; i > 0; i-- {
            // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
            for j := 0; j < i; j++ {
                if nums[j] > nums[j+1] {
                    // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
                    tmp := nums[j]
                    nums[j] = nums[j+1]
                    nums[j+1] = tmp
                    count += 3 // 元素交换包含 3 个单元操作
                }
            }
        }
        return count
    }

time_complexity.js

    /* 平方阶（冒泡排序） */
    function bubbleSort(nums) {
        let count = 0; // 计数器
        // 外循环：未排序区间为 [0, i]
        for (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
            // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
            for (let j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                    // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
                    let tmp = nums[j];
                    nums[j] = nums[j + 1];
                    nums[j + 1] = tmp;
                    count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
                }
            }
        }
        return count;
    }

time_complexity.ts

    /* 平方阶（冒泡排序） */
    function bubbleSort(nums: number[]): number {
        let count = 0; // 计数器
        // 外循环：未排序区间为 [0, i]
        for (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
            // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
            for (let j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                    // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
                    let tmp = nums[j];
                    nums[j] = nums[j + 1];
                    nums[j + 1] = tmp;
                    count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
                }
            }
        }
        return count;
    }

time_complexity.c

    /* 平方阶（冒泡排序） */
    int bubbleSort(int *nums, int n) {
        int count = 0; // 计数器
        // 外循环：未排序区间为 [0, i]
        for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
            // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                    // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
                    int tmp = nums[j];
                    nums[j] = nums[j + 1];
                    nums[j + 1] = tmp;
                    count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
                }
            }
        }
        return count;
    }

time_complexity.cs

    /* 平方阶（冒泡排序） */
    int bubbleSort(int[] nums) {
        int count = 0;  // 计数器
        // 外循环：未排序区间为 [0, i]
        for (int i = nums.Length - 1; i > 0; i--) {
            // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                    // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
                    int tmp = nums[j];
                    nums[j] = nums[j + 1];
                    nums[j + 1] = tmp;
                    count += 3;  // 元素交换包含 3 个单元操作
                }
            }
        }
        return count;
    }

time_complexity.swift

    /* 平方阶（冒泡排序） */
    func bubbleSort(nums: inout [Int]) -> Int {
        var count = 0 // 计数器
        // 外循环：未排序区间为 [0, i]
        for i in stride(from: nums.count - 1, to: 0, by: -1) {
            // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
            for j in 0 ..< i {
                if nums[j] > nums[j + 1] {
                    // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
                    let tmp = nums[j]
                    nums[j] = nums[j + 1]
                    nums[j + 1] = tmp
                    count += 3 // 元素交换包含 3 个单元操作
                }
            }
        }
        return count
    }

time_complexity.zig

    // 平方阶（冒泡排序）
    fn bubbleSort(nums: []i32) i32 {
        var count: i32 = 0;  // 计数器
        // 外循环：未排序区间为 [0, i]
        var i: i32 = @intCast(i32, nums.len ) - 1;
        while (i > 0) : (i -= 1) {
            var j: usize = 0;
            // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
            while (j < i) : (j += 1) {
                if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                    // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
                    var tmp = nums[j];
                    nums[j] = nums[j + 1];
                    nums[j + 1] = tmp;
                    count += 3;  // 元素交换包含 3 个单元操作
                }
            }
        }
        return count;
    }

time_complexity.dart

    /* 平方阶（冒泡排序） */
    int bubbleSort(List<int> nums) {
      int count = 0; // 计数器
      // 外循环：未排序区间为 [0, i]
      for (var i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
        // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
        for (var j = 0; j < i; j++) {
          if (nums[j] > nums[j + 1]) {
            // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
            int tmp = nums[j];
            nums[j] = nums[j + 1];
            nums[j + 1] = tmp;
            count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
          }
        }
      }
      return count;
    }

### 指数阶 \(O(2^n)\)

Note

生物学的“细胞分裂”是指数阶增长的典型例子：初始状态为 \(1\) 个细胞，分裂一轮后变为 \(2\) 个，分裂两轮后变为 \(4\) 个，以此类推，分裂 \(n\) 轮后有 \(2^n\) 个细胞。

指数阶增长非常迅速，在实际应用中通常是不可接受的。若一个问题使用「暴力枚举」求解的时间复杂度为 \(O(2^n)\) ，那么通常需要使用「动态规划」或「贪心算法」等方法来解决。

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time_complexity.java

    /* 指数阶（循环实现） */
    int exponential(int n) {
        int count = 0, base = 1;
        // cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < base; j++) {
                count++;
            }
            base *= 2;
        }
        // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
        return count;
    }

time_complexity.cpp

    /* 指数阶（循环实现） */
    int exponential(int n) {
        int count = 0, base = 1;
        // cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < base; j++) {
                count++;
            }
            base *= 2;
        }
        // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
        return count;
    }

time_complexity.py

    def exponential(n: int) -> int:
        """指数阶（循环实现）"""
        count = 0
        base = 1
        # cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
        for _ in range(n):
            for _ in range(base):
                count += 1
            base *= 2
        # count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
        return count

time_complexity.go

    /* 指数阶（循环实现）*/
    func exponential(n int) int {
        count, base := 0, 1
        // cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
        for i := 0; i < n; i++ {
            for j := 0; j < base; j++ {
                count++
            }
            base *= 2
        }
        // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
        return count
    }

time_complexity.js

    /* 指数阶（循环实现） */
    function exponential(n) {
        let count = 0,
            base = 1;
        // cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            for (let j = 0; j < base; j++) {
                count++;
            }
            base *= 2;
        }
        // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
        return count;
    }

time_complexity.ts

    /* 指数阶（循环实现） */
    function exponential(n: number): number {
        let count = 0,
            base = 1;
        // cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            for (let j = 0; j < base; j++) {
                count++;
            }
            base *= 2;
        }
        // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
        return count;
    }

time_complexity.c

    /* 指数阶（循环实现） */
    int exponential(int n) {
        int count = 0;
        int bas = 1;
        // cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < bas; j++) {
                count++;
            }
            bas *= 2;
        }
        // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
        return count;
    }

time_complexity.cs

    /* 指数阶（循环实现） */
    int exponential(int n) {
        int count = 0, bas = 1;
        // cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < bas; j++) {
                count++;
            }
            bas *= 2;
        }
        // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
        return count;
    }

time_complexity.swift

    /* 指数阶（循环实现） */
    func exponential(n: Int) -> Int {
        var count = 0
        var base = 1
        // cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
        for _ in 0 ..< n {
            for _ in 0 ..< base {
                count += 1
            }
            base *= 2
        }
        // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
        return count
    }

time_complexity.zig

    // 指数阶（循环实现）
    fn exponential(n: i32) i32 {
        var count: i32 = 0;
        var bas: i32 = 1;
        var i: i32 = 0;
        // cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
        while (i < n) : (i += 1) {
            var j: i32 = 0;
            while (j < bas) : (j += 1) {
                count += 1;
            }
            bas *= 2;
        }
        // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
        return count;
    }

time_complexity.dart

    /* 指数阶（循环实现） */
    int exponential(int n) {
      int count = 0, base = 1;
      // cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
      for (var i = 0; i < n; i++) {
        for (var j = 0; j < base; j++) {
          count++;
        }
        base *= 2;
      }
      // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
      return count;
    }

Fig. 指数阶的时间复杂度

在实际算法中，指数阶常出现于递归函数。例如以下代码，不断地一分为二，经过 \(n\) 次分裂后停止。

Java C++Python Go JavaScript TypeScript C C#Swift Zig Dart
time_complexity.java

    /* 指数阶（递归实现） */
    int expRecur(int n) {
        if (n == 1)
            return 1;
        return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
    }

time_complexity.cpp

    /* 指数阶（递归实现） */
    int expRecur(int n) {
        if (n == 1)
            return 1;
        return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
    }

time_complexity.py

    def exp_recur(n: int) -> int:
        """指数阶（递归实现）"""
        if n == 1:
            return 1
        return exp_recur(n - 1) + exp_recur(n - 1) + 1

time_complexity.go

    /* 指数阶（递归实现）*/
    func expRecur(n int) int {
        if n == 1 {
            return 1
        }
        return expRecur(n-1) + expRecur(n-1) + 1
    }

time_complexity.js

    /* 指数阶（递归实现） */
    function expRecur(n) {
        if (n == 1) return 1;
        return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
    }

time_complexity.ts

    /* 指数阶（递归实现） */
    function expRecur(n: number): number {
        if (n == 1) return 1;
        return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
    }

time_complexity.c

    /* 指数阶（递归实现） */
    int expRecur(int n) {
        if (n == 1)
            return 1;
        return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
    }

time_complexity.cs

    /* 指数阶（递归实现） */
    int expRecur(int n) {
        if (n == 1) return 1;
        return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
    }

time_complexity.swift

    /* 指数阶（递归实现） */
    func expRecur(n: Int) -> Int {
        if n == 1 {
            return 1
        }
        return expRecur(n: n - 1) + expRecur(n: n - 1) + 1
    }

time_complexity.zig

    // 指数阶（递归实现）
    fn expRecur(n: i32) i32 {
        if (n == 1) return 1;
        return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
    }

time_complexity.dart

    /* 指数阶（递归实现） */
    int expRecur(int n) {
      if (n == 1) return 1;
      return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
    }

### 对数阶 \(O(\log n)\)

与指数阶相反，对数阶反映了“每轮缩减到一半的情况”。对数阶仅次于常数阶，时间增长缓慢，是理想的时间复杂度。

对数阶常出现于「二分查找」和「分治算法」中，体现了“一分为多”和“化繁为简”的算法思想。

设输入数据大小为 \(n\) ，由于每轮缩减到一半，因此循环次数是 \(\log_2 n\) ，即 \(2^n\) 的反函数。

Java C++Python Go JavaScript TypeScript C C#Swift Zig Dart
time_complexity.java

    /* 对数阶（循环实现） */
    int logarithmic(float n) {
        int count = 0;
        while (n > 1) {
            n = n / 2;
            count++;
        }
        return count;
    }

time_complexity.cpp

    /* 对数阶（循环实现） */
    int logarithmic(float n) {
        int count = 0;
        while (n > 1) {
            n = n / 2;
            count++;
        }
        return count;
    }

time_complexity.py

    def logarithmic(n: float) -> int:
        """对数阶（循环实现）"""
        count = 0
        while n > 1:
            n = n / 2
            count += 1
        return count

time_complexity.go

    /* 对数阶（循环实现）*/
    func logarithmic(n float64) int {
        count := 0
        for n > 1 {
            n = n / 2
            count++
        }
        return count
    }

time_complexity.js

    /* 对数阶（循环实现） */
    function logarithmic(n) {
        let count = 0;
        while (n > 1) {
            n = n / 2;
            count++;
        }
        return count;
    }

time_complexity.ts

    /* 对数阶（循环实现） */
    function logarithmic(n: number): number {
        let count = 0;
        while (n > 1) {
            n = n / 2;
            count++;
        }
        return count;
    }

time_complexity.c

    /* 对数阶（循环实现） */
    int logarithmic(float n) {
        int count = 0;
        while (n > 1) {
            n = n / 2;
            count++;
        }
        return count;
    }

time_complexity.cs

    /* 对数阶（循环实现） */
    int logarithmic(float n) {
        int count = 0;
        while (n > 1) {
            n = n / 2;
            count++;
        }
        return count;
    }

time_complexity.swift

    /* 对数阶（循环实现） */
    func logarithmic(n: Double) -> Int {
        var count = 0
        var n = n
        while n > 1 {
            n = n / 2
            count += 1
        }
        return count
    }

time_complexity.zig

    // 对数阶（循环实现）
    fn logarithmic(n: f32) i32 {
        var count: i32 = 0;
        var n_var = n;
        while (n_var > 1)
        {
            n_var = n_var / 2;
            count +=1;
        }
        return count;
    }

time_complexity.dart

    /* 对数阶（循环实现） */
    int logarithmic(num n) {
      int count = 0;
      while (n > 1) {
        n = n / 2;
        count++;
      }
      return count;
    }

Fig. 对数阶的时间复杂度

与指数阶类似，对数阶也常出现于递归函数。以下代码形成了一个高度为 \(\log_2 n\) 的递归树。

Java C++Python Go JavaScript TypeScript C C#Swift Zig Dart
time_complexity.java

    /* 对数阶（递归实现） */
    int logRecur(float n) {
        if (n <= 1)
            return 0;
        return logRecur(n / 2) + 1;
    }

time_complexity.cpp

    /* 对数阶（递归实现） */
    int logRecur(float n) {
        if (n <= 1)
            return 0;
        return logRecur(n / 2) + 1;
    }

time_complexity.py

    def log_recur(n: float) -> int:
        """对数阶（递归实现）"""
        if n <= 1:
            return 0
        return log_recur(n / 2) + 1

time_complexity.go

    /* 对数阶（递归实现）*/
    func logRecur(n float64) int {
        if n <= 1 {
            return 0
        }
        return logRecur(n/2) + 1
    }

time_complexity.js

    /* 对数阶（递归实现） */
    function logRecur(n) {
        if (n <= 1) return 0;
        return logRecur(n / 2) + 1;
    }

time_complexity.ts

    /* 对数阶（递归实现） */
    function logRecur(n: number): number {
        if (n <= 1) return 0;
        return logRecur(n / 2) + 1;
    }

time_complexity.c

    /* 对数阶（递归实现） */
    int logRecur(float n) {
        if (n <= 1)
            return 0;
        return logRecur(n / 2) + 1;
    }

time_complexity.cs

    /* 对数阶（递归实现） */
    int logRecur(float n) {
        if (n <= 1) return 0;
        return logRecur(n / 2) + 1;
    }

time_complexity.swift

    /* 对数阶（递归实现） */
    func logRecur(n: Double) -> Int {
        if n <= 1 {
            return 0
        }
        return logRecur(n: n / 2) + 1
    }

time_complexity.zig

    // 对数阶（递归实现）
    fn logRecur(n: f32) i32 {
        if (n <= 1) return 0;
        return logRecur(n / 2) + 1;
    }

time_complexity.dart

    /* 对数阶（递归实现） */
    int logRecur(num n) {
      if (n <= 1) return 0;
      return logRecur(n / 2) + 1;
    }

### 线性对数阶 \(O(n \log n)\)

线性对数阶常出现于嵌套循环中，两层循环的时间复杂度分别为 \(O(\log n)\) 和 \(O(n)\) 。

主流排序算法的时间复杂度通常为 \(O(n \log n)\) ，例如快速排序、归并排序、堆排序等。

Java C++Python Go JavaScript TypeScript C C#Swift Zig Dart
time_complexity.java

    /* 线性对数阶 */
    int linearLogRecur(float n) {
        if (n <= 1)
            return 1;
        int count = linearLogRecur(n / 2) +
                linearLogRecur(n / 2);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            count++;
        }
        return count;
    }

time_complexity.cpp

    /* 线性对数阶 */
    int linearLogRecur(float n) {
        if (n <= 1)
            return 1;
        int count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            count++;
        }
        return count;
    }

time_complexity.py

    def linear_log_recur(n: float) -> int:
        """线性对数阶"""
        if n <= 1:
            return 1
        count: int = linear_log_recur(n // 2) + linear_log_recur(n // 2)
        for _ in range(n):
            count += 1
        return count

time_complexity.go

    /* 线性对数阶 */
    func linearLogRecur(n float64) int {
        if n <= 1 {
            return 1
        }
        count := linearLogRecur(n/2) +
            linearLogRecur(n/2)
        for i := 0.0; i < n; i++ {
            count++
        }
        return count
    }

time_complexity.js

    /* 线性对数阶 */
    function linearLogRecur(n) {
        if (n <= 1) return 1;
        let count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2);
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            count++;
        }
        return count;
    }

time_complexity.ts

    /* 线性对数阶 */
    function linearLogRecur(n: number): number {
        if (n <= 1) return 1;
        let count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2);
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            count++;
        }
        return count;
    }

time_complexity.c

    /* 线性对数阶 */
    int linearLogRecur(float n) {
        if (n <= 1)
            return 1;
        int count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            count++;
        }
        return count;
    }

time_complexity.cs

    /* 线性对数阶 */
    int linearLogRecur(float n) {
        if (n <= 1) return 1;
        int count = linearLogRecur(n / 2) +
                    linearLogRecur(n / 2);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            count++;
        }
        return count;
    }

time_complexity.swift

    /* 线性对数阶 */
    func linearLogRecur(n: Double) -> Int {
        if n <= 1 {
            return 1
        }
        var count = linearLogRecur(n: n / 2) + linearLogRecur(n: n / 2)
        for _ in stride(from: 0, to: n, by: 1) {
            count += 1
        }
        return count
    }

time_complexity.zig

    // 线性对数阶
    fn linearLogRecur(n: f32) i32 {
        if (n <= 1) return 1;
        var count: i32 = linearLogRecur(n / 2) +
                    linearLogRecur(n / 2);
        var i: f32 = 0;
        while (i < n) : (i += 1) {
            count += 1;
        }
        return count;
    }

time_complexity.dart

    /* 线性对数阶 */
    int linearLogRecur(num n) {
      if (n <= 1) return 1;
      int count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2);
      for (var i = 0; i < n; i++) {
        count++;
      }
      return count;
    }

Fig. 线性对数阶的时间复杂度

### 阶乘阶 \(O(n!)\)

阶乘阶对应数学上的「全排列」问题。给定 \(n\) 个互不重复的元素，求其所有可能的排列方案，方案数量为：

\[ n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1 \]

阶乘通常使用递归实现。例如以下代码，第一层分裂出 \(n\) 个，第二层分裂出 \(n - 1\) 个，以此类推，直至第 \(n\) 层时终止分裂。

Java C++Python Go JavaScript TypeScript C C#Swift Zig Dart
time_complexity.java

    /* 阶乘阶（递归实现） */
    int factorialRecur(int n) {
        if (n == 0)
            return 1;
        int count = 0;
        // 从 1 个分裂出 n 个
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            count += factorialRecur(n - 1);
        }
        return count;
    }

time_complexity.cpp

    /* 阶乘阶（递归实现） */
    int factorialRecur(int n) {
        if (n == 0)
            return 1;
        int count = 0;
        // 从 1 个分裂出 n 个
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            count += factorialRecur(n - 1);
        }
        return count;
    }

time_complexity.py

    def factorial_recur(n: int) -> int:
        """阶乘阶（递归实现）"""
        if n == 0:
            return 1
        count = 0
        # 从 1 个分裂出 n 个
        for _ in range(n):
            count += factorial_recur(n - 1)
        return count

time_complexity.go

    /* 阶乘阶（递归实现） */
    func factorialRecur(n int) int {
        if n == 0 {
            return 1
        }
        count := 0
        // 从 1 个分裂出 n 个
        for i := 0; i < n; i++ {
            count += factorialRecur(n - 1)
        }
        return count
    }

time_complexity.js

    /* 阶乘阶（递归实现） */
    function factorialRecur(n) {
        if (n == 0) return 1;
        let count = 0;
        // 从 1 个分裂出 n 个
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            count += factorialRecur(n - 1);
        }
        return count;
    }

time_complexity.ts

    /* 阶乘阶（递归实现） */
    function factorialRecur(n: number): number {
        if (n == 0) return 1;
        let count = 0;
        // 从 1 个分裂出 n 个
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            count += factorialRecur(n - 1);
        }
        return count;
    }

time_complexity.c

    /* 阶乘阶（递归实现） */
    int factorialRecur(int n) {
        if (n == 0)
            return 1;
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            count += factorialRecur(n - 1);
        }
        return count;
    }

time_complexity.cs

    /* 阶乘阶（递归实现） */
    int factorialRecur(int n) {
        if (n == 0) return 1;
        int count = 0;
        // 从 1 个分裂出 n 个
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            count += factorialRecur(n - 1);
        }
        return count;
    }

time_complexity.swift

    /* 阶乘阶（递归实现） */
    func factorialRecur(n: Int) -> Int {
        if n == 0 {
            return 1
        }
        var count = 0
        // 从 1 个分裂出 n 个
        for _ in 0 ..< n {
            count += factorialRecur(n: n - 1)
        }
        return count
    }

time_complexity.zig

    // 阶乘阶（递归实现）
    fn factorialRecur(n: i32) i32 {
        if (n == 0) return 1;
        var count: i32 = 0;
        var i: i32 = 0;
        // 从 1 个分裂出 n 个
        while (i < n) : (i += 1) {
            count += factorialRecur(n - 1);
        }
        return count;
    }

time_complexity.dart

    /* 阶乘阶（递归实现） */
    int factorialRecur(int n) {
      if (n == 0) return 1;
      int count = 0;
      // 从 1 个分裂出 n 个
      for (var i = 0; i < n; i++) {
        count += factorialRecur(n - 1);
      }
      return count;
    }

Fig. 阶乘阶的时间复杂度

## 2.2.6. 最差、最佳、平均时间复杂度

某些算法的时间复杂度不是固定的，而是与输入数据的分布有关。例如，假设输入一个长度为 \(n\) 的数组 `nums` ，其中 `nums` 由从 \(1\) 至 \(n\) 的数字组成，但元素顺序是随机打乱的；算法的任务是返回元素 \(1\) 的索引。我们可以得出以下结论：

- 当 `nums = [?, ?, ..., 1]` ，即当末尾元素是 \(1\) 时，需要完整遍历数组，此时达到 最差时间复杂度 \(O(n)\)；
- 当 `nums = [1, ?, ?, ...]` ，即当首个数字为 \(1\) 时，无论数组多长都不需要继续遍历，此时达到 最佳时间复杂度 \(\Omega(1)\)；

“函数渐近上界”使用大 \(O\) 记号表示，代表「最差时间复杂度」。相应地，“函数渐近下界”用 \(\Omega\) 记号来表示，代表「最佳时间复杂度」。

Java C++Python Go JavaScript TypeScript C C#Swift Zig Dart
worst_best_time_complexity.java

    /* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
    int[] randomNumbers(int n) {
        Integer[] nums = new Integer[n];
        // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            nums[i] = i + 1;
        }
        // 随机打乱数组元素
        Collections.shuffle(Arrays.asList(nums));
        // Integer[] -> int[]
        int[] res = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            res[i] = nums[i];
        }
        return res;
    }

    /* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
    int findOne(int[] nums) {
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
            // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
            if (nums[i] == 1)
                return i;
        }
        return -1;
    }

worst_best_time_complexity.cpp

    /* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
    vector<int> randomNumbers(int n) {
        vector<int> nums(n);
        // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            nums[i] = i + 1;
        }
        // 使用系统时间生成随机种子
        unsigned seed = chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count();
        // 随机打乱数组元素
        shuffle(nums.begin(), nums.end(), default_random_engine(seed));
        return nums;
    }

    /* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
    int findOne(vector<int> &nums) {
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
            // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
            if (nums[i] == 1)
                return i;
        }
        return -1;
    }

worst_best_time_complexity.py

    def random_numbers(n: int) -> list[int]:
        """生成一个数组，元素为: 1, 2, ..., n ，顺序被打乱"""
        # 生成数组 nums =: 1, 2, 3, ..., n
        nums = [i for i in range(1, n + 1)]
        # 随机打乱数组元素
        random.shuffle(nums)
        return nums

    def find_one(nums: list[int]) -> int:
        """查找数组 nums 中数字 1 所在索引"""
        for i in range(len(nums)):
            # 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
            # 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
            if nums[i] == 1:
                return i
        return -1

worst_best_time_complexity.go

    /* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
    func randomNumbers(n int) []int {
        nums := make([]int, n)
        // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
        for i := 0; i < n; i++ {
            nums[i] = i + 1
        }
        // 随机打乱数组元素
        rand.Shuffle(len(nums), func(i, j int) {
            nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]
        })
        return nums
    }

    /* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
    func findOne(nums []int) int {
        for i := 0; i < len(nums); i++ {
            // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
            // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
            if nums[i] == 1 {
                return i
            }
        }
        return -1
    }

worst_best_time_complexity.js

    /* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
    function randomNumbers(n) {
        const nums = Array(n);
        // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            nums[i] = i + 1;
        }
        // 随机打乱数组元素
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            const r = Math.floor(Math.random() * (i + 1));
            const temp = nums[i];
            nums[i] = nums[r];
            nums[r] = temp;
        }
        return nums;
    }

    /* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
    function findOne(nums) {
        for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
            // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
            // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
            if (nums[i] === 1) {
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }

worst_best_time_complexity.ts

    /* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
    function randomNumbers(n: number): number[] {
        const nums = Array(n);
        // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            nums[i] = i + 1;
        }
        // 随机打乱数组元素
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            const r = Math.floor(Math.random() * (i + 1));
            const temp = nums[i];
            nums[i] = nums[r];
            nums[r] = temp;
        }
        return nums;
    }

    /* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
    function findOne(nums: number[]): number {
        for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
            // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
            // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
            if (nums[i] === 1) {
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }

worst_best_time_complexity.c

    /* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
    int *randomNumbers(int n) {
        // 分配堆区内存（创建一维可变长数组：数组中元素数量为n，元素类型为int）
        int *nums = (int *)malloc(n * sizeof(int));
        // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            nums[i] = i + 1;
        }
        // 随机打乱数组元素
        for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
            int j = rand() % (i + 1);
            int temp = nums[i];
            nums[i] = nums[j];
            nums[j] = temp;
        }
        return nums;
    }

    /* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
    int findOne(int *nums, int n) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
            // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
            if (nums[i] == 1)
                return i;
        }
        return -1;
    }

worst_best_time_complexity.cs

    /* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
    int[] randomNumbers(int n) {
        int[] nums = new int[n];
        // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            nums[i] = i + 1;
        }

        // 随机打乱数组元素
        for (int i = 0; i < nums.Length; i++) {
            var index = new Random().Next(i, nums.Length);
            var tmp = nums[i];
            var ran = nums[index];
            nums[i] = ran;
            nums[index] = tmp;
        }
        return nums;
    }

    /* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
    int findOne(int[] nums) {
        for (int i = 0; i < nums.Length; i++) {
            // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
            // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
            if (nums[i] == 1)
                return i;
        }
        return -1;
    }

worst_best_time_complexity.swift

    /* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
    func randomNumbers(n: Int) -> [Int] {
        // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
        var nums = Array(1 ... n)
        // 随机打乱数组元素
        nums.shuffle()
        return nums
    }

    /* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
    func findOne(nums: [Int]) -> Int {
        for i in nums.indices {
            // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
            // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
            if nums[i] == 1 {
                return i
            }
        }
        return -1
    }

worst_best_time_complexity.zig

    // 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱
    pub fn randomNumbers(comptime n: usize) [n]i32 {
        var nums: [n]i32 = undefined;
        // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
        for (nums) |*num, i| {
            num.* = @intCast(i32, i) + 1;
        }
        // 随机打乱数组元素
        const rand = std.crypto.random;
        rand.shuffle(i32, &nums);
        return nums;
    }

    // 查找数组 nums 中数字 1 所在索引
    pub fn findOne(nums: []i32) i32 {
        for (nums) |num, i| {
            // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
            // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
            if (num == 1) return @intCast(i32, i);
        }
        return -1;
    }

worst_best_time_complexity.dart

    /* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
    List<int> randomNumbers(int n) {
      final nums = List.filled(n, 0);
      // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
      for (var i = 0; i < n; i++) {
        nums[i] = i + 1;
      }
      // 随机打乱数组元素
      nums.shuffle();

      return nums;
    }

    /* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
    int findOne(List<int> nums) {
      for (var i = 0; i < nums.length; i++) {
        // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
        // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
        if (nums[i] == 1) return i;
      }

      return -1;
    }

Tip

实际应用中我们很少使用「最佳时间复杂度」，因为通常只有在很小概率下才能达到，可能会带来一定的误导性。相反，「最差时间复杂度」更为实用，因为它给出了一个“效率安全值”，让我们可以放心地使用算法。

从上述示例可以看出，最差或最佳时间复杂度只出现在“特殊分布的数据”中，这些情况的出现概率可能很小，因此并不能最真实地反映算法运行效率。相较之下，「平均时间复杂度」可以体现算法在随机输入数据下的运行效率，用 \(\Theta\) 记号来表示。

对于部分算法，我们可以简单地推算出随机数据分布下的平均情况。比如上述示例，由于输入数组是被打乱的，因此元素 \(1\) 出现在任意索引的概率都是相等的，那么算法的平均循环次数则是数组长度的一半 \(\frac{n}{2}\) ，平均时间复杂度为 \(\Theta(\frac{n}{2}) = \Theta(n)\) 。

但在实际应用中，尤其是较为复杂的算法，计算平均时间复杂度比较困难，因为很难简便地分析出在数据分布下的整体数学期望。在这种情况下，我们通常使用最差时间复杂度作为算法效率的评判标准。

为什么很少看到 \(\Theta\) 符号？

可能由于 \(O\) 符号过于朗朗上口，我们常常使用它来表示「平均复杂度」，但从严格意义上看，这种做法并不规范。在本书和其他资料中，若遇到类似“平均时间复杂度 \(O(n)\)”的表述，请将其直接理解为 \(\Theta(n)\) 。

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