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# 12.2 分治搜尋策略

我們已經學過，搜尋演算法分為兩大類。

- 暴力搜尋：它透過走訪資料結構實現，時間複雜度為 \(O(n)\) 。
- 自適應搜尋：它利用特有的資料組織形式或先驗資訊，時間複雜度可達到 \(O(\log n)\) 甚至 \(O(1)\) 。

實際上，時間複雜度為 \(O(\log n)\) 的搜尋演算法通常是基於分治策略實現的，例如二分搜尋和樹。

- 二分搜尋的每一步都將問題（在陣列中搜索目標元素）分解為一個小問題（在陣列的一半中搜索目標元素），這個過程一直持續到陣列為空或找到目標元素為止。
- 樹是分治思想的代表，在二元搜尋樹、AVL 樹、堆積等資料結構中，各種操作的時間複雜度皆為 \(O(\log n)\) 。

二分搜尋的分治策略如下所示。

- 問題可以分解：二分搜尋遞迴地將原問題（在陣列中進行查詢）分解為子問題（在陣列的一半中進行查詢），這是透過比較中間元素和目標元素來實現的。
- 子問題是獨立的：在二分搜尋中，每輪只處理一個子問題，它不受其他子問題的影響。
- 子問題的解無須合併：二分搜尋旨在查詢一個特定元素，因此不需要將子問題的解進行合併。當子問題得到解決時，原問題也會同時得到解決。

分治能夠提升搜尋效率，本質上是因為暴力搜尋每輪只能排除一個選項，而分治搜尋每輪可以排除一半選項。

### 1. 基於分治實現二分搜尋

在之前的章節中，二分搜尋是基於遞推（迭代）實現的。現在我們基於分治（遞迴）來實現它。

Question

給定一個長度為 \(n\) 的有序陣列 `nums` ，其中所有元素都是唯一的，請查詢元素 `target` 。

從分治角度，我們將搜尋區間 \([i, j]\) 對應的子問題記為 \(f(i, j)\) 。

以原問題 \(f(0, n-1)\) 為起始點，透過以下步驟進行二分搜尋。

1. 計算搜尋區間 \([i, j]\) 的中點 \(m\) ，根據它排除一半搜尋區間。
2. 遞迴求解規模減小一半的子問題，可能為 \(f(i, m-1)\) 或 \(f(m+1, j)\) 。
3. 迴圈第 `1.` 步和第 `2.` 步，直至找到 `target` 或區間為空時返回。

圖 12-4 展示了在陣列中二分搜尋元素 \(6\) 的分治過程。

圖 12-4 二分搜尋的分治過程

在實現程式碼中，我們宣告一個遞迴函式 `dfs()` 來求解問題 \(f(i, j)\) ：

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby
binary_search_recur.py

    def dfs(nums: list[int], target: int, i: int, j: int) -> int:
        """二分搜尋：問題 f(i, j)"""
        # 若區間為空，代表無目標元素，則返回 -1
        if i > j:
            return -1
        # 計算中點索引 m
        m = (i + j) // 2
        if nums[m] < target:
            # 遞迴子問題 f(m+1, j)
            return dfs(nums, target, m + 1, j)
        elif nums[m] > target:
            # 遞迴子問題 f(i, m-1)
            return dfs(nums, target, i, m - 1)
        else:
            # 找到目標元素，返回其索引
            return m

    def binary_search(nums: list[int], target: int) -> int:
        """二分搜尋"""
        n = len(nums)
        # 求解問題 f(0, n-1)
        return dfs(nums, target, 0, n - 1)

binary_search_recur.cpp

    /* 二分搜尋：問題 f(i, j) */
    int dfs(vector<int> &nums, int target, int i, int j) {
        // 若區間為空，代表無目標元素，則返回 -1
        if (i > j) {
            return -1;
        }
        // 計算中點索引 m
        int m = (i + j) / 2;
        if (nums[m] < target) {
            // 遞迴子問題 f(m+1, j)
            return dfs(nums, target, m + 1, j);
        } else if (nums[m] > target) {
            // 遞迴子問題 f(i, m-1)
            return dfs(nums, target, i, m - 1);
        } else {
            // 找到目標元素，返回其索引
            return m;
        }
    }

    /* 二分搜尋 */
    int binarySearch(vector<int> &nums, int target) {
        int n = nums.size();
        // 求解問題 f(0, n-1)
        return dfs(nums, target, 0, n - 1);
    }

binary_search_recur.java

    /* 二分搜尋：問題 f(i, j) */
    int dfs(int[] nums, int target, int i, int j) {
        // 若區間為空，代表無目標元素，則返回 -1
        if (i > j) {
            return -1;
        }
        // 計算中點索引 m
        int m = (i + j) / 2;
        if (nums[m] < target) {
            // 遞迴子問題 f(m+1, j)
            return dfs(nums, target, m + 1, j);
        } else if (nums[m] > target) {
            // 遞迴子問題 f(i, m-1)
            return dfs(nums, target, i, m - 1);
        } else {
            // 找到目標元素，返回其索引
            return m;
        }
    }

    /* 二分搜尋 */
    int binarySearch(int[] nums, int target) {
        int n = nums.length;
        // 求解問題 f(0, n-1)
        return dfs(nums, target, 0, n - 1);
    }

binary_search_recur.cs

    /* 二分搜尋：問題 f(i, j) */
    int DFS(int[] nums, int target, int i, int j) {
        // 若區間為空，代表無目標元素，則返回 -1
        if (i > j) {
            return -1;
        }
        // 計算中點索引 m
        int m = (i + j) / 2;
        if (nums[m] < target) {
            // 遞迴子問題 f(m+1, j)
            return DFS(nums, target, m + 1, j);
        } else if (nums[m] > target) {
            // 遞迴子問題 f(i, m-1)
            return DFS(nums, target, i, m - 1);
        } else {
            // 找到目標元素，返回其索引
            return m;
        }
    }

    /* 二分搜尋 */
    int BinarySearch(int[] nums, int target) {
        int n = nums.Length;
        // 求解問題 f(0, n-1)
        return DFS(nums, target, 0, n - 1);
    }

binary_search_recur.go

    /* 二分搜尋：問題 f(i, j) */
    func dfs(nums []int, target, i, j int) int {
        // 如果區間為空，代表沒有目標元素，則返回 -1
        if i > j {
            return -1
        }
        //    計算索引中點
        m := i + ((j - i) >> 1)
        //判斷中點與目標元素大小
        if nums[m] < target {
            // 小於則遞迴右半陣列
            // 遞迴子問題 f(m+1, j)
            return dfs(nums, target, m+1, j)
        } else if nums[m] > target {
            // 大於則遞迴左半陣列
            // 遞迴子問題 f(i, m-1)
            return dfs(nums, target, i, m-1)
        } else {
            // 找到目標元素，返回其索引
            return m
        }
    }

    /* 二分搜尋 */
    func binarySearch(nums []int, target int) int {
        n := len(nums)
        return dfs(nums, target, 0, n-1)
    }

binary_search_recur.swift

    /* 二分搜尋：問題 f(i, j) */
    func dfs(nums: [Int], target: Int, i: Int, j: Int) -> Int {
        // 若區間為空，代表無目標元素，則返回 -1
        if i > j {
            return -1
        }
        // 計算中點索引 m
        let m = (i + j) / 2
        if nums[m] < target {
            // 遞迴子問題 f(m+1, j)
            return dfs(nums: nums, target: target, i: m + 1, j: j)
        } else if nums[m] > target {
            // 遞迴子問題 f(i, m-1)
            return dfs(nums: nums, target: target, i: i, j: m - 1)
        } else {
            // 找到目標元素，返回其索引
            return m
        }
    }

    /* 二分搜尋 */
    func binarySearch(nums: [Int], target: Int) -> Int {
        // 求解問題 f(0, n-1)
        dfs(nums: nums, target: target, i: nums.startIndex, j: nums.endIndex - 1)
    }

binary_search_recur.js

    /* 二分搜尋：問題 f(i, j) */
    function dfs(nums, target, i, j) {
        // 若區間為空，代表無目標元素，則返回 -1
        if (i > j) {
            return -1;
        }
        // 計算中點索引 m
        const m = i + ((j - i) >> 1);
        if (nums[m] < target) {
            // 遞迴子問題 f(m+1, j)
            return dfs(nums, target, m + 1, j);
        } else if (nums[m] > target) {
            // 遞迴子問題 f(i, m-1)
            return dfs(nums, target, i, m - 1);
        } else {
            // 找到目標元素，返回其索引
            return m;
        }
    }

    /* 二分搜尋 */
    function binarySearch(nums, target) {
        const n = nums.length;
        // 求解問題 f(0, n-1)
        return dfs(nums, target, 0, n - 1);
    }

binary_search_recur.ts

    /* 二分搜尋：問題 f(i, j) */
    function dfs(nums: number[], target: number, i: number, j: number): number {
        // 若區間為空，代表無目標元素，則返回 -1
        if (i > j) {
            return -1;
        }
        // 計算中點索引 m
        const m = i + ((j - i) >> 1);
        if (nums[m] < target) {
            // 遞迴子問題 f(m+1, j)
            return dfs(nums, target, m + 1, j);
        } else if (nums[m] > target) {
            // 遞迴子問題 f(i, m-1)
            return dfs(nums, target, i, m - 1);
        } else {
            // 找到目標元素，返回其索引
            return m;
        }
    }

    /* 二分搜尋 */
    function binarySearch(nums: number[], target: number): number {
        const n = nums.length;
        // 求解問題 f(0, n-1)
        return dfs(nums, target, 0, n - 1);
    }

binary_search_recur.dart

    /* 二分搜尋：問題 f(i, j) */
    int dfs(List<int> nums, int target, int i, int j) {
      // 若區間為空，代表無目標元素，則返回 -1
      if (i > j) {
        return -1;
      }
      // 計算中點索引 m
      int m = (i + j) ~/ 2;
      if (nums[m] < target) {
        // 遞迴子問題 f(m+1, j)
        return dfs(nums, target, m + 1, j);
      } else if (nums[m] > target) {
        // 遞迴子問題 f(i, m-1)
        return dfs(nums, target, i, m - 1);
      } else {
        // 找到目標元素，返回其索引
        return m;
      }
    }

    /* 二分搜尋 */
    int binarySearch(List<int> nums, int target) {
      int n = nums.length;
      // 求解問題 f(0, n-1)
      return dfs(nums, target, 0, n - 1);
    }

binary_search_recur.rs

    /* 二分搜尋：問題 f(i, j) */
    fn dfs(nums: &[i32], target: i32, i: i32, j: i32) -> i32 {
        // 若區間為空，代表無目標元素，則返回 -1
        if i > j {
            return -1;
        }
        let m: i32 = i + (j - i) / 2;
        if nums[m as usize] < target {
            // 遞迴子問題 f(m+1, j)
            return dfs(nums, target, m + 1, j);
        } else if nums[m as usize] > target {
            // 遞迴子問題 f(i, m-1)
            return dfs(nums, target, i, m - 1);
        } else {
            // 找到目標元素，返回其索引
            return m;
        }
    }

    /* 二分搜尋 */
    fn binary_search(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
        let n = nums.len() as i32;
        // 求解問題 f(0, n-1)
        dfs(nums, target, 0, n - 1)
    }

binary_search_recur.c

    /* 二分搜尋：問題 f(i, j) */
    int dfs(int nums[], int target, int i, int j) {
        // 若區間為空，代表無目標元素，則返回 -1
        if (i > j) {
            return -1;
        }
        // 計算中點索引 m
        int m = (i + j) / 2;
        if (nums[m] < target) {
            // 遞迴子問題 f(m+1, j)
            return dfs(nums, target, m + 1, j);
        } else if (nums[m] > target) {
            // 遞迴子問題 f(i, m-1)
            return dfs(nums, target, i, m - 1);
        } else {
            // 找到目標元素，返回其索引
            return m;
        }
    }

    /* 二分搜尋 */
    int binarySearch(int nums[], int target, int numsSize) {
        int n = numsSize;
        // 求解問題 f(0, n-1)
        return dfs(nums, target, 0, n - 1);
    }

binary_search_recur.kt

    /* 二分搜尋：問題 f(i, j) */
    fun dfs(
        nums: IntArray,
        target: Int,
        i: Int,
        j: Int
    ): Int {
        // 若區間為空，代表無目標元素，則返回 -1
        if (i > j) {
            return -1
        }
        // 計算中點索引 m
        val m = (i + j) / 2
        return if (nums[m] < target) {
            // 遞迴子問題 f(m+1, j)
            dfs(nums, target, m + 1, j)
        } else if (nums[m] > target) {
            // 遞迴子問題 f(i, m-1)
            dfs(nums, target, i, m - 1)
        } else {
            // 找到目標元素，返回其索引
            m
        }
    }

    /* 二分搜尋 */
    fun binarySearch(nums: IntArray, target: Int): Int {
        val n = nums.size
        // 求解問題 f(0, n-1)
        return dfs(nums, target, 0, n - 1)
    }

binary_search_recur.rb

    ### 二分搜尋：問題 f(i, j) ###
    def dfs(nums, target, i, j)
      # 若區間為空，代表無目標元素，則返回 -1
      return -1 if i > j

      # 計算中點索引 m
      m = (i + j) / 2

      if nums[m] < target
        # 遞迴子問題 f(m+1, j)
        return dfs(nums, target, m + 1, j)
      elsif nums[m] > target
        # 遞迴子問題 f(i, m-1)
        return dfs(nums, target, i, m - 1)
      else
        # 找到目標元素，返回其索引
        return m
      end
    end

    ### 二分搜尋 ###
    def binary_search(nums, target)
      n = nums.length
      # 求解問題 f(0, n-1)
      dfs(nums, target, 0, n - 1)
    end

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