跳轉至
紙質書（簡體中文版）已發行，詳情請見這裡

# 14.3 動態規劃解題思路

上兩節介紹了動態規劃問題的主要特徵，接下來我們一起探究兩個更加實用的問題。

1. 如何判斷一個問題是不是動態規劃問題？
2. 求解動態規劃問題該從何處入手，完整步驟是什麼？

## 14.3.1 問題判斷

總的來說，如果一個問題包含重疊子問題、最優子結構，並滿足無後效性，那麼它通常適合用動態規劃求解。然而，我們很難從問題描述中直接提取出這些特性。因此我們通常會放寬條件，先觀察問題是否適合使用回溯（窮舉）解決。

適合用回溯解決的問題通常滿足“決策樹模型”，這種問題可以使用樹形結構來描述，其中每一個節點代表一個決策，每一條路徑代表一個決策序列。

換句話說，如果問題包含明確的決策概念，並且解是透過一系列決策產生的，那麼它就滿足決策樹模型，通常可以使用回溯來解決。

在此基礎上，動態規劃問題還有一些判斷的“加分項”。

- 問題包含最大（小）或最多（少）等最佳化描述。
- 問題的狀態能夠使用一個串列、多維矩陣或樹來表示，並且一個狀態與其周圍的狀態存在遞推關係。

相應地，也存在一些“減分項”。

- 問題的目標是找出所有可能的解決方案，而不是找出最優解。
- 問題描述中有明顯的排列組合的特徵，需要返回具體的多個方案。

如果一個問題滿足決策樹模型，並具有較為明顯的“加分項”，我們就可以假設它是一個動態規劃問題，並在求解過程中驗證它。

## 14.3.2 問題求解步驟

動態規劃的解題流程會因問題的性質和難度而有所不同，但通常遵循以下步驟：描述決策，定義狀態，建立 \(dp\) 表，推導狀態轉移方程，確定邊界條件等。

為了更形象地展示解題步驟，我們使用一個經典問題“最小路徑和”來舉例。

Question

給定一個 \(n \times m\) 的二維網格 `grid` ，網格中的每個單元格包含一個非負整數，表示該單元格的代價。機器人以左上角單元格為起始點，每次只能向下或者向右移動一步，直至到達右下角單元格。請返回從左上角到右下角的最小路徑和。

圖 14-10 展示了一個例子，給定網格的最小路徑和為 \(13\) 。

圖 14-10 最小路徑和示例資料

第一步：思考每輪的決策，定義狀態，從而得到 \(dp\) 表

本題的每一輪的決策就是從當前格子向下或向右走一步。設當前格子的行列索引為 \([i, j]\) ，則向下或向右走一步後，索引變為 \([i+1, j]\) 或 \([i, j+1]\) 。因此，狀態應包含行索引和列索引兩個變數，記為 \([i, j]\) 。

狀態 \([i, j]\) 對應的子問題為：從起始點 \([0, 0]\) 走到 \([i, j]\) 的最小路徑和，解記為 \(dp[i, j]\) 。

至此，我們就得到了圖 14-11 所示的二維 \(dp\) 矩陣，其尺寸與輸入網格 \(grid\) 相同。

圖 14-11 狀態定義與 dp 表

Note

動態規劃和回溯過程可以描述為一個決策序列，而狀態由所有決策變數構成。它應當包含描述解題進度的所有變數，其包含了足夠的資訊，能夠用來推導出下一個狀態。

每個狀態都對應一個子問題，我們會定義一個 \(dp\) 表來儲存所有子問題的解，狀態的每個獨立變數都是 \(dp\) 表的一個維度。從本質上看，\(dp\) 表是狀態和子問題的解之間的對映。

第二步：找出最優子結構，進而推導出狀態轉移方程

對於狀態 \([i, j]\) ，它只能從上邊格子 \([i-1, j]\) 和左邊格子 \([i, j-1]\) 轉移而來。因此最優子結構為：到達 \([i, j]\) 的最小路徑和由 \([i, j-1]\) 的最小路徑和與 \([i-1, j]\) 的最小路徑和中較小的那一個決定。

根據以上分析，可推出圖 14-12 所示的狀態轉移方程：

\[ dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j] \]

圖 14-12 最優子結構與狀態轉移方程

Note

根據定義好的 \(dp\) 表，思考原問題和子問題的關係，找出透過子問題的最優解來構造原問題的最優解的方法，即最優子結構。

一旦我們找到了最優子結構，就可以使用它來構建出狀態轉移方程。

第三步：確定邊界條件和狀態轉移順序

在本題中，處在首行的狀態只能從其左邊的狀態得來，處在首列的狀態只能從其上邊的狀態得來，因此首行 \(i = 0\) 和首列 \(j = 0\) 是邊界條件。

如圖 14-13 所示，由於每個格子是由其左方格子和上方格子轉移而來，因此我們使用迴圈來走訪矩陣，外迴圈走訪各行，內迴圈走訪各列。

圖 14-13 邊界條件與狀態轉移順序

Note

邊界條件在動態規劃中用於初始化 \(dp\) 表，在搜尋中用於剪枝。

狀態轉移順序的核心是要保證在計算當前問題的解時，所有它依賴的更小子問題的解都已經被正確地計算出來。

根據以上分析，我們已經可以直接寫出動態規劃程式碼。然而子問題分解是一種從頂至底的思想，因此按照“暴力搜尋 \(\rightarrow\) 記憶化搜尋 \(\rightarrow\) 動態規劃”的順序實現更加符合思維習慣。

### 1. 方法一：暴力搜尋

從狀態 \([i, j]\) 開始搜尋，不斷分解為更小的狀態 \([i-1, j]\) 和 \([i, j-1]\) ，遞迴函式包括以下要素。

- 遞迴參數：狀態 \([i, j]\) 。
- 返回值：從 \([0, 0]\) 到 \([i, j]\) 的最小路徑和 \(dp[i, j]\) 。
- 終止條件：當 \(i = 0\) 且 \(j = 0\) 時，返回代價 \(grid[0, 0]\) 。
- 剪枝：當 \(i < 0\) 時或 \(j < 0\) 時索引越界，此時返回代價 \(+\infty\) ，代表不可行。

實現程式碼如下：

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby
min_path_sum.py

    def min_path_sum_dfs(grid: list[list[int]], i: int, j: int) -> int:
        """最小路徑和：暴力搜尋"""
        # 若為左上角單元格，則終止搜尋
        if i == 0 and j == 0:
            return grid[0][0]
        # 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
        if i < 0 or j < 0:
            return inf
        # 計算從左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路徑代價
        up = min_path_sum_dfs(grid, i - 1, j)
        left = min_path_sum_dfs(grid, i, j - 1)
        # 返回從左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
        return min(left, up) + grid[i][j]

min_path_sum.cpp

    /* 最小路徑和：暴力搜尋 */
    int minPathSumDFS(vector<vector<int>> &grid, int i, int j) {
        // 若為左上角單元格，則終止搜尋
        if (i == 0 && j == 0) {
            return grid[0][0];
        }
        // 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
        if (i < 0 || j < 0) {
            return INT_MAX;
        }
        // 計算從左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路徑代價
        int up = minPathSumDFS(grid, i - 1, j);
        int left = minPathSumDFS(grid, i, j - 1);
        // 返回從左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
        return min(left, up) != INT_MAX ? min(left, up) + grid[i][j] : INT_MAX;
    }

min_path_sum.java

    /* 最小路徑和：暴力搜尋 */
    int minPathSumDFS(int[][] grid, int i, int j) {
        // 若為左上角單元格，則終止搜尋
        if (i == 0 && j == 0) {
            return grid[0][0];
        }
        // 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
        if (i < 0 || j < 0) {
            return Integer.MAX_VALUE;
        }
        // 計算從左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路徑代價
        int up = minPathSumDFS(grid, i - 1, j);
        int left = minPathSumDFS(grid, i, j - 1);
        // 返回從左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
        return Math.min(left, up) + grid[i][j];
    }

min_path_sum.cs

    /* 最小路徑和：暴力搜尋 */
    int MinPathSumDFS(int[][] grid, int i, int j) {
        // 若為左上角單元格，則終止搜尋
        if (i == 0 && j == 0) {
            return grid[0][0];
        }
        // 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
        if (i < 0 || j < 0) {
            return int.MaxValue;
        }
        // 計算從左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路徑代價
        int up = MinPathSumDFS(grid, i - 1, j);
        int left = MinPathSumDFS(grid, i, j - 1);
        // 返回從左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
        return Math.Min(left, up) + grid[i][j];
    }

min_path_sum.go

    /* 最小路徑和：暴力搜尋 */
    func minPathSumDFS(grid [][]int, i, j int) int {
        // 若為左上角單元格，則終止搜尋
        if i == 0 && j == 0 {
            return grid[0][0]
        }
        // 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
        if i < 0 || j < 0 {
            return math.MaxInt
        }
        // 計算從左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路徑代價
        up := minPathSumDFS(grid, i-1, j)
        left := minPathSumDFS(grid, i, j-1)
        // 返回從左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
        return int(math.Min(float64(left), float64(up))) + grid[i][j]
    }

min_path_sum.swift

    /* 最小路徑和：暴力搜尋 */
    func minPathSumDFS(grid: [[Int]], i: Int, j: Int) -> Int {
        // 若為左上角單元格，則終止搜尋
        if i == 0, j == 0 {
            return grid[0][0]
        }
        // 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
        if i < 0 || j < 0 {
            return .max
        }
        // 計算從左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路徑代價
        let up = minPathSumDFS(grid: grid, i: i - 1, j: j)
        let left = minPathSumDFS(grid: grid, i: i, j: j - 1)
        // 返回從左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
        return min(left, up) + grid[i][j]
    }

min_path_sum.js

    /* 最小路徑和：暴力搜尋 */
    function minPathSumDFS(grid, i, j) {
        // 若為左上角單元格，則終止搜尋
        if (i === 0 && j === 0) {
            return grid[0][0];
        }
        // 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
        if (i < 0 || j < 0) {
            return Infinity;
        }
        // 計算從左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路徑代價
        const up = minPathSumDFS(grid, i - 1, j);
        const left = minPathSumDFS(grid, i, j - 1);
        // 返回從左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
        return Math.min(left, up) + grid[i][j];
    }

min_path_sum.ts

    /* 最小路徑和：暴力搜尋 */
    function minPathSumDFS(
        grid: Array<Array<number>>,
        i: number,
        j: number
    ): number {
        // 若為左上角單元格，則終止搜尋
        if (i === 0 && j == 0) {
            return grid[0][0];
        }
        // 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
        if (i < 0 || j < 0) {
            return Infinity;
        }
        // 計算從左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路徑代價
        const up = minPathSumDFS(grid, i - 1, j);
        const left = minPathSumDFS(grid, i, j - 1);
        // 返回從左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
        return Math.min(left, up) + grid[i][j];
    }

min_path_sum.dart

    /* 最小路徑和：暴力搜尋 */
    int minPathSumDFS(List<List<int>> grid, int i, int j) {
      // 若為左上角單元格，則終止搜尋
      if (i == 0 && j == 0) {
        return grid[0][0];
      }
      // 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
      if (i < 0 || j < 0) {
        // 在 Dart 中，int 型別是固定範圍的整數，不存在表示“無窮大”的值
        return BigInt.from(2).pow(31).toInt();
      }
      // 計算從左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路徑代價
      int up = minPathSumDFS(grid, i - 1, j);
      int left = minPathSumDFS(grid, i, j - 1);
      // 返回從左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
      return min(left, up) + grid[i][j];
    }

min_path_sum.rs

    /* 最小路徑和：暴力搜尋 */
    fn min_path_sum_dfs(grid: &Vec<Vec<i32>>, i: i32, j: i32) -> i32 {
        // 若為左上角單元格，則終止搜尋
        if i == 0 && j == 0 {
            return grid[0][0];
        }
        // 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
        if i < 0 || j < 0 {
            return i32::MAX;
        }
        // 計算從左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路徑代價
        let up = min_path_sum_dfs(grid, i - 1, j);
        let left = min_path_sum_dfs(grid, i, j - 1);
        // 返回從左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
        std::cmp::min(left, up) + grid[i as usize][j as usize]
    }

min_path_sum.c

    /* 最小路徑和：暴力搜尋 */
    int minPathSumDFS(int grid[MAX_SIZE][MAX_SIZE], int i, int j) {
        // 若為左上角單元格，則終止搜尋
        if (i == 0 && j == 0) {
            return grid[0][0];
        }
        // 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
        if (i < 0 || j < 0) {
            return INT_MAX;
        }
        // 計算從左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路徑代價
        int up = minPathSumDFS(grid, i - 1, j);
        int left = minPathSumDFS(grid, i, j - 1);
        // 返回從左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
        return myMin(left, up) != INT_MAX ? myMin(left, up) + grid[i][j] : INT_MAX;
    }

min_path_sum.kt

    /* 最小路徑和：暴力搜尋 */
    fun minPathSumDFS(grid: Array<IntArray>, i: Int, j: Int): Int {
        // 若為左上角單元格，則終止搜尋
        if (i == 0 && j == 0) {
            return grid[0][0]
        }
        // 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
        if (i < 0 || j < 0) {
            return Int.MAX_VALUE
        }
        // 計算從左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路徑代價
        val up = minPathSumDFS(grid, i - 1, j)
        val left = minPathSumDFS(grid, i, j - 1)
        // 返回從左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
        return min(left, up) + grid[i][j]
    }

min_path_sum.rb

    ### 最小路徑和：暴力搜尋 ###
    def min_path_sum_dfs(grid, i, j)
      # 若為左上角單元格，則終止搜尋
      return grid[i][j] if i == 0 && j == 0
      # 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
      return Float::INFINITY if i < 0 || j < 0
      # 計算從左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路徑代價
      up = min_path_sum_dfs(grid, i - 1, j)
      left = min_path_sum_dfs(grid, i, j - 1)
      # 返回從左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
      [left, up].min + grid[i][j]
    end

視覺化執行

全螢幕觀看 >

圖 14-14 給出了以 \(dp[2, 1]\) 為根節點的遞迴樹，其中包含一些重疊子問題，其數量會隨著網格 `grid` 的尺寸變大而急劇增多。

從本質上看，造成重疊子問題的原因為：存在多條路徑可以從左上角到達某一單元格。

圖 14-14 暴力搜尋遞迴樹

每個狀態都有向下和向右兩種選擇，從左上角走到右下角總共需要 \(m + n - 2\) 步，所以最差時間複雜度為 \(O(2^{m + n})\) ，其中 \(n\) 和 \(m\) 分別為網格的行數和列數。請注意，這種計算方式未考慮臨近網格邊界的情況，當到達網格邊界時只剩下一種選擇，因此實際的路徑數量會少一些。

### 2. 方法二：記憶化搜尋

我們引入一個和網格 `grid` 相同尺寸的記憶串列 `mem` ，用於記錄各個子問題的解，並將重疊子問題進行剪枝：

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby
min_path_sum.py

    def min_path_sum_dfs_mem(
        grid: list[list[int]], mem: list[list[int]], i: int, j: int
    ) -> int:
        """最小路徑和：記憶化搜尋"""
        # 若為左上角單元格，則終止搜尋
        if i == 0 and j == 0:
            return grid[0][0]
        # 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
        if i < 0 or j < 0:
            return inf
        # 若已有記錄，則直接返回
        if mem[i][j] != -1:
            return mem[i][j]
        # 左邊和上邊單元格的最小路徑代價
        up = min_path_sum_dfs_mem(grid, mem, i - 1, j)
        left = min_path_sum_dfs_mem(grid, mem, i, j - 1)
        # 記錄並返回左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
        mem[i][j] = min(left, up) + grid[i][j]
        return mem[i][j]

min_path_sum.cpp

    /* 最小路徑和：記憶化搜尋 */
    int minPathSumDFSMem(vector<vector<int>> &grid, vector<vector<int>> &mem, int i, int j) {
        // 若為左上角單元格，則終止搜尋
        if (i == 0 && j == 0) {
            return grid[0][0];
        }
        // 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
        if (i < 0 || j < 0) {
            return INT_MAX;
        }
        // 若已有記錄，則直接返回
        if (mem[i][j] != -1) {
            return mem[i][j];
        }
        // 左邊和上邊單元格的最小路徑代價
        int up = minPathSumDFSMem(grid, mem, i - 1, j);
        int left = minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j - 1);
        // 記錄並返回左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
        mem[i][j] = min(left, up) != INT_MAX ? min(left, up) + grid[i][j] : INT_MAX;
        return mem[i][j];
    }

min_path_sum.java

    /* 最小路徑和：記憶化搜尋 */
    int minPathSumDFSMem(int[][] grid, int[][] mem, int i, int j) {
        // 若為左上角單元格，則終止搜尋
        if (i == 0 && j == 0) {
            return grid[0][0];
        }
        // 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
        if (i < 0 || j < 0) {
            return Integer.MAX_VALUE;
        }
        // 若已有記錄，則直接返回
        if (mem[i][j] != -1) {
            return mem[i][j];
        }
        // 左邊和上邊單元格的最小路徑代價
        int up = minPathSumDFSMem(grid, mem, i - 1, j);
        int left = minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j - 1);
        // 記錄並返回左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
        mem[i][j] = Math.min(left, up) + grid[i][j];
        return mem[i][j];
    }

min_path_sum.cs

    /* 最小路徑和：記憶化搜尋 */
    int MinPathSumDFSMem(int[][] grid, int[][] mem, int i, int j) {
        // 若為左上角單元格，則終止搜尋
        if (i == 0 && j == 0) {
            return grid[0][0];
        }
        // 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
        if (i < 0 || j < 0) {
            return int.MaxValue;
        }
        // 若已有記錄，則直接返回
        if (mem[i][j] != -1) {
            return mem[i][j];
        }
        // 左邊和上邊單元格的最小路徑代價
        int up = MinPathSumDFSMem(grid, mem, i - 1, j);
        int left = MinPathSumDFSMem(grid, mem, i, j - 1);
        // 記錄並返回左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
        mem[i][j] = Math.Min(left, up) + grid[i][j];
        return mem[i][j];
    }

min_path_sum.go

    /* 最小路徑和：記憶化搜尋 */
    func minPathSumDFSMem(grid, mem [][]int, i, j int) int {
        // 若為左上角單元格，則終止搜尋
        if i == 0 && j == 0 {
            return grid[0][0]
        }
        // 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
        if i < 0 || j < 0 {
            return math.MaxInt
        }
        // 若已有記錄，則直接返回
        if mem[i][j] != -1 {
            return mem[i][j]
        }
        // 左邊和上邊單元格的最小路徑代價
        up := minPathSumDFSMem(grid, mem, i-1, j)
        left := minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j-1)
        // 記錄並返回左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
        mem[i][j] = int(math.Min(float64(left), float64(up))) + grid[i][j]
        return mem[i][j]
    }

min_path_sum.swift

    /* 最小路徑和：記憶化搜尋 */
    func minPathSumDFSMem(grid: [[Int]], mem: inout [[Int]], i: Int, j: Int) -> Int {
        // 若為左上角單元格，則終止搜尋
        if i == 0, j == 0 {
            return grid[0][0]
        }
        // 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
        if i < 0 || j < 0 {
            return .max
        }
        // 若已有記錄，則直接返回
        if mem[i][j] != -1 {
            return mem[i][j]
        }
        // 左邊和上邊單元格的最小路徑代價
        let up = minPathSumDFSMem(grid: grid, mem: &mem, i: i - 1, j: j)
        let left = minPathSumDFSMem(grid: grid, mem: &mem, i: i, j: j - 1)
        // 記錄並返回左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
        mem[i][j] = min(left, up) + grid[i][j]
        return mem[i][j]
    }

min_path_sum.js

    /* 最小路徑和：記憶化搜尋 */
    function minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j) {
        // 若為左上角單元格，則終止搜尋
        if (i === 0 && j === 0) {
            return grid[0][0];
        }
        // 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
        if (i < 0 || j < 0) {
            return Infinity;
        }
        // 若已有記錄，則直接返回
        if (mem[i][j] !== -1) {
            return mem[i][j];
        }
        // 左邊和上邊單元格的最小路徑代價
        const up = minPathSumDFSMem(grid, mem, i - 1, j);
        const left = minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j - 1);
        // 記錄並返回左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
        mem[i][j] = Math.min(left, up) + grid[i][j];
        return mem[i][j];
    }

min_path_sum.ts

    /* 最小路徑和：記憶化搜尋 */
    function minPathSumDFSMem(
        grid: Array<Array<number>>,
        mem: Array<Array<number>>,
        i: number,
        j: number
    ): number {
        // 若為左上角單元格，則終止搜尋
        if (i === 0 && j === 0) {
            return grid[0][0];
        }
        // 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
        if (i < 0 || j < 0) {
            return Infinity;
        }
        // 若已有記錄，則直接返回
        if (mem[i][j] != -1) {
            return mem[i][j];
        }
        // 左邊和上邊單元格的最小路徑代價
        const up = minPathSumDFSMem(grid, mem, i - 1, j);
        const left = minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j - 1);
        // 記錄並返回左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
        mem[i][j] = Math.min(left, up) + grid[i][j];
        return mem[i][j];
    }

min_path_sum.dart

    /* 最小路徑和：記憶化搜尋 */
    int minPathSumDFSMem(List<List<int>> grid, List<List<int>> mem, int i, int j) {
      // 若為左上角單元格，則終止搜尋
      if (i == 0 && j == 0) {
        return grid[0][0];
      }
      // 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
      if (i < 0 || j < 0) {
        // 在 Dart 中，int 型別是固定範圍的整數，不存在表示“無窮大”的值
        return BigInt.from(2).pow(31).toInt();
      }
      // 若已有記錄，則直接返回
      if (mem[i][j] != -1) {
        return mem[i][j];
      }
      // 左邊和上邊單元格的最小路徑代價
      int up = minPathSumDFSMem(grid, mem, i - 1, j);
      int left = minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j - 1);
      // 記錄並返回左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
      mem[i][j] = min(left, up) + grid[i][j];
      return mem[i][j];
    }

min_path_sum.rs

    /* 最小路徑和：記憶化搜尋 */
    fn min_path_sum_dfs_mem(grid: &Vec<Vec<i32>>, mem: &mut Vec<Vec<i32>>, i: i32, j: i32) -> i32 {
        // 若為左上角單元格，則終止搜尋
        if i == 0 && j == 0 {
            return grid[0][0];
        }
        // 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
        if i < 0 || j < 0 {
            return i32::MAX;
        }
        // 若已有記錄，則直接返回
        if mem[i as usize][j as usize] != -1 {
            return mem[i as usize][j as usize];
        }
        // 左邊和上邊單元格的最小路徑代價
        let up = min_path_sum_dfs_mem(grid, mem, i - 1, j);
        let left = min_path_sum_dfs_mem(grid, mem, i, j - 1);
        // 記錄並返回左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
        mem[i as usize][j as usize] = std::cmp::min(left, up) + grid[i as usize][j as usize];
        mem[i as usize][j as usize]
    }

min_path_sum.c

    /* 最小路徑和：記憶化搜尋 */
    int minPathSumDFSMem(int grid[MAX_SIZE][MAX_SIZE], int mem[MAX_SIZE][MAX_SIZE], int i, int j) {
        // 若為左上角單元格，則終止搜尋
        if (i == 0 && j == 0) {
            return grid[0][0];
        }
        // 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
        if (i < 0 || j < 0) {
            return INT_MAX;
        }
        // 若已有記錄，則直接返回
        if (mem[i][j] != -1) {
            return mem[i][j];
        }
        // 左邊和上邊單元格的最小路徑代價
        int up = minPathSumDFSMem(grid, mem, i - 1, j);
        int left = minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j - 1);
        // 記錄並返回左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
        mem[i][j] = myMin(left, up) != INT_MAX ? myMin(left, up) + grid[i][j] : INT_MAX;
        return mem[i][j];
    }

min_path_sum.kt

    /* 最小路徑和：記憶化搜尋 */
    fun minPathSumDFSMem(
        grid: Array<IntArray>,
        mem: Array<IntArray>,
        i: Int,
        j: Int
    ): Int {
        // 若為左上角單元格，則終止搜尋
        if (i == 0 && j == 0) {
            return grid[0][0]
        }
        // 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
        if (i < 0 || j < 0) {
            return Int.MAX_VALUE
        }
        // 若已有記錄，則直接返回
        if (mem[i][j] != -1) {
            return mem[i][j]
        }
        // 左邊和上邊單元格的最小路徑代價
        val up = minPathSumDFSMem(grid, mem, i - 1, j)
        val left = minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j - 1)
        // 記錄並返回左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
        mem[i][j] = min(left, up) + grid[i][j]
        return mem[i][j]
    }

min_path_sum.rb

    ### 最小路徑和：記憶化搜尋 ###
    def min_path_sum_dfs_mem(grid, mem, i, j)
      # 若為左上角單元格，則終止搜尋
      return grid[0][0] if i == 0 && j == 0
      # 若行列索引越界，則返回 +∞ 代價
      return Float::INFINITY if i < 0 || j < 0
      # 若已有記錄，則直接返回
      return mem[i][j] if mem[i][j] != -1
      # 左邊和上邊單元格的最小路徑代價
      up = min_path_sum_dfs_mem(grid, mem, i - 1, j)
      left = min_path_sum_dfs_mem(grid, mem, i, j - 1)
      # 記錄並返回左上角到 (i, j) 的最小路徑代價
      mem[i][j] = [left, up].min + grid[i][j]
    end

視覺化執行

全螢幕觀看 >

如圖 14-15 所示，在引入記憶化後，所有子問題的解只需計算一次，因此時間複雜度取決於狀態總數，即網格尺寸 \(O(nm)\) 。

圖 14-15 記憶化搜尋遞迴樹

### 3. 方法三：動態規劃

基於迭代實現動態規劃解法，程式碼如下所示：

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby
min_path_sum.py

    def min_path_sum_dp(grid: list[list[int]]) -> int:
        """最小路徑和：動態規劃"""
        n, m = len(grid), len(grid[0])
        # 初始化 dp 表
        dp = [[0] * m for _ in range(n)]
        dp[0][0] = grid[0][0]
        # 狀態轉移：首行
        for j in range(1, m):
            dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j]
        # 狀態轉移：首列
        for i in range(1, n):
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0]
        # 狀態轉移：其餘行和列
        for i in range(1, n):
            for j in range(1, m):
                dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j]
        return dp[n - 1][m - 1]

min_path_sum.cpp

    /* 最小路徑和：動態規劃 */
    int minPathSumDP(vector<vector<int>> &grid) {
        int n = grid.size(), m = grid[0].size();
        // 初始化 dp 表
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(m));
        dp[0][0] = grid[0][0];
        // 狀態轉移：首行
        for (int j = 1; j < m; j++) {
            dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
        }
        // 狀態轉移：首列
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
        }
        // 狀態轉移：其餘行和列
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 1; j < m; j++) {
                dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[n - 1][m - 1];
    }

min_path_sum.java

    /* 最小路徑和：動態規劃 */
    int minPathSumDP(int[][] grid) {
        int n = grid.length, m = grid[0].length;
        // 初始化 dp 表
        int[][] dp = new int[n][m];
        dp[0][0] = grid[0][0];
        // 狀態轉移：首行
        for (int j = 1; j < m; j++) {
            dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
        }
        // 狀態轉移：首列
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
        }
        // 狀態轉移：其餘行和列
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 1; j < m; j++) {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[n - 1][m - 1];
    }

min_path_sum.cs

    /* 最小路徑和：動態規劃 */
    int MinPathSumDP(int[][] grid) {
        int n = grid.Length, m = grid[0].Length;
        // 初始化 dp 表
        int[,] dp = new int[n, m];
        dp[0, 0] = grid[0][0];
        // 狀態轉移：首行
        for (int j = 1; j < m; j++) {
            dp[0, j] = dp[0, j - 1] + grid[0][j];
        }
        // 狀態轉移：首列
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            dp[i, 0] = dp[i - 1, 0] + grid[i][0];
        }
        // 狀態轉移：其餘行和列
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 1; j < m; j++) {
                dp[i, j] = Math.Min(dp[i, j - 1], dp[i - 1, j]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[n - 1, m - 1];
    }

min_path_sum.go

    /* 最小路徑和：動態規劃 */
    func minPathSumDP(grid [][]int) int {
        n, m := len(grid), len(grid[0])
        // 初始化 dp 表
        dp := make([][]int, n)
        for i := 0; i < n; i++ {
            dp[i] = make([]int, m)
        }
        dp[0][0] = grid[0][0]
        // 狀態轉移：首行
        for j := 1; j < m; j++ {
            dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]
        }
        // 狀態轉移：首列
        for i := 1; i < n; i++ {
            dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]
        }
        // 狀態轉移：其餘行和列
        for i := 1; i < n; i++ {
            for j := 1; j < m; j++ {
                dp[i][j] = int(math.Min(float64(dp[i][j-1]), float64(dp[i-1][j]))) + grid[i][j]
            }
        }
        return dp[n-1][m-1]
    }

min_path_sum.swift

    /* 最小路徑和：動態規劃 */
    func minPathSumDP(grid: [[Int]]) -> Int {
        let n = grid.count
        let m = grid[0].count
        // 初始化 dp 表
        var dp = Array(repeating: Array(repeating: 0, count: m), count: n)
        dp[0][0] = grid[0][0]
        // 狀態轉移：首行
        for j in 1 ..< m {
            dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j]
        }
        // 狀態轉移：首列
        for i in 1 ..< n {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0]
        }
        // 狀態轉移：其餘行和列
        for i in 1 ..< n {
            for j in 1 ..< m {
                dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j]
            }
        }
        return dp[n - 1][m - 1]
    }

min_path_sum.js

    /* 最小路徑和：動態規劃 */
    function minPathSumDP(grid) {
        const n = grid.length,
            m = grid[0].length;
        // 初始化 dp 表
        const dp = Array.from({ length: n }, () =>
            Array.from({ length: m }, () => 0)
        );
        dp[0][0] = grid[0][0];
        // 狀態轉移：首行
        for (let j = 1; j < m; j++) {
            dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
        }
        // 狀態轉移：首列
        for (let i = 1; i < n; i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
        }
        // 狀態轉移：其餘行和列
        for (let i = 1; i < n; i++) {
            for (let j = 1; j < m; j++) {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[n - 1][m - 1];
    }

min_path_sum.ts

    /* 最小路徑和：動態規劃 */
    function minPathSumDP(grid: Array<Array<number>>): number {
        const n = grid.length,
            m = grid[0].length;
        // 初始化 dp 表
        const dp = Array.from({ length: n }, () =>
            Array.from({ length: m }, () => 0)
        );
        dp[0][0] = grid[0][0];
        // 狀態轉移：首行
        for (let j = 1; j < m; j++) {
            dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
        }
        // 狀態轉移：首列
        for (let i = 1; i < n; i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
        }
        // 狀態轉移：其餘行和列
        for (let i = 1; i < n; i++) {
            for (let j: number = 1; j < m; j++) {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[n - 1][m - 1];
    }

min_path_sum.dart

    /* 最小路徑和：動態規劃 */
    int minPathSumDP(List<List<int>> grid) {
      int n = grid.length, m = grid[0].length;
      // 初始化 dp 表
      List<List<int>> dp = List.generate(n, (i) => List.filled(m, 0));
      dp[0][0] = grid[0][0];
      // 狀態轉移：首行
      for (int j = 1; j < m; j++) {
        dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
      }
      // 狀態轉移：首列
      for (int i = 1; i < n; i++) {
        dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
      }
      // 狀態轉移：其餘行和列
      for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 1; j < m; j++) {
          dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
        }
      }
      return dp[n - 1][m - 1];
    }

min_path_sum.rs

    /* 最小路徑和：動態規劃 */
    fn min_path_sum_dp(grid: &Vec<Vec<i32>>) -> i32 {
        let (n, m) = (grid.len(), grid[0].len());
        // 初始化 dp 表
        let mut dp = vec![vec![0; m]; n];
        dp[0][0] = grid[0][0];
        // 狀態轉移：首行
        for j in 1..m {
            dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
        }
        // 狀態轉移：首列
        for i in 1..n {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
        }
        // 狀態轉移：其餘行和列
        for i in 1..n {
            for j in 1..m {
                dp[i][j] = std::cmp::min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
            }
        }
        dp[n - 1][m - 1]
    }

min_path_sum.c

    /* 最小路徑和：動態規劃 */
    int minPathSumDP(int grid[MAX_SIZE][MAX_SIZE], int n, int m) {
        // 初始化 dp 表
        int **dp = malloc(n * sizeof(int *));
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[i] = calloc(m, sizeof(int));
        }
        dp[0][0] = grid[0][0];
        // 狀態轉移：首行
        for (int j = 1; j < m; j++) {
            dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
        }
        // 狀態轉移：首列
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
        }
        // 狀態轉移：其餘行和列
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 1; j < m; j++) {
                dp[i][j] = myMin(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
            }
        }
        int res = dp[n - 1][m - 1];
        // 釋放記憶體
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            free(dp[i]);
        }
        return res;
    }

min_path_sum.kt

    /* 最小路徑和：動態規劃 */
    fun minPathSumDP(grid: Array<IntArray>): Int {
        val n = grid.size
        val m = grid[0].size
        // 初始化 dp 表
        val dp = Array(n) { IntArray(m) }
        dp[0][0] = grid[0][0]
        // 狀態轉移：首行
        for (j in 1..<m) {
            dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j]
        }
        // 狀態轉移：首列
        for (i in 1..<n) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0]
        }
        // 狀態轉移：其餘行和列
        for (i in 1..<n) {
            for (j in 1..<m) {
                dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j]
            }
        }
        return dp[n - 1][m - 1]
    }

min_path_sum.rb

    ### 最小路徑和：動態規劃 ###
    def min_path_sum_dp(grid)
      n, m = grid.length, grid.first.length
      # 初始化 dp 表
      dp = Array.new(n) { Array.new(m, 0) }
      dp[0][0] = grid[0][0]
      # 狀態轉移：首行
      (1...m).each { |j| dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j] }
      # 狀態轉移：首列
      (1...n).each { |i| dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0] }
      # 狀態轉移：其餘行和列
      for i in 1...n
        for j in 1...m
          dp[i][j] = [dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]].min + grid[i][j]
        end
      end
      dp[n -1][m -1]
    end

視覺化執行

全螢幕觀看 >

圖 14-16 展示了最小路徑和的狀態轉移過程，其走訪了整個網格，因此時間複雜度為 \(O(nm)\) 。

陣列 `dp` 大小為 \(n \times m\) ，因此空間複雜度為 \(O(nm)\) 。

<1><2><3><4><5><6><7><8><9><10><11><12>

圖 14-16 最小路徑和的動態規劃過程

### 4. 空間最佳化

由於每個格子只與其左邊和上邊的格子有關，因此我們可以只用一個單行陣列來實現 \(dp\) 表。

請注意，因為陣列 `dp` 只能表示一行的狀態，所以我們無法提前初始化首列狀態，而是在走訪每行時更新它：

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby
min_path_sum.py

    def min_path_sum_dp_comp(grid: list[list[int]]) -> int:
        """最小路徑和：空間最佳化後的動態規劃"""
        n, m = len(grid), len(grid[0])
        # 初始化 dp 表
        dp = [0] * m
        # 狀態轉移：首行
        dp[0] = grid[0][0]
        for j in range(1, m):
            dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j]
        # 狀態轉移：其餘行
        for i in range(1, n):
            # 狀態轉移：首列
            dp[0] = dp[0] + grid[i][0]
            # 狀態轉移：其餘列
            for j in range(1, m):
                dp[j] = min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j]
        return dp[m - 1]

min_path_sum.cpp

    /* 最小路徑和：空間最佳化後的動態規劃 */
    int minPathSumDPComp(vector<vector<int>> &grid) {
        int n = grid.size(), m = grid[0].size();
        // 初始化 dp 表
        vector<int> dp(m);
        // 狀態轉移：首行
        dp[0] = grid[0][0];
        for (int j = 1; j < m; j++) {
            dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j];
        }
        // 狀態轉移：其餘行
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            // 狀態轉移：首列
            dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
            // 狀態轉移：其餘列
            for (int j = 1; j < m; j++) {
                dp[j] = min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[m - 1];
    }

min_path_sum.java

    /* 最小路徑和：空間最佳化後的動態規劃 */
    int minPathSumDPComp(int[][] grid) {
        int n = grid.length, m = grid[0].length;
        // 初始化 dp 表
        int[] dp = new int[m];
        // 狀態轉移：首行
        dp[0] = grid[0][0];
        for (int j = 1; j < m; j++) {
            dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j];
        }
        // 狀態轉移：其餘行
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            // 狀態轉移：首列
            dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
            // 狀態轉移：其餘列
            for (int j = 1; j < m; j++) {
                dp[j] = Math.min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[m - 1];
    }

min_path_sum.cs

    /* 最小路徑和：空間最佳化後的動態規劃 */
    int MinPathSumDPComp(int[][] grid) {
        int n = grid.Length, m = grid[0].Length;
        // 初始化 dp 表
        int[] dp = new int[m];
        dp[0] = grid[0][0];
        // 狀態轉移：首行
        for (int j = 1; j < m; j++) {
            dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j];
        }
        // 狀態轉移：其餘行
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            // 狀態轉移：首列
            dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
            // 狀態轉移：其餘列
            for (int j = 1; j < m; j++) {
                dp[j] = Math.Min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[m - 1];
    }

min_path_sum.go

    /* 最小路徑和：空間最佳化後的動態規劃 */
    func minPathSumDPComp(grid [][]int) int {
        n, m := len(grid), len(grid[0])
        // 初始化 dp 表
        dp := make([]int, m)
        // 狀態轉移：首行
        dp[0] = grid[0][0]
        for j := 1; j < m; j++ {
            dp[j] = dp[j-1] + grid[0][j]
        }
        // 狀態轉移：其餘行和列
        for i := 1; i < n; i++ {
            // 狀態轉移：首列
            dp[0] = dp[0] + grid[i][0]
            // 狀態轉移：其餘列
            for j := 1; j < m; j++ {
                dp[j] = int(math.Min(float64(dp[j-1]), float64(dp[j]))) + grid[i][j]
            }
        }
        return dp[m-1]
    }

min_path_sum.swift

    /* 最小路徑和：空間最佳化後的動態規劃 */
    func minPathSumDPComp(grid: [[Int]]) -> Int {
        let n = grid.count
        let m = grid[0].count
        // 初始化 dp 表
        var dp = Array(repeating: 0, count: m)
        // 狀態轉移：首行
        dp[0] = grid[0][0]
        for j in 1 ..< m {
            dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j]
        }
        // 狀態轉移：其餘行
        for i in 1 ..< n {
            // 狀態轉移：首列
            dp[0] = dp[0] + grid[i][0]
            // 狀態轉移：其餘列
            for j in 1 ..< m {
                dp[j] = min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j]
            }
        }
        return dp[m - 1]
    }

min_path_sum.js

    /* 最小路徑和：空間最佳化後的動態規劃 */
    function minPathSumDPComp(grid) {
        const n = grid.length,
            m = grid[0].length;
        // 初始化 dp 表
        const dp = new Array(m);
        // 狀態轉移：首行
        dp[0] = grid[0][0];
        for (let j = 1; j < m; j++) {
            dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j];
        }
        // 狀態轉移：其餘行
        for (let i = 1; i < n; i++) {
            // 狀態轉移：首列
            dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
            // 狀態轉移：其餘列
            for (let j = 1; j < m; j++) {
                dp[j] = Math.min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[m - 1];
    }

min_path_sum.ts

    /* 最小路徑和：空間最佳化後的動態規劃 */
    function minPathSumDPComp(grid: Array<Array<number>>): number {
        const n = grid.length,
            m = grid[0].length;
        // 初始化 dp 表
        const dp = new Array(m);
        // 狀態轉移：首行
        dp[0] = grid[0][0];
        for (let j = 1; j < m; j++) {
            dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j];
        }
        // 狀態轉移：其餘行
        for (let i = 1; i < n; i++) {
            // 狀態轉移：首列
            dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
            // 狀態轉移：其餘列
            for (let j = 1; j < m; j++) {
                dp[j] = Math.min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[m - 1];
    }

min_path_sum.dart

    /* 最小路徑和：空間最佳化後的動態規劃 */
    int minPathSumDPComp(List<List<int>> grid) {
      int n = grid.length, m = grid[0].length;
      // 初始化 dp 表
      List<int> dp = List.filled(m, 0);
      dp[0] = grid[0][0];
      for (int j = 1; j < m; j++) {
        dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j];
      }
      // 狀態轉移：其餘行
      for (int i = 1; i < n; i++) {
        // 狀態轉移：首列
        dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
        // 狀態轉移：其餘列
        for (int j = 1; j < m; j++) {
          dp[j] = min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j];
        }
      }
      return dp[m - 1];
    }

min_path_sum.rs

    /* 最小路徑和：空間最佳化後的動態規劃 */
    fn min_path_sum_dp_comp(grid: &Vec<Vec<i32>>) -> i32 {
        let (n, m) = (grid.len(), grid[0].len());
        // 初始化 dp 表
        let mut dp = vec![0; m];
        // 狀態轉移：首行
        dp[0] = grid[0][0];
        for j in 1..m {
            dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j];
        }
        // 狀態轉移：其餘行
        for i in 1..n {
            // 狀態轉移：首列
            dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
            // 狀態轉移：其餘列
            for j in 1..m {
                dp[j] = std::cmp::min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j];
            }
        }
        dp[m - 1]
    }

min_path_sum.c

    /* 最小路徑和：空間最佳化後的動態規劃 */
    int minPathSumDPComp(int grid[MAX_SIZE][MAX_SIZE], int n, int m) {
        // 初始化 dp 表
        int *dp = calloc(m, sizeof(int));
        // 狀態轉移：首行
        dp[0] = grid[0][0];
        for (int j = 1; j < m; j++) {
            dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j];
        }
        // 狀態轉移：其餘行
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            // 狀態轉移：首列
            dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
            // 狀態轉移：其餘列
            for (int j = 1; j < m; j++) {
                dp[j] = myMin(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j];
            }
        }
        int res = dp[m - 1];
        // 釋放記憶體
        free(dp);
        return res;
    }

min_path_sum.kt

    /* 最小路徑和：空間最佳化後的動態規劃 */
    fun minPathSumDPComp(grid: Array<IntArray>): Int {
        val n = grid.size
        val m = grid[0].size
        // 初始化 dp 表
        val dp = IntArray(m)
        // 狀態轉移：首行
        dp[0] = grid[0][0]
        for (j in 1..<m) {
            dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j]
        }
        // 狀態轉移：其餘行
        for (i in 1..<n) {
            // 狀態轉移：首列
            dp[0] = dp[0] + grid[i][0]
            // 狀態轉移：其餘列
            for (j in 1..<m) {
                dp[j] = min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j]
            }
        }
        return dp[m - 1]
    }

min_path_sum.rb

    ### 最小路徑和：空間最佳化後的動態規劃 ###
    def min_path_sum_dp_comp(grid)
      n, m = grid.length, grid.first.length
      # 初始化 dp 表
      dp = Array.new(m, 0)
      # 狀態轉移：首行
      dp[0] = grid[0][0]
      (1...m).each { |j| dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j] }
      # 狀態轉移：其餘行
      for i in 1...n
        # 狀態轉移：首列
        dp[0] = dp[0] + grid[i][0]
        # 狀態轉移：其餘列
        (1...m).each { |j| dp[j] = [dp[j - 1], dp[j]].min + grid[i][j] }
      end
      dp[m - 1]
    end

視覺化執行

全螢幕觀看 >

##### 歡迎在評論區留下你的見解、問題或建議