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# 14.6 編輯距離問題

編輯距離，也稱 Levenshtein 距離，指兩個字串之間互相轉換的最少修改次數，通常用於在資訊檢索和自然語言處理中度量兩個序列的相似度。

Question

輸入兩個字串 \(s\) 和 \(t\) ，返回將 \(s\) 轉換為 \(t\) 所需的最少編輯步數。

你可以在一個字串中進行三種編輯操作：插入一個字元、刪除一個字元、將字元替換為任意一個字元。

如圖 14-27 所示，將 `kitten` 轉換為 `sitting` 需要編輯 3 步，包括 2 次替換操作與 1 次新增操作；將 `hello` 轉換為 `algo` 需要 3 步，包括 2 次替換操作和 1 次刪除操作。

圖 14-27 編輯距離的示例資料

編輯距離問題可以很自然地用決策樹模型來解釋。字串對應樹節點，一輪決策（一次編輯操作）對應樹的一條邊。

如圖 14-28 所示，在不限制操作的情況下，每個節點都可以派生出許多條邊，每條邊對應一種操作，這意味著從 `hello` 轉換到 `algo` 有許多種可能的路徑。

從決策樹的角度看，本題的目標是求解節點 `hello` 和節點 `algo` 之間的最短路徑。

圖 14-28 基於決策樹模型表示編輯距離問題

### 1. 動態規劃思路

第一步：思考每輪的決策，定義狀態，從而得到 \(dp\) 表

每一輪的決策是對字串 \(s\) 進行一次編輯操作。

我們希望在編輯操作的過程中，問題的規模逐漸縮小，這樣才能構建子問題。設字串 \(s\) 和 \(t\) 的長度分別為 \(n\) 和 \(m\) ，我們先考慮兩字串尾部的字元 \(s[n-1]\) 和 \(t[m-1]\) 。

- 若 \(s[n-1]\) 和 \(t[m-1]\) 相同，我們可以跳過它們，直接考慮 \(s[n-2]\) 和 \(t[m-2]\) 。
- 若 \(s[n-1]\) 和 \(t[m-1]\) 不同，我們需要對 \(s\) 進行一次編輯（插入、刪除、替換），使得兩字串尾部的字元相同，從而可以跳過它們，考慮規模更小的問題。

也就是說，我們在字串 \(s\) 中進行的每一輪決策（編輯操作），都會使得 \(s\) 和 \(t\) 中剩餘的待匹配字元發生變化。因此，狀態為當前在 \(s\) 和 \(t\) 中考慮的第 \(i\) 和第 \(j\) 個字元，記為 \([i, j]\) 。

狀態 \([i, j]\) 對應的子問題：將 \(s\) 的前 \(i\) 個字元更改為 \(t\) 的前 \(j\) 個字元所需的最少編輯步數。

至此，得到一個尺寸為 \((n+1) \times (m+1)\) 的二維 \(dp\) 表。

第二步：找出最優子結構，進而推導出狀態轉移方程

考慮子問題 \(dp[i, j]\) ，其對應的兩個字串的尾部字元為 \(s[i-1]\) 和 \(t[j-1]\) ，可根據不同編輯操作分為圖 14-29 所示的三種情況。

1. 在 \(s[i-1]\) 之後新增 \(t[j-1]\) ，則剩餘子問題 \(dp[i, j-1]\) 。
2. 刪除 \(s[i-1]\) ，則剩餘子問題 \(dp[i-1, j]\) 。
3. 將 \(s[i-1]\) 替換為 \(t[j-1]\) ，則剩餘子問題 \(dp[i-1, j-1]\) 。

圖 14-29 編輯距離的狀態轉移

根據以上分析，可得最優子結構：\(dp[i, j]\) 的最少編輯步數等於 \(dp[i, j-1]\)、\(dp[i-1, j]\)、\(dp[i-1, j-1]\) 三者中的最少編輯步數，再加上本次的編輯步數 \(1\) 。對應的狀態轉移方程為：

\[ dp[i, j] = \min(dp[i, j-1], dp[i-1, j], dp[i-1, j-1]) + 1 \]

請注意，當 \(s[i-1]\) 和 \(t[j-1]\) 相同時，無須編輯當前字元，這種情況下的狀態轉移方程為：

\[ dp[i, j] = dp[i-1, j-1] \]

第三步：確定邊界條件和狀態轉移順序

當兩字串都為空時，編輯步數為 \(0\) ，即 \(dp[0, 0] = 0\) 。當 \(s\) 為空但 \(t\) 不為空時，最少編輯步數等於 \(t\) 的長度，即首行 \(dp[0, j] = j\) 。當 \(s\) 不為空但 \(t\) 為空時，最少編輯步數等於 \(s\) 的長度，即首列 \(dp[i, 0] = i\) 。

觀察狀態轉移方程，解 \(dp[i, j]\) 依賴左方、上方、左上方的解，因此透過兩層迴圈正序走訪整個 \(dp\) 表即可。

### 2. 程式碼實現

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby
edit_distance.py

    def edit_distance_dp(s: str, t: str) -> int:
        """編輯距離：動態規劃"""
        n, m = len(s), len(t)
        dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]
        # 狀態轉移：首行首列
        for i in range(1, n + 1):
            dp[i][0] = i
        for j in range(1, m + 1):
            dp[0][j] = j
        # 狀態轉移：其餘行和列
        for i in range(1, n + 1):
            for j in range(1, m + 1):
                if s[i - 1] == t[j - 1]:
                    # 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
                else:
                    # 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                    dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]) + 1
        return dp[n][m]

edit_distance.cpp

    /* 編輯距離：動態規劃 */
    int editDistanceDP(string s, string t) {
        int n = s.length(), m = t.length();
        vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1, 0));
        // 狀態轉移：首行首列
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            dp[i][0] = i;
        }
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            dp[0][j] = j;
        }
        // 狀態轉移：其餘行和列
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                    // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                } else {
                    // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                    dp[i][j] = min(min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
                }
            }
        }
        return dp[n][m];
    }

edit_distance.java

    /* 編輯距離：動態規劃 */
    int editDistanceDP(String s, String t) {
        int n = s.length(), m = t.length();
        int[][] dp = new int[n + 1][m + 1];
        // 狀態轉移：首行首列
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            dp[i][0] = i;
        }
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            dp[0][j] = j;
        }
        // 狀態轉移：其餘行和列
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                if (s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
                    // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                } else {
                    // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                    dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
                }
            }
        }
        return dp[n][m];
    }

edit_distance.cs

    /* 編輯距離：動態規劃 */
    int EditDistanceDP(string s, string t) {
        int n = s.Length, m = t.Length;
        int[,] dp = new int[n + 1, m + 1];
        // 狀態轉移：首行首列
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            dp[i, 0] = i;
        }
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            dp[0, j] = j;
        }
        // 狀態轉移：其餘行和列
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                    // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                    dp[i, j] = dp[i - 1, j - 1];
                } else {
                    // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                    dp[i, j] = Math.Min(Math.Min(dp[i, j - 1], dp[i - 1, j]), dp[i - 1, j - 1]) + 1;
                }
            }
        }
        return dp[n, m];
    }

edit_distance.go

    /* 編輯距離：動態規劃 */
    func editDistanceDP(s string, t string) int {
        n := len(s)
        m := len(t)
        dp := make([][]int, n+1)
        for i := 0; i <= n; i++ {
            dp[i] = make([]int, m+1)
        }
        // 狀態轉移：首行首列
        for i := 1; i <= n; i++ {
            dp[i][0] = i
        }
        for j := 1; j <= m; j++ {
            dp[0][j] = j
        }
        // 狀態轉移：其餘行和列
        for i := 1; i <= n; i++ {
            for j := 1; j <= m; j++ {
                if s[i-1] == t[j-1] {
                    // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
                } else {
                    // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                    dp[i][j] = MinInt(MinInt(dp[i][j-1], dp[i-1][j]), dp[i-1][j-1]) + 1
                }
            }
        }
        return dp[n][m]
    }

edit_distance.swift

    /* 編輯距離：動態規劃 */
    func editDistanceDP(s: String, t: String) -> Int {
        let n = s.utf8CString.count
        let m = t.utf8CString.count
        var dp = Array(repeating: Array(repeating: 0, count: m + 1), count: n + 1)
        // 狀態轉移：首行首列
        for i in 1 ... n {
            dp[i][0] = i
        }
        for j in 1 ... m {
            dp[0][j] = j
        }
        // 狀態轉移：其餘行和列
        for i in 1 ... n {
            for j in 1 ... m {
                if s.utf8CString[i - 1] == t.utf8CString[j - 1] {
                    // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
                } else {
                    // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                    dp[i][j] = min(min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1
                }
            }
        }
        return dp[n][m]
    }

edit_distance.js

    /* 編輯距離：動態規劃 */
    function editDistanceDP(s, t) {
        const n = s.length,
            m = t.length;
        const dp = Array.from({ length: n + 1 }, () => new Array(m + 1).fill(0));
        // 狀態轉移：首行首列
        for (let i = 1; i <= n; i++) {
            dp[i][0] = i;
        }
        for (let j = 1; j <= m; j++) {
            dp[0][j] = j;
        }
        // 狀態轉移：其餘行和列
        for (let i = 1; i <= n; i++) {
            for (let j = 1; j <= m; j++) {
                if (s.charAt(i - 1) === t.charAt(j - 1)) {
                    // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                } else {
                    // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                    dp[i][j] =
                        Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]) + 1;
                }
            }
        }
        return dp[n][m];
    }

edit_distance.ts

    /* 編輯距離：動態規劃 */
    function editDistanceDP(s: string, t: string): number {
        const n = s.length,
            m = t.length;
        const dp = Array.from({ length: n + 1 }, () =>
            Array.from({ length: m + 1 }, () => 0)
        );
        // 狀態轉移：首行首列
        for (let i = 1; i <= n; i++) {
            dp[i][0] = i;
        }
        for (let j = 1; j <= m; j++) {
            dp[0][j] = j;
        }
        // 狀態轉移：其餘行和列
        for (let i = 1; i <= n; i++) {
            for (let j = 1; j <= m; j++) {
                if (s.charAt(i - 1) === t.charAt(j - 1)) {
                    // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                } else {
                    // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                    dp[i][j] =
                        Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]) + 1;
                }
            }
        }
        return dp[n][m];
    }

edit_distance.dart

    /* 編輯距離：動態規劃 */
    int editDistanceDP(String s, String t) {
      int n = s.length, m = t.length;
      List<List<int>> dp = List.generate(n + 1, (_) => List.filled(m + 1, 0));
      // 狀態轉移：首行首列
      for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i][0] = i;
      }
      for (int j = 1; j <= m; j++) {
        dp[0][j] = j;
      }
      // 狀態轉移：其餘行和列
      for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
          if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
            // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
          } else {
            // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
            dp[i][j] = min(min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
          }
        }
      }
      return dp[n][m];
    }

edit_distance.rs

    /* 編輯距離：動態規劃 */
    fn edit_distance_dp(s: &str, t: &str) -> i32 {
        let (n, m) = (s.len(), t.len());
        let mut dp = vec![vec![0; m + 1]; n + 1];
        // 狀態轉移：首行首列
        for i in 1..=n {
            dp[i][0] = i as i32;
        }
        for j in 1..m {
            dp[0][j] = j as i32;
        }
        // 狀態轉移：其餘行和列
        for i in 1..=n {
            for j in 1..=m {
                if s.chars().nth(i - 1) == t.chars().nth(j - 1) {
                    // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                } else {
                    // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                    dp[i][j] =
                        std::cmp::min(std::cmp::min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
                }
            }
        }
        dp[n][m]
    }

edit_distance.c

    /* 編輯距離：動態規劃 */
    int editDistanceDP(char *s, char *t, int n, int m) {
        int **dp = malloc((n + 1) * sizeof(int *));
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            dp[i] = calloc(m + 1, sizeof(int));
        }
        // 狀態轉移：首行首列
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            dp[i][0] = i;
        }
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            dp[0][j] = j;
        }
        // 狀態轉移：其餘行和列
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                    // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                } else {
                    // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                    dp[i][j] = myMin(myMin(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
                }
            }
        }
        int res = dp[n][m];
        // 釋放記憶體
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            free(dp[i]);
        }
        return res;
    }

edit_distance.kt

    /* 編輯距離：動態規劃 */
    fun editDistanceDP(s: String, t: String): Int {
        val n = s.length
        val m = t.length
        val dp = Array(n + 1) { IntArray(m + 1) }
        // 狀態轉移：首行首列
        for (i in 1..n) {
            dp[i][0] = i
        }
        for (j in 1..m) {
            dp[0][j] = j
        }
        // 狀態轉移：其餘行和列
        for (i in 1..n) {
            for (j in 1..m) {
                if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                    // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
                } else {
                    // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                    dp[i][j] = min(min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1
                }
            }
        }
        return dp[n][m]
    }

edit_distance.rb

    ### 編輯距離：動態規劃 ###
    def edit_distance_dp(s, t)
      n, m = s.length, t.length
      dp = Array.new(n + 1) { Array.new(m + 1, 0) }
      # 狀態轉移：首行首列
      (1...(n + 1)).each { |i| dp[i][0] = i }
      (1...(m + 1)).each { |j| dp[0][j] = j }
      # 狀態轉移：其餘行和列
      for i in 1...(n + 1)
        for j in 1...(m +1)
          if s[i - 1] == t[j - 1]
            # 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
          else
            # 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
            dp[i][j] = [dp[i][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]].min + 1
          end
        end
      end
      dp[n][m]
    end

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如圖 14-30 所示，編輯距離問題的狀態轉移過程與背包問題非常類似，都可以看作填寫一個二維網格的過程。

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圖 14-30 編輯距離的動態規劃過程

### 3. 空間最佳化

由於 \(dp[i,j]\) 是由上方 \(dp[i-1, j]\)、左方 \(dp[i, j-1]\)、左上方 \(dp[i-1, j-1]\) 轉移而來的，而正序走訪會丟失左上方 \(dp[i-1, j-1]\) ，倒序走訪無法提前構建 \(dp[i, j-1]\) ，因此兩種走訪順序都不可取。

為此，我們可以使用一個變數 `leftup` 來暫存左上方的解 \(dp[i-1, j-1]\) ，從而只需考慮左方和上方的解。此時的情況與完全背包問題相同，可使用正序走訪。程式碼如下所示：

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby
edit_distance.py

    def edit_distance_dp_comp(s: str, t: str) -> int:
        """編輯距離：空間最佳化後的動態規劃"""
        n, m = len(s), len(t)
        dp = [0] * (m + 1)
        # 狀態轉移：首行
        for j in range(1, m + 1):
            dp[j] = j
        # 狀態轉移：其餘行
        for i in range(1, n + 1):
            # 狀態轉移：首列
            leftup = dp[0]  # 暫存 dp[i-1, j-1]
            dp[0] += 1
            # 狀態轉移：其餘列
            for j in range(1, m + 1):
                temp = dp[j]
                if s[i - 1] == t[j - 1]:
                    # 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                    dp[j] = leftup
                else:
                    # 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                    dp[j] = min(dp[j - 1], dp[j], leftup) + 1
                leftup = temp  # 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
        return dp[m]

edit_distance.cpp

    /* 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 */
    int editDistanceDPComp(string s, string t) {
        int n = s.length(), m = t.length();
        vector<int> dp(m + 1, 0);
        // 狀態轉移：首行
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            dp[j] = j;
        }
        // 狀態轉移：其餘行
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // 狀態轉移：首列
            int leftup = dp[0]; // 暫存 dp[i-1, j-1]
            dp[0] = i;
            // 狀態轉移：其餘列
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                int temp = dp[j];
                if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                    // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                    dp[j] = leftup;
                } else {
                    // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                    dp[j] = min(min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
                }
                leftup = temp; // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
            }
        }
        return dp[m];
    }

edit_distance.java

    /* 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 */
    int editDistanceDPComp(String s, String t) {
        int n = s.length(), m = t.length();
        int[] dp = new int[m + 1];
        // 狀態轉移：首行
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            dp[j] = j;
        }
        // 狀態轉移：其餘行
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // 狀態轉移：首列
            int leftup = dp[0]; // 暫存 dp[i-1, j-1]
            dp[0] = i;
            // 狀態轉移：其餘列
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                int temp = dp[j];
                if (s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
                    // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                    dp[j] = leftup;
                } else {
                    // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                    dp[j] = Math.min(Math.min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
                }
                leftup = temp; // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
            }
        }
        return dp[m];
    }

edit_distance.cs

    /* 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 */
    int EditDistanceDPComp(string s, string t) {
        int n = s.Length, m = t.Length;
        int[] dp = new int[m + 1];
        // 狀態轉移：首行
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            dp[j] = j;
        }
        // 狀態轉移：其餘行
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // 狀態轉移：首列
            int leftup = dp[0]; // 暫存 dp[i-1, j-1]
            dp[0] = i;
            // 狀態轉移：其餘列
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                int temp = dp[j];
                if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                    // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                    dp[j] = leftup;
                } else {
                    // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                    dp[j] = Math.Min(Math.Min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
                }
                leftup = temp; // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
            }
        }
        return dp[m];
    }

edit_distance.go

    /* 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 */
    func editDistanceDPComp(s string, t string) int {
        n := len(s)
        m := len(t)
        dp := make([]int, m+1)
        // 狀態轉移：首行
        for j := 1; j <= m; j++ {
            dp[j] = j
        }
        // 狀態轉移：其餘行
        for i := 1; i <= n; i++ {
            // 狀態轉移：首列
            leftUp := dp[0] // 暫存 dp[i-1, j-1]
            dp[0] = i
            // 狀態轉移：其餘列
            for j := 1; j <= m; j++ {
                temp := dp[j]
                if s[i-1] == t[j-1] {
                    // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                    dp[j] = leftUp
                } else {
                    // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                    dp[j] = MinInt(MinInt(dp[j-1], dp[j]), leftUp) + 1
                }
                leftUp = temp // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
            }
        }
        return dp[m]
    }

edit_distance.swift

    /* 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 */
    func editDistanceDPComp(s: String, t: String) -> Int {
        let n = s.utf8CString.count
        let m = t.utf8CString.count
        var dp = Array(repeating: 0, count: m + 1)
        // 狀態轉移：首行
        for j in 1 ... m {
            dp[j] = j
        }
        // 狀態轉移：其餘行
        for i in 1 ... n {
            // 狀態轉移：首列
            var leftup = dp[0] // 暫存 dp[i-1, j-1]
            dp[0] = i
            // 狀態轉移：其餘列
            for j in 1 ... m {
                let temp = dp[j]
                if s.utf8CString[i - 1] == t.utf8CString[j - 1] {
                    // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                    dp[j] = leftup
                } else {
                    // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                    dp[j] = min(min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1
                }
                leftup = temp // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
            }
        }
        return dp[m]
    }

edit_distance.js

    /* 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 */
    function editDistanceDPComp(s, t) {
        const n = s.length,
            m = t.length;
        const dp = new Array(m + 1).fill(0);
        // 狀態轉移：首行
        for (let j = 1; j <= m; j++) {
            dp[j] = j;
        }
        // 狀態轉移：其餘行
        for (let i = 1; i <= n; i++) {
            // 狀態轉移：首列
            let leftup = dp[0]; // 暫存 dp[i-1, j-1]
            dp[0] = i;
            // 狀態轉移：其餘列
            for (let j = 1; j <= m; j++) {
                const temp = dp[j];
                if (s.charAt(i - 1) === t.charAt(j - 1)) {
                    // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                    dp[j] = leftup;
                } else {
                    // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                    dp[j] = Math.min(dp[j - 1], dp[j], leftup) + 1;
                }
                leftup = temp; // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
            }
        }
        return dp[m];
    }

edit_distance.ts

    /* 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 */
    function editDistanceDPComp(s: string, t: string): number {
        const n = s.length,
            m = t.length;
        const dp = new Array(m + 1).fill(0);
        // 狀態轉移：首行
        for (let j = 1; j <= m; j++) {
            dp[j] = j;
        }
        // 狀態轉移：其餘行
        for (let i = 1; i <= n; i++) {
            // 狀態轉移：首列
            let leftup = dp[0]; // 暫存 dp[i-1, j-1]
            dp[0] = i;
            // 狀態轉移：其餘列
            for (let j = 1; j <= m; j++) {
                const temp = dp[j];
                if (s.charAt(i - 1) === t.charAt(j - 1)) {
                    // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                    dp[j] = leftup;
                } else {
                    // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                    dp[j] = Math.min(dp[j - 1], dp[j], leftup) + 1;
                }
                leftup = temp; // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
            }
        }
        return dp[m];
    }

edit_distance.dart

    /* 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 */
    int editDistanceDPComp(String s, String t) {
      int n = s.length, m = t.length;
      List<int> dp = List.filled(m + 1, 0);
      // 狀態轉移：首行
      for (int j = 1; j <= m; j++) {
        dp[j] = j;
      }
      // 狀態轉移：其餘行
      for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // 狀態轉移：首列
        int leftup = dp[0]; // 暫存 dp[i-1, j-1]
        dp[0] = i;
        // 狀態轉移：其餘列
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
          int temp = dp[j];
          if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
            // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
            dp[j] = leftup;
          } else {
            // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
            dp[j] = min(min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
          }
          leftup = temp; // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
        }
      }
      return dp[m];
    }

edit_distance.rs

    /* 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 */
    fn edit_distance_dp_comp(s: &str, t: &str) -> i32 {
        let (n, m) = (s.len(), t.len());
        let mut dp = vec![0; m + 1];
        // 狀態轉移：首行
        for j in 1..m {
            dp[j] = j as i32;
        }
        // 狀態轉移：其餘行
        for i in 1..=n {
            // 狀態轉移：首列
            let mut leftup = dp[0]; // 暫存 dp[i-1, j-1]
            dp[0] = i as i32;
            // 狀態轉移：其餘列
            for j in 1..=m {
                let temp = dp[j];
                if s.chars().nth(i - 1) == t.chars().nth(j - 1) {
                    // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                    dp[j] = leftup;
                } else {
                    // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                    dp[j] = std::cmp::min(std::cmp::min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
                }
                leftup = temp; // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
            }
        }
        dp[m]
    }

edit_distance.c

    /* 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 */
    int editDistanceDPComp(char *s, char *t, int n, int m) {
        int *dp = calloc(m + 1, sizeof(int));
        // 狀態轉移：首行
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            dp[j] = j;
        }
        // 狀態轉移：其餘行
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // 狀態轉移：首列
            int leftup = dp[0]; // 暫存 dp[i-1, j-1]
            dp[0] = i;
            // 狀態轉移：其餘列
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                int temp = dp[j];
                if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                    // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                    dp[j] = leftup;
                } else {
                    // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                    dp[j] = myMin(myMin(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
                }
                leftup = temp; // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
            }
        }
        int res = dp[m];
        // 釋放記憶體
        free(dp);
        return res;
    }

edit_distance.kt

    /* 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 */
    fun editDistanceDPComp(s: String, t: String): Int {
        val n = s.length
        val m = t.length
        val dp = IntArray(m + 1)
        // 狀態轉移：首行
        for (j in 1..m) {
            dp[j] = j
        }
        // 狀態轉移：其餘行
        for (i in 1..n) {
            // 狀態轉移：首列
            var leftup = dp[0] // 暫存 dp[i-1, j-1]
            dp[0] = i
            // 狀態轉移：其餘列
            for (j in 1..m) {
                val temp = dp[j]
                if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                    // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                    dp[j] = leftup
                } else {
                    // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                    dp[j] = min(min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1
                }
                leftup = temp // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
            }
        }
        return dp[m]
    }

edit_distance.rb

    ### 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 ###
    def edit_distance_dp_comp(s, t)
      n, m = s.length, t.length
      dp = Array.new(m + 1, 0)
      # 狀態轉移：首行
      (1...(m + 1)).each { |j| dp[j] = j }
      # 狀態轉移：其餘行
      for i in 1...(n + 1)
        # 狀態轉移：首列
        leftup = dp.first # 暫存 dp[i-1, j-1]
        dp[0] += 1
        # 狀態轉移：其餘列
        for j in 1...(m + 1)
          temp = dp[j]
          if s[i - 1] == t[j - 1]
            # 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
            dp[j] = leftup
          else
            # 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
            dp[j] = [dp[j - 1], dp[j], leftup].min + 1
          end
          leftup = temp # 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
        end
      end
      dp[m]
    end

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