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# 7.4 二叉搜索树

如图 7-16 所示，二叉搜索树（binary search tree）满足以下条件。

1. 对于根节点，左子树中所有节点的值 \(<\) 根节点的值 \(<\) 右子树中所有节点的值。
2. 任意节点的左、右子树也是二叉搜索树，即同样满足条件 `1.` 。

图 7-16 二叉搜索树

## 7.4.1 二叉搜索树的操作

我们将二叉搜索树封装为一个类 `BinarySearchTree` ，并声明一个成员变量 `root` ，指向树的根节点。

### 1. 查找节点

给定目标节点值 `num` ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。如图 7-17 所示，我们声明一个节点 `cur` ，从二叉树的根节点 `root` 出发，循环比较节点值 `cur.val` 和 `num` 之间的大小关系。

- 若 `cur.val < num` ，说明目标节点在 `cur` 的右子树中，因此执行 `cur = cur.right` 。
- 若 `cur.val > num` ，说明目标节点在 `cur` 的左子树中，因此执行 `cur = cur.left` 。
- 若 `cur.val = num` ，说明找到目标节点，跳出循环并返回该节点。

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图 7-17 二叉搜索树查找节点示例

二叉搜索树的查找操作与二分查找算法的工作原理一致，都是每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 \(O(\log n)\) 时间。示例代码如下：

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby
binary_search_tree.py

    def search(self, num: int) -> TreeNode | None:
        """查找节点"""
        cur = self._root
        # 循环查找，越过叶节点后跳出
        while cur is not None:
            # 目标节点在 cur 的右子树中
            if cur.val < num:
                cur = cur.right
            # 目标节点在 cur 的左子树中
            elif cur.val > num:
                cur = cur.left
            # 找到目标节点，跳出循环
            else:
                break
        return cur

binary_search_tree.cpp

    /* 查找节点 */
    TreeNode *search(int num) {
        TreeNode *cur = root;
        // 循环查找，越过叶节点后跳出
        while (cur != nullptr) {
            // 目标节点在 cur 的右子树中
            if (cur->val < num)
                cur = cur->right;
            // 目标节点在 cur 的左子树中
            else if (cur->val > num)
                cur = cur->left;
            // 找到目标节点，跳出循环
            else
                break;
        }
        // 返回目标节点
        return cur;
    }

binary_search_tree.java

    /* 查找节点 */
    TreeNode search(int num) {
        TreeNode cur = root;
        // 循环查找，越过叶节点后跳出
        while (cur != null) {
            // 目标节点在 cur 的右子树中
            if (cur.val < num)
                cur = cur.right;
            // 目标节点在 cur 的左子树中
            else if (cur.val > num)
                cur = cur.left;
            // 找到目标节点，跳出循环
            else
                break;
        }
        // 返回目标节点
        return cur;
    }

binary_search_tree.cs

    /* 查找节点 */
    TreeNode? Search(int num) {
        TreeNode? cur = root;
        // 循环查找，越过叶节点后跳出
        while (cur != null) {
            // 目标节点在 cur 的右子树中
            if (cur.val < num) cur =
                cur.right;
            // 目标节点在 cur 的左子树中
            else if (cur.val > num)
                cur = cur.left;
            // 找到目标节点，跳出循环
            else
                break;
        }
        // 返回目标节点
        return cur;
    }

binary_search_tree.go

    /* 查找节点 */
    func (bst *binarySearchTree) search(num int) *TreeNode {
        node := bst.root
        // 循环查找，越过叶节点后跳出
        for node != nil {
            if node.Val.(int) < num {
                // 目标节点在 cur 的右子树中
                node = node.Right
            } else if node.Val.(int) > num {
                // 目标节点在 cur 的左子树中
                node = node.Left
            } else {
                // 找到目标节点，跳出循环
                break
            }
        }
        // 返回目标节点
        return node
    }

binary_search_tree.swift

    /* 查找节点 */
    func search(num: Int) -> TreeNode? {
        var cur = root
        // 循环查找，越过叶节点后跳出
        while cur != nil {
            // 目标节点在 cur 的右子树中
            if cur!.val < num {
                cur = cur?.right
            }
            // 目标节点在 cur 的左子树中
            else if cur!.val > num {
                cur = cur?.left
            }
            // 找到目标节点，跳出循环
            else {
                break
            }
        }
        // 返回目标节点
        return cur
    }

binary_search_tree.js

    /* 查找节点 */
    search(num) {
        let cur = this.root;
        // 循环查找，越过叶节点后跳出
        while (cur !== null) {
            // 目标节点在 cur 的右子树中
            if (cur.val < num) cur = cur.right;
            // 目标节点在 cur 的左子树中
            else if (cur.val > num) cur = cur.left;
            // 找到目标节点，跳出循环
            else break;
        }
        // 返回目标节点
        return cur;
    }

binary_search_tree.ts

    /* 查找节点 */
    search(num: number): TreeNode | null {
        let cur = this.root;
        // 循环查找，越过叶节点后跳出
        while (cur !== null) {
            // 目标节点在 cur 的右子树中
            if (cur.val < num) cur = cur.right;
            // 目标节点在 cur 的左子树中
            else if (cur.val > num) cur = cur.left;
            // 找到目标节点，跳出循环
            else break;
        }
        // 返回目标节点
        return cur;
    }

binary_search_tree.dart

    /* 查找节点 */
    TreeNode? search(int _num) {
      TreeNode? cur = _root;
      // 循环查找，越过叶节点后跳出
      while (cur != null) {
        // 目标节点在 cur 的右子树中
        if (cur.val < _num)
          cur = cur.right;
        // 目标节点在 cur 的左子树中
        else if (cur.val > _num)
          cur = cur.left;
        // 找到目标节点，跳出循环
        else
          break;
      }
      // 返回目标节点
      return cur;
    }

binary_search_tree.rs

    /* 查找节点 */
    pub fn search(&self, num: i32) -> OptionTreeNodeRc {
        let mut cur = self.root.clone();
        // 循环查找，越过叶节点后跳出
        while let Some(node) = cur.clone() {
            match num.cmp(&node.borrow().val) {
                // 目标节点在 cur 的右子树中
                Ordering::Greater => cur = node.borrow().right.clone(),
                // 目标节点在 cur 的左子树中
                Ordering::Less => cur = node.borrow().left.clone(),
                // 找到目标节点，跳出循环
                Ordering::Equal => break,
            }
        }

        // 返回目标节点
        cur
    }

binary_search_tree.c

    /* 查找节点 */
    TreeNode *search(BinarySearchTree *bst, int num) {
        TreeNode *cur = bst->root;
        // 循环查找，越过叶节点后跳出
        while (cur != NULL) {
            if (cur->val < num) {
                // 目标节点在 cur 的右子树中
                cur = cur->right;
            } else if (cur->val > num) {
                // 目标节点在 cur 的左子树中
                cur = cur->left;
            } else {
                // 找到目标节点，跳出循环
                break;
            }
        }
        // 返回目标节点
        return cur;
    }

binary_search_tree.kt

    /* 查找节点 */
    fun search(num: Int): TreeNode? {
        var cur = root
        // 循环查找，越过叶节点后跳出
        while (cur != null) {
            // 目标节点在 cur 的右子树中
            cur = if (cur._val < num)
                cur.right
            // 目标节点在 cur 的左子树中
            else if (cur._val > num)
                cur.left
            // 找到目标节点，跳出循环
            else
                break
        }
        // 返回目标节点
        return cur
    }

binary_search_tree.rb

    ### 查找节点 ###
    def search(num)
      cur = @root

      # 循环查找，越过叶节点后跳出
      while !cur.nil?
        # 目标节点在 cur 的右子树中
        if cur.val < num
          cur = cur.right
        # 目标节点在 cur 的左子树中
        elsif cur.val > num
          cur = cur.left
        # 找到目标节点，跳出循环
        else
          break
        end
      end

      cur
    end

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### 2. 插入节点

给定一个待插入元素 `num` ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，插入操作流程如图 7-18 所示。

1. 查找插入位置：与查找操作相似，从根节点出发，根据当前节点值和 `num` 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶节点（遍历至 `None` ）时跳出循环。
2. 在该位置插入节点：初始化节点 `num` ，将该节点置于 `None` 的位置。

图 7-18 在二叉搜索树中插入节点

在代码实现中，需要注意以下两点。

- 二叉搜索树不允许存在重复节点，否则将违反其定义。因此，若待插入节点在树中已存在，则不执行插入，直接返回。
- 为了实现插入节点，我们需要借助节点 `pre` 保存上一轮循环的节点。这样在遍历至 `None` 时，我们可以获取到其父节点，从而完成节点插入操作。

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby
binary_search_tree.py

    def insert(self, num: int):
        """插入节点"""
        # 若树为空，则初始化根节点
        if self._root is None:
            self._root = TreeNode(num)
            return
        # 循环查找，越过叶节点后跳出
        cur, pre = self._root, None
        while cur is not None:
            # 找到重复节点，直接返回
            if cur.val == num:
                return
            pre = cur
            # 插入位置在 cur 的右子树中
            if cur.val < num:
                cur = cur.right
            # 插入位置在 cur 的左子树中
            else:
                cur = cur.left
        # 插入节点
        node = TreeNode(num)
        if pre.val < num:
            pre.right = node
        else:
            pre.left = node

binary_search_tree.cpp

    /* 插入节点 */
    void insert(int num) {
        // 若树为空，则初始化根节点
        if (root == nullptr) {
            root = new TreeNode(num);
            return;
        }
        TreeNode *cur = root, *pre = nullptr;
        // 循环查找，越过叶节点后跳出
        while (cur != nullptr) {
            // 找到重复节点，直接返回
            if (cur->val == num)
                return;
            pre = cur;
            // 插入位置在 cur 的右子树中
            if (cur->val < num)
                cur = cur->right;
            // 插入位置在 cur 的左子树中
            else
                cur = cur->left;
        }
        // 插入节点
        TreeNode *node = new TreeNode(num);
        if (pre->val < num)
            pre->right = node;
        else
            pre->left = node;
    }

binary_search_tree.java

    /* 插入节点 */
    void insert(int num) {
        // 若树为空，则初始化根节点
        if (root == null) {
            root = new TreeNode(num);
            return;
        }
        TreeNode cur = root, pre = null;
        // 循环查找，越过叶节点后跳出
        while (cur != null) {
            // 找到重复节点，直接返回
            if (cur.val == num)
                return;
            pre = cur;
            // 插入位置在 cur 的右子树中
            if (cur.val < num)
                cur = cur.right;
            // 插入位置在 cur 的左子树中
            else
                cur = cur.left;
        }
        // 插入节点
        TreeNode node = new TreeNode(num);
        if (pre.val < num)
            pre.right = node;
        else
            pre.left = node;
    }

binary_search_tree.cs

    /* 插入节点 */
    void Insert(int num) {
        // 若树为空，则初始化根节点
        if (root == null) {
            root = new TreeNode(num);
            return;
        }
        TreeNode? cur = root, pre = null;
        // 循环查找，越过叶节点后跳出
        while (cur != null) {
            // 找到重复节点，直接返回
            if (cur.val == num)
                return;
            pre = cur;
            // 插入位置在 cur 的右子树中
            if (cur.val < num)
                cur = cur.right;
            // 插入位置在 cur 的左子树中
            else
                cur = cur.left;
        }

        // 插入节点
        TreeNode node = new(num);
        if (pre != null) {
            if (pre.val < num)
                pre.right = node;
            else
                pre.left = node;
        }
    }

binary_search_tree.go

    /* 插入节点 */
    func (bst *binarySearchTree) insert(num int) {
        cur := bst.root
        // 若树为空，则初始化根节点
        if cur == nil {
            bst.root = NewTreeNode(num)
            return
        }
        // 待插入节点之前的节点位置
        var pre *TreeNode = nil
        // 循环查找，越过叶节点后跳出
        for cur != nil {
            if cur.Val == num {
                return
            }
            pre = cur
            if cur.Val.(int) < num {
                cur = cur.Right
            } else {
                cur = cur.Left
            }
        }
        // 插入节点
        node := NewTreeNode(num)
        if pre.Val.(int) < num {
            pre.Right = node
        } else {
            pre.Left = node
        }
    }

binary_search_tree.swift

    /* 插入节点 */
    func insert(num: Int) {
        // 若树为空，则初始化根节点
        if root == nil {
            root = TreeNode(x: num)
            return
        }
        var cur = root
        var pre: TreeNode?
        // 循环查找，越过叶节点后跳出
        while cur != nil {
            // 找到重复节点，直接返回
            if cur!.val == num {
                return
            }
            pre = cur
            // 插入位置在 cur 的右子树中
            if cur!.val < num {
                cur = cur?.right
            }
            // 插入位置在 cur 的左子树中
            else {
                cur = cur?.left
            }
        }
        // 插入节点
        let node = TreeNode(x: num)
        if pre!.val < num {
            pre?.right = node
        } else {
            pre?.left = node
        }
    }

binary_search_tree.js

    /* 插入节点 */
    insert(num) {
        // 若树为空，则初始化根节点
        if (this.root === null) {
            this.root = new TreeNode(num);
            return;
        }
        let cur = this.root,
            pre = null;
        // 循环查找，越过叶节点后跳出
        while (cur !== null) {
            // 找到重复节点，直接返回
            if (cur.val === num) return;
            pre = cur;
            // 插入位置在 cur 的右子树中
            if (cur.val < num) cur = cur.right;
            // 插入位置在 cur 的左子树中
            else cur = cur.left;
        }
        // 插入节点
        const node = new TreeNode(num);
        if (pre.val < num) pre.right = node;
        else pre.left = node;
    }

binary_search_tree.ts

    /* 插入节点 */
    insert(num: number): void {
        // 若树为空，则初始化根节点
        if (this.root === null) {
            this.root = new TreeNode(num);
            return;
        }
        let cur: TreeNode | null = this.root,
            pre: TreeNode | null = null;
        // 循环查找，越过叶节点后跳出
        while (cur !== null) {
            // 找到重复节点，直接返回
            if (cur.val === num) return;
            pre = cur;
            // 插入位置在 cur 的右子树中
            if (cur.val < num) cur = cur.right;
            // 插入位置在 cur 的左子树中
            else cur = cur.left;
        }
        // 插入节点
        const node = new TreeNode(num);
        if (pre!.val < num) pre!.right = node;
        else pre!.left = node;
    }

binary_search_tree.dart

    /* 插入节点 */
    void insert(int _num) {
      // 若树为空，则初始化根节点
      if (_root == null) {
        _root = TreeNode(_num);
        return;
      }
      TreeNode? cur = _root;
      TreeNode? pre = null;
      // 循环查找，越过叶节点后跳出
      while (cur != null) {
        // 找到重复节点，直接返回
        if (cur.val == _num) return;
        pre = cur;
        // 插入位置在 cur 的右子树中
        if (cur.val < _num)
          cur = cur.right;
        // 插入位置在 cur 的左子树中
        else
          cur = cur.left;
      }
      // 插入节点
      TreeNode? node = TreeNode(_num);
      if (pre!.val < _num)
        pre.right = node;
      else
        pre.left = node;
    }

binary_search_tree.rs

    /* 插入节点 */
    pub fn insert(&mut self, num: i32) {
        // 若树为空，则初始化根节点
        if self.root.is_none() {
            self.root = Some(TreeNode::new(num));
            return;
        }
        let mut cur = self.root.clone();
        let mut pre = None;
        // 循环查找，越过叶节点后跳出
        while let Some(node) = cur.clone() {
            match num.cmp(&node.borrow().val) {
                // 找到重复节点，直接返回
                Ordering::Equal => return,
                // 插入位置在 cur 的右子树中
                Ordering::Greater => {
                    pre = cur.clone();
                    cur = node.borrow().right.clone();
                }
                // 插入位置在 cur 的左子树中
                Ordering::Less => {
                    pre = cur.clone();
                    cur = node.borrow().left.clone();
                }
            }
        }
        // 插入节点
        let pre = pre.unwrap();
        let node = Some(TreeNode::new(num));
        if num > pre.borrow().val {
            pre.borrow_mut().right = node;
        } else {
            pre.borrow_mut().left = node;
        }
    }

binary_search_tree.c

    /* 插入节点 */
    void insert(BinarySearchTree *bst, int num) {
        // 若树为空，则初始化根节点
        if (bst->root == NULL) {
            bst->root = newTreeNode(num);
            return;
        }
        TreeNode *cur = bst->root, *pre = NULL;
        // 循环查找，越过叶节点后跳出
        while (cur != NULL) {
            // 找到重复节点，直接返回
            if (cur->val == num) {
                return;
            }
            pre = cur;
            if (cur->val < num) {
                // 插入位置在 cur 的右子树中
                cur = cur->right;
            } else {
                // 插入位置在 cur 的左子树中
                cur = cur->left;
            }
        }
        // 插入节点
        TreeNode *node = newTreeNode(num);
        if (pre->val < num) {
            pre->right = node;
        } else {
            pre->left = node;
        }
    }

binary_search_tree.kt

    /* 插入节点 */
    fun insert(num: Int) {
        // 若树为空，则初始化根节点
        if (root == null) {
            root = TreeNode(num)
            return
        }
        var cur = root
        var pre: TreeNode? = null
        // 循环查找，越过叶节点后跳出
        while (cur != null) {
            // 找到重复节点，直接返回
            if (cur._val == num)
                return
            pre = cur
            // 插入位置在 cur 的右子树中
            cur = if (cur._val < num)
                cur.right
            // 插入位置在 cur 的左子树中
            else
                cur.left
        }
        // 插入节点
        val node = TreeNode(num)
        if (pre?._val!! < num)
            pre.right = node
        else
            pre.left = node
    }

binary_search_tree.rb

    ### 插入节点 ###
    def insert(num)
      # 若树为空，则初始化根节点
      if @root.nil?
        @root = TreeNode.new(num)
        return
      end

      # 循环查找，越过叶节点后跳出
      cur, pre = @root, nil
      while !cur.nil?
        # 找到重复节点，直接返回
        return if cur.val == num

        pre = cur
        # 插入位置在 cur 的右子树中
        if cur.val < num
          cur = cur.right
        # 插入位置在 cur 的左子树中
        else
          cur = cur.left
        end
      end

      # 插入节点
      node = TreeNode.new(num)
      if pre.val < num
        pre.right = node
      else
        pre.left = node
      end
    end

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与查找节点相同，插入节点使用 \(O(\log n)\) 时间。

### 3. 删除节点

先在二叉树中查找到目标节点，再将其删除。与插入节点类似，我们需要保证在删除操作完成后，二叉搜索树的“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质仍然满足。因此，我们根据目标节点的子节点数量，分 0、1 和 2 三种情况，执行对应的删除节点操作。

如图 7-19 所示，当待删除节点的度为 \(0\) 时，表示该节点是叶节点，可以直接删除。

图 7-19 在二叉搜索树中删除节点（度为 0 ）

如图 7-20 所示，当待删除节点的度为 \(1\) 时，将待删除节点替换为其子节点即可。

图 7-20 在二叉搜索树中删除节点（度为 1 ）

当待删除节点的度为 \(2\) 时，我们无法直接删除它，而需要使用一个节点替换该节点。由于要保持二叉搜索树“左子树 \(<\) 根节点 \(<\) 右子树”的性质，因此这个节点可以是右子树的最小节点或左子树的最大节点。

假设我们选择右子树的最小节点（中序遍历的下一个节点），则删除操作流程如图 7-21 所示。

1. 找到待删除节点在“中序遍历序列”中的下一个节点，记为 `tmp` 。
2. 用 `tmp` 的值覆盖待删除节点的值，并在树中递归删除节点 `tmp` 。

<1><2><3><4>

图 7-21 在二叉搜索树中删除节点（度为 2 ）

删除节点操作同样使用 \(O(\log n)\) 时间，其中查找待删除节点需要 \(O(\log n)\) 时间，获取中序遍历后继节点需要 \(O(\log n)\) 时间。示例代码如下：

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby
binary_search_tree.py

    def remove(self, num: int):
        """删除节点"""
        # 若树为空，直接提前返回
        if self._root is None:
            return
        # 循环查找，越过叶节点后跳出
        cur, pre = self._root, None
        while cur is not None:
            # 找到待删除节点，跳出循环
            if cur.val == num:
                break
            pre = cur
            # 待删除节点在 cur 的右子树中
            if cur.val < num:
                cur = cur.right
            # 待删除节点在 cur 的左子树中
            else:
                cur = cur.left
        # 若无待删除节点，则直接返回
        if cur is None:
            return

        # 子节点数量 = 0 or 1
        if cur.left is None or cur.right is None:
            # 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
            child = cur.left or cur.right
            # 删除节点 cur
            if cur != self._root:
                if pre.left == cur:
                    pre.left = child
                else:
                    pre.right = child
            else:
                # 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
                self._root = child
        # 子节点数量 = 2
        else:
            # 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
            tmp: TreeNode = cur.right
            while tmp.left is not None:
                tmp = tmp.left
            # 递归删除节点 tmp
            self.remove(tmp.val)
            # 用 tmp 覆盖 cur
            cur.val = tmp.val

binary_search_tree.cpp

    /* 删除节点 */
    void remove(int num) {
        // 若树为空，直接提前返回
        if (root == nullptr)
            return;
        TreeNode *cur = root, *pre = nullptr;
        // 循环查找，越过叶节点后跳出
        while (cur != nullptr) {
            // 找到待删除节点，跳出循环
            if (cur->val == num)
                break;
            pre = cur;
            // 待删除节点在 cur 的右子树中
            if (cur->val < num)
                cur = cur->right;
            // 待删除节点在 cur 的左子树中
            else
                cur = cur->left;
        }
        // 若无待删除节点，则直接返回
        if (cur == nullptr)
            return;
        // 子节点数量 = 0 or 1
        if (cur->left == nullptr || cur->right == nullptr) {
            // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = nullptr / 该子节点
            TreeNode *child = cur->left != nullptr ? cur->left : cur->right;
            // 删除节点 cur
            if (cur != root) {
                if (pre->left == cur)
                    pre->left = child;
                else
                    pre->right = child;
            } else {
                // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
                root = child;
            }
            // 释放内存
            delete cur;
        }
        // 子节点数量 = 2
        else {
            // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
            TreeNode *tmp = cur->right;
            while (tmp->left != nullptr) {
                tmp = tmp->left;
            }
            int tmpVal = tmp->val;
            // 递归删除节点 tmp
            remove(tmp->val);
            // 用 tmp 覆盖 cur
            cur->val = tmpVal;
        }
    }

binary_search_tree.java

    /* 删除节点 */
    void remove(int num) {
        // 若树为空，直接提前返回
        if (root == null)
            return;
        TreeNode cur = root, pre = null;
        // 循环查找，越过叶节点后跳出
        while (cur != null) {
            // 找到待删除节点，跳出循环
            if (cur.val == num)
                break;
            pre = cur;
            // 待删除节点在 cur 的右子树中
            if (cur.val < num)
                cur = cur.right;
            // 待删除节点在 cur 的左子树中
            else
                cur = cur.left;
        }
        // 若无待删除节点，则直接返回
        if (cur == null)
            return;
        // 子节点数量 = 0 or 1
        if (cur.left == null || cur.right == null) {
            // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
            TreeNode child = cur.left != null ? cur.left : cur.right;
            // 删除节点 cur
            if (cur != root) {
                if (pre.left == cur)
                    pre.left = child;
                else
                    pre.right = child;
            } else {
                // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
                root = child;
            }
        }
        // 子节点数量 = 2
        else {
            // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
            TreeNode tmp = cur.right;
            while (tmp.left != null) {
                tmp = tmp.left;
            }
            // 递归删除节点 tmp
            remove(tmp.val);
            // 用 tmp 覆盖 cur
            cur.val = tmp.val;
        }
    }

binary_search_tree.cs

    /* 删除节点 */
    void Remove(int num) {
        // 若树为空，直接提前返回
        if (root == null)
            return;
        TreeNode? cur = root, pre = null;
        // 循环查找，越过叶节点后跳出
        while (cur != null) {
            // 找到待删除节点，跳出循环
            if (cur.val == num)
                break;
            pre = cur;
            // 待删除节点在 cur 的右子树中
            if (cur.val < num)
                cur = cur.right;
            // 待删除节点在 cur 的左子树中
            else
                cur = cur.left;
        }
        // 若无待删除节点，则直接返回
        if (cur == null)
            return;
        // 子节点数量 = 0 or 1
        if (cur.left == null || cur.right == null) {
            // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
            TreeNode? child = cur.left ?? cur.right;
            // 删除节点 cur
            if (cur != root) {
                if (pre!.left == cur)
                    pre.left = child;
                else
                    pre.right = child;
            } else {
                // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
                root = child;
            }
        }
        // 子节点数量 = 2
        else {
            // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
            TreeNode? tmp = cur.right;
            while (tmp.left != null) {
                tmp = tmp.left;
            }
            // 递归删除节点 tmp
            Remove(tmp.val!.Value);
            // 用 tmp 覆盖 cur
            cur.val = tmp.val;
        }
    }

binary_search_tree.go

    /* 删除节点 */
    func (bst *binarySearchTree) remove(num int) {
        cur := bst.root
        // 若树为空，直接提前返回
        if cur == nil {
            return
        }
        // 待删除节点之前的节点位置
        var pre *TreeNode = nil
        // 循环查找，越过叶节点后跳出
        for cur != nil {
            if cur.Val == num {
                break
            }
            pre = cur
            if cur.Val.(int) < num {
                // 待删除节点在右子树中
                cur = cur.Right
            } else {
                // 待删除节点在左子树中
                cur = cur.Left
            }
        }
        // 若无待删除节点，则直接返回
        if cur == nil {
            return
        }
        // 子节点数为 0 或 1
        if cur.Left == nil || cur.Right == nil {
            var child *TreeNode = nil
            // 取出待删除节点的子节点
            if cur.Left != nil {
                child = cur.Left
            } else {
                child = cur.Right
            }
            // 删除节点 cur
            if cur != bst.root {
                if pre.Left == cur {
                    pre.Left = child
                } else {
                    pre.Right = child
                }
            } else {
                // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
                bst.root = child
            }
            // 子节点数为 2
        } else {
            // 获取中序遍历中待删除节点 cur 的下一个节点
            tmp := cur.Right
            for tmp.Left != nil {
                tmp = tmp.Left
            }
            // 递归删除节点 tmp
            bst.remove(tmp.Val.(int))
            // 用 tmp 覆盖 cur
            cur.Val = tmp.Val
        }
    }

binary_search_tree.swift

    /* 删除节点 */
    func remove(num: Int) {
        // 若树为空，直接提前返回
        if root == nil {
            return
        }
        var cur = root
        var pre: TreeNode?
        // 循环查找，越过叶节点后跳出
        while cur != nil {
            // 找到待删除节点，跳出循环
            if cur!.val == num {
                break
            }
            pre = cur
            // 待删除节点在 cur 的右子树中
            if cur!.val < num {
                cur = cur?.right
            }
            // 待删除节点在 cur 的左子树中
            else {
                cur = cur?.left
            }
        }
        // 若无待删除节点，则直接返回
        if cur == nil {
            return
        }
        // 子节点数量 = 0 or 1
        if cur?.left == nil || cur?.right == nil {
            // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
            let child = cur?.left ?? cur?.right
            // 删除节点 cur
            if cur !== root {
                if pre?.left === cur {
                    pre?.left = child
                } else {
                    pre?.right = child
                }
            } else {
                // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
                root = child
            }
        }
        // 子节点数量 = 2
        else {
            // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
            var tmp = cur?.right
            while tmp?.left != nil {
                tmp = tmp?.left
            }
            // 递归删除节点 tmp
            remove(num: tmp!.val)
            // 用 tmp 覆盖 cur
            cur?.val = tmp!.val
        }
    }

binary_search_tree.js

    /* 删除节点 */
    remove(num) {
        // 若树为空，直接提前返回
        if (this.root === null) return;
        let cur = this.root,
            pre = null;
        // 循环查找，越过叶节点后跳出
        while (cur !== null) {
            // 找到待删除节点，跳出循环
            if (cur.val === num) break;
            pre = cur;
            // 待删除节点在 cur 的右子树中
            if (cur.val < num) cur = cur.right;
            // 待删除节点在 cur 的左子树中
            else cur = cur.left;
        }
        // 若无待删除节点，则直接返回
        if (cur === null) return;
        // 子节点数量 = 0 or 1
        if (cur.left === null || cur.right === null) {
            // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
            const child = cur.left !== null ? cur.left : cur.right;
            // 删除节点 cur
            if (cur !== this.root) {
                if (pre.left === cur) pre.left = child;
                else pre.right = child;
            } else {
                // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
                this.root = child;
            }
        }
        // 子节点数量 = 2
        else {
            // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
            let tmp = cur.right;
            while (tmp.left !== null) {
                tmp = tmp.left;
            }
            // 递归删除节点 tmp
            this.remove(tmp.val);
            // 用 tmp 覆盖 cur
            cur.val = tmp.val;
        }
    }

binary_search_tree.ts

    /* 删除节点 */
    remove(num: number): void {
        // 若树为空，直接提前返回
        if (this.root === null) return;
        let cur: TreeNode | null = this.root,
            pre: TreeNode | null = null;
        // 循环查找，越过叶节点后跳出
        while (cur !== null) {
            // 找到待删除节点，跳出循环
            if (cur.val === num) break;
            pre = cur;
            // 待删除节点在 cur 的右子树中
            if (cur.val < num) cur = cur.right;
            // 待删除节点在 cur 的左子树中
            else cur = cur.left;
        }
        // 若无待删除节点，则直接返回
        if (cur === null) return;
        // 子节点数量 = 0 or 1
        if (cur.left === null || cur.right === null) {
            // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
            const child: TreeNode | null =
                cur.left !== null ? cur.left : cur.right;
            // 删除节点 cur
            if (cur !== this.root) {
                if (pre!.left === cur) pre!.left = child;
                else pre!.right = child;
            } else {
                // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
                this.root = child;
            }
        }
        // 子节点数量 = 2
        else {
            // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
            let tmp: TreeNode | null = cur.right;
            while (tmp!.left !== null) {
                tmp = tmp!.left;
            }
            // 递归删除节点 tmp
            this.remove(tmp!.val);
            // 用 tmp 覆盖 cur
            cur.val = tmp!.val;
        }
    }

binary_search_tree.dart

    /* 删除节点 */
    void remove(int _num) {
      // 若树为空，直接提前返回
      if (_root == null) return;
      TreeNode? cur = _root;
      TreeNode? pre = null;
      // 循环查找，越过叶节点后跳出
      while (cur != null) {
        // 找到待删除节点，跳出循环
        if (cur.val == _num) break;
        pre = cur;
        // 待删除节点在 cur 的右子树中
        if (cur.val < _num)
          cur = cur.right;
        // 待删除节点在 cur 的左子树中
        else
          cur = cur.left;
      }
      // 若无待删除节点，直接返回
      if (cur == null) return;
      // 子节点数量 = 0 or 1
      if (cur.left == null || cur.right == null) {
        // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
        TreeNode? child = cur.left ?? cur.right;
        // 删除节点 cur
        if (cur != _root) {
          if (pre!.left == cur)
            pre.left = child;
          else
            pre.right = child;
        } else {
          // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
          _root = child;
        }
      } else {
        // 子节点数量 = 2
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        TreeNode? tmp = cur.right;
        while (tmp!.left != null) {
          tmp = tmp.left;
        }
        // 递归删除节点 tmp
        remove(tmp.val);
        // 用 tmp 覆盖 cur
        cur.val = tmp.val;
      }
    }

binary_search_tree.rs

    /* 删除节点 */
    pub fn remove(&mut self, num: i32) {
        // 若树为空，直接提前返回
        if self.root.is_none() {
            return;
        }
        let mut cur = self.root.clone();
        let mut pre = None;
        // 循环查找，越过叶节点后跳出
        while let Some(node) = cur.clone() {
            match num.cmp(&node.borrow().val) {
                // 找到待删除节点，跳出循环
                Ordering::Equal => break,
                // 待删除节点在 cur 的右子树中
                Ordering::Greater => {
                    pre = cur.clone();
                    cur = node.borrow().right.clone();
                }
                // 待删除节点在 cur 的左子树中
                Ordering::Less => {
                    pre = cur.clone();
                    cur = node.borrow().left.clone();
                }
            }
        }
        // 若无待删除节点，则直接返回
        if cur.is_none() {
            return;
        }
        let cur = cur.unwrap();
        let (left_child, right_child) = (cur.borrow().left.clone(), cur.borrow().right.clone());
        match (left_child.clone(), right_child.clone()) {
            // 子节点数量 = 0 or 1
            (None, None) | (Some(_), None) | (None, Some(_)) => {
                // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = nullptr / 该子节点
                let child = left_child.or(right_child);
                let pre = pre.unwrap();
                // 删除节点 cur
                if !Rc::ptr_eq(&cur, self.root.as_ref().unwrap()) {
                    let left = pre.borrow().left.clone();
                    if left.is_some() && Rc::ptr_eq(left.as_ref().unwrap(), &cur) {
                        pre.borrow_mut().left = child;
                    } else {
                        pre.borrow_mut().right = child;
                    }
                } else {
                    // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
                    self.root = child;
                }
            }
            // 子节点数量 = 2
            (Some(_), Some(_)) => {
                // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
                let mut tmp = cur.borrow().right.clone();
                while let Some(node) = tmp.clone() {
                    if node.borrow().left.is_some() {
                        tmp = node.borrow().left.clone();
                    } else {
                        break;
                    }
                }
                let tmp_val = tmp.unwrap().borrow().val;
                // 递归删除节点 tmp
                self.remove(tmp_val);
                // 用 tmp 覆盖 cur
                cur.borrow_mut().val = tmp_val;
            }
        }
    }

binary_search_tree.c

    /* 删除节点 */
    // 由于引入了 stdio.h ，此处无法使用 remove 关键词
    void removeItem(BinarySearchTree *bst, int num) {
        // 若树为空，直接提前返回
        if (bst->root == NULL)
            return;
        TreeNode *cur = bst->root, *pre = NULL;
        // 循环查找，越过叶节点后跳出
        while (cur != NULL) {
            // 找到待删除节点，跳出循环
            if (cur->val == num)
                break;
            pre = cur;
            if (cur->val < num) {
                // 待删除节点在 root 的右子树中
                cur = cur->right;
            } else {
                // 待删除节点在 root 的左子树中
                cur = cur->left;
            }
        }
        // 若无待删除节点，则直接返回
        if (cur == NULL)
            return;
        // 判断待删除节点是否存在子节点
        if (cur->left == NULL || cur->right == NULL) {
            /* 子节点数量 = 0 or 1 */
            // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = nullptr / 该子节点
            TreeNode *child = cur->left != NULL ? cur->left : cur->right;
            // 删除节点 cur
            if (pre->left == cur) {
                pre->left = child;
            } else {
                pre->right = child;
            }
            // 释放内存
            free(cur);
        } else {
            /* 子节点数量 = 2 */
            // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
            TreeNode *tmp = cur->right;
            while (tmp->left != NULL) {
                tmp = tmp->left;
            }
            int tmpVal = tmp->val;
            // 递归删除节点 tmp
            removeItem(bst, tmp->val);
            // 用 tmp 覆盖 cur
            cur->val = tmpVal;
        }
    }

binary_search_tree.kt

    /* 删除节点 */
    fun remove(num: Int) {
        // 若树为空，直接提前返回
        if (root == null)
            return
        var cur = root
        var pre: TreeNode? = null
        // 循环查找，越过叶节点后跳出
        while (cur != null) {
            // 找到待删除节点，跳出循环
            if (cur._val == num)
                break
            pre = cur
            // 待删除节点在 cur 的右子树中
            cur = if (cur._val < num)
                cur.right
            // 待删除节点在 cur 的左子树中
            else
                cur.left
        }
        // 若无待删除节点，则直接返回
        if (cur == null)
            return
        // 子节点数量 = 0 or 1
        if (cur.left == null || cur.right == null) {
            // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
            val child = if (cur.left != null)
                cur.left
            else
                cur.right
            // 删除节点 cur
            if (cur != root) {
                if (pre!!.left == cur)
                    pre.left = child
                else
                    pre.right = child
            } else {
                // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
                root = child
            }
            // 子节点数量 = 2
        } else {
            // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
            var tmp = cur.right
            while (tmp!!.left != null) {
                tmp = tmp.left
            }
            // 递归删除节点 tmp
            remove(tmp._val)
            // 用 tmp 覆盖 cur
            cur._val = tmp._val
        }
    }

binary_search_tree.rb

    ### 删除节点 ###
    def remove(num)
      # 若树为空，直接提前返回
      return if @root.nil?

      # 循环查找，越过叶节点后跳出
      cur, pre = @root, nil
      while !cur.nil?
        # 找到待删除节点，跳出循环
        break if cur.val == num

        pre = cur
        # 待删除节点在 cur 的右子树中
        if cur.val < num
          cur = cur.right
        # 待删除节点在 cur 的左子树中
        else
          cur = cur.left
        end
      end
      # 若无待删除节点，则直接返回
      return if cur.nil?

      # 子节点数量 = 0 or 1
      if cur.left.nil? || cur.right.nil?
        # 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
        child = cur.left || cur.right
        # 删除节点 cur
        if cur != @root
          if pre.left == cur
            pre.left = child
          else
            pre.right = child
          end
        else
          # 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
          @root = child
        end
      # 子节点数量 = 2
      else
        # 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        tmp = cur.right
        while !tmp.left.nil?
          tmp = tmp.left
        end
        # 递归删除节点 tmp
        remove(tmp.val)
        # 用 tmp 覆盖 cur
        cur.val = tmp.val
      end
    end

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### 4. 中序遍历有序

如图 7-22 所示，二叉树的中序遍历遵循“左 \(\rightarrow\) 根 \(\rightarrow\) 右”的遍历顺序，而二叉搜索树满足“左子节点 \(<\) 根节点 \(<\) 右子节点”的大小关系。

这意味着在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小节点，从而得出一个重要性质：二叉搜索树的中序遍历序列是升序的。

利用中序遍历升序的性质，我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需 \(O(n)\) 时间，无须进行额外的排序操作，非常高效。

图 7-22 二叉搜索树的中序遍历序列

## 7.4.2 二叉搜索树的效率

给定一组数据，我们考虑使用数组或二叉搜索树存储。观察表 7-2 ，二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，具有稳定且高效的性能。只有在高频添加、低频查找删除数据的场景下，数组比二叉搜索树的效率更高。

表 7-2 数组与搜索树的效率对比

| 无序数组 | 二叉搜索树
--- | --- | ---
查找元素 | \(O(n)\) | \(O(\log n)\)
插入元素 | \(O(1)\) | \(O(\log n)\)
删除元素 | \(O(n)\) | \(O(\log n)\)

在理想情况下，二叉搜索树是“平衡”的，这样就可以在 \(\log n\) 轮循环内查找任意节点。

然而，如果我们在二叉搜索树中不断地插入和删除节点，可能导致二叉树退化为图 7-23 所示的链表，这时各种操作的时间复杂度也会退化为 \(O(n)\) 。

图 7-23 二叉搜索树退化

## 7.4.3 二叉搜索树常见应用

- 用作系统中的多级索引，实现高效的查找、插入、删除操作。
- 作为某些搜索算法的底层数据结构。
- 用于存储数据流，以保持其有序状态。

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