Перейти к содержанию
Приглашаем вас участвовать в развитии русской версии! Подробнее здесь.

# 3.3 Кодирование чисел *

Tip

В этой книге разделы, помеченные символом `*`, относятся к дополнительному чтению. Если у тебя мало времени или материал кажется трудным, можно сначала пропустить их и вернуться после изучения обязательных разделов.

## 3.3.1 Прямой, обратный и дополнительный коды

В таблице из предыдущего раздела можно заметить, что все целочисленные типы могут представлять на одно отрицательное число больше, чем положительных. Например, диапазон `byte` равен \([-128, 127]\) . Это выглядит не слишком интуитивно, и внутренняя причина связана с прямым, обратным и дополнительным кодами.

Прежде всего нужно отметить, что числа хранятся в компьютере в виде «дополнительного кода». Прежде чем разбирать причины такого решения, сначала дадим определения всем трем способам представления.

- Прямой код: старший бит двоичного представления числа рассматривается как знаковый, где \(0\) означает положительное число, а \(1\) - отрицательное. Остальные биты представляют значение числа.
- Обратный код: для положительного числа обратный код совпадает с прямым. Для отрицательного числа он получается инверсией всех битов прямого кода, кроме знакового бита.
- Дополнительный код: для положительного числа дополнительный код совпадает с прямым. Для отрицательного числа он получается добавлением \(1\) к его обратному коду.

На рисунке 3-4 показаны способы преобразования между прямым, обратным и дополнительным кодами.

Рисунок 3-4 Преобразования между прямым, обратным и дополнительным кодами

Прямой код (sign-magnitude), хотя и является самым наглядным, имеет определенные ограничения. С одной стороны, прямой код отрицательных чисел нельзя напрямую использовать в вычислениях. Например, при вычислении \(1 + (-2)\) в прямом коде результатом будет \(-3\) , что, очевидно, неверно.

\[ \begin{aligned} & 1 + (-2) \newline & \rightarrow 0000 \; 0001 + 1000 \; 0010 \newline & = 1000 \; 0011 \newline & \rightarrow -3 \end{aligned} \]

Чтобы решить эту проблему, компьютеры ввели обратный код (1's complement). Если сначала преобразовать прямой код в обратный и выполнить вычисление \(1 + (-2)\) в обратном коде, а затем перевести результат обратно в прямой код, то получится правильный результат \(-1\) .

\[ \begin{aligned} & 1 + (-2) \newline & \rightarrow 0000 \; 0001 \; \text{(прямой код)} + 1000 \; 0010 \; \text{(прямой код)} \newline & = 0000 \; 0001 \; \text{(обратный код)} + 1111 \; 1101 \; \text{(обратный код)} \newline & = 1111 \; 1110 \; \text{(обратный код)} \newline & = 1000 \; 0001 \; \text{(прямой код)} \newline & \rightarrow -1 \end{aligned} \]

С другой стороны, **в прямом коде у нуля есть два представления: \(+0\) и \(-0\) **. Это означает, что числу ноль соответствуют два разных двоичных кода, что может приводить к неоднозначности. Например, если в условном выражении не различать положительный и отрицательный ноль, можно получить ошибочный результат. А если специально обрабатывать такую неоднозначность, придется вводить дополнительные проверки, что может снизить вычислительную эффективность компьютера.

\[ \begin{aligned} +0 & \rightarrow 0000 \; 0000 \newline -0 & \rightarrow 1000 \; 0000 \end{aligned} \]

Как и прямой код, обратный код тоже страдает от неоднозначности положительного и отрицательного нуля, поэтому компьютеры ввели дополнительный код (2's complement). Сначала посмотрим на процесс преобразования отрицательного нуля из прямого кода в обратный, а затем в дополнительный:

\[ \begin{aligned} -0 \rightarrow \; & 1000 \; 0000 \; \text{(прямой код)} \newline = \; & 1111 \; 1111 \; \text{(обратный код)} \newline = 1 \; & 0000 \; 0000 \; \text{(дополнительный код)} \newline \end{aligned} \]

При добавлении \(1\) к обратному коду отрицательного нуля возникает перенос, но длина типа `byte` составляет всего 8 бит, поэтому переполнившаяся в 9-й бит единица отбрасывается. Иными словами, дополнительный код отрицательного нуля равен \(0000 \; 0000\) и совпадает с дополнительным кодом положительного нуля. Значит, в представлении дополнительного кода существует только один ноль, и проблема неоднозначности положительного и отрицательного нуля тем самым устраняется.

Остается последний вопрос: диапазон типа `byte` равен \([-128, 127]\) , откуда берется лишнее отрицательное число \(-128\) ? Мы замечаем, что у всех целых чисел из интервала \([-127, +127]\) есть соответствующие прямой, обратный и дополнительный коды, а прямой и дополнительный коды можно преобразовывать друг в друга.

Однако дополнительный код \(1000 \; 0000\) является исключением: у него нет соответствующего прямого кода. Согласно правилу преобразования, прямой код для этого дополнительного кода должен быть равен \(0000 \; 0000\) . Это очевидное противоречие, потому что такой прямой код обозначает число \(0\) , а его дополнительный код должен совпадать с ним самим. Компьютер просто определяет, что этот особый дополнительный код \(1000 \; 0000\) представляет число \(-128\) . На самом деле результат вычисления \((-1) + (-127)\) в дополнительном коде как раз и равен \(-128\) .

\[ \begin{aligned} & (-127) + (-1) \newline & \rightarrow 1111 \; 1111 \; \text{(прямой код)} + 1000 \; 0001 \; \text{(прямой код)} \newline & = 1000 \; 0000 \; \text{(обратный код)} + 1111 \; 1110 \; \text{(обратный код)} \newline & = 1000 \; 0001 \; \text{(дополнительный код)} + 1111 \; 1111 \; \text{(дополнительный код)} \newline & = 1000 \; 0000 \; \text{(дополнительный код)} \newline & \rightarrow -128 \end{aligned} \]

Ты, вероятно, уже заметил, что все приведенные выше вычисления были операциями сложения. Это указывает на важный факт: аппаратные схемы внутри компьютера в основном проектируются на основе операций сложения. Причина в том, что сложение по сравнению с другими операциями (например умножением, делением и вычитанием) проще реализуется на аппаратном уровне, легче распараллеливается и выполняется быстрее.

Обрати внимание: это не означает, что компьютер умеет только складывать. Комбинируя сложение с некоторыми базовыми логическими операциями, компьютер может реализовать и другие математические операции. Например, вычитание \(a - b\) можно преобразовать в сложение \(a + (-b)\). Умножение и деление можно свести к многократному сложению или вычитанию.

Теперь можно подвести итог, почему компьютеры используют дополнительный код: с представлением в дополнительном коде компьютер может использовать одни и те же схемы и операции для сложения положительных и отрицательных чисел, без необходимости проектировать специальные аппаратные схемы для вычитания и без особой обработки неоднозначности положительного и отрицательного нуля. Это значительно упрощает аппаратную архитектуру и повышает эффективность вычислений.

Идея дополнительного кода очень изящна. Из-за ограничений по объему мы на этом остановимся. Если тебе интересно, стоит изучить эту тему глубже.

## 3.3.2 Кодирование чисел с плавающей точкой

Внимательный читатель может заметить: `int` и `float` имеют одинаковую длину, по 4 байта , но почему диапазон значений у `float` намного больше, чем у `int` ? Это выглядит парадоксально, ведь `float` должен еще представлять дробные числа, а значит диапазон вроде бы должен быть меньше.

На самом деле это связано с тем, что число с плавающей точкой `float` использует другой способ представления. Обозначим двоичное число длиной 32 бита как:

\[ b_{31} b_{30} b_{29} \ldots b_2 b_1 b_0 \]

Согласно стандарту IEEE 754, 32-битный `float` состоит из следующих трех частей.

- Бит знака \(\mathrm{S}\) : занимает 1 бит и соответствует \(b_{31}\) .
- Биты экспоненты \(\mathrm{E}\) : занимают 8 бит и соответствуют \(b_{30} b_{29} \ldots b_{23}\) .
- Биты мантиссы \(\mathrm{N}\) : занимают 23 бита и соответствуют \(b_{22} b_{21} \ldots b_0\) .

Формула вычисления значения, соответствующего двоичному числу `float`, имеет вид:

\[ \text {val} = (-1)^{b_{31}} \times 2^{\left(b_{30} b_{29} \ldots b_{23}\right)_2-127} \times\left(1 . b_{22} b_{21} \ldots b_0\right)_2 \]

Если перейти к десятичной записи, формула вычисления будет такой:

\[ \text {val}=(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{\mathrm{E} -127} \times (1 + \mathrm{N}) \]

Диапазоны значений соответствующих частей таковы:

\[ \begin{aligned} \mathrm{S} \in & \{ 0, 1\}, \quad \mathrm{E} \in \{ 1, 2, \dots, 254 \} \newline (1 + \mathrm{N}) = & (1 + \sum_{i=1}^{23} b_{23-i} 2^{-i}) \subset [1, 2 - 2^{-23}] \end{aligned} \]

Рисунок 3-5 Пример вычисления float по стандарту IEEE 754

Как видно на рисунке 3-5, если взять пример \(\mathrm{S} = 0\) , \(\mathrm{E} = 124\) , \(\mathrm{N} = 2^{-2} + 2^{-3} = 0.375\) , то получим:

\[ \text { val } = (-1)^0 \times 2^{124 - 127} \times (1 + 0.375) = 0.171875 \]

Теперь мы можем ответить на исходный вопрос: в представлении `float` присутствуют биты экспоненты, поэтому его диапазон значений намного больше, чем у `int`. Согласно приведенным выше вычислениям, максимально возможное положительное число для `float` равно \(2^{254 - 127} \times (2 - 2^{-23}) \approx 3.4 \times 10^{38}\). Если изменить бит знака, получим минимальное отрицательное число.

Хотя число с плавающей точкой `float` расширяет диапазон значений, побочным эффектом становится потеря точности. Целочисленный тип `int` использует все 32 бита для представления числа, и числа распределены равномерно. А из-за существования битов экспоненты у `float` чем больше число, тем больше обычно становится разница между двумя соседними представимыми значениями.

Как показано в таблице 3-2, значения экспоненты \(\mathrm{E} = 0\) и \(\mathrm{E} = 255\) имеют специальный смысл и используются для представления нуля, бесконечности, \(\mathrm{NaN}\) и т.д.

Таблица 3-2 Значение поля экспоненты

Поле экспоненты E | Поле мантиссы \(\mathrm{N} = 0\) | Поле мантиссы \(\mathrm{N} \ne 0\) | Формула вычисления
--- | --- | --- | ---
\(0\) | \(\pm 0\) | Денормализованное число | \((-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{-126} \times (0.\mathrm{N})\)
\(1, 2, \dots, 254\) | Нормализованное число | Нормализованное число | \((-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{(\mathrm{E} -127)} \times (1.\mathrm{N})\)
\(255\) | \(\pm \infty\) | \(\mathrm{NaN}\) |

Стоит отметить, что денормализованные числа заметно повышают точность чисел с плавающей точкой. Наименьшее положительное нормализованное число равно \(2^{-126}\) , а наименьшее положительное денормализованное число равно \(2^{-126} \times 2^{-23}\) .

Двойная точность `double` использует способ представления, аналогичный `float` , поэтому здесь мы не будем подробно останавливаться на нем.

##### Оставляйте свои идеи, вопросы и предложения в комментариях