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# 12.4 汉诺塔问题

在归并排序和构建二叉树中，我们都是将原问题分解为两个规模为原问题一半的子问题。然而对于汉诺塔问题，我们采用不同的分解策略。

Question

给定三根柱子，记为 `A`、`B` 和 `C` 。起始状态下，柱子 `A` 上套着 \(n\) 个圆盘，它们从上到下按照从小到大的顺序排列。我们的任务是要把这 \(n\) 个圆盘移到柱子 `C` 上，并保持它们的原有顺序不变（如图 12-10 所示）。在移动圆盘的过程中，需要遵守以下规则。

1. 圆盘只能从一根柱子顶部拿出，从另一根柱子顶部放入。
2. 每次只能移动一个圆盘。
3. 小圆盘必须时刻位于大圆盘之上。

图 12-10 汉诺塔问题示例

我们将规模为 \(i\) 的汉诺塔问题记作 \(f(i)\) 。例如 \(f(3)\) 代表将 \(3\) 个圆盘从 `A` 移动至 `C` 的汉诺塔问题。

### 1. 考虑基本情况

如图 12-11 所示，对于问题 \(f(1)\) ，即当只有一个圆盘时，我们将它直接从 `A` 移动至 `C` 即可。

<1><2>

图 12-11 规模为 1 的问题的解

如图 12-12 所示，对于问题 \(f(2)\) ，即当有两个圆盘时，由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上，因此需要借助 `B` 来完成移动。

1. 先将上面的小圆盘从 `A` 移至 `B` 。
2. 再将大圆盘从 `A` 移至 `C` 。
3. 最后将小圆盘从 `B` 移至 `C` 。

<1><2><3><4>

图 12-12 规模为 2 的问题的解

解决问题 \(f(2)\) 的过程可总结为：将两个圆盘借助 `B` 从 `A` 移至 `C` 。其中，`C` 称为目标柱、`B` 称为缓冲柱。

### 2. 子问题分解

对于问题 \(f(3)\) ，即当有三个圆盘时，情况变得稍微复杂了一些。

因为已知 \(f(1)\) 和 \(f(2)\) 的解，所以我们可从分治角度思考，将 `A` 顶部的两个圆盘看作一个整体，执行图 12-13 所示的步骤。这样三个圆盘就被顺利地从 `A` 移至 `C` 了。

1. 令 `B` 为目标柱、`C` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `A` 移至 `B` 。
2. 将 `A` 中剩余的一个圆盘从 `A` 直接移动至 `C` 。
3. 令 `C` 为目标柱、`A` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `B` 移至 `C` 。

<1><2><3><4>

图 12-13 规模为 3 的问题的解

从本质上看，我们将问题 \(f(3)\) 划分为两个子问题 \(f(2)\) 和一个子问题 \(f(1)\) 。按顺序解决这三个子问题之后，原问题随之得到解决。这说明子问题是独立的，而且解可以合并。

至此，我们可总结出图 12-14 所示的解决汉诺塔问题的分治策略：将原问题 \(f(n)\) 划分为两个子问题 \(f(n-1)\) 和一个子问题 \(f(1)\) ，并按照以下顺序解决这三个子问题。

1. 将 \(n-1\) 个圆盘借助 `C` 从 `A` 移至 `B` 。
2. 将剩余 \(1\) 个圆盘从 `A` 直接移至 `C` 。
3. 将 \(n-1\) 个圆盘借助 `A` 从 `B` 移至 `C` 。

对于这两个子问题 \(f(n-1)\) ，可以通过相同的方式进行递归划分，直至达到最小子问题 \(f(1)\) 。而 \(f(1)\) 的解是已知的，只需一次移动操作即可。

图 12-14 解决汉诺塔问题的分治策略

### 3. 代码实现

在代码中，我们声明一个递归函数 `dfs(i, src, buf, tar)` ，它的作用是将柱 `src` 顶部的 \(i\) 个圆盘借助缓冲柱 `buf` 移动至目标柱 `tar` ：

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby
hanota.py

    def move(src: list[int], tar: list[int]):
        """移动一个圆盘"""
        # 从 src 顶部拿出一个圆盘
        pan = src.pop()
        # 将圆盘放入 tar 顶部
        tar.append(pan)

    def dfs(i: int, src: list[int], buf: list[int], tar: list[int]):
        """求解汉诺塔问题 f(i)"""
        # 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
        if i == 1:
            move(src, tar)
            return
        # 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, tar, buf)
        # 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
        move(src, tar)
        # 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, src, tar)

    def solve_hanota(A: list[int], B: list[int], C: list[int]):
        """求解汉诺塔问题"""
        n = len(A)
        # 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
        dfs(n, A, B, C)

hanota.cpp

    /* 移动一个圆盘 */
    void move(vector<int> &src, vector<int> &tar) {
        // 从 src 顶部拿出一个圆盘
        int pan = src.back();
        src.pop_back();
        // 将圆盘放入 tar 顶部
        tar.push_back(pan);
    }

    /* 求解汉诺塔问题 f(i) */
    void dfs(int i, vector<int> &src, vector<int> &buf, vector<int> &tar) {
        // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
        if (i == 1) {
            move(src, tar);
            return;
        }
        // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, tar, buf);
        // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
        move(src, tar);
        // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, src, tar);
    }

    /* 求解汉诺塔问题 */
    void solveHanota(vector<int> &A, vector<int> &B, vector<int> &C) {
        int n = A.size();
        // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
        dfs(n, A, B, C);
    }

hanota.java

    /* 移动一个圆盘 */
    void move(List<Integer> src, List<Integer> tar) {
        // 从 src 顶部拿出一个圆盘
        Integer pan = src.remove(src.size() - 1);
        // 将圆盘放入 tar 顶部
        tar.add(pan);
    }

    /* 求解汉诺塔问题 f(i) */
    void dfs(int i, List<Integer> src, List<Integer> buf, List<Integer> tar) {
        // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
        if (i == 1) {
            move(src, tar);
            return;
        }
        // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, tar, buf);
        // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
        move(src, tar);
        // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, src, tar);
    }

    /* 求解汉诺塔问题 */
    void solveHanota(List<Integer> A, List<Integer> B, List<Integer> C) {
        int n = A.size();
        // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
        dfs(n, A, B, C);
    }

hanota.cs

    /* 移动一个圆盘 */
    void Move(List<int> src, List<int> tar) {
        // 从 src 顶部拿出一个圆盘
        int pan = src[^1];
        src.RemoveAt(src.Count - 1);
        // 将圆盘放入 tar 顶部
        tar.Add(pan);
    }

    /* 求解汉诺塔问题 f(i) */
    void DFS(int i, List<int> src, List<int> buf, List<int> tar) {
        // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
        if (i == 1) {
            Move(src, tar);
            return;
        }
        // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
        DFS(i - 1, src, tar, buf);
        // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
        Move(src, tar);
        // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
        DFS(i - 1, buf, src, tar);
    }

    /* 求解汉诺塔问题 */
    void SolveHanota(List<int> A, List<int> B, List<int> C) {
        int n = A.Count;
        // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
        DFS(n, A, B, C);
    }

hanota.go

    /* 移动一个圆盘 */
    func move(src, tar *list.List) {
        // 从 src 顶部拿出一个圆盘
        pan := src.Back()
        // 将圆盘放入 tar 顶部
        tar.PushBack(pan.Value)
        // 移除 src 顶部圆盘
        src.Remove(pan)
    }

    /* 求解汉诺塔问题 f(i) */
    func dfsHanota(i int, src, buf, tar *list.List) {
        // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
        if i == 1 {
            move(src, tar)
            return
        }
        // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
        dfsHanota(i-1, src, tar, buf)
        // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
        move(src, tar)
        // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
        dfsHanota(i-1, buf, src, tar)
    }

    /* 求解汉诺塔问题 */
    func solveHanota(A, B, C *list.List) {
        n := A.Len()
        // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
        dfsHanota(n, A, B, C)
    }

hanota.swift

    /* 移动一个圆盘 */
    func move(src: inout [Int], tar: inout [Int]) {
        // 从 src 顶部拿出一个圆盘
        let pan = src.popLast()!
        // 将圆盘放入 tar 顶部
        tar.append(pan)
    }

    /* 求解汉诺塔问题 f(i) */
    func dfs(i: Int, src: inout [Int], buf: inout [Int], tar: inout [Int]) {
        // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
        if i == 1 {
            move(src: &src, tar: &tar)
            return
        }
        // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
        dfs(i: i - 1, src: &src, buf: &tar, tar: &buf)
        // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
        move(src: &src, tar: &tar)
        // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
        dfs(i: i - 1, src: &buf, buf: &src, tar: &tar)
    }

    /* 求解汉诺塔问题 */
    func solveHanota(A: inout [Int], B: inout [Int], C: inout [Int]) {
        let n = A.count
        // 列表尾部是柱子顶部
        // 将 src 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
        dfs(i: n, src: &A, buf: &B, tar: &C)
    }

hanota.js

    /* 移动一个圆盘 */
    function move(src, tar) {
        // 从 src 顶部拿出一个圆盘
        const pan = src.pop();
        // 将圆盘放入 tar 顶部
        tar.push(pan);
    }

    /* 求解汉诺塔问题 f(i) */
    function dfs(i, src, buf, tar) {
        // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
        if (i === 1) {
            move(src, tar);
            return;
        }
        // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, tar, buf);
        // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
        move(src, tar);
        // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, src, tar);
    }

    /* 求解汉诺塔问题 */
    function solveHanota(A, B, C) {
        const n = A.length;
        // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
        dfs(n, A, B, C);
    }

hanota.ts

    /* 移动一个圆盘 */
    function move(src: number[], tar: number[]): void {
        // 从 src 顶部拿出一个圆盘
        const pan = src.pop();
        // 将圆盘放入 tar 顶部
        tar.push(pan);
    }

    /* 求解汉诺塔问题 f(i) */
    function dfs(i: number, src: number[], buf: number[], tar: number[]): void {
        // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
        if (i === 1) {
            move(src, tar);
            return;
        }
        // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, tar, buf);
        // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
        move(src, tar);
        // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, src, tar);
    }

    /* 求解汉诺塔问题 */
    function solveHanota(A: number[], B: number[], C: number[]): void {
        const n = A.length;
        // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
        dfs(n, A, B, C);
    }

hanota.dart

    /* 移动一个圆盘 */
    void move(List<int> src, List<int> tar) {
      // 从 src 顶部拿出一个圆盘
      int pan = src.removeLast();
      // 将圆盘放入 tar 顶部
      tar.add(pan);
    }

    /* 求解汉诺塔问题 f(i) */
    void dfs(int i, List<int> src, List<int> buf, List<int> tar) {
      // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
      if (i == 1) {
        move(src, tar);
        return;
      }
      // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
      dfs(i - 1, src, tar, buf);
      // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
      move(src, tar);
      // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
      dfs(i - 1, buf, src, tar);
    }

    /* 求解汉诺塔问题 */
    void solveHanota(List<int> A, List<int> B, List<int> C) {
      int n = A.length;
      // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
      dfs(n, A, B, C);
    }

hanota.rs

    /* 移动一个圆盘 */
    fn move_pan(src: &mut Vec<i32>, tar: &mut Vec<i32>) {
        // 从 src 顶部拿出一个圆盘
        let pan = src.pop().unwrap();
        // 将圆盘放入 tar 顶部
        tar.push(pan);
    }

    /* 求解汉诺塔问题 f(i) */
    fn dfs(i: i32, src: &mut Vec<i32>, buf: &mut Vec<i32>, tar: &mut Vec<i32>) {
        // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
        if i == 1 {
            move_pan(src, tar);
            return;
        }
        // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, tar, buf);
        // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
        move_pan(src, tar);
        // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, src, tar);
    }

    /* 求解汉诺塔问题 */
    fn solve_hanota(A: &mut Vec<i32>, B: &mut Vec<i32>, C: &mut Vec<i32>) {
        let n = A.len() as i32;
        // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
        dfs(n, A, B, C);
    }

hanota.c

    /* 移动一个圆盘 */
    void move(int *src, int *srcSize, int *tar, int *tarSize) {
        // 从 src 顶部拿出一个圆盘
        int pan = src[*srcSize - 1];
        src[*srcSize - 1] = 0;
        (*srcSize)--;
        // 将圆盘放入 tar 顶部
        tar[*tarSize] = pan;
        (*tarSize)++;
    }

    /* 求解汉诺塔问题 f(i) */
    void dfs(int i, int *src, int *srcSize, int *buf, int *bufSize, int *tar, int *tarSize) {
        // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
        if (i == 1) {
            move(src, srcSize, tar, tarSize);
            return;
        }
        // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, srcSize, tar, tarSize, buf, bufSize);
        // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
        move(src, srcSize, tar, tarSize);
        // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, bufSize, src, srcSize, tar, tarSize);
    }

    /* 求解汉诺塔问题 */
    void solveHanota(int *A, int *ASize, int *B, int *BSize, int *C, int *CSize) {
        // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
        dfs(*ASize, A, ASize, B, BSize, C, CSize);
    }

hanota.kt

    /* 移动一个圆盘 */
    fun move(src: MutableList<Int>, tar: MutableList<Int>) {
        // 从 src 顶部拿出一个圆盘
        val pan = src.removeAt(src.size - 1)
        // 将圆盘放入 tar 顶部
        tar.add(pan)
    }

    /* 求解汉诺塔问题 f(i) */
    fun dfs(i: Int, src: MutableList<Int>, buf: MutableList<Int>, tar: MutableList<Int>) {
        // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
        if (i == 1) {
            move(src, tar)
            return
        }
        // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, tar, buf)
        // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
        move(src, tar)
        // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, src, tar)
    }

    /* 求解汉诺塔问题 */
    fun solveHanota(A: MutableList<Int>, B: MutableList<Int>, C: MutableList<Int>) {
        val n = A.size
        // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
        dfs(n, A, B, C)
    }

hanota.rb

    ### 移动一个圆盘 ###
    def move(src, tar)
      # 从 src 顶部拿出一个圆盘
      pan = src.pop
      # 将圆盘放入 tar 顶部
      tar << pan
    end

    ### 求解汉诺塔问题 f(i) ###
    def dfs(i, src, buf, tar)
      # 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
      if i == 1
        move(src, tar)
        return
      end

      # 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
      dfs(i - 1, src, tar, buf)
      # 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
      move(src, tar)
      # 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
      dfs(i - 1, buf, src, tar)
    end

    ### 求解汉诺塔问题 ###
    def solve_hanota(_A, _B, _C)
      n = _A.length
      # 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
      dfs(n, _A, _B, _C)
    end

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如图 12-15 所示，汉诺塔问题形成一棵高度为 \(n\) 的递归树，每个节点代表一个子问题，对应一个开启的 `dfs()` 函数，因此时间复杂度为 \(O(2^n)\) ，空间复杂度为 \(O(n)\) 。

图 12-15 汉诺塔问题的递归树

Quote

汉诺塔问题源自一个古老的传说。在古印度的一个寺庙里，僧侣们有三根高大的钻石柱子，以及 \(64\) 个大小不一的金圆盘。僧侣们不断地移动圆盘，他们相信在最后一个圆盘被正确放置的那一刻，这个世界就会结束。

然而，即使僧侣们每秒钟移动一次，总共需要大约 \(2^{64} \approx 1.84×10^{19}\) 秒，合约 \(5850\) 亿年，远远超过了现在对宇宙年龄的估计。所以，倘若这个传说是真的，我们应该不需要担心世界末日的到来。

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