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# 7.2 二分木の走査

物理構造の観点から見ると、木は連結リストを基盤としたデータ構造であり、その走査はポインタを通じてノードへ順にアクセスすることで行われます。しかし、木は非線形データ構造であるため、木の走査は連結リストの走査よりも複雑であり、検索アルゴリズムを用いて実現する必要があります。

二分木の一般的な走査方法には、レベル順走査、先行順走査、中間順走査、後行順走査などがあります。

## 7.2.1 レベル順走査

次の図に示すように、レベル順走査（level-order traversal）では、二分木を上から下へ層ごとに走査し、各層では左から右の順にノードへアクセスします。

レベル順走査は本質的に幅優先走査（breadth-first traversal）に属し、幅優先探索（breadth-first search, BFS）とも呼ばれます。これは「同心円状に外側へ広がる」ような、層ごとの走査方法を表しています。

図 7-9 二分木のレベル順走査

### 1. コードの実装

幅優先走査は通常「キュー」を用いて実装します。キューは「先入れ先出し」の規則に従い、幅優先走査は「層ごとに進む」という規則に従います。両者の背後にある考え方は一致しています。実装コードは次のとおりです：

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby
binary_tree_bfs.py

    def level_order(root: TreeNode | None) -> list[int]:
        """レベル順走査"""
        # キューを初期化し、ルートノードを追加する
        queue: deque[TreeNode] = deque()
        queue.append(root)
        # 走査順序を保存するためのリストを初期化する
        res = []
        while queue:
            node: TreeNode = queue.popleft()  # デキュー
            res.append(node.val)  # ノードの値を保存する
            if node.left is not None:
                queue.append(node.left)  # 左子ノードをキューに追加
            if node.right is not None:
                queue.append(node.right)  # 右子ノードをキューに追加
        return res

binary_tree_bfs.cpp

    /* レベル順走査 */
    vector<int> levelOrder(TreeNode *root) {
        // キューを初期化し、ルートノードを追加する
        queue<TreeNode *> queue;
        queue.push(root);
        // 走査順序を保存するためのリストを初期化する
        vector<int> vec;
        while (!queue.empty()) {
            TreeNode *node = queue.front();
            queue.pop();              // デキュー
            vec.push_back(node->val); // ノードの値を保存する
            if (node->left != nullptr)
                queue.push(node->left); // 左子ノードをキューに追加
            if (node->right != nullptr)
                queue.push(node->right); // 右子ノードをキューに追加
        }
        return vec;
    }

binary_tree_bfs.java

    /* レベル順走査 */
    List<Integer> levelOrder(TreeNode root) {
        // キューを初期化し、ルートノードを追加する
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.add(root);
        // 走査順序を保存するためのリストを初期化する
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        while (!queue.isEmpty()) {
            TreeNode node = queue.poll(); // デキュー
            list.add(node.val);           // ノードの値を保存する
            if (node.left != null)
                queue.offer(node.left);   // 左子ノードをキューに追加
            if (node.right != null)
                queue.offer(node.right);  // 右子ノードをキューに追加
        }
        return list;
    }

binary_tree_bfs.cs

    /* レベル順走査 */
    List<int> LevelOrder(TreeNode root) {
        // キューを初期化し、ルートノードを追加する
        Queue<TreeNode> queue = new();
        queue.Enqueue(root);
        // 走査順序を保存するためのリストを初期化する
        List<int> list = [];
        while (queue.Count != 0) {
            TreeNode node = queue.Dequeue(); // デキュー
            list.Add(node.val!.Value);       // ノードの値を保存する
            if (node.left != null)
                queue.Enqueue(node.left);    // 左子ノードをキューに追加
            if (node.right != null)
                queue.Enqueue(node.right);   // 右子ノードをキューに追加
        }
        return list;
    }

binary_tree_bfs.go

    /* レベル順走査 */
    func levelOrder(root *TreeNode) []any {
        // キューを初期化し、ルートノードを追加する
        queue := list.New()
        queue.PushBack(root)
        // 走査順を保存するためのスライスを初期化する
        nums := make([]any, 0)
        for queue.Len() > 0 {
            // デキュー
            node := queue.Remove(queue.Front()).(*TreeNode)
            // ノードの値を保存する
            nums = append(nums, node.Val)
            if node.Left != nil {
                // 左子ノードをキューに追加
                queue.PushBack(node.Left)
            }
            if node.Right != nil {
                // 右子ノードをキューに追加
                queue.PushBack(node.Right)
            }
        }
        return nums
    }

binary_tree_bfs.swift

    /* レベル順走査 */
    func levelOrder(root: TreeNode) -> [Int] {
        // キューを初期化し、ルートノードを追加する
        var queue: [TreeNode] = [root]
        // 走査順序を保存するためのリストを初期化する
        var list: [Int] = []
        while !queue.isEmpty {
            let node = queue.removeFirst() // デキュー
            list.append(node.val) // ノードの値を保存する
            if let left = node.left {
                queue.append(left) // 左子ノードをキューに追加
            }
            if let right = node.right {
                queue.append(right) // 右子ノードをキューに追加
            }
        }
        return list
    }

binary_tree_bfs.js

    /* レベル順走査 */
    function levelOrder(root) {
        // キューを初期化し、ルートノードを追加する
        const queue = [root];
        // 走査順序を保存するためのリストを初期化する
        const list = [];
        while (queue.length) {
            let node = queue.shift(); // デキュー
            list.push(node.val); // ノードの値を保存する
            if (node.left) queue.push(node.left); // 左子ノードをキューに追加
            if (node.right) queue.push(node.right); // 右子ノードをキューに追加
        }
        return list;
    }

binary_tree_bfs.ts

    /* レベル順走査 */
    function levelOrder(root: TreeNode | null): number[] {
        // キューを初期化し、ルートノードを追加する
        const queue = [root];
        // 走査順序を保存するためのリストを初期化する
        const list: number[] = [];
        while (queue.length) {
            let node = queue.shift() as TreeNode; // デキュー
            list.push(node.val); // ノードの値を保存する
            if (node.left) {
                queue.push(node.left); // 左子ノードをキューに追加
            }
            if (node.right) {
                queue.push(node.right); // 右子ノードをキューに追加
            }
        }
        return list;
    }

binary_tree_bfs.dart

    /* レベル順走査 */
    List<int> levelOrder(TreeNode? root) {
      // キューを初期化し、ルートノードを追加する
      Queue<TreeNode?> queue = Queue();
      queue.add(root);
      // 走査順序を保存するためのリストを初期化する
      List<int> res = [];
      while (queue.isNotEmpty) {
        TreeNode? node = queue.removeFirst(); // デキュー
        res.add(node!.val); // ノードの値を保存する
        if (node.left != null) queue.add(node.left); // 左子ノードをキューに追加
        if (node.right != null) queue.add(node.right); // 右子ノードをキューに追加
      }
      return res;
    }

binary_tree_bfs.rs

    /* レベル順走査 */
    fn level_order(root: &Rc<RefCell<TreeNode>>) -> Vec<i32> {
        // キューを初期化し、ルートノードを追加する
        let mut que = VecDeque::new();
        que.push_back(root.clone());
        // 走査順序を保存するためのリストを初期化する
        let mut vec = Vec::new();

        while let Some(node) = que.pop_front() {
            // デキュー
            vec.push(node.borrow().val); // ノードの値を保存する
            if let Some(left) = node.borrow().left.as_ref() {
                que.push_back(left.clone()); // 左子ノードをキューに追加
            }
            if let Some(right) = node.borrow().right.as_ref() {
                que.push_back(right.clone()); // 右子ノードをキューに追加
            };
        }
        vec
    }

binary_tree_bfs.c

    /* レベル順走査 */
    int *levelOrder(TreeNode *root, int *size) {
        /* 補助キュー */
        int front, rear;
        int index, *arr;
        TreeNode *node;
        TreeNode **queue;

        /* 補助キュー */
        queue = (TreeNode **)malloc(sizeof(TreeNode *) * MAX_SIZE);
        // キューへのポインタ
        front = 0, rear = 0;
        // 根ノードを追加する
        queue[rear++] = root;
        // 走査順序を保存するためのリストを初期化する
        /* 補助配列 */
        arr = (int *)malloc(sizeof(int) * MAX_SIZE);
        // 配列ポインタ
        index = 0;
        while (front < rear) {
            // デキュー
            node = queue[front++];
            // ノードの値を保存する
            arr[index++] = node->val;
            if (node->left != NULL) {
                // 左子ノードをキューに追加
                queue[rear++] = node->left;
            }
            if (node->right != NULL) {
                // 右子ノードをキューに追加
                queue[rear++] = node->right;
            }
        }
        // 配列長の値を更新
        *size = index;
        arr = realloc(arr, sizeof(int) * (*size));

        // 補助配列の領域を解放する
        free(queue);
        return arr;
    }

binary_tree_bfs.kt

    /* レベル順走査 */
    fun levelOrder(root: TreeNode?): MutableList<Int> {
        // キューを初期化し、ルートノードを追加する
        val queue = LinkedList<TreeNode?>()
        queue.add(root)
        // 走査順序を保存するためのリストを初期化する
        val list = mutableListOf<Int>()
        while (queue.isNotEmpty()) {
            val node = queue.poll()      // デキュー
            list.add(node?._val!!)       // ノードの値を保存する
            if (node.left != null)
                queue.offer(node.left)   // 左子ノードをキューに追加
            if (node.right != null)
                queue.offer(node.right)  // 右子ノードをキューに追加
        }
        return list
    }

binary_tree_bfs.rb

    ### レベル順走査 ###
    def level_order(root)
      # キューを初期化し、ルートノードを追加する
      queue = [root]
      # 走査順序を保存するためのリストを初期化する
      res = []
      while !queue.empty?
        node = queue.shift # デキュー
        res << node.val # ノードの値を保存する
        queue << node.left unless node.left.nil? # 左子ノードをキューに追加
        queue << node.right unless node.right.nil? # 右子ノードをキューに追加
      end
      res
    end

コードの可視化

全画面で見る >

### 2. 計算量

- 時間計算量は \(O(n)\) ：すべてのノードを1回ずつ訪問するため、計算量は \(O(n)\) です。ここで、\(n\) はノード数です。
- 空間計算量は \(O(n)\) ：最悪の場合、すなわち完全二分木では、最下層に到達する前に、キュー内には最大で同時に \((n + 1) / 2\) 個のノードが存在し、\(O(n)\) の空間を使用します。

## 7.2.2 先行順・中間順・後行順走査

同様に、先行順・中間順・後行順走査はいずれも深度優先走査（depth-first traversal）に属し、深度優先探索（depth-first search, DFS）とも呼ばれます。これは「まず行き止まりまで進み、その後で戻って続ける」という走査方法を表しています。

次の図は、二分木に対して深度優先走査を行う仕組みを示しています。深度優先走査は、二分木全体の外周をぐるりと「一周する」ようなものです。各ノードでは3つの位置に出会い、それぞれが先行順走査・中間順走査・後行順走査に対応します。

図 7-10 二分探索木の先行順・中間順・後行順走査

### 1. コードの実装

深度優先探索は通常、再帰に基づいて実装されます：

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby
binary_tree_dfs.py

    def pre_order(root: TreeNode | None):
        """先行順走査"""
        if root is None:
            return
        # 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
        res.append(root.val)
        pre_order(root=root.left)
        pre_order(root=root.right)

    def in_order(root: TreeNode | None):
        """中順走査"""
        if root is None:
            return
        # 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
        in_order(root=root.left)
        res.append(root.val)
        in_order(root=root.right)

    def post_order(root: TreeNode | None):
        """後順走査"""
        if root is None:
            return
        # 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
        post_order(root=root.left)
        post_order(root=root.right)
        res.append(root.val)

binary_tree_dfs.cpp

    /* 先行順走査 */
    void preOrder(TreeNode *root) {
        if (root == nullptr)
            return;
        // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
        vec.push_back(root->val);
        preOrder(root->left);
        preOrder(root->right);
    }

    /* 中順走査 */
    void inOrder(TreeNode *root) {
        if (root == nullptr)
            return;
        // 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
        inOrder(root->left);
        vec.push_back(root->val);
        inOrder(root->right);
    }

    /* 後順走査 */
    void postOrder(TreeNode *root) {
        if (root == nullptr)
            return;
        // 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
        postOrder(root->left);
        postOrder(root->right);
        vec.push_back(root->val);
    }

binary_tree_dfs.java

    /* 先行順走査 */
    void preOrder(TreeNode root) {
        if (root == null)
            return;
        // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
        list.add(root.val);
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

    /* 中順走査 */
    void inOrder(TreeNode root) {
        if (root == null)
            return;
        // 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
        inOrder(root.left);
        list.add(root.val);
        inOrder(root.right);
    }

    /* 後順走査 */
    void postOrder(TreeNode root) {
        if (root == null)
            return;
        // 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        list.add(root.val);
    }

binary_tree_dfs.cs

    /* 先行順走査 */
    void PreOrder(TreeNode? root) {
        if (root == null) return;
        // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
        list.Add(root.val!.Value);
        PreOrder(root.left);
        PreOrder(root.right);
    }

    /* 中順走査 */
    void InOrder(TreeNode? root) {
        if (root == null) return;
        // 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
        InOrder(root.left);
        list.Add(root.val!.Value);
        InOrder(root.right);
    }

    /* 後順走査 */
    void PostOrder(TreeNode? root) {
        if (root == null) return;
        // 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
        PostOrder(root.left);
        PostOrder(root.right);
        list.Add(root.val!.Value);
    }

binary_tree_dfs.go

    /* 先行順走査 */
    func preOrder(node *TreeNode) {
        if node == nil {
            return
        }
        // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
        nums = append(nums, node.Val)
        preOrder(node.Left)
        preOrder(node.Right)
    }

    /* 中順走査 */
    func inOrder(node *TreeNode) {
        if node == nil {
            return
        }
        // 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
        inOrder(node.Left)
        nums = append(nums, node.Val)
        inOrder(node.Right)
    }

    /* 後順走査 */
    func postOrder(node *TreeNode) {
        if node == nil {
            return
        }
        // 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
        postOrder(node.Left)
        postOrder(node.Right)
        nums = append(nums, node.Val)
    }

binary_tree_dfs.swift

    /* 先行順走査 */
    func preOrder(root: TreeNode?) {
        guard let root = root else {
            return
        }
        // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
        list.append(root.val)
        preOrder(root: root.left)
        preOrder(root: root.right)
    }

    /* 中順走査 */
    func inOrder(root: TreeNode?) {
        guard let root = root else {
            return
        }
        // 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
        inOrder(root: root.left)
        list.append(root.val)
        inOrder(root: root.right)
    }

    /* 後順走査 */
    func postOrder(root: TreeNode?) {
        guard let root = root else {
            return
        }
        // 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
        postOrder(root: root.left)
        postOrder(root: root.right)
        list.append(root.val)
    }

binary_tree_dfs.js

    /* 先行順走査 */
    function preOrder(root) {
        if (root === null) return;
        // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
        list.push(root.val);
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

    /* 中順走査 */
    function inOrder(root) {
        if (root === null) return;
        // 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
        inOrder(root.left);
        list.push(root.val);
        inOrder(root.right);
    }

    /* 後順走査 */
    function postOrder(root) {
        if (root === null) return;
        // 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        list.push(root.val);
    }

binary_tree_dfs.ts

    /* 先行順走査 */
    function preOrder(root: TreeNode | null): void {
        if (root === null) {
            return;
        }
        // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
        list.push(root.val);
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

    /* 中順走査 */
    function inOrder(root: TreeNode | null): void {
        if (root === null) {
            return;
        }
        // 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
        inOrder(root.left);
        list.push(root.val);
        inOrder(root.right);
    }

    /* 後順走査 */
    function postOrder(root: TreeNode | null): void {
        if (root === null) {
            return;
        }
        // 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        list.push(root.val);
    }

binary_tree_dfs.dart

    /* 先行順走査 */
    void preOrder(TreeNode? node) {
      if (node == null) return;
      // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
      list.add(node.val);
      preOrder(node.left);
      preOrder(node.right);
    }

    /* 中順走査 */
    void inOrder(TreeNode? node) {
      if (node == null) return;
      // 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
      inOrder(node.left);
      list.add(node.val);
      inOrder(node.right);
    }

    /* 後順走査 */
    void postOrder(TreeNode? node) {
      if (node == null) return;
      // 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
      postOrder(node.left);
      postOrder(node.right);
      list.add(node.val);
    }

binary_tree_dfs.rs

    /* 先行順走査 */
    fn pre_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
        let mut result = vec![];

        fn dfs(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>, res: &mut Vec<i32>) {
            if let Some(node) = root {
                // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
                let node = node.borrow();
                res.push(node.val);
                dfs(node.left.as_ref(), res);
                dfs(node.right.as_ref(), res);
            }
        }
        dfs(root, &mut result);

        result
    }

    /* 中順走査 */
    fn in_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
        let mut result = vec![];

        fn dfs(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>, res: &mut Vec<i32>) {
            if let Some(node) = root {
                // 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
                let node = node.borrow();
                dfs(node.left.as_ref(), res);
                res.push(node.val);
                dfs(node.right.as_ref(), res);
            }
        }
        dfs(root, &mut result);

        result
    }

    /* 後順走査 */
    fn post_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
        let mut result = vec![];

        fn dfs(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>, res: &mut Vec<i32>) {
            if let Some(node) = root {
                // 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
                let node = node.borrow();
                dfs(node.left.as_ref(), res);
                dfs(node.right.as_ref(), res);
                res.push(node.val);
            }
        }

        dfs(root, &mut result);

        result
    }

binary_tree_dfs.c

    /* 先行順走査 */
    void preOrder(TreeNode *root, int *size) {
        if (root == NULL)
            return;
        // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
        arr[(*size)++] = root->val;
        preOrder(root->left, size);
        preOrder(root->right, size);
    }

    /* 中順走査 */
    void inOrder(TreeNode *root, int *size) {
        if (root == NULL)
            return;
        // 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
        inOrder(root->left, size);
        arr[(*size)++] = root->val;
        inOrder(root->right, size);
    }

    /* 後順走査 */
    void postOrder(TreeNode *root, int *size) {
        if (root == NULL)
            return;
        // 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
        postOrder(root->left, size);
        postOrder(root->right, size);
        arr[(*size)++] = root->val;
    }

binary_tree_dfs.kt

    /* 先行順走査 */
    fun preOrder(root: TreeNode?) {
        if (root == null) return
        // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
        list.add(root._val)
        preOrder(root.left)
        preOrder(root.right)
    }

    /* 中順走査 */
    fun inOrder(root: TreeNode?) {
        if (root == null) return
        // 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
        inOrder(root.left)
        list.add(root._val)
        inOrder(root.right)
    }

    /* 後順走査 */
    fun postOrder(root: TreeNode?) {
        if (root == null) return
        // 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
        postOrder(root.left)
        postOrder(root.right)
        list.add(root._val)
    }

binary_tree_dfs.rb

    ### 前順走査 ###
    def pre_order(root)
      return if root.nil?

      # 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木
      $res << root.val
      pre_order(root.left)
      pre_order(root.right)
    end

    ### 中順走査 ###
    def in_order(root)
      return if root.nil?

      # 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木
      in_order(root.left)
      $res << root.val
      in_order(root.right)
    end

    ### 後順走査 ###
    def post_order(root)
      return if root.nil?

      # 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード
      post_order(root.left)
      post_order(root.right)
      $res << root.val
    end

コードの可視化

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Tip

深度優先探索は反復によって実装することもできます。興味のある読者は自身で調べてみてください。

次の図は、二分木の先行順走査における再帰の過程を示しており、「行き」と「帰り」という2つの逆向きの部分に分けられます。

1. 「行き」は新しいメソッドの開始を表し、この過程でプログラムは次のノードにアクセスします。
2. 「帰り」は関数の復帰を表し、現在のノードへのアクセスが完了したことを意味します。

<1><2><3><4><5><6><7><8><9><10><11>

図 7-11 先行順走査の再帰過程

### 2. 計算量

- 時間計算量は \(O(n)\) ：すべてのノードを1回ずつ訪問するため、計算量は \(O(n)\) です。
- 空間計算量は \(O(n)\) ：最悪の場合、すなわち木が連結リストに退化したとき、再帰の深さは \(n\) に達し、システムは \(O(n)\) のスタックフレーム空間を使用します。

##### ご意見、ご質問、ご提案があればぜひコメントしてください