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# 11.10 基数ソート

前節では計数ソートを紹介しました。これは、データ量 \(n\) が大きく、データ範囲 \(m\) が小さい場合に適しています。\(n = 10^6\) 個の学籍番号をソートすると仮定すると、学籍番号は \(8\) 桁の数字なので、データ範囲 \(m = 10^8\) は非常に大きくなります。計数ソートでは大量のメモリ空間を確保する必要がありますが、基数ソートではこの問題を回避できます。

基数ソート（radix sort）の基本的な考え方は計数ソートと同じで、個数を数えることによってソートを実現します。そのうえで、基数ソートは各桁の段階的な関係を利用し、各桁を順にソートすることで、最終的なソート結果を得ます。

## 11.10.1 アルゴリズムの流れ

学籍番号データを例にすると、数字の最下位桁を第 \(1\) 位、最上位桁を第 \(8\) 位としたとき、基数ソートの流れは次図のようになります。

1. 桁番号 \(k = 1\) を初期化します。
2. 学籍番号の第 \(k\) 位に対して「計数ソート」を実行します。完了すると、データは第 \(k\) 位に従って昇順に並びます。
3. \(k\) を \(1\) 増やし、手順 `2.` に戻って反復を続けます。すべての桁のソートが完了したら終了します。

図 11-18 基数ソートのアルゴリズムの流れ

以下ではコード実装を分解して見ていきます。\(d\) 進数の数値 \(x\) について、その第 \(k\) 位 \(x_k\) を取得するには、次の計算式を用います。

\[ x_k = \lfloor\frac{x}{d^{k-1}}\rfloor \bmod d \]

ここで、\(\lfloor a \rfloor\) は浮動小数点数 \(a\) の切り捨てを表し、\(\bmod \: d\) は \(d\) による剰余を表します。学籍番号データでは、\(d = 10\) かつ \(k \in [1, 8]\) です。

さらに、数字の第 \(k\) 位に基づいてソートできるように、計数ソートのコードを少し変更する必要があります。

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radix_sort.py

    def digit(num: int, exp: int) -> int:
        """要素 num の下から k 桁目を取得（exp = 10^(k-1)）"""
        # ここで高コストな累乗計算を繰り返さないよう、k ではなく exp を渡す
        return (num // exp) % 10

    def counting_sort_digit(nums: list[int], exp: int):
        """計数ソート（nums の k 桁目でソート）"""
        # 10 進数の各桁は 0~9 の範囲なので、長さ 10 のバケット配列が必要
        counter = [0] * 10
        n = len(nums)
        # 0~9 の各数字の出現回数を集計する
        for i in range(n):
            d = digit(nums[i], exp)  # nums[i] の第 k 位を取得し、d とする
            counter[d] += 1  # 数字 d の出現回数を数える
        # 累積和を求め、「出現回数」を「配列インデックス」に変換する
        for i in range(1, 10):
            counter[i] += counter[i - 1]
        # 逆順に走査し、バケット内の集計結果に従って各要素を res に格納する
        res = [0] * n
        for i in range(n - 1, -1, -1):
            d = digit(nums[i], exp)
            j = counter[d] - 1  # d の配列内インデックス j を取得する
            res[j] = nums[i]  # 現在の要素をインデックス j に格納する
            counter[d] -= 1  # d の個数を 1 減らす
        # 結果で元の配列 nums を上書きする
        for i in range(n):
            nums[i] = res[i]

    def radix_sort(nums: list[int]):
        """基数ソート"""
        # 最大桁数の判定用に配列の最大要素を取得
        m = max(nums)
        # 下位桁から上位桁の順に走査する
        exp = 1
        while exp <= m:
            # 配列要素の k 桁目に対して計数ソートを行う
            # k = 1 -> exp = 1
            # k = 2 -> exp = 10
            # つまり exp = 10^(k-1)
            counting_sort_digit(nums, exp)
            exp *= 10

radix_sort.cpp

    /* 要素 num の下から k 桁目を取得（exp = 10^(k-1)） */
    int digit(int num, int exp) {
        // ここで高コストな累乗計算を繰り返さないよう、k ではなく exp を渡す
        return (num / exp) % 10;
    }

    /* 計数ソート（nums の k 桁目でソート） */
    void countingSortDigit(vector<int> &nums, int exp) {
        // 10 進数の各桁は 0~9 の範囲なので、長さ 10 のバケット配列が必要
        vector<int> counter(10, 0);
        int n = nums.size();
        // 0~9 の各数字の出現回数を集計する
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int d = digit(nums[i], exp); // nums[i] の第 k 位を取得し、d とする
            counter[d]++;                // 数字 d の出現回数を数える
        }
        // 累積和を求め、「出現回数」を「配列インデックス」に変換する
        for (int i = 1; i < 10; i++) {
            counter[i] += counter[i - 1];
        }
        // 逆順に走査し、バケット内の集計結果に従って各要素を res に格納する
        vector<int> res(n, 0);
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            int d = digit(nums[i], exp);
            int j = counter[d] - 1; // d の配列内インデックス j を取得する
            res[j] = nums[i];       // 現在の要素をインデックス j に格納する
            counter[d]--;           // d の個数を 1 減らす
        }
        // 結果で元の配列 nums を上書きする
        for (int i = 0; i < n; i++)
            nums[i] = res[i];
    }

    /* 基数ソート */
    void radixSort(vector<int> &nums) {
        // 最大桁数の判定用に配列の最大要素を取得
        int m = *max_element(nums.begin(), nums.end());
        // 下位桁から上位桁の順に走査する
        for (int exp = 1; exp <= m; exp *= 10)
            // 配列要素の k 桁目に対して計数ソートを行う
            // k = 1 -> exp = 1
            // k = 2 -> exp = 10
            // つまり exp = 10^(k-1)
            countingSortDigit(nums, exp);
    }

radix_sort.java

    /* 要素 num の下から k 桁目を取得（exp = 10^(k-1)） */
    int digit(int num, int exp) {
        // ここで高コストな累乗計算を繰り返さないよう、k ではなく exp を渡す
        return (num / exp) % 10;
    }

    /* 計数ソート（nums の k 桁目でソート） */
    void countingSortDigit(int[] nums, int exp) {
        // 10 進数の各桁は 0~9 の範囲なので、長さ 10 のバケット配列が必要
        int[] counter = new int[10];
        int n = nums.length;
        // 0~9 の各数字の出現回数を集計する
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int d = digit(nums[i], exp); // nums[i] の第 k 位を取得し、d とする
            counter[d]++;                // 数字 d の出現回数を数える
        }
        // 累積和を求め、「出現回数」を「配列インデックス」に変換する
        for (int i = 1; i < 10; i++) {
            counter[i] += counter[i - 1];
        }
        // 逆順に走査し、バケット内の集計結果に従って各要素を res に格納する
        int[] res = new int[n];
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            int d = digit(nums[i], exp);
            int j = counter[d] - 1; // d の配列内インデックス j を取得する
            res[j] = nums[i];       // 現在の要素をインデックス j に格納する
            counter[d]--;           // d の個数を 1 減らす
        }
        // 結果で元の配列 nums を上書きする
        for (int i = 0; i < n; i++)
            nums[i] = res[i];
    }

    /* 基数ソート */
    void radixSort(int[] nums) {
        // 最大桁数の判定用に配列の最大要素を取得
        int m = Integer.MIN_VALUE;
        for (int num : nums)
            if (num > m)
                m = num;
        // 下位桁から上位桁の順に走査する
        for (int exp = 1; exp <= m; exp *= 10) {
            // 配列要素の k 桁目に対して計数ソートを行う
            // k = 1 -> exp = 1
            // k = 2 -> exp = 10
            // つまり exp = 10^(k-1)
            countingSortDigit(nums, exp);
        }
    }

radix_sort.cs

    /* 要素 num の下から k 桁目を取得（exp = 10^(k-1)） */
    int Digit(int num, int exp) {
        // ここで高コストな累乗計算を繰り返さないよう、k ではなく exp を渡す
        return (num / exp) % 10;
    }

    /* 計数ソート（nums の k 桁目でソート） */
    void CountingSortDigit(int[] nums, int exp) {
        // 10 進数の各桁は 0~9 の範囲なので、長さ 10 のバケット配列が必要
        int[] counter = new int[10];
        int n = nums.Length;
        // 0~9 の各数字の出現回数を集計する
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int d = Digit(nums[i], exp); // nums[i] の第 k 位を取得し、d とする
            counter[d]++;                // 数字 d の出現回数を数える
        }
        // 累積和を求め、「出現回数」を「配列インデックス」に変換する
        for (int i = 1; i < 10; i++) {
            counter[i] += counter[i - 1];
        }
        // 逆順に走査し、バケット内の集計結果に従って各要素を res に格納する
        int[] res = new int[n];
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            int d = Digit(nums[i], exp);
            int j = counter[d] - 1; // d の配列内インデックス j を取得する
            res[j] = nums[i];       // 現在の要素をインデックス j に格納する
            counter[d]--;           // d の個数を 1 減らす
        }
        // 結果で元の配列 nums を上書きする
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            nums[i] = res[i];
        }
    }

    /* 基数ソート */
    void RadixSort(int[] nums) {
        // 最大桁数の判定用に配列の最大要素を取得
        int m = int.MinValue;
        foreach (int num in nums) {
            if (num > m) m = num;
        }
        // 下位桁から上位桁の順に走査する
        for (int exp = 1; exp <= m; exp *= 10) {
            // 配列要素の k 桁目に対して計数ソートを行う
            // k = 1 -> exp = 1
            // k = 2 -> exp = 10
            // つまり exp = 10^(k-1)
            CountingSortDigit(nums, exp);
        }
    }

radix_sort.go

    /* 要素 num の下から k 桁目を取得（exp = 10^(k-1)） */
    func digit(num, exp int) int {
        // ここで高コストな累乗計算を繰り返さないよう、k ではなく exp を渡す
        return (num / exp) % 10
    }

    /* 計数ソート（nums の k 桁目でソート） */
    func countingSortDigit(nums []int, exp int) {
        // 10 進数の各桁は 0~9 の範囲なので、長さ 10 のバケット配列が必要
        counter := make([]int, 10)
        n := len(nums)
        // 0~9 の各数字の出現回数を集計する
        for i := 0; i < n; i++ {
            d := digit(nums[i], exp) // nums[i] の第 k 位を取得し、d とする
            counter[d]++             // 数字 d の出現回数を数える
        }
        // 累積和を求め、「出現回数」を「配列インデックス」に変換する
        for i := 1; i < 10; i++ {
            counter[i] += counter[i-1]
        }
        // 逆順に走査し、バケット内の集計結果に従って各要素を res に格納する
        res := make([]int, n)
        for i := n - 1; i >= 0; i-- {
            d := digit(nums[i], exp)
            j := counter[d] - 1 // d の配列内インデックス j を取得する
            res[j] = nums[i]    // 現在の要素をインデックス j に格納する
            counter[d]--        // d の個数を 1 減らす
        }
        // 結果で元の配列 nums を上書きする
        for i := 0; i < n; i++ {
            nums[i] = res[i]
        }
    }

    /* 基数ソート */
    func radixSort(nums []int) {
        // 最大桁数の判定用に配列の最大要素を取得
        max := math.MinInt
        for _, num := range nums {
            if num > max {
                max = num
            }
        }
        // 下位桁から上位桁の順に走査する
        for exp := 1; max >= exp; exp *= 10 {
            // 配列要素の k 桁目に対して計数ソートを行う
            // k = 1 -> exp = 1
            // k = 2 -> exp = 10
            // つまり exp = 10^(k-1)
            countingSortDigit(nums, exp)
        }
    }

radix_sort.swift

    /* 要素 num の下から k 桁目を取得（exp = 10^(k-1)） */
    func digit(num: Int, exp: Int) -> Int {
        // ここで高コストな累乗計算を繰り返さないよう、k ではなく exp を渡す
        (num / exp) % 10
    }

    /* 計数ソート（nums の k 桁目でソート） */
    func countingSortDigit(nums: inout [Int], exp: Int) {
        // 10 進数の各桁は 0~9 の範囲なので、長さ 10 のバケット配列が必要
        var counter = Array(repeating: 0, count: 10)
        // 0~9 の各数字の出現回数を集計する
        for i in nums.indices {
            let d = digit(num: nums[i], exp: exp) // nums[i] の第 k 位を取得し、d とする
            counter[d] += 1 // 数字 d の出現回数を数える
        }
        // 累積和を求め、「出現回数」を「配列インデックス」に変換する
        for i in 1 ..< 10 {
            counter[i] += counter[i - 1]
        }
        // 逆順に走査し、バケット内の集計結果に従って各要素を res に格納する
        var res = Array(repeating: 0, count: nums.count)
        for i in nums.indices.reversed() {
            let d = digit(num: nums[i], exp: exp)
            let j = counter[d] - 1 // d の配列内インデックス j を取得する
            res[j] = nums[i] // 現在の要素をインデックス j に格納する
            counter[d] -= 1 // d の個数を 1 減らす
        }
        // 結果で元の配列 nums を上書きする
        for i in nums.indices {
            nums[i] = res[i]
        }
    }

    /* 基数ソート */
    func radixSort(nums: inout [Int]) {
        // 最大桁数の判定用に配列の最大要素を取得
        var m = Int.min
        for num in nums {
            if num > m {
                m = num
            }
        }
        // 下位桁から上位桁の順に走査する
        for exp in sequence(first: 1, next: { m >= ($0 * 10) ? $0 * 10 : nil }) {
            // 配列要素の k 桁目に対して計数ソートを行う
            // k = 1 -> exp = 1
            // k = 2 -> exp = 10
            // つまり exp = 10^(k-1)
            countingSortDigit(nums: &nums, exp: exp)
        }
    }

radix_sort.js

    /* 要素 num の下から k 桁目を取得（exp = 10^(k-1)） */
    function digit(num, exp) {
        // ここで高コストな累乗計算を繰り返さないよう、k ではなく exp を渡す
        return Math.floor(num / exp) % 10;
    }

    /* 計数ソート（nums の k 桁目でソート） */
    function countingSortDigit(nums, exp) {
        // 10 進数の各桁は 0~9 の範囲なので、長さ 10 のバケット配列が必要
        const counter = new Array(10).fill(0);
        const n = nums.length;
        // 0~9 の各数字の出現回数を集計する
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            const d = digit(nums[i], exp); // nums[i] の第 k 位を取得し、d とする
            counter[d]++; // 数字 d の出現回数を数える
        }
        // 累積和を求め、「出現回数」を「配列インデックス」に変換する
        for (let i = 1; i < 10; i++) {
            counter[i] += counter[i - 1];
        }
        // 逆順に走査し、バケット内の集計結果に従って各要素を res に格納する
        const res = new Array(n).fill(0);
        for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {
            const d = digit(nums[i], exp);
            const j = counter[d] - 1; // d の配列内インデックス j を取得する
            res[j] = nums[i]; // 現在の要素をインデックス j に格納する
            counter[d]--; // d の個数を 1 減らす
        }
        // 結果で元の配列 nums を上書きする
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            nums[i] = res[i];
        }
    }

    /* 基数ソート */
    function radixSort(nums) {
        // 最大桁数の判定用に配列の最大要素を取得
        let m = Math.max(... nums);
        // 下位桁から上位桁の順に走査する
        for (let exp = 1; exp <= m; exp *= 10) {
            // 配列要素の k 桁目に対して計数ソートを行う
            // k = 1 -> exp = 1
            // k = 2 -> exp = 10
            // つまり exp = 10^(k-1)
            countingSortDigit(nums, exp);
        }
    }

radix_sort.ts

    /* 要素 num の下から k 桁目を取得（exp = 10^(k-1)） */
    function digit(num: number, exp: number): number {
        // ここで高コストな累乗計算を繰り返さないよう、k ではなく exp を渡す
        return Math.floor(num / exp) % 10;
    }

    /* 計数ソート（nums の k 桁目でソート） */
    function countingSortDigit(nums: number[], exp: number): void {
        // 10 進数の各桁は 0~9 の範囲なので、長さ 10 のバケット配列が必要
        const counter = new Array(10).fill(0);
        const n = nums.length;
        // 0~9 の各数字の出現回数を集計する
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            const d = digit(nums[i], exp); // nums[i] の第 k 位を取得し、d とする
            counter[d]++; // 数字 d の出現回数を数える
        }
        // 累積和を求め、「出現回数」を「配列インデックス」に変換する
        for (let i = 1; i < 10; i++) {
            counter[i] += counter[i - 1];
        }
        // 逆順に走査し、バケット内の集計結果に従って各要素を res に格納する
        const res = new Array(n).fill(0);
        for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {
            const d = digit(nums[i], exp);
            const j = counter[d] - 1; // d の配列内インデックス j を取得する
            res[j] = nums[i]; // 現在の要素をインデックス j に格納する
            counter[d]--; // d の個数を 1 減らす
        }
        // 結果で元の配列 nums を上書きする
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            nums[i] = res[i];
        }
    }

    /* 基数ソート */
    function radixSort(nums: number[]): void {
        // 最大桁数の判定用に配列の最大要素を取得
        let m: number = Math.max(... nums);
        // 下位桁から上位桁の順に走査する
        for (let exp = 1; exp <= m; exp *= 10) {
            // 配列要素の k 桁目に対して計数ソートを行う
            // k = 1 -> exp = 1
            // k = 2 -> exp = 10
            // つまり exp = 10^(k-1)
            countingSortDigit(nums, exp);
        }
    }

radix_sort.dart

    /* 要素 `_num` の第 k 桁を取得する。ここで `exp = 10^(k-1)` */
    int digit(int _num, int exp) {
      // ここで高コストな累乗計算を繰り返さないよう、k ではなく exp を渡す
      return (_num ~/ exp) % 10;
    }

    /* 計数ソート（nums の k 桁目でソート） */
    void countingSortDigit(List<int> nums, int exp) {
      // 10 進数の各桁は 0~9 の範囲なので、長さ 10 のバケット配列が必要
      List<int> counter = List<int>.filled(10, 0);
      int n = nums.length;
      // 0~9 の各数字の出現回数を集計する
      for (int i = 0; i < n; i++) {
        int d = digit(nums[i], exp); // nums[i] の第 k 位を取得し、d とする
        counter[d]++; // 数字 d の出現回数を数える
      }
      // 累積和を求め、「出現回数」を「配列インデックス」に変換する
      for (int i = 1; i < 10; i++) {
        counter[i] += counter[i - 1];
      }
      // 逆順に走査し、バケット内の集計結果に従って各要素を res に格納する
      List<int> res = List<int>.filled(n, 0);
      for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        int d = digit(nums[i], exp);
        int j = counter[d] - 1; // d の配列内インデックス j を取得する
        res[j] = nums[i]; // 現在の要素をインデックス j に格納する
        counter[d]--; // d の個数を 1 減らす
      }
      // 結果で元の配列 nums を上書きする
      for (int i = 0; i < n; i++) nums[i] = res[i];
    }

    /* 基数ソート */
    void radixSort(List<int> nums) {
      // 最大桁数の判定用に配列の最大要素を取得する
      // dart の `int` の長さは 64 ビット
      int m = -1 << 63;
      for (int _num in nums) if (_num > m) m = _num;
      // 下位桁から上位桁の順に走査する
      for (int exp = 1; exp <= m; exp *= 10)
        // 配列要素の k 桁目に対して計数ソートを行う
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // つまり exp = 10^(k-1)
        countingSortDigit(nums, exp);
    }

radix_sort.rs

    /* 要素 num の下から k 桁目を取得（exp = 10^(k-1)） */
    fn digit(num: i32, exp: i32) -> usize {
        // ここで高コストな累乗計算を繰り返さないよう、k ではなく exp を渡す
        return ((num / exp) % 10) as usize;
    }

    /* 計数ソート（nums の k 桁目でソート） */
    fn counting_sort_digit(nums: &mut [i32], exp: i32) {
        // 10 進数の各桁は 0~9 の範囲なので、長さ 10 のバケット配列が必要
        let mut counter = [0; 10];
        let n = nums.len();
        // 0~9 の各数字の出現回数を集計する
        for i in 0..n {
            let d = digit(nums[i], exp); // nums[i] の第 k 位を取得し、d とする
            counter[d] += 1; // 数字 d の出現回数を数える
        }
        // 累積和を求め、「出現回数」を「配列インデックス」に変換する
        for i in 1..10 {
            counter[i] += counter[i - 1];
        }
        // 逆順に走査し、バケット内の集計結果に従って各要素を res に格納する
        let mut res = vec![0; n];
        for i in (0..n).rev() {
            let d = digit(nums[i], exp);
            let j = counter[d] - 1; // d の配列内インデックス j を取得する
            res[j] = nums[i]; // 現在の要素をインデックス j に格納する
            counter[d] -= 1; // d の個数を 1 減らす
        }
        // 結果で元の配列 nums を上書きする
        nums.copy_from_slice(&res);
    }

    /* 基数ソート */
    fn radix_sort(nums: &mut [i32]) {
        // 最大桁数の判定用に配列の最大要素を取得
        let m = *nums.into_iter().max().unwrap();
        // 下位桁から上位桁の順に走査する
        let mut exp = 1;
        while exp <= m {
            counting_sort_digit(nums, exp);
            exp *= 10;
        }
    }

radix_sort.c

    /* 要素 num の下から k 桁目を取得（exp = 10^(k-1)） */
    int digit(int num, int exp) {
        // ここで高コストな累乗計算を繰り返さないよう、k ではなく exp を渡す
        return (num / exp) % 10;
    }

    /* 計数ソート（nums の k 桁目でソート） */
    void countingSortDigit(int nums[], int size, int exp) {
        // 10 進数の各桁は 0~9 の範囲なので、長さ 10 のバケット配列が必要
        int *counter = (int *)malloc((sizeof(int) * 10));
        memset(counter, 0, sizeof(int) * 10); // 後続のメモリ解放に備えて 0 で初期化する
        // 0~9 の各数字の出現回数を集計する
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            // nums[i] の第 k 位を取得し、d とする
            int d = digit(nums[i], exp);
            // 数字 d の出現回数を数える
            counter[d]++;
        }
        // 累積和を求め、「出現回数」を「配列インデックス」に変換する
        for (int i = 1; i < 10; i++) {
            counter[i] += counter[i - 1];
        }
        // 逆順に走査し、バケット内の集計結果に従って各要素を res に格納する
        int *res = (int *)malloc(sizeof(int) * size);
        for (int i = size - 1; i >= 0; i--) {
            int d = digit(nums[i], exp);
            int j = counter[d] - 1; // d の配列内インデックス j を取得する
            res[j] = nums[i];       // 現在の要素をインデックス j に格納する
            counter[d]--;           // d の個数を 1 減らす
        }
        // 結果で元の配列 nums を上書きする
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            nums[i] = res[i];
        }
        // メモリを解放する
        free(res);
        free(counter);
    }

    /* 基数ソート */
    void radixSort(int nums[], int size) {
        // 最大桁数の判定用に配列の最大要素を取得
        int max = INT32_MIN;
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            if (nums[i] > max) {
                max = nums[i];
            }
        }
        // 下位桁から上位桁の順に走査する
        for (int exp = 1; max >= exp; exp *= 10)
            // 配列要素の k 桁目に対して計数ソートを行う
            // k = 1 -> exp = 1
            // k = 2 -> exp = 10
            // つまり exp = 10^(k-1)
            countingSortDigit(nums, size, exp);
    }

radix_sort.kt

    /* 要素 num の下から k 桁目を取得（exp = 10^(k-1)） */
    fun digit(num: Int, exp: Int): Int {
        // ここで高コストな累乗計算を繰り返さないよう、k ではなく exp を渡す
        return (num / exp) % 10
    }

    /* 計数ソート（nums の k 桁目でソート） */
    fun countingSortDigit(nums: IntArray, exp: Int) {
        // 10 進数の各桁は 0~9 の範囲なので、長さ 10 のバケット配列が必要
        val counter = IntArray(10)
        val n = nums.size
        // 0~9 の各数字の出現回数を集計する
        for (i in 0..<n) {
            val d = digit(nums[i], exp) // nums[i] の第 k 位を取得し、d とする
            counter[d]++                // 数字 d の出現回数を数える
        }
        // 累積和を求め、「出現回数」を「配列インデックス」に変換する
        for (i in 1..9) {
            counter[i] += counter[i - 1]
        }
        // 逆順に走査し、バケット内の集計結果に従って各要素を res に格納する
        val res = IntArray(n)
        for (i in n - 1 downTo 0) {
            val d = digit(nums[i], exp)
            val j = counter[d] - 1 // d の配列内インデックス j を取得する
            res[j] = nums[i]       // 現在の要素をインデックス j に格納する
            counter[d]--           // d の個数を 1 減らす
        }
        // 結果で元の配列 nums を上書きする
        for (i in 0..<n)
            nums[i] = res[i]
    }

    /* 基数ソート */
    fun radixSort(nums: IntArray) {
        // 最大桁数の判定用に配列の最大要素を取得
        var m = Int.MIN_VALUE
        for (num in nums) if (num > m) m = num
        var exp = 1
        // 下位桁から上位桁の順に走査する
        while (exp <= m) {
            // 配列要素の k 桁目に対して計数ソートを行う
            // k = 1 -> exp = 1
            // k = 2 -> exp = 10
            // つまり exp = 10^(k-1)
            countingSortDigit(nums, exp)
            exp *= 10
        }
    }

radix_sort.rb

    ### num の第 k 桁を取得する。ここで exp = 10^(k-1) ###
    def digit(num, exp)
      # k ではなく exp を渡すことで、ここで高コストな累乗計算を繰り返し実行するのを避けられる
      (num / exp) % 10
    end

    ### num の第 k 桁を取得する。ここで exp = 10^(k-1) ###
    def digit(num, exp)
      # k ではなく exp を渡すことで、ここで高コストな累乗計算を繰り返し実行するのを避けられる
      (num / exp) % 10
    end

    # ## 計数ソート（nums の k 桁目でソート）###
    def counting_sort_digit(nums, exp)
      # 10 進数の各桁は 0~9 の範囲なので、長さ 10 のバケット配列が必要
      counter = Array.new(10, 0)
      n = nums.length
      # 0~9 の各数字の出現回数を集計する
      for i in 0...n
        d = digit(nums[i], exp) # nums[i] の第 k 位を取得し、d とする
        counter[d] += 1 # 数字 d の出現回数を数える
      end
      # 累積和を求め、「出現回数」を「配列インデックス」に変換する
      (1...10).each { |i| counter[i] += counter[i - 1] }
      # 逆順に走査し、バケット内の集計結果に従って各要素を res に格納する
      res = Array.new(n, 0)
      for i in (n - 1).downto(0)
        d = digit(nums[i], exp)
        j = counter[d] - 1 # d の配列内インデックス j を取得する
        res[j] = nums[i] # 現在の要素をインデックス j に格納する
        counter[d] -= 1 # d の個数を 1 減らす
      end
      # 結果で元の配列 nums を上書きする
      (0...n).each { |i| nums[i] = res[i] }
    end

    ### 基数ソート ###
    def radix_sort(nums)
      # 最大桁数の判定用に配列の最大要素を取得
      m = nums.max
      # 下位桁から上位桁の順に走査する
      exp = 1
      while exp <= m
        # 配列要素の k 桁目に対して計数ソートを行う
        # k = 1 -> exp = 1
        # k = 2 -> exp = 10
        # つまり exp = 10^(k-1)
        counting_sort_digit(nums, exp)
        exp *= 10
      end
    end

コードの可視化

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なぜ最下位桁からソートするのですか？

連続するソートの各ラウンドでは、後のラウンドの結果が前のラウンドの結果を上書きします。たとえば、第1ラウンドで \(a < b\) となっていても、第2ラウンドで \(a > b\) となれば、第2ラウンドの結果が優先されます。数字では高位の優先度が低位より高いため、先に低位をソートし、その後で高位をソートする必要があります。

## 11.10.2 アルゴリズムの特徴

計数ソートと比べると、基数ソートは値の範囲が大きい場合に適しています。ただし、データが固定桁数の形式で表せること、かつ桁数が大きすぎないことが前提です。たとえば、浮動小数点数は基数ソートに適していません。桁数 \(k\) が大きすぎて、時間計算量が \(O(nk) \gg O(n^2)\) になる可能性があるためです。

- 時間計算量は \(O(nk)\)、非適応ソート：データ量を \(n\)、データが \(d\) 進数、最大桁数を \(k\) とすると、ある1桁に対して計数ソートを実行する時間は \(O(n + d)\) であり、全 \(k\) 桁をソートする時間は \(O((n + d)k)\) です。通常、\(d\) と \(k\) はどちらも比較的小さいため、時間計算量は \(O(n)\) に近づきます。
- 空間計算量は \(O(n + d)\)、非原地ソート：計数ソートと同様に、基数ソートでは長さ \(n\) と \(d\) の配列 `res` と `counter` を補助的に用います。
- 安定ソート：計数ソートが安定であれば基数ソートも安定です。計数ソートが不安定な場合、基数ソートでは正しいソート結果を保証できません。

##### ご意見、ご質問、ご提案があればぜひコメントしてください