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# 7.2 二元樹走訪

從物理結構的角度來看，樹是一種基於鏈結串列的資料結構，因此其走訪方式是透過指標逐個訪問節點。然而，樹是一種非線性資料結構，這使得走訪樹比走訪鏈結串列更加複雜，需要藉助搜尋演算法來實現。

二元樹常見的走訪方式包括層序走訪、前序走訪、中序走訪和後序走訪等。

## 7.2.1 層序走訪

如圖 7-9 所示，層序走訪（level-order traversal）從頂部到底部逐層走訪二元樹，並在每一層按照從左到右的順序訪問節點。

層序走訪本質上屬於廣度優先走訪（breadth-first traversal），也稱廣度優先搜尋（breadth-first search, BFS），它體現了一種“一圈一圈向外擴展”的逐層走訪方式。

圖 7-9 二元樹的層序走訪

### 1. 程式碼實現

廣度優先走訪通常藉助“佇列”來實現。佇列遵循“先進先出”的規則，而廣度優先走訪則遵循“逐層推進”的規則，兩者背後的思想是一致的。實現程式碼如下：

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby
binary_tree_bfs.py

    def level_order(root: TreeNode | None) -> list[int]:
        """層序走訪"""
        # 初始化佇列，加入根節點
        queue: deque[TreeNode] = deque()
        queue.append(root)
        # 初始化一個串列，用於儲存走訪序列
        res = []
        while queue:
            node: TreeNode = queue.popleft()  # 隊列出隊
            res.append(node.val)  # 儲存節點值
            if node.left is not None:
                queue.append(node.left)  # 左子節點入列
            if node.right is not None:
                queue.append(node.right)  # 右子節點入列
        return res

binary_tree_bfs.cpp

    /* 層序走訪 */
    vector<int> levelOrder(TreeNode *root) {
        // 初始化佇列，加入根節點
        queue<TreeNode *> queue;
        queue.push(root);
        // 初始化一個串列，用於儲存走訪序列
        vector<int> vec;
        while (!queue.empty()) {
            TreeNode *node = queue.front();
            queue.pop();              // 隊列出隊
            vec.push_back(node->val); // 儲存節點值
            if (node->left != nullptr)
                queue.push(node->left); // 左子節點入列
            if (node->right != nullptr)
                queue.push(node->right); // 右子節點入列
        }
        return vec;
    }

binary_tree_bfs.java

    /* 層序走訪 */
    List<Integer> levelOrder(TreeNode root) {
        // 初始化佇列，加入根節點
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.add(root);
        // 初始化一個串列，用於儲存走訪序列
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        while (!queue.isEmpty()) {
            TreeNode node = queue.poll(); // 隊列出隊
            list.add(node.val);           // 儲存節點值
            if (node.left != null)
                queue.offer(node.left);   // 左子節點入列
            if (node.right != null)
                queue.offer(node.right);  // 右子節點入列
        }
        return list;
    }

binary_tree_bfs.cs

    /* 層序走訪 */
    List<int> LevelOrder(TreeNode root) {
        // 初始化佇列，加入根節點
        Queue<TreeNode> queue = new();
        queue.Enqueue(root);
        // 初始化一個串列，用於儲存走訪序列
        List<int> list = [];
        while (queue.Count != 0) {
            TreeNode node = queue.Dequeue(); // 隊列出隊
            list.Add(node.val!.Value);       // 儲存節點值
            if (node.left != null)
                queue.Enqueue(node.left);    // 左子節點入列
            if (node.right != null)
                queue.Enqueue(node.right);   // 右子節點入列
        }
        return list;
    }

binary_tree_bfs.go

    /* 層序走訪 */
    func levelOrder(root *TreeNode) []any {
        // 初始化佇列，加入根節點
        queue := list.New()
        queue.PushBack(root)
        // 初始化一個切片，用於儲存走訪序列
        nums := make([]any, 0)
        for queue.Len() > 0 {
            // 隊列出隊
            node := queue.Remove(queue.Front()).(*TreeNode)
            // 儲存節點值
            nums = append(nums, node.Val)
            if node.Left != nil {
                // 左子節點入列
                queue.PushBack(node.Left)
            }
            if node.Right != nil {
                // 右子節點入列
                queue.PushBack(node.Right)
            }
        }
        return nums
    }

binary_tree_bfs.swift

    /* 層序走訪 */
    func levelOrder(root: TreeNode) -> [Int] {
        // 初始化佇列，加入根節點
        var queue: [TreeNode] = [root]
        // 初始化一個串列，用於儲存走訪序列
        var list: [Int] = []
        while !queue.isEmpty {
            let node = queue.removeFirst() // 隊列出隊
            list.append(node.val) // 儲存節點值
            if let left = node.left {
                queue.append(left) // 左子節點入列
            }
            if let right = node.right {
                queue.append(right) // 右子節點入列
            }
        }
        return list
    }

binary_tree_bfs.js

    /* 層序走訪 */
    function levelOrder(root) {
        // 初始化佇列，加入根節點
        const queue = [root];
        // 初始化一個串列，用於儲存走訪序列
        const list = [];
        while (queue.length) {
            let node = queue.shift(); // 隊列出隊
            list.push(node.val); // 儲存節點值
            if (node.left) queue.push(node.left); // 左子節點入列
            if (node.right) queue.push(node.right); // 右子節點入列
        }
        return list;
    }

binary_tree_bfs.ts

    /* 層序走訪 */
    function levelOrder(root: TreeNode | null): number[] {
        // 初始化佇列，加入根節點
        const queue = [root];
        // 初始化一個串列，用於儲存走訪序列
        const list: number[] = [];
        while (queue.length) {
            let node = queue.shift() as TreeNode; // 隊列出隊
            list.push(node.val); // 儲存節點值
            if (node.left) {
                queue.push(node.left); // 左子節點入列
            }
            if (node.right) {
                queue.push(node.right); // 右子節點入列
            }
        }
        return list;
    }

binary_tree_bfs.dart

    /* 層序走訪 */
    List<int> levelOrder(TreeNode? root) {
      // 初始化佇列，加入根節點
      Queue<TreeNode?> queue = Queue();
      queue.add(root);
      // 初始化一個串列，用於儲存走訪序列
      List<int> res = [];
      while (queue.isNotEmpty) {
        TreeNode? node = queue.removeFirst(); // 隊列出隊
        res.add(node!.val); // 儲存節點值
        if (node.left != null) queue.add(node.left); // 左子節點入列
        if (node.right != null) queue.add(node.right); // 右子節點入列
      }
      return res;
    }

binary_tree_bfs.rs

    /* 層序走訪 */
    fn level_order(root: &Rc<RefCell<TreeNode>>) -> Vec<i32> {
        // 初始化佇列，加入根節點
        let mut que = VecDeque::new();
        que.push_back(root.clone());
        // 初始化一個串列，用於儲存走訪序列
        let mut vec = Vec::new();

        while let Some(node) = que.pop_front() {
            // 隊列出隊
            vec.push(node.borrow().val); // 儲存節點值
            if let Some(left) = node.borrow().left.as_ref() {
                que.push_back(left.clone()); // 左子節點入列
            }
            if let Some(right) = node.borrow().right.as_ref() {
                que.push_back(right.clone()); // 右子節點入列
            };
        }
        vec
    }

binary_tree_bfs.c

    /* 層序走訪 */
    int *levelOrder(TreeNode *root, int *size) {
        /* 輔助佇列 */
        int front, rear;
        int index, *arr;
        TreeNode *node;
        TreeNode **queue;

        /* 輔助佇列 */
        queue = (TreeNode **)malloc(sizeof(TreeNode *) * MAX_SIZE);
        // 佇列指標
        front = 0, rear = 0;
        // 加入根節點
        queue[rear++] = root;
        // 初始化一個串列，用於儲存走訪序列
        /* 輔助陣列 */
        arr = (int *)malloc(sizeof(int) * MAX_SIZE);
        // 陣列指標
        index = 0;
        while (front < rear) {
            // 隊列出隊
            node = queue[front++];
            // 儲存節點值
            arr[index++] = node->val;
            if (node->left != NULL) {
                // 左子節點入列
                queue[rear++] = node->left;
            }
            if (node->right != NULL) {
                // 右子節點入列
                queue[rear++] = node->right;
            }
        }
        // 更新陣列長度的值
        *size = index;
        arr = realloc(arr, sizeof(int) * (*size));

        // 釋放輔助陣列空間
        free(queue);
        return arr;
    }

binary_tree_bfs.kt

    /* 層序走訪 */
    fun levelOrder(root: TreeNode?): MutableList<Int> {
        // 初始化佇列，加入根節點
        val queue = LinkedList<TreeNode?>()
        queue.add(root)
        // 初始化一個串列，用於儲存走訪序列
        val list = mutableListOf<Int>()
        while (queue.isNotEmpty()) {
            val node = queue.poll()      // 隊列出隊
            list.add(node?._val!!)       // 儲存節點值
            if (node.left != null)
                queue.offer(node.left)   // 左子節點入列
            if (node.right != null)
                queue.offer(node.right)  // 右子節點入列
        }
        return list
    }

binary_tree_bfs.rb

    ### 層序走訪 ###
    def level_order(root)
      # 初始化佇列，加入根節點
      queue = [root]
      # 初始化一個串列，用於儲存走訪序列
      res = []
      while !queue.empty?
        node = queue.shift # 隊列出隊
        res << node.val # 儲存節點值
        queue << node.left unless node.left.nil? # 左子節點入列
        queue << node.right unless node.right.nil? # 右子節點入列
      end
      res
    end

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### 2. 複雜度分析

- 時間複雜度為 \(O(n)\) ：所有節點被訪問一次，使用 \(O(n)\) 時間，其中 \(n\) 為節點數量。
- 空間複雜度為 \(O(n)\) ：在最差情況下，即滿二元樹時，走訪到最底層之前，佇列中最多同時存在 \((n + 1) / 2\) 個節點，佔用 \(O(n)\) 空間。

## 7.2.2 前序、中序、後序走訪

相應地，前序、中序和後序走訪都屬於深度優先走訪（depth-first traversal），也稱深度優先搜尋（depth-first search, DFS），它體現了一種“先走到盡頭，再回溯繼續”的走訪方式。

圖 7-10 展示了對二元樹進行深度優先走訪的工作原理。深度優先走訪就像是繞著整棵二元樹的外圍“走”一圈，在每個節點都會遇到三個位置，分別對應前序走訪、中序走訪和後序走訪。

圖 7-10 二元搜尋樹的前序、中序、後序走訪

### 1. 程式碼實現

深度優先搜尋通常基於遞迴實現：

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby
binary_tree_dfs.py

    def pre_order(root: TreeNode | None):
        """前序走訪"""
        if root is None:
            return
        # 訪問優先順序：根節點 -> 左子樹 -> 右子樹
        res.append(root.val)
        pre_order(root=root.left)
        pre_order(root=root.right)

    def in_order(root: TreeNode | None):
        """中序走訪"""
        if root is None:
            return
        # 訪問優先順序：左子樹 -> 根節點 -> 右子樹
        in_order(root=root.left)
        res.append(root.val)
        in_order(root=root.right)

    def post_order(root: TreeNode | None):
        """後序走訪"""
        if root is None:
            return
        # 訪問優先順序：左子樹 -> 右子樹 -> 根節點
        post_order(root=root.left)
        post_order(root=root.right)
        res.append(root.val)

binary_tree_dfs.cpp

    /* 前序走訪 */
    void preOrder(TreeNode *root) {
        if (root == nullptr)
            return;
        // 訪問優先順序：根節點 -> 左子樹 -> 右子樹
        vec.push_back(root->val);
        preOrder(root->left);
        preOrder(root->right);
    }

    /* 中序走訪 */
    void inOrder(TreeNode *root) {
        if (root == nullptr)
            return;
        // 訪問優先順序：左子樹 -> 根節點 -> 右子樹
        inOrder(root->left);
        vec.push_back(root->val);
        inOrder(root->right);
    }

    /* 後序走訪 */
    void postOrder(TreeNode *root) {
        if (root == nullptr)
            return;
        // 訪問優先順序：左子樹 -> 右子樹 -> 根節點
        postOrder(root->left);
        postOrder(root->right);
        vec.push_back(root->val);
    }

binary_tree_dfs.java

    /* 前序走訪 */
    void preOrder(TreeNode root) {
        if (root == null)
            return;
        // 訪問優先順序：根節點 -> 左子樹 -> 右子樹
        list.add(root.val);
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

    /* 中序走訪 */
    void inOrder(TreeNode root) {
        if (root == null)
            return;
        // 訪問優先順序：左子樹 -> 根節點 -> 右子樹
        inOrder(root.left);
        list.add(root.val);
        inOrder(root.right);
    }

    /* 後序走訪 */
    void postOrder(TreeNode root) {
        if (root == null)
            return;
        // 訪問優先順序：左子樹 -> 右子樹 -> 根節點
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        list.add(root.val);
    }

binary_tree_dfs.cs

    /* 前序走訪 */
    void PreOrder(TreeNode? root) {
        if (root == null) return;
        // 訪問優先順序：根節點 -> 左子樹 -> 右子樹
        list.Add(root.val!.Value);
        PreOrder(root.left);
        PreOrder(root.right);
    }

    /* 中序走訪 */
    void InOrder(TreeNode? root) {
        if (root == null) return;
        // 訪問優先順序：左子樹 -> 根節點 -> 右子樹
        InOrder(root.left);
        list.Add(root.val!.Value);
        InOrder(root.right);
    }

    /* 後序走訪 */
    void PostOrder(TreeNode? root) {
        if (root == null) return;
        // 訪問優先順序：左子樹 -> 右子樹 -> 根節點
        PostOrder(root.left);
        PostOrder(root.right);
        list.Add(root.val!.Value);
    }

binary_tree_dfs.go

    /* 前序走訪 */
    func preOrder(node *TreeNode) {
        if node == nil {
            return
        }
        // 訪問優先順序：根節點 -> 左子樹 -> 右子樹
        nums = append(nums, node.Val)
        preOrder(node.Left)
        preOrder(node.Right)
    }

    /* 中序走訪 */
    func inOrder(node *TreeNode) {
        if node == nil {
            return
        }
        // 訪問優先順序：左子樹 -> 根節點 -> 右子樹
        inOrder(node.Left)
        nums = append(nums, node.Val)
        inOrder(node.Right)
    }

    /* 後序走訪 */
    func postOrder(node *TreeNode) {
        if node == nil {
            return
        }
        // 訪問優先順序：左子樹 -> 右子樹 -> 根節點
        postOrder(node.Left)
        postOrder(node.Right)
        nums = append(nums, node.Val)
    }

binary_tree_dfs.swift

    /* 前序走訪 */
    func preOrder(root: TreeNode?) {
        guard let root = root else {
            return
        }
        // 訪問優先順序：根節點 -> 左子樹 -> 右子樹
        list.append(root.val)
        preOrder(root: root.left)
        preOrder(root: root.right)
    }

    /* 中序走訪 */
    func inOrder(root: TreeNode?) {
        guard let root = root else {
            return
        }
        // 訪問優先順序：左子樹 -> 根節點 -> 右子樹
        inOrder(root: root.left)
        list.append(root.val)
        inOrder(root: root.right)
    }

    /* 後序走訪 */
    func postOrder(root: TreeNode?) {
        guard let root = root else {
            return
        }
        // 訪問優先順序：左子樹 -> 右子樹 -> 根節點
        postOrder(root: root.left)
        postOrder(root: root.right)
        list.append(root.val)
    }

binary_tree_dfs.js

    /* 前序走訪 */
    function preOrder(root) {
        if (root === null) return;
        // 訪問優先順序：根節點 -> 左子樹 -> 右子樹
        list.push(root.val);
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

    /* 中序走訪 */
    function inOrder(root) {
        if (root === null) return;
        // 訪問優先順序：左子樹 -> 根節點 -> 右子樹
        inOrder(root.left);
        list.push(root.val);
        inOrder(root.right);
    }

    /* 後序走訪 */
    function postOrder(root) {
        if (root === null) return;
        // 訪問優先順序：左子樹 -> 右子樹 -> 根節點
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        list.push(root.val);
    }

binary_tree_dfs.ts

    /* 前序走訪 */
    function preOrder(root: TreeNode | null): void {
        if (root === null) {
            return;
        }
        // 訪問優先順序：根節點 -> 左子樹 -> 右子樹
        list.push(root.val);
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

    /* 中序走訪 */
    function inOrder(root: TreeNode | null): void {
        if (root === null) {
            return;
        }
        // 訪問優先順序：左子樹 -> 根節點 -> 右子樹
        inOrder(root.left);
        list.push(root.val);
        inOrder(root.right);
    }

    /* 後序走訪 */
    function postOrder(root: TreeNode | null): void {
        if (root === null) {
            return;
        }
        // 訪問優先順序：左子樹 -> 右子樹 -> 根節點
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        list.push(root.val);
    }

binary_tree_dfs.dart

    /* 前序走訪 */
    void preOrder(TreeNode? node) {
      if (node == null) return;
      // 訪問優先順序：根節點 -> 左子樹 -> 右子樹
      list.add(node.val);
      preOrder(node.left);
      preOrder(node.right);
    }

    /* 中序走訪 */
    void inOrder(TreeNode? node) {
      if (node == null) return;
      // 訪問優先順序：左子樹 -> 根節點 -> 右子樹
      inOrder(node.left);
      list.add(node.val);
      inOrder(node.right);
    }

    /* 後序走訪 */
    void postOrder(TreeNode? node) {
      if (node == null) return;
      // 訪問優先順序：左子樹 -> 右子樹 -> 根節點
      postOrder(node.left);
      postOrder(node.right);
      list.add(node.val);
    }

binary_tree_dfs.rs

    /* 前序走訪 */
    fn pre_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
        let mut result = vec![];

        fn dfs(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>, res: &mut Vec<i32>) {
            if let Some(node) = root {
                // 訪問優先順序：根節點 -> 左子樹 -> 右子樹
                let node = node.borrow();
                res.push(node.val);
                dfs(node.left.as_ref(), res);
                dfs(node.right.as_ref(), res);
            }
        }
        dfs(root, &mut result);

        result
    }

    /* 中序走訪 */
    fn in_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
        let mut result = vec![];

        fn dfs(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>, res: &mut Vec<i32>) {
            if let Some(node) = root {
                // 訪問優先順序：左子樹 -> 根節點 -> 右子樹
                let node = node.borrow();
                dfs(node.left.as_ref(), res);
                res.push(node.val);
                dfs(node.right.as_ref(), res);
            }
        }
        dfs(root, &mut result);

        result
    }

    /* 後序走訪 */
    fn post_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
        let mut result = vec![];

        fn dfs(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>, res: &mut Vec<i32>) {
            if let Some(node) = root {
                // 訪問優先順序：左子樹 -> 右子樹 -> 根節點
                let node = node.borrow();
                dfs(node.left.as_ref(), res);
                dfs(node.right.as_ref(), res);
                res.push(node.val);
            }
        }

        dfs(root, &mut result);

        result
    }

binary_tree_dfs.c

    /* 前序走訪 */
    void preOrder(TreeNode *root, int *size) {
        if (root == NULL)
            return;
        // 訪問優先順序：根節點 -> 左子樹 -> 右子樹
        arr[(*size)++] = root->val;
        preOrder(root->left, size);
        preOrder(root->right, size);
    }

    /* 中序走訪 */
    void inOrder(TreeNode *root, int *size) {
        if (root == NULL)
            return;
        // 訪問優先順序：左子樹 -> 根節點 -> 右子樹
        inOrder(root->left, size);
        arr[(*size)++] = root->val;
        inOrder(root->right, size);
    }

    /* 後序走訪 */
    void postOrder(TreeNode *root, int *size) {
        if (root == NULL)
            return;
        // 訪問優先順序：左子樹 -> 右子樹 -> 根節點
        postOrder(root->left, size);
        postOrder(root->right, size);
        arr[(*size)++] = root->val;
    }

binary_tree_dfs.kt

    /* 前序走訪 */
    fun preOrder(root: TreeNode?) {
        if (root == null) return
        // 訪問優先順序：根節點 -> 左子樹 -> 右子樹
        list.add(root._val)
        preOrder(root.left)
        preOrder(root.right)
    }

    /* 中序走訪 */
    fun inOrder(root: TreeNode?) {
        if (root == null) return
        // 訪問優先順序：左子樹 -> 根節點 -> 右子樹
        inOrder(root.left)
        list.add(root._val)
        inOrder(root.right)
    }

    /* 後序走訪 */
    fun postOrder(root: TreeNode?) {
        if (root == null) return
        // 訪問優先順序：左子樹 -> 右子樹 -> 根節點
        postOrder(root.left)
        postOrder(root.right)
        list.add(root._val)
    }

binary_tree_dfs.rb

    ### 前序走訪 ###
    def pre_order(root)
      return if root.nil?

      # 訪問優先順序：根節點 -> 左子樹 -> 右子樹
      $res << root.val
      pre_order(root.left)
      pre_order(root.right)
    end

    ### 中序走訪 ###
    def in_order(root)
      return if root.nil?

      # 訪問優先順序：左子樹 -> 根節點 -> 右子樹
      in_order(root.left)
      $res << root.val
      in_order(root.right)
    end

    ### 後序走訪 ###
    def post_order(root)
      return if root.nil?

      # 訪問優先順序：左子樹 -> 右子樹 -> 根節點
      post_order(root.left)
      post_order(root.right)
      $res << root.val
    end

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Tip

深度優先搜尋也可以基於迭代實現，有興趣的讀者可以自行研究。

圖 7-11 展示了前序走訪二元樹的遞迴過程，其可分為“遞”和“迴”兩個逆向的部分。

1. “遞”表示開啟新方法，程式在此過程中訪問下一個節點。
2. “迴”表示函式返回，代表當前節點已經訪問完畢。

<1><2><3><4><5><6><7><8><9><10><11>

圖 7-11 前序走訪的遞迴過程

### 2. 複雜度分析

- 時間複雜度為 \(O(n)\) ：所有節點被訪問一次，使用 \(O(n)\) 時間。
- 空間複雜度為 \(O(n)\) ：在最差情況下，即樹退化為鏈結串列時，遞迴深度達到 \(n\) ，系統佔用 \(O(n)\) 堆疊幀空間。

##### 歡迎在評論區留下你的見解、問題或建議