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# 7.4 二元搜尋樹

如圖 7-16 所示，二元搜尋樹（binary search tree）滿足以下條件。

1. 對於根節點，左子樹中所有節點的值 \(<\) 根節點的值 \(<\) 右子樹中所有節點的值。
2. 任意節點的左、右子樹也是二元搜尋樹，即同樣滿足條件 `1.` 。

圖 7-16 二元搜尋樹

## 7.4.1 二元搜尋樹的操作

我們將二元搜尋樹封裝為一個類別 `BinarySearchTree` ，並宣告一個成員變數 `root` ，指向樹的根節點。

### 1. 查詢節點

給定目標節點值 `num` ，可以根據二元搜尋樹的性質來查詢。如圖 7-17 所示，我們宣告一個節點 `cur` ，從二元樹的根節點 `root` 出發，迴圈比較節點值 `cur.val` 和 `num` 之間的大小關係。

- 若 `cur.val < num` ，說明目標節點在 `cur` 的右子樹中，因此執行 `cur = cur.right` 。
- 若 `cur.val > num` ，說明目標節點在 `cur` 的左子樹中，因此執行 `cur = cur.left` 。
- 若 `cur.val = num` ，說明找到目標節點，跳出迴圈並返回該節點。

<1><2><3><4>

圖 7-17 二元搜尋樹查詢節點示例

二元搜尋樹的查詢操作與二分搜尋演算法的工作原理一致，都是每輪排除一半情況。迴圈次數最多為二元樹的高度，當二元樹平衡時，使用 \(O(\log n)\) 時間。示例程式碼如下：

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby
binary_search_tree.py

    def search(self, num: int) -> TreeNode | None:
        """查詢節點"""
        cur = self._root
        # 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        while cur is not None:
            # 目標節點在 cur 的右子樹中
            if cur.val < num:
                cur = cur.right
            # 目標節點在 cur 的左子樹中
            elif cur.val > num:
                cur = cur.left
            # 找到目標節點，跳出迴圈
            else:
                break
        return cur

binary_search_tree.cpp

    /* 查詢節點 */
    TreeNode *search(int num) {
        TreeNode *cur = root;
        // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        while (cur != nullptr) {
            // 目標節點在 cur 的右子樹中
            if (cur->val < num)
                cur = cur->right;
            // 目標節點在 cur 的左子樹中
            else if (cur->val > num)
                cur = cur->left;
            // 找到目標節點，跳出迴圈
            else
                break;
        }
        // 返回目標節點
        return cur;
    }

binary_search_tree.java

    /* 查詢節點 */
    TreeNode search(int num) {
        TreeNode cur = root;
        // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        while (cur != null) {
            // 目標節點在 cur 的右子樹中
            if (cur.val < num)
                cur = cur.right;
            // 目標節點在 cur 的左子樹中
            else if (cur.val > num)
                cur = cur.left;
            // 找到目標節點，跳出迴圈
            else
                break;
        }
        // 返回目標節點
        return cur;
    }

binary_search_tree.cs

    /* 查詢節點 */
    TreeNode? Search(int num) {
        TreeNode? cur = root;
        // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        while (cur != null) {
            // 目標節點在 cur 的右子樹中
            if (cur.val < num) cur =
                cur.right;
            // 目標節點在 cur 的左子樹中
            else if (cur.val > num)
                cur = cur.left;
            // 找到目標節點，跳出迴圈
            else
                break;
        }
        // 返回目標節點
        return cur;
    }

binary_search_tree.go

    /* 查詢節點 */
    func (bst *binarySearchTree) search(num int) *TreeNode {
        node := bst.root
        // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        for node != nil {
            if node.Val.(int) < num {
                // 目標節點在 cur 的右子樹中
                node = node.Right
            } else if node.Val.(int) > num {
                // 目標節點在 cur 的左子樹中
                node = node.Left
            } else {
                // 找到目標節點，跳出迴圈
                break
            }
        }
        // 返回目標節點
        return node
    }

binary_search_tree.swift

    /* 查詢節點 */
    func search(num: Int) -> TreeNode? {
        var cur = root
        // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        while cur != nil {
            // 目標節點在 cur 的右子樹中
            if cur!.val < num {
                cur = cur?.right
            }
            // 目標節點在 cur 的左子樹中
            else if cur!.val > num {
                cur = cur?.left
            }
            // 找到目標節點，跳出迴圈
            else {
                break
            }
        }
        // 返回目標節點
        return cur
    }

binary_search_tree.js

    /* 查詢節點 */
    search(num) {
        let cur = this.root;
        // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        while (cur !== null) {
            // 目標節點在 cur 的右子樹中
            if (cur.val < num) cur = cur.right;
            // 目標節點在 cur 的左子樹中
            else if (cur.val > num) cur = cur.left;
            // 找到目標節點，跳出迴圈
            else break;
        }
        // 返回目標節點
        return cur;
    }

binary_search_tree.ts

    /* 查詢節點 */
    search(num: number): TreeNode | null {
        let cur = this.root;
        // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        while (cur !== null) {
            // 目標節點在 cur 的右子樹中
            if (cur.val < num) cur = cur.right;
            // 目標節點在 cur 的左子樹中
            else if (cur.val > num) cur = cur.left;
            // 找到目標節點，跳出迴圈
            else break;
        }
        // 返回目標節點
        return cur;
    }

binary_search_tree.dart

    /* 查詢節點 */
    TreeNode? search(int _num) {
      TreeNode? cur = _root;
      // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
      while (cur != null) {
        // 目標節點在 cur 的右子樹中
        if (cur.val < _num)
          cur = cur.right;
        // 目標節點在 cur 的左子樹中
        else if (cur.val > _num)
          cur = cur.left;
        // 找到目標節點，跳出迴圈
        else
          break;
      }
      // 返回目標節點
      return cur;
    }

binary_search_tree.rs

    /* 查詢節點 */
    pub fn search(&self, num: i32) -> OptionTreeNodeRc {
        let mut cur = self.root.clone();
        // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        while let Some(node) = cur.clone() {
            match num.cmp(&node.borrow().val) {
                // 目標節點在 cur 的右子樹中
                Ordering::Greater => cur = node.borrow().right.clone(),
                // 目標節點在 cur 的左子樹中
                Ordering::Less => cur = node.borrow().left.clone(),
                // 找到目標節點，跳出迴圈
                Ordering::Equal => break,
            }
        }

        // 返回目標節點
        cur
    }

binary_search_tree.c

    /* 查詢節點 */
    TreeNode *search(BinarySearchTree *bst, int num) {
        TreeNode *cur = bst->root;
        // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        while (cur != NULL) {
            if (cur->val < num) {
                // 目標節點在 cur 的右子樹中
                cur = cur->right;
            } else if (cur->val > num) {
                // 目標節點在 cur 的左子樹中
                cur = cur->left;
            } else {
                // 找到目標節點，跳出迴圈
                break;
            }
        }
        // 返回目標節點
        return cur;
    }

binary_search_tree.kt

    /* 查詢節點 */
    fun search(num: Int): TreeNode? {
        var cur = root
        // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        while (cur != null) {
            // 目標節點在 cur 的右子樹中
            cur = if (cur._val < num)
                cur.right
            // 目標節點在 cur 的左子樹中
            else if (cur._val > num)
                cur.left
            // 找到目標節點，跳出迴圈
            else
                break
        }
        // 返回目標節點
        return cur
    }

binary_search_tree.rb

    ### 查詢節點 ###
    def search(num)
      cur = @root

      # 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
      while !cur.nil?
        # 目標節點在 cur 的右子樹中
        if cur.val < num
          cur = cur.right
        # 目標節點在 cur 的左子樹中
        elsif cur.val > num
          cur = cur.left
        # 找到目標節點，跳出迴圈
        else
          break
        end
      end

      cur
    end

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### 2. 插入節點

給定一個待插入元素 `num` ，為了保持二元搜尋樹“左子樹 < 根節點 < 右子樹”的性質，插入操作流程如圖 7-18 所示。

1. 查詢插入位置：與查詢操作相似，從根節點出發，根據當前節點值和 `num` 的大小關係迴圈向下搜尋，直到越過葉節點（走訪至 `None` ）時跳出迴圈。
2. 在該位置插入節點：初始化節點 `num` ，將該節點置於 `None` 的位置。

圖 7-18 在二元搜尋樹中插入節點

在程式碼實現中，需要注意以下兩點。

- 二元搜尋樹不允許存在重複節點，否則將違反其定義。因此，若待插入節點在樹中已存在，則不執行插入，直接返回。
- 為了實現插入節點，我們需要藉助節點 `pre` 儲存上一輪迴圈的節點。這樣在走訪至 `None` 時，我們可以獲取到其父節點，從而完成節點插入操作。

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby
binary_search_tree.py

    def insert(self, num: int):
        """插入節點"""
        # 若樹為空，則初始化根節點
        if self._root is None:
            self._root = TreeNode(num)
            return
        # 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        cur, pre = self._root, None
        while cur is not None:
            # 找到重複節點，直接返回
            if cur.val == num:
                return
            pre = cur
            # 插入位置在 cur 的右子樹中
            if cur.val < num:
                cur = cur.right
            # 插入位置在 cur 的左子樹中
            else:
                cur = cur.left
        # 插入節點
        node = TreeNode(num)
        if pre.val < num:
            pre.right = node
        else:
            pre.left = node

binary_search_tree.cpp

    /* 插入節點 */
    void insert(int num) {
        // 若樹為空，則初始化根節點
        if (root == nullptr) {
            root = new TreeNode(num);
            return;
        }
        TreeNode *cur = root, *pre = nullptr;
        // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        while (cur != nullptr) {
            // 找到重複節點，直接返回
            if (cur->val == num)
                return;
            pre = cur;
            // 插入位置在 cur 的右子樹中
            if (cur->val < num)
                cur = cur->right;
            // 插入位置在 cur 的左子樹中
            else
                cur = cur->left;
        }
        // 插入節點
        TreeNode *node = new TreeNode(num);
        if (pre->val < num)
            pre->right = node;
        else
            pre->left = node;
    }

binary_search_tree.java

    /* 插入節點 */
    void insert(int num) {
        // 若樹為空，則初始化根節點
        if (root == null) {
            root = new TreeNode(num);
            return;
        }
        TreeNode cur = root, pre = null;
        // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        while (cur != null) {
            // 找到重複節點，直接返回
            if (cur.val == num)
                return;
            pre = cur;
            // 插入位置在 cur 的右子樹中
            if (cur.val < num)
                cur = cur.right;
            // 插入位置在 cur 的左子樹中
            else
                cur = cur.left;
        }
        // 插入節點
        TreeNode node = new TreeNode(num);
        if (pre.val < num)
            pre.right = node;
        else
            pre.left = node;
    }

binary_search_tree.cs

    /* 插入節點 */
    void Insert(int num) {
        // 若樹為空，則初始化根節點
        if (root == null) {
            root = new TreeNode(num);
            return;
        }
        TreeNode? cur = root, pre = null;
        // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        while (cur != null) {
            // 找到重複節點，直接返回
            if (cur.val == num)
                return;
            pre = cur;
            // 插入位置在 cur 的右子樹中
            if (cur.val < num)
                cur = cur.right;
            // 插入位置在 cur 的左子樹中
            else
                cur = cur.left;
        }

        // 插入節點
        TreeNode node = new(num);
        if (pre != null) {
            if (pre.val < num)
                pre.right = node;
            else
                pre.left = node;
        }
    }

binary_search_tree.go

    /* 插入節點 */
    func (bst *binarySearchTree) insert(num int) {
        cur := bst.root
        // 若樹為空，則初始化根節點
        if cur == nil {
            bst.root = NewTreeNode(num)
            return
        }
        // 待插入節點之前的節點位置
        var pre *TreeNode = nil
        // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        for cur != nil {
            if cur.Val == num {
                return
            }
            pre = cur
            if cur.Val.(int) < num {
                cur = cur.Right
            } else {
                cur = cur.Left
            }
        }
        // 插入節點
        node := NewTreeNode(num)
        if pre.Val.(int) < num {
            pre.Right = node
        } else {
            pre.Left = node
        }
    }

binary_search_tree.swift

    /* 插入節點 */
    func insert(num: Int) {
        // 若樹為空，則初始化根節點
        if root == nil {
            root = TreeNode(x: num)
            return
        }
        var cur = root
        var pre: TreeNode?
        // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        while cur != nil {
            // 找到重複節點，直接返回
            if cur!.val == num {
                return
            }
            pre = cur
            // 插入位置在 cur 的右子樹中
            if cur!.val < num {
                cur = cur?.right
            }
            // 插入位置在 cur 的左子樹中
            else {
                cur = cur?.left
            }
        }
        // 插入節點
        let node = TreeNode(x: num)
        if pre!.val < num {
            pre?.right = node
        } else {
            pre?.left = node
        }
    }

binary_search_tree.js

    /* 插入節點 */
    insert(num) {
        // 若樹為空，則初始化根節點
        if (this.root === null) {
            this.root = new TreeNode(num);
            return;
        }
        let cur = this.root,
            pre = null;
        // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        while (cur !== null) {
            // 找到重複節點，直接返回
            if (cur.val === num) return;
            pre = cur;
            // 插入位置在 cur 的右子樹中
            if (cur.val < num) cur = cur.right;
            // 插入位置在 cur 的左子樹中
            else cur = cur.left;
        }
        // 插入節點
        const node = new TreeNode(num);
        if (pre.val < num) pre.right = node;
        else pre.left = node;
    }

binary_search_tree.ts

    /* 插入節點 */
    insert(num: number): void {
        // 若樹為空，則初始化根節點
        if (this.root === null) {
            this.root = new TreeNode(num);
            return;
        }
        let cur: TreeNode | null = this.root,
            pre: TreeNode | null = null;
        // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        while (cur !== null) {
            // 找到重複節點，直接返回
            if (cur.val === num) return;
            pre = cur;
            // 插入位置在 cur 的右子樹中
            if (cur.val < num) cur = cur.right;
            // 插入位置在 cur 的左子樹中
            else cur = cur.left;
        }
        // 插入節點
        const node = new TreeNode(num);
        if (pre!.val < num) pre!.right = node;
        else pre!.left = node;
    }

binary_search_tree.dart

    /* 插入節點 */
    void insert(int _num) {
      // 若樹為空，則初始化根節點
      if (_root == null) {
        _root = TreeNode(_num);
        return;
      }
      TreeNode? cur = _root;
      TreeNode? pre = null;
      // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
      while (cur != null) {
        // 找到重複節點，直接返回
        if (cur.val == _num) return;
        pre = cur;
        // 插入位置在 cur 的右子樹中
        if (cur.val < _num)
          cur = cur.right;
        // 插入位置在 cur 的左子樹中
        else
          cur = cur.left;
      }
      // 插入節點
      TreeNode? node = TreeNode(_num);
      if (pre!.val < _num)
        pre.right = node;
      else
        pre.left = node;
    }

binary_search_tree.rs

    /* 插入節點 */
    pub fn insert(&mut self, num: i32) {
        // 若樹為空，則初始化根節點
        if self.root.is_none() {
            self.root = Some(TreeNode::new(num));
            return;
        }
        let mut cur = self.root.clone();
        let mut pre = None;
        // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        while let Some(node) = cur.clone() {
            match num.cmp(&node.borrow().val) {
                // 找到重複節點，直接返回
                Ordering::Equal => return,
                // 插入位置在 cur 的右子樹中
                Ordering::Greater => {
                    pre = cur.clone();
                    cur = node.borrow().right.clone();
                }
                // 插入位置在 cur 的左子樹中
                Ordering::Less => {
                    pre = cur.clone();
                    cur = node.borrow().left.clone();
                }
            }
        }
        // 插入節點
        let pre = pre.unwrap();
        let node = Some(TreeNode::new(num));
        if num > pre.borrow().val {
            pre.borrow_mut().right = node;
        } else {
            pre.borrow_mut().left = node;
        }
    }

binary_search_tree.c

    /* 插入節點 */
    void insert(BinarySearchTree *bst, int num) {
        // 若樹為空，則初始化根節點
        if (bst->root == NULL) {
            bst->root = newTreeNode(num);
            return;
        }
        TreeNode *cur = bst->root, *pre = NULL;
        // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        while (cur != NULL) {
            // 找到重複節點，直接返回
            if (cur->val == num) {
                return;
            }
            pre = cur;
            if (cur->val < num) {
                // 插入位置在 cur 的右子樹中
                cur = cur->right;
            } else {
                // 插入位置在 cur 的左子樹中
                cur = cur->left;
            }
        }
        // 插入節點
        TreeNode *node = newTreeNode(num);
        if (pre->val < num) {
            pre->right = node;
        } else {
            pre->left = node;
        }
    }

binary_search_tree.kt

    /* 插入節點 */
    fun insert(num: Int) {
        // 若樹為空，則初始化根節點
        if (root == null) {
            root = TreeNode(num)
            return
        }
        var cur = root
        var pre: TreeNode? = null
        // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        while (cur != null) {
            // 找到重複節點，直接返回
            if (cur._val == num)
                return
            pre = cur
            // 插入位置在 cur 的右子樹中
            cur = if (cur._val < num)
                cur.right
            // 插入位置在 cur 的左子樹中
            else
                cur.left
        }
        // 插入節點
        val node = TreeNode(num)
        if (pre?._val!! < num)
            pre.right = node
        else
            pre.left = node
    }

binary_search_tree.rb

    ### 插入節點 ###
    def insert(num)
      # 若樹為空，則初始化根節點
      if @root.nil?
        @root = TreeNode.new(num)
        return
      end

      # 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
      cur, pre = @root, nil
      while !cur.nil?
        # 找到重複節點，直接返回
        return if cur.val == num

        pre = cur
        # 插入位置在 cur 的右子樹中
        if cur.val < num
          cur = cur.right
        # 插入位置在 cur 的左子樹中
        else
          cur = cur.left
        end
      end

      # 插入節點
      node = TreeNode.new(num)
      if pre.val < num
        pre.right = node
      else
        pre.left = node
      end
    end

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與查詢節點相同，插入節點使用 \(O(\log n)\) 時間。

### 3. 刪除節點

先在二元樹中查詢到目標節點，再將其刪除。與插入節點類似，我們需要保證在刪除操作完成後，二元搜尋樹的“左子樹 < 根節點 < 右子樹”的性質仍然滿足。因此，我們根據目標節點的子節點數量，分 0、1 和 2 三種情況，執行對應的刪除節點操作。

如圖 7-19 所示，當待刪除節點的度為 \(0\) 時，表示該節點是葉節點，可以直接刪除。

圖 7-19 在二元搜尋樹中刪除節點（度為 0 ）

如圖 7-20 所示，當待刪除節點的度為 \(1\) 時，將待刪除節點替換為其子節點即可。

圖 7-20 在二元搜尋樹中刪除節點（度為 1 ）

當待刪除節點的度為 \(2\) 時，我們無法直接刪除它，而需要使用一個節點替換該節點。由於要保持二元搜尋樹“左子樹 \(<\) 根節點 \(<\) 右子樹”的性質，因此這個節點可以是右子樹的最小節點或左子樹的最大節點。

假設我們選擇右子樹的最小節點（中序走訪的下一個節點），則刪除操作流程如圖 7-21 所示。

1. 找到待刪除節點在“中序走訪序列”中的下一個節點，記為 `tmp` 。
2. 用 `tmp` 的值覆蓋待刪除節點的值，並在樹中遞迴刪除節點 `tmp` 。

<1><2><3><4>

圖 7-21 在二元搜尋樹中刪除節點（度為 2 ）

刪除節點操作同樣使用 \(O(\log n)\) 時間，其中查詢待刪除節點需要 \(O(\log n)\) 時間，獲取中序走訪後繼節點需要 \(O(\log n)\) 時間。示例程式碼如下：

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby
binary_search_tree.py

    def remove(self, num: int):
        """刪除節點"""
        # 若樹為空，直接提前返回
        if self._root is None:
            return
        # 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        cur, pre = self._root, None
        while cur is not None:
            # 找到待刪除節點，跳出迴圈
            if cur.val == num:
                break
            pre = cur
            # 待刪除節點在 cur 的右子樹中
            if cur.val < num:
                cur = cur.right
            # 待刪除節點在 cur 的左子樹中
            else:
                cur = cur.left
        # 若無待刪除節點，則直接返回
        if cur is None:
            return

        # 子節點數量 = 0 or 1
        if cur.left is None or cur.right is None:
            # 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
            child = cur.left or cur.right
            # 刪除節點 cur
            if cur != self._root:
                if pre.left == cur:
                    pre.left = child
                else:
                    pre.right = child
            else:
                # 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
                self._root = child
        # 子節點數量 = 2
        else:
            # 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
            tmp: TreeNode = cur.right
            while tmp.left is not None:
                tmp = tmp.left
            # 遞迴刪除節點 tmp
            self.remove(tmp.val)
            # 用 tmp 覆蓋 cur
            cur.val = tmp.val

binary_search_tree.cpp

    /* 刪除節點 */
    void remove(int num) {
        // 若樹為空，直接提前返回
        if (root == nullptr)
            return;
        TreeNode *cur = root, *pre = nullptr;
        // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        while (cur != nullptr) {
            // 找到待刪除節點，跳出迴圈
            if (cur->val == num)
                break;
            pre = cur;
            // 待刪除節點在 cur 的右子樹中
            if (cur->val < num)
                cur = cur->right;
            // 待刪除節點在 cur 的左子樹中
            else
                cur = cur->left;
        }
        // 若無待刪除節點，則直接返回
        if (cur == nullptr)
            return;
        // 子節點數量 = 0 or 1
        if (cur->left == nullptr || cur->right == nullptr) {
            // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = nullptr / 該子節點
            TreeNode *child = cur->left != nullptr ? cur->left : cur->right;
            // 刪除節點 cur
            if (cur != root) {
                if (pre->left == cur)
                    pre->left = child;
                else
                    pre->right = child;
            } else {
                // 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
                root = child;
            }
            // 釋放記憶體
            delete cur;
        }
        // 子節點數量 = 2
        else {
            // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
            TreeNode *tmp = cur->right;
            while (tmp->left != nullptr) {
                tmp = tmp->left;
            }
            int tmpVal = tmp->val;
            // 遞迴刪除節點 tmp
            remove(tmp->val);
            // 用 tmp 覆蓋 cur
            cur->val = tmpVal;
        }
    }

binary_search_tree.java

    /* 刪除節點 */
    void remove(int num) {
        // 若樹為空，直接提前返回
        if (root == null)
            return;
        TreeNode cur = root, pre = null;
        // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        while (cur != null) {
            // 找到待刪除節點，跳出迴圈
            if (cur.val == num)
                break;
            pre = cur;
            // 待刪除節點在 cur 的右子樹中
            if (cur.val < num)
                cur = cur.right;
            // 待刪除節點在 cur 的左子樹中
            else
                cur = cur.left;
        }
        // 若無待刪除節點，則直接返回
        if (cur == null)
            return;
        // 子節點數量 = 0 or 1
        if (cur.left == null || cur.right == null) {
            // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
            TreeNode child = cur.left != null ? cur.left : cur.right;
            // 刪除節點 cur
            if (cur != root) {
                if (pre.left == cur)
                    pre.left = child;
                else
                    pre.right = child;
            } else {
                // 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
                root = child;
            }
        }
        // 子節點數量 = 2
        else {
            // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
            TreeNode tmp = cur.right;
            while (tmp.left != null) {
                tmp = tmp.left;
            }
            // 遞迴刪除節點 tmp
            remove(tmp.val);
            // 用 tmp 覆蓋 cur
            cur.val = tmp.val;
        }
    }

binary_search_tree.cs

    /* 刪除節點 */
    void Remove(int num) {
        // 若樹為空，直接提前返回
        if (root == null)
            return;
        TreeNode? cur = root, pre = null;
        // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        while (cur != null) {
            // 找到待刪除節點，跳出迴圈
            if (cur.val == num)
                break;
            pre = cur;
            // 待刪除節點在 cur 的右子樹中
            if (cur.val < num)
                cur = cur.right;
            // 待刪除節點在 cur 的左子樹中
            else
                cur = cur.left;
        }
        // 若無待刪除節點，則直接返回
        if (cur == null)
            return;
        // 子節點數量 = 0 or 1
        if (cur.left == null || cur.right == null) {
            // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
            TreeNode? child = cur.left ?? cur.right;
            // 刪除節點 cur
            if (cur != root) {
                if (pre!.left == cur)
                    pre.left = child;
                else
                    pre.right = child;
            } else {
                // 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
                root = child;
            }
        }
        // 子節點數量 = 2
        else {
            // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
            TreeNode? tmp = cur.right;
            while (tmp.left != null) {
                tmp = tmp.left;
            }
            // 遞迴刪除節點 tmp
            Remove(tmp.val!.Value);
            // 用 tmp 覆蓋 cur
            cur.val = tmp.val;
        }
    }

binary_search_tree.go

    /* 刪除節點 */
    func (bst *binarySearchTree) remove(num int) {
        cur := bst.root
        // 若樹為空，直接提前返回
        if cur == nil {
            return
        }
        // 待刪除節點之前的節點位置
        var pre *TreeNode = nil
        // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        for cur != nil {
            if cur.Val == num {
                break
            }
            pre = cur
            if cur.Val.(int) < num {
                // 待刪除節點在右子樹中
                cur = cur.Right
            } else {
                // 待刪除節點在左子樹中
                cur = cur.Left
            }
        }
        // 若無待刪除節點，則直接返回
        if cur == nil {
            return
        }
        // 子節點數為 0 或 1
        if cur.Left == nil || cur.Right == nil {
            var child *TreeNode = nil
            // 取出待刪除節點的子節點
            if cur.Left != nil {
                child = cur.Left
            } else {
                child = cur.Right
            }
            // 刪除節點 cur
            if cur != bst.root {
                if pre.Left == cur {
                    pre.Left = child
                } else {
                    pre.Right = child
                }
            } else {
                // 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
                bst.root = child
            }
            // 子節點數為 2
        } else {
            // 獲取中序走訪中待刪除節點 cur 的下一個節點
            tmp := cur.Right
            for tmp.Left != nil {
                tmp = tmp.Left
            }
            // 遞迴刪除節點 tmp
            bst.remove(tmp.Val.(int))
            // 用 tmp 覆蓋 cur
            cur.Val = tmp.Val
        }
    }

binary_search_tree.swift

    /* 刪除節點 */
    func remove(num: Int) {
        // 若樹為空，直接提前返回
        if root == nil {
            return
        }
        var cur = root
        var pre: TreeNode?
        // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        while cur != nil {
            // 找到待刪除節點，跳出迴圈
            if cur!.val == num {
                break
            }
            pre = cur
            // 待刪除節點在 cur 的右子樹中
            if cur!.val < num {
                cur = cur?.right
            }
            // 待刪除節點在 cur 的左子樹中
            else {
                cur = cur?.left
            }
        }
        // 若無待刪除節點，則直接返回
        if cur == nil {
            return
        }
        // 子節點數量 = 0 or 1
        if cur?.left == nil || cur?.right == nil {
            // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
            let child = cur?.left ?? cur?.right
            // 刪除節點 cur
            if cur !== root {
                if pre?.left === cur {
                    pre?.left = child
                } else {
                    pre?.right = child
                }
            } else {
                // 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
                root = child
            }
        }
        // 子節點數量 = 2
        else {
            // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
            var tmp = cur?.right
            while tmp?.left != nil {
                tmp = tmp?.left
            }
            // 遞迴刪除節點 tmp
            remove(num: tmp!.val)
            // 用 tmp 覆蓋 cur
            cur?.val = tmp!.val
        }
    }

binary_search_tree.js

    /* 刪除節點 */
    remove(num) {
        // 若樹為空，直接提前返回
        if (this.root === null) return;
        let cur = this.root,
            pre = null;
        // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        while (cur !== null) {
            // 找到待刪除節點，跳出迴圈
            if (cur.val === num) break;
            pre = cur;
            // 待刪除節點在 cur 的右子樹中
            if (cur.val < num) cur = cur.right;
            // 待刪除節點在 cur 的左子樹中
            else cur = cur.left;
        }
        // 若無待刪除節點，則直接返回
        if (cur === null) return;
        // 子節點數量 = 0 or 1
        if (cur.left === null || cur.right === null) {
            // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
            const child = cur.left !== null ? cur.left : cur.right;
            // 刪除節點 cur
            if (cur !== this.root) {
                if (pre.left === cur) pre.left = child;
                else pre.right = child;
            } else {
                // 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
                this.root = child;
            }
        }
        // 子節點數量 = 2
        else {
            // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
            let tmp = cur.right;
            while (tmp.left !== null) {
                tmp = tmp.left;
            }
            // 遞迴刪除節點 tmp
            this.remove(tmp.val);
            // 用 tmp 覆蓋 cur
            cur.val = tmp.val;
        }
    }

binary_search_tree.ts

    /* 刪除節點 */
    remove(num: number): void {
        // 若樹為空，直接提前返回
        if (this.root === null) return;
        let cur: TreeNode | null = this.root,
            pre: TreeNode | null = null;
        // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        while (cur !== null) {
            // 找到待刪除節點，跳出迴圈
            if (cur.val === num) break;
            pre = cur;
            // 待刪除節點在 cur 的右子樹中
            if (cur.val < num) cur = cur.right;
            // 待刪除節點在 cur 的左子樹中
            else cur = cur.left;
        }
        // 若無待刪除節點，則直接返回
        if (cur === null) return;
        // 子節點數量 = 0 or 1
        if (cur.left === null || cur.right === null) {
            // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
            const child: TreeNode | null =
                cur.left !== null ? cur.left : cur.right;
            // 刪除節點 cur
            if (cur !== this.root) {
                if (pre!.left === cur) pre!.left = child;
                else pre!.right = child;
            } else {
                // 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
                this.root = child;
            }
        }
        // 子節點數量 = 2
        else {
            // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
            let tmp: TreeNode | null = cur.right;
            while (tmp!.left !== null) {
                tmp = tmp!.left;
            }
            // 遞迴刪除節點 tmp
            this.remove(tmp!.val);
            // 用 tmp 覆蓋 cur
            cur.val = tmp!.val;
        }
    }

binary_search_tree.dart

    /* 刪除節點 */
    void remove(int _num) {
      // 若樹為空，直接提前返回
      if (_root == null) return;
      TreeNode? cur = _root;
      TreeNode? pre = null;
      // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
      while (cur != null) {
        // 找到待刪除節點，跳出迴圈
        if (cur.val == _num) break;
        pre = cur;
        // 待刪除節點在 cur 的右子樹中
        if (cur.val < _num)
          cur = cur.right;
        // 待刪除節點在 cur 的左子樹中
        else
          cur = cur.left;
      }
      // 若無待刪除節點，直接返回
      if (cur == null) return;
      // 子節點數量 = 0 or 1
      if (cur.left == null || cur.right == null) {
        // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
        TreeNode? child = cur.left ?? cur.right;
        // 刪除節點 cur
        if (cur != _root) {
          if (pre!.left == cur)
            pre.left = child;
          else
            pre.right = child;
        } else {
          // 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
          _root = child;
        }
      } else {
        // 子節點數量 = 2
        // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
        TreeNode? tmp = cur.right;
        while (tmp!.left != null) {
          tmp = tmp.left;
        }
        // 遞迴刪除節點 tmp
        remove(tmp.val);
        // 用 tmp 覆蓋 cur
        cur.val = tmp.val;
      }
    }

binary_search_tree.rs

    /* 刪除節點 */
    pub fn remove(&mut self, num: i32) {
        // 若樹為空，直接提前返回
        if self.root.is_none() {
            return;
        }
        let mut cur = self.root.clone();
        let mut pre = None;
        // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        while let Some(node) = cur.clone() {
            match num.cmp(&node.borrow().val) {
                // 找到待刪除節點，跳出迴圈
                Ordering::Equal => break,
                // 待刪除節點在 cur 的右子樹中
                Ordering::Greater => {
                    pre = cur.clone();
                    cur = node.borrow().right.clone();
                }
                // 待刪除節點在 cur 的左子樹中
                Ordering::Less => {
                    pre = cur.clone();
                    cur = node.borrow().left.clone();
                }
            }
        }
        // 若無待刪除節點，則直接返回
        if cur.is_none() {
            return;
        }
        let cur = cur.unwrap();
        let (left_child, right_child) = (cur.borrow().left.clone(), cur.borrow().right.clone());
        match (left_child.clone(), right_child.clone()) {
            // 子節點數量 = 0 or 1
            (None, None) | (Some(_), None) | (None, Some(_)) => {
                // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = nullptr / 該子節點
                let child = left_child.or(right_child);
                let pre = pre.unwrap();
                // 刪除節點 cur
                if !Rc::ptr_eq(&cur, self.root.as_ref().unwrap()) {
                    let left = pre.borrow().left.clone();
                    if left.is_some() && Rc::ptr_eq(left.as_ref().unwrap(), &cur) {
                        pre.borrow_mut().left = child;
                    } else {
                        pre.borrow_mut().right = child;
                    }
                } else {
                    // 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
                    self.root = child;
                }
            }
            // 子節點數量 = 2
            (Some(_), Some(_)) => {
                // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
                let mut tmp = cur.borrow().right.clone();
                while let Some(node) = tmp.clone() {
                    if node.borrow().left.is_some() {
                        tmp = node.borrow().left.clone();
                    } else {
                        break;
                    }
                }
                let tmp_val = tmp.unwrap().borrow().val;
                // 遞迴刪除節點 tmp
                self.remove(tmp_val);
                // 用 tmp 覆蓋 cur
                cur.borrow_mut().val = tmp_val;
            }
        }
    }

binary_search_tree.c

    /* 刪除節點 */
    // 由於引入了 stdio.h ，此處無法使用 remove 關鍵詞
    void removeItem(BinarySearchTree *bst, int num) {
        // 若樹為空，直接提前返回
        if (bst->root == NULL)
            return;
        TreeNode *cur = bst->root, *pre = NULL;
        // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        while (cur != NULL) {
            // 找到待刪除節點，跳出迴圈
            if (cur->val == num)
                break;
            pre = cur;
            if (cur->val < num) {
                // 待刪除節點在 root 的右子樹中
                cur = cur->right;
            } else {
                // 待刪除節點在 root 的左子樹中
                cur = cur->left;
            }
        }
        // 若無待刪除節點，則直接返回
        if (cur == NULL)
            return;
        // 判斷待刪除節點是否存在子節點
        if (cur->left == NULL || cur->right == NULL) {
            /* 子節點數量 = 0 or 1 */
            // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = nullptr / 該子節點
            TreeNode *child = cur->left != NULL ? cur->left : cur->right;
            // 刪除節點 cur
            if (pre->left == cur) {
                pre->left = child;
            } else {
                pre->right = child;
            }
            // 釋放記憶體
            free(cur);
        } else {
            /* 子節點數量 = 2 */
            // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
            TreeNode *tmp = cur->right;
            while (tmp->left != NULL) {
                tmp = tmp->left;
            }
            int tmpVal = tmp->val;
            // 遞迴刪除節點 tmp
            removeItem(bst, tmp->val);
            // 用 tmp 覆蓋 cur
            cur->val = tmpVal;
        }
    }

binary_search_tree.kt

    /* 刪除節點 */
    fun remove(num: Int) {
        // 若樹為空，直接提前返回
        if (root == null)
            return
        var cur = root
        var pre: TreeNode? = null
        // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
        while (cur != null) {
            // 找到待刪除節點，跳出迴圈
            if (cur._val == num)
                break
            pre = cur
            // 待刪除節點在 cur 的右子樹中
            cur = if (cur._val < num)
                cur.right
            // 待刪除節點在 cur 的左子樹中
            else
                cur.left
        }
        // 若無待刪除節點，則直接返回
        if (cur == null)
            return
        // 子節點數量 = 0 or 1
        if (cur.left == null || cur.right == null) {
            // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
            val child = if (cur.left != null)
                cur.left
            else
                cur.right
            // 刪除節點 cur
            if (cur != root) {
                if (pre!!.left == cur)
                    pre.left = child
                else
                    pre.right = child
            } else {
                // 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
                root = child
            }
            // 子節點數量 = 2
        } else {
            // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
            var tmp = cur.right
            while (tmp!!.left != null) {
                tmp = tmp.left
            }
            // 遞迴刪除節點 tmp
            remove(tmp._val)
            // 用 tmp 覆蓋 cur
            cur._val = tmp._val
        }
    }

binary_search_tree.rb

    ### 刪除節點 ###
    def remove(num)
      # 若樹為空，直接提前返回
      return if @root.nil?

      # 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
      cur, pre = @root, nil
      while !cur.nil?
        # 找到待刪除節點，跳出迴圈
        break if cur.val == num

        pre = cur
        # 待刪除節點在 cur 的右子樹中
        if cur.val < num
          cur = cur.right
        # 待刪除節點在 cur 的左子樹中
        else
          cur = cur.left
        end
      end
      # 若無待刪除節點，則直接返回
      return if cur.nil?

      # 子節點數量 = 0 or 1
      if cur.left.nil? || cur.right.nil?
        # 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
        child = cur.left || cur.right
        # 刪除節點 cur
        if cur != @root
          if pre.left == cur
            pre.left = child
          else
            pre.right = child
          end
        else
          # 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
          @root = child
        end
      # 子節點數量 = 2
      else
        # 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
        tmp = cur.right
        while !tmp.left.nil?
          tmp = tmp.left
        end
        # 遞迴刪除節點 tmp
        remove(tmp.val)
        # 用 tmp 覆蓋 cur
        cur.val = tmp.val
      end
    end

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### 4. 中序走訪有序

如圖 7-22 所示，二元樹的中序走訪遵循“左 \(\rightarrow\) 根 \(\rightarrow\) 右”的走訪順序，而二元搜尋樹滿足“左子節點 \(<\) 根節點 \(<\) 右子節點”的大小關係。

這意味著在二元搜尋樹中進行中序走訪時，總是會優先走訪下一個最小節點，從而得出一個重要性質：二元搜尋樹的中序走訪序列是升序的。

利用中序走訪升序的性質，我們在二元搜尋樹中獲取有序資料僅需 \(O(n)\) 時間，無須進行額外的排序操作，非常高效。

圖 7-22 二元搜尋樹的中序走訪序列

## 7.4.2 二元搜尋樹的效率

給定一組資料，我們考慮使用陣列或二元搜尋樹儲存。觀察表 7-2 ，二元搜尋樹的各項操作的時間複雜度都是對數階，具有穩定且高效的效能。只有在高頻新增、低頻查詢刪除資料的場景下，陣列比二元搜尋樹的效率更高。

表 7-2 陣列與搜尋樹的效率對比

| 無序陣列 | 二元搜尋樹
--- | --- | ---
查詢元素 | \(O(n)\) | \(O(\log n)\)
插入元素 | \(O(1)\) | \(O(\log n)\)
刪除元素 | \(O(n)\) | \(O(\log n)\)

在理想情況下，二元搜尋樹是“平衡”的，這樣就可以在 \(\log n\) 輪迴圈內查詢任意節點。

然而，如果我們在二元搜尋樹中不斷地插入和刪除節點，可能導致二元樹退化為圖 7-23 所示的鏈結串列，這時各種操作的時間複雜度也會退化為 \(O(n)\) 。

圖 7-23 二元搜尋樹退化

## 7.4.3 二元搜尋樹常見應用

- 用作系統中的多級索引，實現高效的查詢、插入、刪除操作。
- 作為某些搜尋演算法的底層資料結構。
- 用於儲存資料流，以保持其有序狀態。

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