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# 15.3 最大容量問題

Question

配列 \(ht\) が与えられ、各要素は垂直な仕切り板の高さを表します。配列内の任意の 2 枚の仕切り板と、その間の空間で容器を構成できます。

容器の容量は高さと幅の積（面積）に等しく、高さは短い方の仕切り板で決まり、幅は 2 枚の仕切り板の配列インデックスの差です。

配列から 2 枚の仕切り板を選び、構成される容器の容量が最大となるようにしてください。最大容量を返します。例を以下の図に示します。

図 15-7 最大容量問題のサンプルデータ

容器は任意の 2 枚の仕切り板で囲まれるため、本問の状態は 2 枚の仕切り板のインデックスで表され、\([i, j]\) と記します。

問題の条件より、容量は高さと幅の積に等しく、高さは短い板で決まり、幅は 2 枚の仕切り板の配列インデックスの差です。容量を \(cap[i, j]\) とすると、計算式は次のようになります。

\[ cap[i, j] = \min(ht[i], ht[j]) \times (j - i) \]

配列の長さを \(n\) とすると、2 枚の仕切り板の組合せ数（状態総数）は \(C_n^2 = \frac{n(n - 1)}{2}\) 個です。最も直接的には、すべての状態を総当たりできます。これにより最大容量を求められ、時間計算量は \(O(n^2)\) です。

### 1. 貪欲戦略の決定

この問題にはさらに効率的な解法があります。以下の図のように、状態 \([i, j]\) を 1 つ選び、インデックスが \(i < j\) かつ高さが \(ht[i] < ht[j]\) を満たすとします。つまり、\(i\) が短い板、\(j\) が長い板です。

図 15-8 初期状態

以下の図のように、このとき長い板 \(j\) を短い板 \(i\) に近づけると、容量は必ず小さくなります。

これは、長い板 \(j\) を動かした後は幅 \(j-i\) が必ず小さくなるためです。また、高さは短い板で決まるので、高さは変わらない（ \(i\) が依然として短い板）か、小さくなる（移動後の \(j\) が短い板になる）ことしかありません。

図 15-9 長い板を内側へ動かした後の状態

逆に考えると、短い板 \(i\) を内側へ縮めた場合にのみ、容量が大きくなる可能性があります。幅は必ず小さくなりますが、**高さは大きくなる可能性がある**からです（移動後の短い板 \(i\) がより長くなる可能性があります）。たとえば次の図では、短い板を動かした後に面積が大きくなっています。

図 15-10 短い板を内側へ動かした後の状態

以上から、本問の貪欲戦略を導けます。2 本のポインタを初期化して容器の両端に置き、各ラウンドで短い板に対応するポインタを内側へ縮め、2 本のポインタが出会うまで続けます。

以下の図は、貪欲戦略の実行過程を示しています。

1. 初期状態では、ポインタ \(i\) と \(j\) は配列の両端にあります。
2. 現在の状態の容量 \(cap[i, j]\) を計算し、最大容量を更新します。
3. 板 \(i\) と板 \(j\) の高さを比較し、短い板を内側へ 1 マス移動します。
4. `2.` と `3.` を繰り返し実行し、\(i\) と \(j\) が出会ったら終了します。

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図 15-11 最大容量問題の貪欲な過程

### 2. コード実装

コードのループ回数は最大でも \(n\) 回であるため、時間計算量は \(O(n)\) です。

変数 \(i\)、\(j\)、\(res\) が使う追加領域は定数サイズなので、空間計算量は \(O(1)\) です。

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby
max_capacity.py

    def max_capacity(ht: list[int]) -> int:
        """最大容量：貪欲法"""
        # i, j を初期化し、それぞれ配列の両端に置く
        i, j = 0, len(ht) - 1
        # 初期の最大容量は 0
        res = 0
        # 2 枚の板が出会うまで貪欲選択を繰り返す
        while i < j:
            # 最大容量を更新する
            cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i)
            res = max(res, cap)
            # 短い方を内側へ動かす
            if ht[i] < ht[j]:
                i += 1
            else:
                j -= 1
        return res

max_capacity.cpp

    /* 最大容量：貪欲法 */
    int maxCapacity(vector<int> &ht) {
        // i, j を初期化し、それぞれ配列の両端に置く
        int i = 0, j = ht.size() - 1;
        // 初期の最大容量は 0
        int res = 0;
        // 2 枚の板が出会うまで貪欲選択を繰り返す
        while (i < j) {
            // 最大容量を更新する
            int cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
            res = max(res, cap);
            // 短い方を内側へ動かす
            if (ht[i] < ht[j]) {
                i++;
            } else {
                j--;
            }
        }
        return res;
    }

max_capacity.java

    /* 最大容量：貪欲法 */
    int maxCapacity(int[] ht) {
        // i, j を初期化し、それぞれ配列の両端に置く
        int i = 0, j = ht.length - 1;
        // 初期の最大容量は 0
        int res = 0;
        // 2 枚の板が出会うまで貪欲選択を繰り返す
        while (i < j) {
            // 最大容量を更新する
            int cap = Math.min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
            res = Math.max(res, cap);
            // 短い方を内側へ動かす
            if (ht[i] < ht[j]) {
                i++;
            } else {
                j--;
            }
        }
        return res;
    }

max_capacity.cs

    /* 最大容量：貪欲法 */
    int MaxCapacity(int[] ht) {
        // i, j を初期化し、それぞれ配列の両端に置く
        int i = 0, j = ht.Length - 1;
        // 初期の最大容量は 0
        int res = 0;
        // 2 枚の板が出会うまで貪欲選択を繰り返す
        while (i < j) {
            // 最大容量を更新する
            int cap = Math.Min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
            res = Math.Max(res, cap);
            // 短い方を内側へ動かす
            if (ht[i] < ht[j]) {
                i++;
            } else {
                j--;
            }
        }
        return res;
    }

max_capacity.go

    /* 最大容量：貪欲法 */
    func maxCapacity(ht []int) int {
        // i, j を初期化し、それぞれ配列の両端に置く
        i, j := 0, len(ht)-1
        // 初期の最大容量は 0
        res := 0
        // 2 枚の板が出会うまで貪欲選択を繰り返す
        for i < j {
            // 最大容量を更新する
            capacity := int(math.Min(float64(ht[i]), float64(ht[j]))) * (j - i)
            res = int(math.Max(float64(res), float64(capacity)))
            // 短い方を内側へ動かす
            if ht[i] < ht[j] {
                i++
            } else {
                j--
            }
        }
        return res
    }

max_capacity.swift

    /* 最大容量：貪欲法 */
    func maxCapacity(ht: [Int]) -> Int {
        // i, j を初期化し、それぞれ配列の両端に置く
        var i = ht.startIndex, j = ht.endIndex - 1
        // 初期の最大容量は 0
        var res = 0
        // 2 枚の板が出会うまで貪欲選択を繰り返す
        while i < j {
            // 最大容量を更新する
            let cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i)
            res = max(res, cap)
            // 短い方を内側へ動かす
            if ht[i] < ht[j] {
                i += 1
            } else {
                j -= 1
            }
        }
        return res
    }

max_capacity.js

    /* 最大容量：貪欲法 */
    function maxCapacity(ht) {
        // i, j を初期化し、それぞれ配列の両端に置く
        let i = 0,
            j = ht.length - 1;
        // 初期の最大容量は 0
        let res = 0;
        // 2 枚の板が出会うまで貪欲選択を繰り返す
        while (i < j) {
            // 最大容量を更新する
            const cap = Math.min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
            res = Math.max(res, cap);
            // 短い方を内側へ動かす
            if (ht[i] < ht[j]) {
                i += 1;
            } else {
                j -= 1;
            }
        }
        return res;
    }

max_capacity.ts

    /* 最大容量：貪欲法 */
    function maxCapacity(ht: number[]): number {
        // i, j を初期化し、それぞれ配列の両端に置く
        let i = 0,
            j = ht.length - 1;
        // 初期の最大容量は 0
        let res = 0;
        // 2 枚の板が出会うまで貪欲選択を繰り返す
        while (i < j) {
            // 最大容量を更新する
            const cap: number = Math.min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
            res = Math.max(res, cap);
            // 短い方を内側へ動かす
            if (ht[i] < ht[j]) {
                i += 1;
            } else {
                j -= 1;
            }
        }
        return res;
    }

max_capacity.dart

    /* 最大容量：貪欲法 */
    int maxCapacity(List<int> ht) {
      // i, j を初期化し、それぞれ配列の両端に置く
      int i = 0, j = ht.length - 1;
      // 初期の最大容量は 0
      int res = 0;
      // 2 枚の板が出会うまで貪欲選択を繰り返す
      while (i < j) {
        // 最大容量を更新する
        int cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
        res = max(res, cap);
        // 短い方を内側へ動かす
        if (ht[i] < ht[j]) {
          i++;
        } else {
          j--;
        }
      }
      return res;
    }

max_capacity.rs

    /* 最大容量：貪欲法 */
    fn max_capacity(ht: &[i32]) -> i32 {
        // i, j を初期化し、それぞれ配列の両端に置く
        let mut i = 0;
        let mut j = ht.len() - 1;
        // 初期の最大容量は 0
        let mut res = 0;
        // 2 枚の板が出会うまで貪欲選択を繰り返す
        while i < j {
            // 最大容量を更新する
            let cap = std::cmp::min(ht[i], ht[j]) * (j - i) as i32;
            res = std::cmp::max(res, cap);
            // 短い方を内側へ動かす
            if ht[i] < ht[j] {
                i += 1;
            } else {
                j -= 1;
            }
        }
        res
    }

max_capacity.c

    /* 最大容量：貪欲法 */
    int maxCapacity(int ht[], int htLength) {
        // i, j を初期化し、それぞれ配列の両端に置く
        int i = 0;
        int j = htLength - 1;
        // 初期の最大容量は 0
        int res = 0;
        // 2 枚の板が出会うまで貪欲選択を繰り返す
        while (i < j) {
            // 最大容量を更新する
            int capacity = myMin(ht[i], ht[j]) * (j - i);
            res = myMax(res, capacity);
            // 短い方を内側へ動かす
            if (ht[i] < ht[j]) {
                i++;
            } else {
                j--;
            }
        }
        return res;
    }

max_capacity.kt

    /* 最大容量：貪欲法 */
    fun maxCapacity(ht: IntArray): Int {
        // i, j を初期化し、それぞれ配列の両端に置く
        var i = 0
        var j = ht.size - 1
        // 初期の最大容量は 0
        var res = 0
        // 2 枚の板が出会うまで貪欲選択を繰り返す
        while (i < j) {
            // 最大容量を更新する
            val cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i)
            res = max(res, cap)
            // 短い方を内側へ動かす
            if (ht[i] < ht[j]) {
                i++
            } else {
                j--
            }
        }
        return res
    }

max_capacity.rb

    ### 最大容量：貪欲法 ###
    def max_capacity(ht)
      # i, j を初期化し、それぞれ配列の両端に置く
      i, j = 0, ht.length - 1
      # 初期の最大容量は 0
      res = 0

      # 2 枚の板が出会うまで貪欲選択を繰り返す
      while i < j
        # 最大容量を更新する
        cap = [ht[i], ht[j]].min * (j - i)
        res = [res, cap].max
        # 短い方を内側へ動かす
        if ht[i] < ht[j]
          i += 1
        else
          j -= 1
        end
      end

      res
    end

コードの可視化

全画面で見る >

### 3. 正しさの証明

貪欲法が総当たりより速いのは、各ラウンドの貪欲な選択がいくつかの状態を「スキップ」するためです。

たとえば状態 \(cap[i, j]\) において、\(i\) が短い板、\(j\) が長い板だとします。貪欲に短い板 \(i\) を内側へ 1 マス動かすと、次の図に示す状態が「スキップ」されます。これは、その後それらの状態の容量を検証できないことを意味します。

\[ cap[i, i+1], cap[i, i+2], \dots, cap[i, j-2], cap[i, j-1] \]

図 15-12 短い板の移動によってスキップされる状態

観察すると、これらのスキップされた状態は、実際には長い板 \(j\) を内側へ動かしたすべての状態そのものです。前述のとおり、長い板を内側へ動かすと容量は必ず小さくなります。つまり、スキップされた状態はいずれも最適解にはなりえず、それらを飛ばしても最適解を逃すことはありません。

以上の分析から、短い板を動かす操作は「安全」であり、貪欲戦略は有効であると分かります。

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