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# 2.6 演習

## 2.6.1 確認問題

### 1. 反復と再帰の時間・空間計算量

次の 2 つのコードは、どちらも \(1 + 2 + \dots + n\) を計算します（\(n \ge 1\) とします）。`n` を 4 として、 プログラムが実際に実行される順序に沿って次の問いに答え、2 つの書き方の効率を比較してください。

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby
complexity_exercises.py

    def sum_iter(n: int) -> int:
        """反復による総和"""
        res = 0
        for i in range(1, n + 1):
            res += i
        return res

    def sum_recur(n: int) -> int:
        """再帰による総和"""
        if n == 1:
            return 1
        return n + sum_recur(n - 1)

complexity_exercises.cpp

    /* 反復による総和 */
    int sumIter(int n) {
        int res = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            res += i;
        }
        return res;
    }

    /* 再帰による総和 */
    int sumRecur(int n) {
        if (n == 1) {
            return 1;
        }
        return n + sumRecur(n - 1);
    }

complexity_exercises.java

    /* 反復による総和 */
    int sumIter(int n) {
        int res = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            res += i;
        }
        return res;
    }

    /* 再帰による総和 */
    int sumRecur(int n) {
        if (n == 1) {
            return 1;
        }
        return n + sumRecur(n - 1);
    }

complexity_exercises.cs

    /* 反復による総和 */
    int SumIter(int n) {
        int res = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            res += i;
        }
        return res;
    }

    /* 再帰による総和 */
    int SumRecur(int n) {
        if (n == 1) {
            return 1;
        }
        return n + SumRecur(n - 1);
    }

complexity_exercises.go

    /* 反復による総和 */
    func sumIter(n int) int {
        res := 0
        for i := 1; i <= n; i++ {
            res += i
        }
        return res
    }

    /* 再帰による総和 */
    func sumRecur(n int) int {
        if n == 1 {
            return 1
        }
        return n + sumRecur(n-1)
    }

complexity_exercises.swift

    /* 反復による総和 */
    func sumIter(n: Int) -> Int {
        var res = 0
        for i in 1 ... n {
            res += i
        }
        return res
    }

    /* 再帰による総和 */
    func sumRecur(n: Int) -> Int {
        if n == 1 {
            return 1
        }
        return n + sumRecur(n: n - 1)
    }

complexity_exercises.js

    /* 反復による総和 */
    function sumIter(n) {
        let res = 0;
        for (let i = 1; i <= n; i++) {
            res += i;
        }
        return res;
    }

    /* 再帰による総和 */
    function sumRecur(n) {
        if (n === 1) {
            return 1;
        }
        return n + sumRecur(n - 1);
    }

complexity_exercises.ts

    /* 反復による総和 */
    function sumIter(n: number): number {
        let res = 0;
        for (let i = 1; i <= n; i++) {
            res += i;
        }
        return res;
    }

    /* 再帰による総和 */
    function sumRecur(n: number): number {
        if (n === 1) {
            return 1;
        }
        return n + sumRecur(n - 1);
    }

complexity_exercises.dart

    /* 反復による総和 */
    int sumIter(int n) {
      int res = 0;
      for (int i = 1; i <= n; i++) {
        res += i;
      }
      return res;
    }

    /* 再帰による総和 */
    int sumRecur(int n) {
      if (n == 1) {
        return 1;
      }
      return n + sumRecur(n - 1);
    }

complexity_exercises.rs

    /* 反復による総和 */
    fn sum_iter(n: i32) -> i32 {
        let mut res = 0;
        for i in 1..=n {
            res += i;
        }
        res
    }

    /* 再帰による総和 */
    fn sum_recur(n: i32) -> i32 {
        if n == 1 {
            return 1;
        }
        n + sum_recur(n - 1)
    }

complexity_exercises.c

    /* 反復による総和 */
    int sumIter(int n) {
        int res = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            res += i;
        }
        return res;
    }

    /* 再帰による総和 */
    int sumRecur(int n) {
        if (n == 1) {
            return 1;
        }
        return n + sumRecur(n - 1);
    }

complexity_exercises.kt

    /* 反復による総和 */
    fun sumIter(n: Int): Int {
        var res = 0
        for (i in 1..n) {
            res += i
        }
        return res
    }

    /* 再帰による総和 */
    fun sumRecur(n: Int): Int {
        if (n == 1) {
            return 1
        }
        return n + sumRecur(n - 1)
    }

complexity_exercises.rb

    ### 反復による総和 ###
    def sum_iter(n)
      res = 0
      for i in 1..n
        res += i
      end
      res
    end

    ### 再帰による総和 ###
    def sum_recur(n)
      return 1 if n == 1

      n + sum_recur(n - 1)
    end

1. `n = 4` を入力して反復関数を実行すると、各ループの終了時に累積変数 `res` はそれぞれいくつになりますか？
2. `n = 4` を入力して再帰関数を実行すると、引数 `n` はどの値を順に取りますか？最も深い呼び出しから戻るとき、結果はどのように求められますか？
3. 2 つの書き方の時間計算量と空間計算量は、それぞれいくつですか？問い 1、2 の実行過程と結び付けて理由を説明してください。

解答

1. ループ変数 `i` は `1、2、3、4` の順に変化し、各ループの終了時に `res` は `1、3、6、10` となります。したがって、反復関数は 10 を返します。

2. 引数 `n` は `4 → 3 → 2 → 1` の順に変化します。 最も深い呼び出しが 1 を返した後、各呼び出しは順に `2 + 1 = 3`、`3 + 3 = 6`、`4 + 6 = 10` を得ます。 最も深い呼び出しに到達した時点では、4 回の関数呼び出しはどれもまだ終了していません。

3. どちらのコードも、\(n\) に比例する回数のループまたは呼び出しを行うため、時間計算量はともに \(O(n)\) です。 一方、空間計算量は異なります。反復版が使う変数は定数個だけなので \(O(1)\) です。 再帰版では、終了条件に到達するまで、それまでの関数呼び出しが結果を待つ必要があります。そのため、呼び出しスタックには最大で \(n\) 回分の呼び出しが同時に保存され、 空間計算量は \(O(n)\) です。

   空間計算量を分析するときは、コード中の変数だけでなく、再帰呼び出しが使う空間も考える必要があります。

### 2. 3 つのコードの時間計算量

次の 3 つのコード片はいずれも、正の整数 \(n\) を入力とします。時間計算量が小さい順に並べ、それぞれの計算量を書いてください。

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby
complexity_exercises.py

    def linear_loop(n: int) -> int:
        """線形時間のループ"""
        res = 0
        for i in range(n):
            res += i
        return res

    def quadratic_loop(n: int) -> int:
        """二次時間のループ"""
        res = 0
        for i in range(n):
            for j in range(i, n):
                res += j
        return res

    def logarithmic_loop(n: int) -> int:
        """対数時間のループ"""
        while n > 1:
            n //= 2
        return n

complexity_exercises.cpp

    /* 線形時間のループ */
    int linearLoop(int n) {
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            res += i;
        }
        return res;
    }

    /* 二次時間のループ */
    int quadraticLoop(int n) {
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            for (int j = i; j < n; ++j) {
                res += j;
            }
        }
        return res;
    }

    /* 対数時間のループ */
    int logarithmicLoop(int n) {
        while (n > 1) {
            n /= 2;
        }
        return n;
    }

complexity_exercises.java

    /* 線形時間のループ */
    int linearLoop(int n) {
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            res += i;
        }
        return res;
    }

    /* 二次時間のループ */
    int quadraticLoop(int n) {
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = i; j < n; j++) {
                res += j;
            }
        }
        return res;
    }

    /* 対数時間のループ */
    int logarithmicLoop(int n) {
        while (n > 1) {
            n /= 2;
        }
        return n;
    }

complexity_exercises.cs

    /* 線形時間のループ */
    int LinearLoop(int n) {
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            res += i;
        }
        return res;
    }

    /* 二次時間のループ */
    int QuadraticLoop(int n) {
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = i; j < n; j++) {
                res += j;
            }
        }
        return res;
    }

    /* 対数時間のループ */
    int LogarithmicLoop(int n) {
        while (n > 1) {
            n /= 2;
        }
        return n;
    }

complexity_exercises.go

    /* 線形時間のループ */
    func linearLoop(n int) int {
        res := 0
        for i := 0; i < n; i++ {
            res += i
        }
        return res
    }

    /* 二次時間のループ */
    func quadraticLoop(n int) int {
        res := 0
        for i := 0; i < n; i++ {
            for j := i; j < n; j++ {
                res += j
            }
        }
        return res
    }

    /* 対数時間のループ */
    func logarithmicLoop(n int) int {
        for n > 1 {
            n /= 2
        }
        return n
    }

complexity_exercises.swift

    /* 線形時間のループ */
    func linearLoop(n: Int) -> Int {
        var res = 0
        for i in 0 ..< n {
            res += i
        }
        return res
    }

    /* 二次時間のループ */
    func quadraticLoop(n: Int) -> Int {
        var res = 0
        for i in 0 ..< n {
            for j in i ..< n {
                res += j
            }
        }
        return res
    }

    /* 対数時間のループ */
    func logarithmicLoop(n: Int) -> Int {
        var n = n
        while n > 1 {
            n /= 2
        }
        return n
    }

complexity_exercises.js

    /* 線形時間のループ */
    function linearLoop(n) {
        let res = 0;
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            res += i;
        }
        return res;
    }

    /* 二次時間のループ */
    function quadraticLoop(n) {
        let res = 0;
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            for (let j = i; j < n; j++) {
                res += j;
            }
        }
        return res;
    }

    /* 対数時間のループ */
    function logarithmicLoop(n) {
        while (n > 1) {
            n = Math.floor(n / 2);
        }
        return n;
    }

complexity_exercises.ts

    /* 線形時間のループ */
    function linearLoop(n: number): number {
        let res = 0;
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            res += i;
        }
        return res;
    }

    /* 二次時間のループ */
    function quadraticLoop(n: number): number {
        let res = 0;
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            for (let j = i; j < n; j++) {
                res += j;
            }
        }
        return res;
    }

    /* 対数時間のループ */
    function logarithmicLoop(n: number): number {
        while (n > 1) {
            n = Math.floor(n / 2);
        }
        return n;
    }

complexity_exercises.dart

    /* 線形時間のループ */
    int linearLoop(int n) {
      int res = 0;
      for (int i = 0; i < n; i++) {
        res += i;
      }
      return res;
    }

    /* 二次時間のループ */
    int quadraticLoop(int n) {
      int res = 0;
      for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = i; j < n; j++) {
          res += j;
        }
      }
      return res;
    }

    /* 対数時間のループ */
    int logarithmicLoop(int n) {
      while (n > 1) {
        n ~/= 2;
      }
      return n;
    }

complexity_exercises.rs

    /* 線形時間のループ */
    fn linear_loop(n: i32) -> i32 {
        let mut res = 0;
        for i in 0..n {
            res += i;
        }
        res
    }

    /* 二次時間のループ */
    fn quadratic_loop(n: i32) -> i32 {
        let mut res = 0;
        for i in 0..n {
            for j in i..n {
                res += j;
            }
        }
        res
    }

    /* 対数時間のループ */
    fn logarithmic_loop(mut n: i32) -> i32 {
        while n > 1 {
            n /= 2;
        }
        n
    }

complexity_exercises.c

    /* 線形時間のループ */
    int linearLoop(int n) {
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            res += i;
        }
        return res;
    }

    /* 二次時間のループ */
    int quadraticLoop(int n) {
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = i; j < n; j++) {
                res += j;
            }
        }
        return res;
    }

    /* 対数時間のループ */
    int logarithmicLoop(int n) {
        while (n > 1) {
            n /= 2;
        }
        return n;
    }

complexity_exercises.kt

    /* 線形時間のループ */
    fun linearLoop(n: Int): Int {
        var res = 0
        for (i in 0 until n) {
            res += i
        }
        return res
    }

    /* 二次時間のループ */
    fun quadraticLoop(n: Int): Int {
        var res = 0
        for (i in 0 until n) {
            for (j in i until n) {
                res += j
            }
        }
        return res
    }

    /* 対数時間のループ */
    fun logarithmicLoop(n: Int): Int {
        var value = n
        while (value > 1) {
            value /= 2
        }
        return value
    }

complexity_exercises.rb

    ### 線形時間のループ ###
    def linear_loop(n)
      res = 0
      for i in 0...n
        res += i
      end
      res
    end

    ### 二次時間のループ ###
    def quadratic_loop(n)
      res = 0
      for i in 0...n
        for j in i...n
          res += j
        end
      end
      res
    end

    ### 対数時間のループ ###
    def logarithmic_loop(n)
      n /= 2 while n > 1
      n
    end

解答

小さい順に、コード片 3 は \(O(\log n)\)、コード片 1 は \(O(n)\)、コード片 2 は \(O(n^2)\) です。 コード片 3 では、ループのたびに \(n\) が半分になるため、ループ回数は約 \(\log_2 n\) 回です。 コード片 1 のループはちょうど \(n\) 回実行されます。コード片 2 の内側のループ回数は順に \(n,n-1,\dots,1\) で、合計は \(n(n+1)/2\) となるため、二次の計算量です。

### 3. どちらの反転が空間を節約できるか

配列 `nums` のすべての要素を逆順にする方法として、次の 2 つがあります。

1. 同じ長さの新しい配列 `res` を作り、逆順にコピーして返す。

2. 2 つのインデックス `i` と `j` をそれぞれ先頭と末尾から中央へ動かし、`nums[i]` と `nums[j]` を順に交換する。

   2 つの方法の空間計算量は、それぞれいくつですか？どちらが「インプレース」な操作ですか？

解答

1. 入力と同じ長さの補助配列が必要なため、空間計算量は \(O(n)\) です。

2. 使うのは 2 つのインデックス変数だけなので、 空間計算量は \(O(1)\) であり、インプレースな操作です。

   ただし、インプレースな反転は入力配列を変更します。 入力の変更が許される場合にのみ優先して使うべきです。元の配列を残す必要がある場合は、方法 1 のコピーにかかる空間を省くことはできません。

## 2.6.2 プログラミング演習

### 1. フィボナッチ数

フィボナッチ数列は、\(F(0)=0\)、\(F(1)=1\) を満たし、\(n\ge2\) のとき \(F(n)=F(n-1)+F(n-2)\) となります。

0 以上の整数 `n` が与えられます。再帰を使わず、ループを使って \(F(n)\) を計算し、返してください。

解法のヒント

1. まず、n が 0 と 1 の場合をそれぞれ処理します
2. 次の項の計算に必要なのは直前の 2 項だけで、数列全体を保存する必要はありません
3. 2 つの変数を更新するときは、後で使う古い値を先に上書きしないよう注意します

LeetCode

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