Перейти к содержанию
Приглашаем вас участвовать в развитии русской версии! Подробнее здесь.

# 7.2 Обход двоичного дерева

С точки зрения физической структуры дерево представляет собой разновидность структуры данных на основе связей, поэтому его обход выполняется через последовательный доступ к узлам по указателям. Однако дерево является нелинейной структурой данных, а значит, его обход сложнее, чем обход связного списка, и для него требуется использовать поисковые алгоритмы.

К распространенным способам обхода двоичного дерева относятся обход по уровням, прямой обход, симметричный обход и обратный обход.

## 7.2.1 Обход по уровням

Как показано на рисунке 7-9, обход по уровням (level-order traversal) проходит двоичное дерево сверху вниз по уровням и на каждом уровне посещает узлы слева направо.

По своей сути обход по уровням относится к обходу в ширину (breadth-first traversal), также называемому поиском в ширину (breadth-first search, BFS). Он отражает идею «расширяться от центра к периферии слой за слоем».

Рисунок 7-9 Обход двоичного дерева по уровням

### 1. Код реализации

Обход в ширину обычно реализуется с помощью «очереди». Очередь подчиняется правилу «первым пришел - первым вышел», а обход в ширину подчиняется правилу «продвигаться по уровням», поэтому стоящая за ними идея согласована. Код реализации приведен ниже:

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby
binary_tree_bfs.py

    def level_order(root: TreeNode | None) -> list[int]:
        """Обход в ширину"""
        # Инициализировать очередь и добавить корневой узел
        queue: deque[TreeNode] = deque()
        queue.append(root)
        # Инициализировать список для хранения последовательности обхода
        res = []
        while queue:
            node: TreeNode = queue.popleft()  # Извлечение из очереди
            res.append(node.val)  # Сохранить значение узла
            if node.left is not None:
                queue.append(node.left)  # Поместить левый дочерний узел в очередь
            if node.right is not None:
                queue.append(node.right)  # Поместить правый дочерний узел в очередь
        return res

binary_tree_bfs.cpp

    /* Обход в ширину */
    vector<int> levelOrder(TreeNode *root) {
        // Инициализировать очередь и добавить корневой узел
        queue<TreeNode *> queue;
        queue.push(root);
        // Инициализировать список для хранения последовательности обхода
        vector<int> vec;
        while (!queue.empty()) {
            TreeNode *node = queue.front();
            queue.pop();              // Извлечение из очереди
            vec.push_back(node->val); // Сохранить значение узла
            if (node->left != nullptr)
                queue.push(node->left); // Поместить левый дочерний узел в очередь
            if (node->right != nullptr)
                queue.push(node->right); // Поместить правый дочерний узел в очередь
        }
        return vec;
    }

binary_tree_bfs.java

    /* Обход в ширину */
    List<Integer> levelOrder(TreeNode root) {
        // Инициализировать очередь и добавить корневой узел
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.add(root);
        // Инициализировать список для хранения последовательности обхода
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        while (!queue.isEmpty()) {
            TreeNode node = queue.poll(); // Извлечение из очереди
            list.add(node.val);           // Сохранить значение узла
            if (node.left != null)
                queue.offer(node.left);   // Поместить левый дочерний узел в очередь
            if (node.right != null)
                queue.offer(node.right);  // Поместить правый дочерний узел в очередь
        }
        return list;
    }

binary_tree_bfs.cs

    /* Обход в ширину */
    List<int> LevelOrder(TreeNode root) {
        // Инициализировать очередь и добавить корневой узел
        Queue<TreeNode> queue = new();
        queue.Enqueue(root);
        // Инициализировать список для хранения последовательности обхода
        List<int> list = [];
        while (queue.Count != 0) {
            TreeNode node = queue.Dequeue(); // Извлечение из очереди
            list.Add(node.val!.Value);       // Сохранить значение узла
            if (node.left != null)
                queue.Enqueue(node.left);    // Поместить левый дочерний узел в очередь
            if (node.right != null)
                queue.Enqueue(node.right);   // Поместить правый дочерний узел в очередь
        }
        return list;
    }

binary_tree_bfs.go

    /* Обход в ширину */
    func levelOrder(root *TreeNode) []any {
        // Инициализировать очередь и добавить корневой узел
        queue := list.New()
        queue.PushBack(root)
        // Инициализировать срез для хранения последовательности обхода
        nums := make([]any, 0)
        for queue.Len() > 0 {
            // Извлечение из очереди
            node := queue.Remove(queue.Front()).(*TreeNode)
            // Сохранить значение узла
            nums = append(nums, node.Val)
            if node.Left != nil {
                // Поместить левый дочерний узел в очередь
                queue.PushBack(node.Left)
            }
            if node.Right != nil {
                // Поместить правый дочерний узел в очередь
                queue.PushBack(node.Right)
            }
        }
        return nums
    }

binary_tree_bfs.swift

    /* Обход в ширину */
    func levelOrder(root: TreeNode) -> [Int] {
        // Инициализировать очередь и добавить корневой узел
        var queue: [TreeNode] = [root]
        // Инициализировать список для хранения последовательности обхода
        var list: [Int] = []
        while !queue.isEmpty {
            let node = queue.removeFirst() // Извлечение из очереди
            list.append(node.val) // Сохранить значение узла
            if let left = node.left {
                queue.append(left) // Поместить левый дочерний узел в очередь
            }
            if let right = node.right {
                queue.append(right) // Поместить правый дочерний узел в очередь
            }
        }
        return list
    }

binary_tree_bfs.js

    /* Обход в ширину */
    function levelOrder(root) {
        // Инициализировать очередь и добавить корневой узел
        const queue = [root];
        // Инициализировать список для хранения последовательности обхода
        const list = [];
        while (queue.length) {
            let node = queue.shift(); // Извлечение из очереди
            list.push(node.val); // Сохранить значение узла
            if (node.left) queue.push(node.left); // Поместить левый дочерний узел в очередь
            if (node.right) queue.push(node.right); // Поместить правый дочерний узел в очередь
        }
        return list;
    }

binary_tree_bfs.ts

    /* Обход в ширину */
    function levelOrder(root: TreeNode | null): number[] {
        // Инициализировать очередь и добавить корневой узел
        const queue = [root];
        // Инициализировать список для хранения последовательности обхода
        const list: number[] = [];
        while (queue.length) {
            let node = queue.shift() as TreeNode; // Извлечение из очереди
            list.push(node.val); // Сохранить значение узла
            if (node.left) {
                queue.push(node.left); // Поместить левый дочерний узел в очередь
            }
            if (node.right) {
                queue.push(node.right); // Поместить правый дочерний узел в очередь
            }
        }
        return list;
    }

binary_tree_bfs.dart

    /* Обход в ширину */
    List<int> levelOrder(TreeNode? root) {
      // Инициализировать очередь и добавить корневой узел
      Queue<TreeNode?> queue = Queue();
      queue.add(root);
      // Инициализировать список для хранения последовательности обхода
      List<int> res = [];
      while (queue.isNotEmpty) {
        TreeNode? node = queue.removeFirst(); // Извлечение из очереди
        res.add(node!.val); // Сохранить значение узла
        if (node.left != null) queue.add(node.left); // Поместить левый дочерний узел в очередь
        if (node.right != null) queue.add(node.right); // Поместить правый дочерний узел в очередь
      }
      return res;
    }

binary_tree_bfs.rs

    /* Обход в ширину */
    fn level_order(root: &Rc<RefCell<TreeNode>>) -> Vec<i32> {
        // Инициализировать очередь и добавить корневой узел
        let mut que = VecDeque::new();
        que.push_back(root.clone());
        // Инициализировать список для хранения последовательности обхода
        let mut vec = Vec::new();

        while let Some(node) = que.pop_front() {
            // Извлечение из очереди
            vec.push(node.borrow().val); // Сохранить значение узла
            if let Some(left) = node.borrow().left.as_ref() {
                que.push_back(left.clone()); // Поместить левый дочерний узел в очередь
            }
            if let Some(right) = node.borrow().right.as_ref() {
                que.push_back(right.clone()); // Поместить правый дочерний узел в очередь
            };
        }
        vec
    }

binary_tree_bfs.c

    /* Обход в ширину */
    int *levelOrder(TreeNode *root, int *size) {
        /* Вспомогательная очередь */
        int front, rear;
        int index, *arr;
        TreeNode *node;
        TreeNode **queue;

        /* Вспомогательная очередь */
        queue = (TreeNode **)malloc(sizeof(TreeNode *) * MAX_SIZE);
        // Указатель очереди
        front = 0, rear = 0;
        // Добавить корневой узел
        queue[rear++] = root;
        // Инициализировать список для хранения последовательности обхода
        /* Вспомогательный массив */
        arr = (int *)malloc(sizeof(int) * MAX_SIZE);
        // Указатель на массив
        index = 0;
        while (front < rear) {
            // Извлечение из очереди
            node = queue[front++];
            // Сохранить значение узла
            arr[index++] = node->val;
            if (node->left != NULL) {
                // Поместить левый дочерний узел в очередь
                queue[rear++] = node->left;
            }
            if (node->right != NULL) {
                // Поместить правый дочерний узел в очередь
                queue[rear++] = node->right;
            }
        }
        // Обновить значение длины массива
        *size = index;
        arr = realloc(arr, sizeof(int) * (*size));

        // Освободить память вспомогательного массива
        free(queue);
        return arr;
    }

binary_tree_bfs.kt

    /* Обход в ширину */
    fun levelOrder(root: TreeNode?): MutableList<Int> {
        // Инициализировать очередь и добавить корневой узел
        val queue = LinkedList<TreeNode?>()
        queue.add(root)
        // Инициализировать список для хранения последовательности обхода
        val list = mutableListOf<Int>()
        while (queue.isNotEmpty()) {
            val node = queue.poll()      // Извлечение из очереди
            list.add(node?._val!!)       // Сохранить значение узла
            if (node.left != null)
                queue.offer(node.left)   // Поместить левый дочерний узел в очередь
            if (node.right != null)
                queue.offer(node.right)  // Поместить правый дочерний узел в очередь
        }
        return list
    }

binary_tree_bfs.rb

    ### Обход в ширину ###
    def level_order(root)
      # Инициализировать очередь и добавить корневой узел
      queue = [root]
      # Инициализировать список для хранения последовательности обхода
      res = []
      while !queue.empty?
        node = queue.shift # Извлечение из очереди
        res << node.val # Сохранить значение узла
        queue << node.left unless node.left.nil? # Поместить левый дочерний узел в очередь
        queue << node.right unless node.right.nil? # Поместить правый дочерний узел в очередь
      end
      res
    end

Визуализация кода

Во весь экран >

### 2. Анализ сложности

- Временная сложность равна \(O(n)\) : все узлы посещаются по одному разу, поэтому требуется \(O(n)\) времени, где \(n\) - число узлов.
- Пространственная сложность равна \(O(n)\) : в худшем случае, то есть для полной двоичной деревообразной структуры, до достижения самого нижнего уровня в очереди одновременно может находиться до \((n + 1) / 2\) узлов, что требует \(O(n)\) памяти.

## 7.2.2 Прямой, симметричный и обратный обходы

Соответственно, прямой, симметричный и обратный обходы относятся к обходу в глубину (depth-first traversal), также называемому поиском в глубину (depth-first search, DFS). Он отражает идею «сначала идти до конца, затем возвращаться и продолжать».

На рисунке 7-10 показан принцип работы обхода двоичного дерева в глубину. Обход в глубину можно представить как обход всей двоичной структуры по внешнему контуру , и у каждого узла встречаются три позиции, соответствующие прямому, симметричному и обратному обходам.

Рисунок 7-10 Прямой, симметричный и обратный обходы двоичного дерева поиска

### 1. Код реализации

Поиск в глубину обычно реализуется через рекурсию:

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby
binary_tree_dfs.py

    def pre_order(root: TreeNode | None):
        """Предварительный обход"""
        if root is None:
            return
        # Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
        res.append(root.val)
        pre_order(root=root.left)
        pre_order(root=root.right)

    def in_order(root: TreeNode | None):
        """Симметричный обход"""
        if root is None:
            return
        # Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
        in_order(root=root.left)
        res.append(root.val)
        in_order(root=root.right)

    def post_order(root: TreeNode | None):
        """Обратный обход"""
        if root is None:
            return
        # Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
        post_order(root=root.left)
        post_order(root=root.right)
        res.append(root.val)

binary_tree_dfs.cpp

    /* Предварительный обход */
    void preOrder(TreeNode *root) {
        if (root == nullptr)
            return;
        // Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
        vec.push_back(root->val);
        preOrder(root->left);
        preOrder(root->right);
    }

    /* Симметричный обход */
    void inOrder(TreeNode *root) {
        if (root == nullptr)
            return;
        // Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
        inOrder(root->left);
        vec.push_back(root->val);
        inOrder(root->right);
    }

    /* Обратный обход */
    void postOrder(TreeNode *root) {
        if (root == nullptr)
            return;
        // Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
        postOrder(root->left);
        postOrder(root->right);
        vec.push_back(root->val);
    }

binary_tree_dfs.java

    /* Предварительный обход */
    void preOrder(TreeNode root) {
        if (root == null)
            return;
        // Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
        list.add(root.val);
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

    /* Симметричный обход */
    void inOrder(TreeNode root) {
        if (root == null)
            return;
        // Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
        inOrder(root.left);
        list.add(root.val);
        inOrder(root.right);
    }

    /* Обратный обход */
    void postOrder(TreeNode root) {
        if (root == null)
            return;
        // Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        list.add(root.val);
    }

binary_tree_dfs.cs

    /* Предварительный обход */
    void PreOrder(TreeNode? root) {
        if (root == null) return;
        // Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
        list.Add(root.val!.Value);
        PreOrder(root.left);
        PreOrder(root.right);
    }

    /* Симметричный обход */
    void InOrder(TreeNode? root) {
        if (root == null) return;
        // Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
        InOrder(root.left);
        list.Add(root.val!.Value);
        InOrder(root.right);
    }

    /* Обратный обход */
    void PostOrder(TreeNode? root) {
        if (root == null) return;
        // Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
        PostOrder(root.left);
        PostOrder(root.right);
        list.Add(root.val!.Value);
    }

binary_tree_dfs.go

    /* Предварительный обход */
    func preOrder(node *TreeNode) {
        if node == nil {
            return
        }
        // Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
        nums = append(nums, node.Val)
        preOrder(node.Left)
        preOrder(node.Right)
    }

    /* Симметричный обход */
    func inOrder(node *TreeNode) {
        if node == nil {
            return
        }
        // Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
        inOrder(node.Left)
        nums = append(nums, node.Val)
        inOrder(node.Right)
    }

    /* Обратный обход */
    func postOrder(node *TreeNode) {
        if node == nil {
            return
        }
        // Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
        postOrder(node.Left)
        postOrder(node.Right)
        nums = append(nums, node.Val)
    }

binary_tree_dfs.swift

    /* Предварительный обход */
    func preOrder(root: TreeNode?) {
        guard let root = root else {
            return
        }
        // Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
        list.append(root.val)
        preOrder(root: root.left)
        preOrder(root: root.right)
    }

    /* Симметричный обход */
    func inOrder(root: TreeNode?) {
        guard let root = root else {
            return
        }
        // Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
        inOrder(root: root.left)
        list.append(root.val)
        inOrder(root: root.right)
    }

    /* Обратный обход */
    func postOrder(root: TreeNode?) {
        guard let root = root else {
            return
        }
        // Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
        postOrder(root: root.left)
        postOrder(root: root.right)
        list.append(root.val)
    }

binary_tree_dfs.js

    /* Предварительный обход */
    function preOrder(root) {
        if (root === null) return;
        // Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
        list.push(root.val);
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

    /* Симметричный обход */
    function inOrder(root) {
        if (root === null) return;
        // Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
        inOrder(root.left);
        list.push(root.val);
        inOrder(root.right);
    }

    /* Обратный обход */
    function postOrder(root) {
        if (root === null) return;
        // Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        list.push(root.val);
    }

binary_tree_dfs.ts

    /* Предварительный обход */
    function preOrder(root: TreeNode | null): void {
        if (root === null) {
            return;
        }
        // Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
        list.push(root.val);
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

    /* Симметричный обход */
    function inOrder(root: TreeNode | null): void {
        if (root === null) {
            return;
        }
        // Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
        inOrder(root.left);
        list.push(root.val);
        inOrder(root.right);
    }

    /* Обратный обход */
    function postOrder(root: TreeNode | null): void {
        if (root === null) {
            return;
        }
        // Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        list.push(root.val);
    }

binary_tree_dfs.dart

    /* Предварительный обход */
    void preOrder(TreeNode? node) {
      if (node == null) return;
      // Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
      list.add(node.val);
      preOrder(node.left);
      preOrder(node.right);
    }

    /* Симметричный обход */
    void inOrder(TreeNode? node) {
      if (node == null) return;
      // Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
      inOrder(node.left);
      list.add(node.val);
      inOrder(node.right);
    }

    /* Обратный обход */
    void postOrder(TreeNode? node) {
      if (node == null) return;
      // Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
      postOrder(node.left);
      postOrder(node.right);
      list.add(node.val);
    }

binary_tree_dfs.rs

    /* Предварительный обход */
    fn pre_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
        let mut result = vec![];

        fn dfs(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>, res: &mut Vec<i32>) {
            if let Some(node) = root {
                // Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
                let node = node.borrow();
                res.push(node.val);
                dfs(node.left.as_ref(), res);
                dfs(node.right.as_ref(), res);
            }
        }
        dfs(root, &mut result);

        result
    }

    /* Симметричный обход */
    fn in_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
        let mut result = vec![];

        fn dfs(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>, res: &mut Vec<i32>) {
            if let Some(node) = root {
                // Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
                let node = node.borrow();
                dfs(node.left.as_ref(), res);
                res.push(node.val);
                dfs(node.right.as_ref(), res);
            }
        }
        dfs(root, &mut result);

        result
    }

    /* Обратный обход */
    fn post_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
        let mut result = vec![];

        fn dfs(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>, res: &mut Vec<i32>) {
            if let Some(node) = root {
                // Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
                let node = node.borrow();
                dfs(node.left.as_ref(), res);
                dfs(node.right.as_ref(), res);
                res.push(node.val);
            }
        }

        dfs(root, &mut result);

        result
    }

binary_tree_dfs.c

    /* Предварительный обход */
    void preOrder(TreeNode *root, int *size) {
        if (root == NULL)
            return;
        // Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
        arr[(*size)++] = root->val;
        preOrder(root->left, size);
        preOrder(root->right, size);
    }

    /* Симметричный обход */
    void inOrder(TreeNode *root, int *size) {
        if (root == NULL)
            return;
        // Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
        inOrder(root->left, size);
        arr[(*size)++] = root->val;
        inOrder(root->right, size);
    }

    /* Обратный обход */
    void postOrder(TreeNode *root, int *size) {
        if (root == NULL)
            return;
        // Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
        postOrder(root->left, size);
        postOrder(root->right, size);
        arr[(*size)++] = root->val;
    }

binary_tree_dfs.kt

    /* Предварительный обход */
    fun preOrder(root: TreeNode?) {
        if (root == null) return
        // Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
        list.add(root._val)
        preOrder(root.left)
        preOrder(root.right)
    }

    /* Симметричный обход */
    fun inOrder(root: TreeNode?) {
        if (root == null) return
        // Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
        inOrder(root.left)
        list.add(root._val)
        inOrder(root.right)
    }

    /* Обратный обход */
    fun postOrder(root: TreeNode?) {
        if (root == null) return
        // Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
        postOrder(root.left)
        postOrder(root.right)
        list.add(root._val)
    }

binary_tree_dfs.rb

    ### Предварительный обход ###
    def pre_order(root)
      return if root.nil?

      # Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
      $res << root.val
      pre_order(root.left)
      pre_order(root.right)
    end

    ### Симметричный обход ###
    def in_order(root)
      return if root.nil?

      # Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
      in_order(root.left)
      $res << root.val
      in_order(root.right)
    end

    ### Обратный обход ###
    def post_order(root)
      return if root.nil?

      # Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
      post_order(root.left)
      post_order(root.right)
      $res << root.val
    end

Визуализация кода

Во весь экран >

Tip

Поиск в глубину можно реализовать и итеративно. Заинтересованные читатели могут изучить это самостоятельно.

На рисунке 7-11 показан рекурсивный процесс прямого обхода двоичного дерева. Его можно разделить на две противоположные части: «вход в рекурсию» и «возврат».

1. «Вход в рекурсию» означает запуск нового вызова функции. В этом процессе программа переходит к следующему узлу.
2. «Возврат» означает завершение вызова функции и возврат назад, то есть текущий узел уже полностью обработан.

<1><2><3><4><5><6><7><8><9><10><11>

Рисунок 7-11 Рекурсивный процесс прямого обхода

### 2. Анализ сложности

- Временная сложность равна \(O(n)\) : все узлы посещаются по одному разу, поэтому требуется \(O(n)\) времени.
- Пространственная сложность равна \(O(n)\) : в худшем случае, когда дерево вырождается в связный список, глубина рекурсии достигает \(n\) , и система тратит \(O(n)\) памяти на стек вызовов.

##### Оставляйте свои идеи, вопросы и предложения в комментариях