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# 13.2 全排列问题

全排列问题是回溯算法的一个典型应用。它的定义是在给定一个集合（如一个数组或字符串）的情况下，找出其中元素的所有可能的排列。

表 13-2 列举了几个示例数据，包括输入数组和对应的所有排列。

表 13-2 全排列示例

输入数组 | 所有排列
--- | ---
\([1]\) | \([1]\)
\([1, 2]\) | \([1, 2], [2, 1]\)
\([1, 2, 3]\) | \([1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]\)

## 13.2.1 无相等元素的情况

Question

输入一个整数数组，其中不包含重复元素，返回所有可能的排列。

从回溯算法的角度看，我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果。假设输入数组为 \([1, 2, 3]\) ，如果我们先选择 \(1\) ，再选择 \(3\) ，最后选择 \(2\) ，则获得排列 \([1, 3, 2]\) 。回退表示撤销一个选择，之后继续尝试其他选择。

从回溯代码的角度看，候选集合 `choices` 是输入数组中的所有元素，状态 `state` 是直至目前已被选择的元素。请注意，每个元素只允许被选择一次，因此 `state` 中的所有元素都应该是唯一的。

如图 13-5 所示，我们可以将搜索过程展开成一棵递归树，树中的每个节点代表当前状态 `state` 。从根节点开始，经过三轮选择后到达叶节点，每个叶节点都对应一个排列。

图 13-5 全排列的递归树

### 1. 重复选择剪枝

为了实现每个元素只被选择一次，我们考虑引入一个布尔型数组 `selected` ，其中 `selected[i]` 表示 `choices[i]` 是否已被选择，并基于它实现以下剪枝操作。

- 在做出选择 `choices[i]` 后，我们就将 `selected[i]` 赋值为 \(\text{True}\) ，代表它已被选择。
- 遍历选择列表 `choices` 时，跳过所有已被选择的节点，即剪枝。

如图 13-6 所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1 和元素 3 的分支。

图 13-6 全排列剪枝示例

观察图 13-6 发现，该剪枝操作将搜索空间大小从 \(O(n^n)\) 减小至 \(O(n!)\) 。

### 2. 代码实现

想清楚以上信息之后，我们就可以在框架代码中做“完形填空”了。为了缩短整体代码，我们不单独实现框架代码中的各个函数，而是将它们展开在 `backtrack()` 函数中：

Python C++Java C#Go Swift JS TS Dart Rust C Kotlin Ruby
permutations_i.py

    def backtrack(
        state: list[int], choices: list[int], selected: list[bool], res: list[list[int]]
    ):
        """回溯算法：全排列 I"""
        # 当状态长度等于元素数量时，记录解
        if len(state) == len(choices):
            res.append(list(state))
            return
        # 遍历所有选择
        for i, choice in enumerate(choices):
            # 剪枝：不允许重复选择元素
            if not selected[i]:
                # 尝试：做出选择，更新状态
                selected[i] = True
                state.append(choice)
                # 进行下一轮选择
                backtrack(state, choices, selected, res)
                # 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
                selected[i] = False
                state.pop()

    def permutations_i(nums: list[int]) -> list[list[int]]:
        """全排列 I"""
        res = []
        backtrack(state=[], choices=nums, selected=[False] * len(nums), res=res)
        return res

permutations_i.cpp

    /* 回溯算法：全排列 I */
    void backtrack(vector<int> &state, const vector<int> &choices, vector<bool> &selected, vector<vector<int>> &res) {
        // 当状态长度等于元素数量时，记录解
        if (state.size() == choices.size()) {
            res.push_back(state);
            return;
        }
        // 遍历所有选择
        for (int i = 0; i < choices.size(); i++) {
            int choice = choices[i];
            // 剪枝：不允许重复选择元素
            if (!selected[i]) {
                // 尝试：做出选择，更新状态
                selected[i] = true;
                state.push_back(choice);
                // 进行下一轮选择
                backtrack(state, choices, selected, res);
                // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
                selected[i] = false;
                state.pop_back();
            }
        }
    }

    /* 全排列 I */
    vector<vector<int>> permutationsI(vector<int> nums) {
        vector<int> state;
        vector<bool> selected(nums.size(), false);
        vector<vector<int>> res;
        backtrack(state, nums, selected, res);
        return res;
    }

permutations_i.java

    /* 回溯算法：全排列 I */
    void backtrack(List<Integer> state, int[] choices, boolean[] selected, List<List<Integer>> res) {
        // 当状态长度等于元素数量时，记录解
        if (state.size() == choices.length) {
            res.add(new ArrayList<Integer>(state));
            return;
        }
        // 遍历所有选择
        for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
            int choice = choices[i];
            // 剪枝：不允许重复选择元素
            if (!selected[i]) {
                // 尝试：做出选择，更新状态
                selected[i] = true;
                state.add(choice);
                // 进行下一轮选择
                backtrack(state, choices, selected, res);
                // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
                selected[i] = false;
                state.remove(state.size() - 1);
            }
        }
    }

    /* 全排列 I */
    List<List<Integer>> permutationsI(int[] nums) {
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<List<Integer>>();
        backtrack(new ArrayList<Integer>(), nums, new boolean[nums.length], res);
        return res;
    }

permutations_i.cs

    /* 回溯算法：全排列 I */
    void Backtrack(List<int> state, int[] choices, bool[] selected, List<List<int>> res) {
        // 当状态长度等于元素数量时，记录解
        if (state.Count == choices.Length) {
            res.Add(new List<int>(state));
            return;
        }
        // 遍历所有选择
        for (int i = 0; i < choices.Length; i++) {
            int choice = choices[i];
            // 剪枝：不允许重复选择元素
            if (!selected[i]) {
                // 尝试：做出选择，更新状态
                selected[i] = true;
                state.Add(choice);
                // 进行下一轮选择
                Backtrack(state, choices, selected, res);
                // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
                selected[i] = false;
                state.RemoveAt(state.Count - 1);
            }
        }
    }

    /* 全排列 I */
    List<List<int>> PermutationsI(int[] nums) {
        List<List<int>> res = [];
        Backtrack([], nums, new bool[nums.Length], res);
        return res;
    }

permutations_i.go

    /* 回溯算法：全排列 I */
    func backtrackI(state *[]int, choices *[]int, selected *[]bool, res *[][]int) {
        // 当状态长度等于元素数量时，记录解
        if len(*state) == len(*choices) {
            newState := append([]int{}, *state...)
            *res = append(*res, newState)
        }
        // 遍历所有选择
        for i := 0; i < len(*choices); i++ {
            choice := (*choices)[i]
            // 剪枝：不允许重复选择元素
            if !(*selected)[i] {
                // 尝试：做出选择，更新状态
                (*selected)[i] = true
                *state = append(*state, choice)
                // 进行下一轮选择
                backtrackI(state, choices, selected, res)
                // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
                (*selected)[i] = false
                *state = (*state)[:len(*state)-1]
            }
        }
    }

    /* 全排列 I */
    func permutationsI(nums []int) [][]int {
        res := make([][]int, 0)
        state := make([]int, 0)
        selected := make([]bool, len(nums))
        backtrackI(&state, &nums, &selected, &res)
        return res
    }

permutations_i.swift

    /* 回溯算法：全排列 I */
    func backtrack(state: inout [Int], choices: [Int], selected: inout [Bool], res: inout [[Int]]) {
        // 当状态长度等于元素数量时，记录解
        if state.count == choices.count {
            res.append(state)
            return
        }
        // 遍历所有选择
        for (i, choice) in choices.enumerated() {
            // 剪枝：不允许重复选择元素
            if !selected[i] {
                // 尝试：做出选择，更新状态
                selected[i] = true
                state.append(choice)
                // 进行下一轮选择
                backtrack(state: &state, choices: choices, selected: &selected, res: &res)
                // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
                selected[i] = false
                state.removeLast()
            }
        }
    }

    /* 全排列 I */
    func permutationsI(nums: [Int]) -> [[Int]] {
        var state: [Int] = []
        var selected = Array(repeating: false, count: nums.count)
        var res: [[Int]] = []
        backtrack(state: &state, choices: nums, selected: &selected, res: &res)
        return res
    }

permutations_i.js

    /* 回溯算法：全排列 I */
    function backtrack(state, choices, selected, res) {
        // 当状态长度等于元素数量时，记录解
        if (state.length === choices.length) {
            res.push([...state]);
            return;
        }
        // 遍历所有选择
        choices.forEach((choice, i) => {
            // 剪枝：不允许重复选择元素
            if (!selected[i]) {
                // 尝试：做出选择，更新状态
                selected[i] = true;
                state.push(choice);
                // 进行下一轮选择
                backtrack(state, choices, selected, res);
                // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
                selected[i] = false;
                state.pop();
            }
        });
    }

    /* 全排列 I */
    function permutationsI(nums) {
        const res = [];
        backtrack([], nums, Array(nums.length).fill(false), res);
        return res;
    }

permutations_i.ts

    /* 回溯算法：全排列 I */
    function backtrack(
        state: number[],
        choices: number[],
        selected: boolean[],
        res: number[][]
    ): void {
        // 当状态长度等于元素数量时，记录解
        if (state.length === choices.length) {
            res.push([...state]);
            return;
        }
        // 遍历所有选择
        choices.forEach((choice, i) => {
            // 剪枝：不允许重复选择元素
            if (!selected[i]) {
                // 尝试：做出选择，更新状态
                selected[i] = true;
                state.push(choice);
                // 进行下一轮选择
                backtrack(state, choices, selected, res);
                // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
                selected[i] = false;
                state.pop();
            }
        });
    }

    /* 全排列 I */
    function permutationsI(nums: number[]): number[][] {
        const res: number[][] = [];
        backtrack([], nums, Array(nums.length).fill(false), res);
        return res;
    }

permutations_i.dart

    /* 回溯算法：全排列 I */
    void backtrack(
      List<int> state,
      List<int> choices,
      List<bool> selected,
      List<List<int>> res,
    ) {
      // 当状态长度等于元素数量时，记录解
      if (state.length == choices.length) {
        res.add(List.from(state));
        return;
      }
      // 遍历所有选择
      for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
        int choice = choices[i];
        // 剪枝：不允许重复选择元素
        if (!selected[i]) {
          // 尝试：做出选择，更新状态
          selected[i] = true;
          state.add(choice);
          // 进行下一轮选择
          backtrack(state, choices, selected, res);
          // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
          selected[i] = false;
          state.removeLast();
        }
      }
    }

    /* 全排列 I */
    List<List<int>> permutationsI(List<int> nums) {
      List<List<int>> res = [];
      backtrack([], nums, List.filled(nums.length, false), res);
      return res;
    }

permutations_i.rs

    /* 回溯算法：全排列 I */
    fn backtrack(mut state: Vec<i32>, choices: &[i32], selected: &mut [bool], res: &mut Vec<Vec<i32>>) {
        // 当状态长度等于元素数量时，记录解
        if state.len() == choices.len() {
            res.push(state);
            return;
        }
        // 遍历所有选择
        for i in 0..choices.len() {
            let choice = choices[i];
            // 剪枝：不允许重复选择元素
            if !selected[i] {
                // 尝试：做出选择，更新状态
                selected[i] = true;
                state.push(choice);
                // 进行下一轮选择
                backtrack(state.clone(), choices, selected, res);
                // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
                selected[i] = false;
                state.pop();
            }
        }
    }

    /* 全排列 I */
    fn permutations_i(nums: &mut [i32]) -> Vec<Vec<i32>> {
        let mut res = Vec::new(); // 状态（子集）
        backtrack(Vec::new(), nums, &mut vec![false; nums.len()], &mut res);
        res
    }

permutations_i.c

    /* 回溯算法：全排列 I */
    void backtrack(int *state, int stateSize, int *choices, int choicesSize, bool *selected, int **res, int *resSize) {
        // 当状态长度等于元素数量时，记录解
        if (stateSize == choicesSize) {
            res[*resSize] = (int *)malloc(choicesSize * sizeof(int));
            for (int i = 0; i < choicesSize; i++) {
                res[*resSize][i] = state[i];
            }
            (*resSize)++;
            return;
        }
        // 遍历所有选择
        for (int i = 0; i < choicesSize; i++) {
            int choice = choices[i];
            // 剪枝：不允许重复选择元素
            if (!selected[i]) {
                // 尝试：做出选择，更新状态
                selected[i] = true;
                state[stateSize] = choice;
                // 进行下一轮选择
                backtrack(state, stateSize + 1, choices, choicesSize, selected, res, resSize);
                // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
                selected[i] = false;
            }
        }
    }

    /* 全排列 I */
    int **permutationsI(int *nums, int numsSize, int *returnSize) {
        int *state = (int *)malloc(numsSize * sizeof(int));
        bool *selected = (bool *)malloc(numsSize * sizeof(bool));
        for (int i = 0; i < numsSize; i++) {
            selected[i] = false;
        }
        int **res = (int **)malloc(MAX_SIZE * sizeof(int *));
        *returnSize = 0;

        backtrack(state, 0, nums, numsSize, selected, res, returnSize);

        free(state);
        free(selected);

        return res;
    }

permutations_i.kt

    /* 回溯算法：全排列 I */
    fun backtrack(
        state: MutableList<Int>,
        choices: IntArray,
        selected: BooleanArray,
        res: MutableList<MutableList<Int>?>
    ) {
        // 当状态长度等于元素数量时，记录解
        if (state.size == choices.size) {
            res.add(state.toMutableList())
            return
        }
        // 遍历所有选择
        for (i in choices.indices) {
            val choice = choices[i]
            // 剪枝：不允许重复选择元素
            if (!selected[i]) {
                // 尝试：做出选择，更新状态
                selected[i] = true
                state.add(choice)
                // 进行下一轮选择
                backtrack(state, choices, selected, res)
                // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
                selected[i] = false
                state.removeAt(state.size - 1)
            }
        }
    }

    /* 全排列 I */
    fun permutationsI(nums: IntArray): MutableList<MutableList<Int>?> {
        val res = mutableListOf<MutableList<Int>?>()
        backtrack(mutableListOf(), nums, BooleanArray(nums.size), res)
        return res
    }

permutations_i.rb

    ### 回溯算法：全排列 I ###
    def backtrack(state, choices, selected, res)
      # 当状态长度等于元素数量时，记录解
      if state.length == choices.length
        res << state.dup
        return
      end

      # 遍历所有选择
      choices.each_with_index do |choice, i|
        # 剪枝：不允许重复选择元素
        unless selected[i]
          # 尝试：做出选择，更新状态
          selected[i] = true
          state << choice
          # 进行下一轮选择
          backtrack(state, choices, selected, res)
          # 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
          selected[i] = false
          state.pop
        end
      end
    end

    ### 全排列 I ###
    def permutations_i(nums)
      res = []
      backtrack([], nums, Array.new(nums.length, false), res)
      res
    end

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## 13.2.2 考虑相等元素的情况

Question

输入一个整数数组，数组中可能包含重复元素，返回所有不重复的排列。

假设输入数组为 \([1, 1, 2]\) 。为了方便区分两个重复元素 \(1\) ，我们将第二个 \(1\) 记为 \(\hat{1}\) 。

如图 13-7 所示，上述方法生成的排列有一半是重复的。

图 13-7 重复排列

那么如何去除重复的排列呢？最直接地，考虑借助一个哈希集合，直接对排列结果进行去重。然而这样做不够优雅，因为生成重复排列的搜索分支没有必要，应当提前识别并剪枝，这样可以进一步提升算法效率。

### 1. 相等元素剪枝

观察图 13-8 ，在第一轮中，选择 \(1\) 或选择 \(\hat{1}\) 是等价的，在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此应该把 \(\hat{1}\) 剪枝。

同理，在第一轮选择 \(2\) 之后，第二轮选择中的 \(1\) 和 \(\hat{1}\) 也会产生重复分支，因此也应将第二轮的 \(\hat{1}\) 剪枝。

从本质上看，我们的目标是在某一轮选择中，保证多个相等的元素仅被选择一次。

图 13-8 重复排列剪枝

### 2. 代码实现

在上一题的代码的基础上，我们考虑在每一轮选择中开启一个哈希集合 `duplicated` ，用于记录该轮中已经尝试过的元素，并将重复元素剪枝：

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permutations_ii.py

    def backtrack(
        state: list[int], choices: list[int], selected: list[bool], res: list[list[int]]
    ):
        """回溯算法：全排列 II"""
        # 当状态长度等于元素数量时，记录解
        if len(state) == len(choices):
            res.append(list(state))
            return
        # 遍历所有选择
        duplicated = set[int]()
        for i, choice in enumerate(choices):
            # 剪枝：不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
            if not selected[i] and choice not in duplicated:
                # 尝试：做出选择，更新状态
                duplicated.add(choice)  # 记录选择过的元素值
                selected[i] = True
                state.append(choice)
                # 进行下一轮选择
                backtrack(state, choices, selected, res)
                # 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
                selected[i] = False
                state.pop()

    def permutations_ii(nums: list[int]) -> list[list[int]]:
        """全排列 II"""
        res = []
        backtrack(state=[], choices=nums, selected=[False] * len(nums), res=res)
        return res

permutations_ii.cpp

    /* 回溯算法：全排列 II */
    void backtrack(vector<int> &state, const vector<int> &choices, vector<bool> &selected, vector<vector<int>> &res) {
        // 当状态长度等于元素数量时，记录解
        if (state.size() == choices.size()) {
            res.push_back(state);
            return;
        }
        // 遍历所有选择
        unordered_set<int> duplicated;
        for (int i = 0; i < choices.size(); i++) {
            int choice = choices[i];
            // 剪枝：不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
            if (!selected[i] && duplicated.find(choice) == duplicated.end()) {
                // 尝试：做出选择，更新状态
                duplicated.emplace(choice); // 记录选择过的元素值
                selected[i] = true;
                state.push_back(choice);
                // 进行下一轮选择
                backtrack(state, choices, selected, res);
                // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
                selected[i] = false;
                state.pop_back();
            }
        }
    }

    /* 全排列 II */
    vector<vector<int>> permutationsII(vector<int> nums) {
        vector<int> state;
        vector<bool> selected(nums.size(), false);
        vector<vector<int>> res;
        backtrack(state, nums, selected, res);
        return res;
    }

permutations_ii.java

    /* 回溯算法：全排列 II */
    void backtrack(List<Integer> state, int[] choices, boolean[] selected, List<List<Integer>> res) {
        // 当状态长度等于元素数量时，记录解
        if (state.size() == choices.length) {
            res.add(new ArrayList<Integer>(state));
            return;
        }
        // 遍历所有选择
        Set<Integer> duplicated = new HashSet<Integer>();
        for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
            int choice = choices[i];
            // 剪枝：不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
            if (!selected[i] && !duplicated.contains(choice)) {
                // 尝试：做出选择，更新状态
                duplicated.add(choice); // 记录选择过的元素值
                selected[i] = true;
                state.add(choice);
                // 进行下一轮选择
                backtrack(state, choices, selected, res);
                // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
                selected[i] = false;
                state.remove(state.size() - 1);
            }
        }
    }

    /* 全排列 II */
    List<List<Integer>> permutationsII(int[] nums) {
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<List<Integer>>();
        backtrack(new ArrayList<Integer>(), nums, new boolean[nums.length], res);
        return res;
    }

permutations_ii.cs

    /* 回溯算法：全排列 II */
    void Backtrack(List<int> state, int[] choices, bool[] selected, List<List<int>> res) {
        // 当状态长度等于元素数量时，记录解
        if (state.Count == choices.Length) {
            res.Add(new List<int>(state));
            return;
        }
        // 遍历所有选择
        HashSet<int> duplicated = [];
        for (int i = 0; i < choices.Length; i++) {
            int choice = choices[i];
            // 剪枝：不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
            if (!selected[i] && !duplicated.Contains(choice)) {
                // 尝试：做出选择，更新状态
                duplicated.Add(choice); // 记录选择过的元素值
                selected[i] = true;
                state.Add(choice);
                // 进行下一轮选择
                Backtrack(state, choices, selected, res);
                // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
                selected[i] = false;
                state.RemoveAt(state.Count - 1);
            }
        }
    }

    /* 全排列 II */
    List<List<int>> PermutationsII(int[] nums) {
        List<List<int>> res = [];
        Backtrack([], nums, new bool[nums.Length], res);
        return res;
    }

permutations_ii.go

    /* 回溯算法：全排列 II */
    func backtrackII(state *[]int, choices *[]int, selected *[]bool, res *[][]int) {
        // 当状态长度等于元素数量时，记录解
        if len(*state) == len(*choices) {
            newState := append([]int{}, *state...)
            *res = append(*res, newState)
        }
        // 遍历所有选择
        duplicated := make(map[int]struct{}, 0)
        for i := 0; i < len(*choices); i++ {
            choice := (*choices)[i]
            // 剪枝：不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
            if _, ok := duplicated[choice]; !ok && !(*selected)[i] {
                // 尝试：做出选择，更新状态
                // 记录选择过的元素值
                duplicated[choice] = struct{}{}
                (*selected)[i] = true
                *state = append(*state, choice)
                // 进行下一轮选择
                backtrackII(state, choices, selected, res)
                // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
                (*selected)[i] = false
                *state = (*state)[:len(*state)-1]
            }
        }
    }

    /* 全排列 II */
    func permutationsII(nums []int) [][]int {
        res := make([][]int, 0)
        state := make([]int, 0)
        selected := make([]bool, len(nums))
        backtrackII(&state, &nums, &selected, &res)
        return res
    }

permutations_ii.swift

    /* 回溯算法：全排列 II */
    func backtrack(state: inout [Int], choices: [Int], selected: inout [Bool], res: inout [[Int]]) {
        // 当状态长度等于元素数量时，记录解
        if state.count == choices.count {
            res.append(state)
            return
        }
        // 遍历所有选择
        var duplicated: Set<Int> = []
        for (i, choice) in choices.enumerated() {
            // 剪枝：不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
            if !selected[i], !duplicated.contains(choice) {
                // 尝试：做出选择，更新状态
                duplicated.insert(choice) // 记录选择过的元素值
                selected[i] = true
                state.append(choice)
                // 进行下一轮选择
                backtrack(state: &state, choices: choices, selected: &selected, res: &res)
                // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
                selected[i] = false
                state.removeLast()
            }
        }
    }

    /* 全排列 II */
    func permutationsII(nums: [Int]) -> [[Int]] {
        var state: [Int] = []
        var selected = Array(repeating: false, count: nums.count)
        var res: [[Int]] = []
        backtrack(state: &state, choices: nums, selected: &selected, res: &res)
        return res
    }

permutations_ii.js

    /* 回溯算法：全排列 II */
    function backtrack(state, choices, selected, res) {
        // 当状态长度等于元素数量时，记录解
        if (state.length === choices.length) {
            res.push([...state]);
            return;
        }
        // 遍历所有选择
        const duplicated = new Set();
        choices.forEach((choice, i) => {
            // 剪枝：不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
            if (!selected[i] && !duplicated.has(choice)) {
                // 尝试：做出选择，更新状态
                duplicated.add(choice); // 记录选择过的元素值
                selected[i] = true;
                state.push(choice);
                // 进行下一轮选择
                backtrack(state, choices, selected, res);
                // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
                selected[i] = false;
                state.pop();
            }
        });
    }

    /* 全排列 II */
    function permutationsII(nums) {
        const res = [];
        backtrack([], nums, Array(nums.length).fill(false), res);
        return res;
    }

permutations_ii.ts

    /* 回溯算法：全排列 II */
    function backtrack(
        state: number[],
        choices: number[],
        selected: boolean[],
        res: number[][]
    ): void {
        // 当状态长度等于元素数量时，记录解
        if (state.length === choices.length) {
            res.push([...state]);
            return;
        }
        // 遍历所有选择
        const duplicated = new Set();
        choices.forEach((choice, i) => {
            // 剪枝：不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
            if (!selected[i] && !duplicated.has(choice)) {
                // 尝试：做出选择，更新状态
                duplicated.add(choice); // 记录选择过的元素值
                selected[i] = true;
                state.push(choice);
                // 进行下一轮选择
                backtrack(state, choices, selected, res);
                // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
                selected[i] = false;
                state.pop();
            }
        });
    }

    /* 全排列 II */
    function permutationsII(nums: number[]): number[][] {
        const res: number[][] = [];
        backtrack([], nums, Array(nums.length).fill(false), res);
        return res;
    }

permutations_ii.dart

    /* 回溯算法：全排列 II */
    void backtrack(
      List<int> state,
      List<int> choices,
      List<bool> selected,
      List<List<int>> res,
    ) {
      // 当状态长度等于元素数量时，记录解
      if (state.length == choices.length) {
        res.add(List.from(state));
        return;
      }
      // 遍历所有选择
      Set<int> duplicated = {};
      for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
        int choice = choices[i];
        // 剪枝：不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
        if (!selected[i] && !duplicated.contains(choice)) {
          // 尝试：做出选择，更新状态
          duplicated.add(choice); // 记录选择过的元素值
          selected[i] = true;
          state.add(choice);
          // 进行下一轮选择
          backtrack(state, choices, selected, res);
          // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
          selected[i] = false;
          state.removeLast();
        }
      }
    }

    /* 全排列 II */
    List<List<int>> permutationsII(List<int> nums) {
      List<List<int>> res = [];
      backtrack([], nums, List.filled(nums.length, false), res);
      return res;
    }

permutations_ii.rs

    /* 回溯算法：全排列 II */
    fn backtrack(mut state: Vec<i32>, choices: &[i32], selected: &mut [bool], res: &mut Vec<Vec<i32>>) {
        // 当状态长度等于元素数量时，记录解
        if state.len() == choices.len() {
            res.push(state);
            return;
        }
        // 遍历所有选择
        let mut duplicated = HashSet::<i32>::new();
        for i in 0..choices.len() {
            let choice = choices[i];
            // 剪枝：不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
            if !selected[i] && !duplicated.contains(&choice) {
                // 尝试：做出选择，更新状态
                duplicated.insert(choice); // 记录选择过的元素值
                selected[i] = true;
                state.push(choice);
                // 进行下一轮选择
                backtrack(state.clone(), choices, selected, res);
                // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
                selected[i] = false;
                state.pop();
            }
        }
    }

    /* 全排列 II */
    fn permutations_ii(nums: &mut [i32]) -> Vec<Vec<i32>> {
        let mut res = Vec::new();
        backtrack(Vec::new(), nums, &mut vec![false; nums.len()], &mut res);
        res
    }

permutations_ii.c

    /* 回溯算法：全排列 II */
    void backtrack(int *state, int stateSize, int *choices, int choicesSize, bool *selected, int **res, int *resSize) {
        // 当状态长度等于元素数量时，记录解
        if (stateSize == choicesSize) {
            res[*resSize] = (int *)malloc(choicesSize * sizeof(int));
            for (int i = 0; i < choicesSize; i++) {
                res[*resSize][i] = state[i];
            }
            (*resSize)++;
            return;
        }
        // 遍历所有选择
        bool duplicated[MAX_SIZE] = {false};
        for (int i = 0; i < choicesSize; i++) {
            int choice = choices[i];
            // 剪枝：不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
            if (!selected[i] && !duplicated[choice]) {
                // 尝试：做出选择，更新状态
                duplicated[choice] = true; // 记录选择过的元素值
                selected[i] = true;
                state[stateSize] = choice;
                // 进行下一轮选择
                backtrack(state, stateSize + 1, choices, choicesSize, selected, res, resSize);
                // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
                selected[i] = false;
            }
        }
    }

    /* 全排列 II */
    int **permutationsII(int *nums, int numsSize, int *returnSize) {
        int *state = (int *)malloc(numsSize * sizeof(int));
        bool *selected = (bool *)malloc(numsSize * sizeof(bool));
        for (int i = 0; i < numsSize; i++) {
            selected[i] = false;
        }
        int **res = (int **)malloc(MAX_SIZE * sizeof(int *));
        *returnSize = 0;

        backtrack(state, 0, nums, numsSize, selected, res, returnSize);

        free(state);
        free(selected);

        return res;
    }

permutations_ii.kt

    /* 回溯算法：全排列 II */
    fun backtrack(
        state: MutableList<Int>,
        choices: IntArray,
        selected: BooleanArray,
        res: MutableList<MutableList<Int>?>
    ) {
        // 当状态长度等于元素数量时，记录解
        if (state.size == choices.size) {
            res.add(state.toMutableList())
            return
        }
        // 遍历所有选择
        val duplicated = HashSet<Int>()
        for (i in choices.indices) {
            val choice = choices[i]
            // 剪枝：不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
            if (!selected[i] && !duplicated.contains(choice)) {
                // 尝试：做出选择，更新状态
                duplicated.add(choice) // 记录选择过的元素值
                selected[i] = true
                state.add(choice)
                // 进行下一轮选择
                backtrack(state, choices, selected, res)
                // 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
                selected[i] = false
                state.removeAt(state.size - 1)
            }
        }
    }

    /* 全排列 II */
    fun permutationsII(nums: IntArray): MutableList<MutableList<Int>?> {
        val res = mutableListOf<MutableList<Int>?>()
        backtrack(mutableListOf(), nums, BooleanArray(nums.size), res)
        return res
    }

permutations_ii.rb

    ### 回溯算法：全排列 II ###
    def backtrack(state, choices, selected, res)
      # 当状态长度等于元素数量时，记录解
      if state.length == choices.length
        res << state.dup
        return
      end

      # 遍历所有选择
      duplicated = Set.new
      choices.each_with_index do |choice, i|
        # 剪枝：不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
        if !selected[i] && !duplicated.include?(choice)
          # 尝试：做出选择，更新状态
          duplicated.add(choice)
          selected[i] = true
          state << choice
          # 进行下一轮选择
          backtrack(state, choices, selected, res)
          # 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
          selected[i] = false
          state.pop
        end
      end
    end

    ### 全排列 II ###
    def permutations_ii(nums)
      res = []
      backtrack([], nums, Array.new(nums.length, false), res)
      res
    end

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假设元素两两之间互不相同，则 \(n\) 个元素共有 \(n!\) 种排列（阶乘）；在记录结果时，需要复制长度为 \(n\) 的列表，使用 \(O(n)\) 时间。因此时间复杂度为 \(O(n!n)\) 。

最大递归深度为 \(n\) ，使用 \(O(n)\) 栈帧空间。`selected` 使用 \(O(n)\) 空间。同一时刻最多共有 \(n\) 个 `duplicated` ，使用 \(O(n^2)\) 空间。因此空间复杂度为 \(O(n^2)\) 。

### 3. 两种剪枝对比

请注意，虽然 `selected` 和 `duplicated` 都用于剪枝，但两者的目标不同。

- 重复选择剪枝：整个搜索过程中只有一个 `selected` 。它记录的是当前状态中包含哪些元素，其作用是避免某个元素在 `state` 中重复出现。
- 相等元素剪枝：每轮选择（每个调用的 `backtrack` 函数）都包含一个 `duplicated` 。它记录的是在本轮遍历（`for` 循环）中哪些元素已被选择过，其作用是保证相等元素只被选择一次。

图 13-9 展示了两个剪枝条件的生效范围。注意，树中的每个节点代表一个选择，从根节点到叶节点的路径上的各个节点构成一个排列。

图 13-9 两种剪枝条件的作用范围

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