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# 12.2   分割統治検索戦略

私たちは検索アルゴリズムが主に2つのカテゴリに分類されることを学びました。

- **総当たり検索**：データ構造を走査することで実装され、時間計算量は $O(n)$ です。
- **適応検索**：独特なデータ組織形式や事前情報を利用し、時間計算量は $O(\log n)$ または $O(1)$ に達することができます。

実際、**時間計算量が $O(\log n)$ の検索アルゴリズムは通常分割統治戦略に基づいています**。例えば、二分探索や木などです。

- 二分探索の各ステップは、問題（配列内でターゲット要素を検索する）をより小さな問題（配列の半分でターゲット要素を検索する）に分割し、配列が空になるかターゲット要素が見つかるまで続けます。
- 木は分割統治のアイデアを表現し、二分探索木、AVL木、ヒープなどのデータ構造では、様々な操作の時間計算量は $O(\log n)$ です。

二分探索の分割統治戦略は以下の通りです。

- **問題を分割できる**：二分探索は元の問題（配列内での検索）を部分問題（配列の半分での検索）に再帰的に分割し、中間要素とターゲット要素を比較することで実現されます。
- **部分問題は独立している**：二分探索では、各ラウンドで一つの部分問題を処理し、他の部分問題に影響されません。
- **部分問題の解をマージする必要がない**：二分探索は特定の要素を見つけることを目的としているため、部分問題の解をマージする必要がありません。部分問題が解決されると、元の問題も解決されます。

分割統治は検索効率を向上させることができます。なぜなら、総当たり検索はラウンドごとに1つの選択肢しか除去できませんが、**分割統治は選択肢の半分を除去できるからです**。

### 1.   分割統治に基づく二分探索の実装

前の章では、二分探索は反復に基づいて実装されました。今度は、分割統治（再帰）に基づいて実装します。

!!! question

    長さ $n$ の順序付けられた配列 `nums` が与えられ、すべての要素が一意である場合、要素 `target` を見つけてください。

分割統治の観点から、検索区間 $[i, j]$ に対応する部分問題を $f(i, j)$ と表します。

元の問題 $f(0, n-1)$ から開始して、以下のステップで二分探索を実行します。

1. 検索区間 $[i, j]$ の中点 $m$ を計算し、それを使用して検索区間の半分を除去します。
2. 半分のサイズに縮小された部分問題を再帰的に解決します。これは $f(i, m-1)$ または $f(m+1, j)$ になる可能性があります。
3. `target` が見つかるか区間が空になってリターンするまで、ステップ `1.` と `2.` を繰り返します。

以下の図は、配列内で要素 $6$ を探す二分探索の分割統治過程を示しています。

![二分探索の分割統治過程](binary_search_recur.assets/binary_search_recur.png){ class="animation-figure" }

<p align="center"> 図 12-4 &nbsp; 二分探索の分割統治過程 </p>

実装コードでは、問題 $f(i, j)$ を解決するために再帰関数 `dfs()` を宣言します：

=== "Python"

    ```python title="binary_search_recur.py"
    def dfs(nums: list[int], target: int, i: int, j: int) -> int:
        """二分探索：問題 f(i, j)"""
        # 区間が空の場合、対象要素がないことを示すため、-1 を返す
        if i > j:
            return -1
        # 中点インデックス m を計算
        m = (i + j) // 2
        if nums[m] < target:
            # 再帰部分問題 f(m+1, j)
            return dfs(nums, target, m + 1, j)
        elif nums[m] > target:
            # 再帰部分問題 f(i, m-1)
            return dfs(nums, target, i, m - 1)
        else:
            # 対象要素を発見したため、そのインデックスを返す
            return m

    def binary_search(nums: list[int], target: int) -> int:
        """二分探索"""
        n = len(nums)
        # 問題 f(0, n-1) を解く
        return dfs(nums, target, 0, n - 1)
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="binary_search_recur.cpp"
    /* 二分探索：問題 f(i, j) */
    int dfs(vector<int> &nums, int target, int i, int j) {
        // 区間が空の場合、対象要素が存在しないことを示すため、-1 を返す
        if (i > j) {
            return -1;
        }
        // 中点インデックス m を計算
        int m = i + (j - i) / 2;
        if (nums[m] < target) {
            // 再帰的な部分問題 f(m+1, j)
            return dfs(nums, target, m + 1, j);
        } else if (nums[m] > target) {
            // 再帰的な部分問題 f(i, m-1)
            return dfs(nums, target, i, m - 1);
        } else {
            // 対象要素が見つかったため、そのインデックスを返す
            return m;
        }
    }

    /* 二分探索 */
    int binarySearch(vector<int> &nums, int target) {
        int n = nums.size();
        // 問題 f(0, n-1) を解く
        return dfs(nums, target, 0, n - 1);
    }
    ```

=== "Java"

    ```java title="binary_search_recur.java"
    /* 二分探索：問題 f(i, j) */
    int dfs(int[] nums, int target, int i, int j) {
        // 区間が空の場合、対象要素が存在しないことを示すため、-1 を返す
        if (i > j) {
            return -1;
        }
        // 中点インデックス m を計算
        int m = i + (j - i) / 2;
        if (nums[m] < target) {
            // 再帰的な部分問題 f(m+1, j)
            return dfs(nums, target, m + 1, j);
        } else if (nums[m] > target) {
            // 再帰的な部分問題 f(i, m-1)
            return dfs(nums, target, i, m - 1);
        } else {
            // 対象要素が見つかったため、そのインデックスを返す
            return m;
        }
    }

    /* 二分探索 */
    int binarySearch(int[] nums, int target) {
        int n = nums.length;
        // 問題 f(0, n-1) を解く
        return dfs(nums, target, 0, n - 1);
    }
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="binary_search_recur.cs"
    [class]{binary_search_recur}-[func]{DFS}

    [class]{binary_search_recur}-[func]{BinarySearch}
    ```

=== "Go"

    ```go title="binary_search_recur.go"
    [class]{}-[func]{dfs}

    [class]{}-[func]{binarySearch}
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="binary_search_recur.swift"
    [class]{}-[func]{dfs}

    [class]{}-[func]{binarySearch}
    ```

=== "JS"

    ```javascript title="binary_search_recur.js"
    [class]{}-[func]{dfs}

    [class]{}-[func]{binarySearch}
    ```

=== "TS"

    ```typescript title="binary_search_recur.ts"
    [class]{}-[func]{dfs}

    [class]{}-[func]{binarySearch}
    ```

=== "Dart"

    ```dart title="binary_search_recur.dart"
    [class]{}-[func]{dfs}

    [class]{}-[func]{binarySearch}
    ```

=== "Rust"

    ```rust title="binary_search_recur.rs"
    [class]{}-[func]{dfs}

    [class]{}-[func]{binary_search}
    ```

=== "C"

    ```c title="binary_search_recur.c"
    [class]{}-[func]{dfs}

    [class]{}-[func]{binarySearch}
    ```

=== "Kotlin"

    ```kotlin title="binary_search_recur.kt"
    [class]{}-[func]{dfs}

    [class]{}-[func]{binarySearch}
    ```

=== "Ruby"

    ```ruby title="binary_search_recur.rb"
    [class]{}-[func]{dfs}

    [class]{}-[func]{binary_search}
    ```