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# 练习

## 知识巩固

### 哪些任务适合分治

一位同学想用“先分成两半，分别解决，再合并结果”的方法完成以下任务。
请分别判断它们是“适合分治”“可以分治，但不会减少总工作量”还是“两半不能独立解决”，并说明理由。

<!-- numbered-subquestions -->

1. 将一个无序数组排序；
2. 求一个数组中的最大值；
3. 按顺序执行一串 `push(x)`、`pop()` 栈操作，并输出每次 `pop()` 得到的元素。

??? success "参考答案"

    1. 适合：对半分解、两半独立排序、$O(n)$ 合并——这正是归并排序。
    2. 可以分治，但不会减少总工作量：左右两半仍需合计检查全部 $n$ 个元素，
        和直接扫描一样都是 $O(n)$ 时间。
    3. 两半不能独立解决：后半段开始时的栈内容取决于前半段执行结果，
        两半不能在互不知道结果时独立完成。

### 快速幂是怎样减少计算的

下面的递归函数用分治计算 $x^n$：

```python
def fast_pow(x, n):
    if n == 0:
        return 1
    half = fast_pow(x, n // 2)
    if n % 2 == 0:
        return half * half
    return half * half * x
```

用它计算 `fast_pow(3, 5)`：

<!-- numbered-subquestions -->

1. 递归调用时，参数 `n` 依次变成哪些值？
2. 从最深层开始返回时，各层依次返回什么值？
3. 为什么要先保存 `half`，而不是把 `fast_pow(x, n // 2)` 写两遍？

??? success "参考答案"

    1. 参数依次为 `5 → 2 → 1 → 0`，每次都把指数减半，直到到达终止条件。

    2. `n = 0` 时返回 1；`n = 1` 时返回 $1×1×3=3$；
        `n = 2` 时返回 $3×3=9$；`n = 5` 时返回 $9×9×3=243$。

    3. 如果把 `fast_pow(x, n // 2)` 在乘法两边各写一次，两次递归会计算完全相同的子问题。
        先把结果保存为 `half`，每层就只递归一次，递归深度约为 $\log n$；
        调用两次会造成大量重复计算。

### 从遍历序列拆分左右子树

一棵没有重复节点的二叉树，其前序遍历和中序遍历分别为：

- 前序遍历：`[A, B, D, E, C]`
- 中序遍历：`[D, B, E, A, C]`

只完成根节点这一层的拆分，不必继续递归，也不必画出整棵树：

<!-- numbered-subquestions -->

1. 根节点是什么？
2. 左、右子树在中序遍历中分别对应哪一段？
3. 左、右子树在前序遍历中分别对应哪一段？根节点有哪些直接孩子？

??? success "参考答案"

    1. 前序遍历的第一个节点是根节点，因此根节点为 `A`。

    2. `A` 把中序遍历分成两部分：左子树为 `[D, B, E]`，右子树为 `[C]`。

    3. 左子树有 3 个节点，因此根节点 `A` 后面的 3 个前序元素属于左子树，
        即 `[B, D, E]`；剩余的 `[C]` 属于右子树。
        所以根节点的左孩子是 `B`，右孩子是 `C`。

## 编程练习

### 快速幂

给定实数 `x` 和整数 `n`，请计算 $x^n$，且不能调用语言内置的幂函数。
要求使用递归分治：每次把指数缩小一半，并复用已经算出的子问题结果。
本题规定 $x^0=1$，包括 `x = 0` 时；当 `n < 0` 时保证 `x != 0`，答案可转化为 $(1/x)^{-n}$。

??? tip "解题提示"

    1. n 等于 0 时答案是 1
    2. 算出 x 的 n // 2 次方后保存为 half，不要递归调用第二次
    3. 当 n < 0 时，先把 x 改为 1 / x，再把 n 改为 -n；使用 C++ 或 Java 时，可先把 n 转为 64 位整数，避免最小的 32 位整数取相反数时溢出

[LeetCode](https://leetcode.cn/problems/powx-n/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" } [题目解析](https://leetcode.cn/problems/powx-n/solutions/241471/50-powx-n-kuai-su-mi-qing-xi-tu-jie-by-jyd/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }

> **说明：** 链接中的题解使用迭代位运算，与本练习指定的递归分治方法不同；请根据本题的解题提示完成递归版本