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# 练习

## 知识巩固

### 二分查找怎样缩小搜索区间

在有序数组 `[2, 5, 8, 12, 16, 23, 38]` 中查找 16。
使用双闭区间 `[i, j]`，中点为
$m=i+(j-i)/2$（向下取整）。

请写出每轮的 `(i, j, m)`、中点元素，以及下一步如何缩小区间，
直到找到目标。

??? success "参考答案"

    每轮查找过程如下：

    | 轮次 | `(i, j, m)` | 中点元素 | 下一步 |
    | --- | --- | --- | --- |
    | 1 | `(0, 6, 3)` | 12 | `12 < 16`，令 `i = 4` |
    | 2 | `(4, 6, 5)` | 23 | `23 > 16`，令 `j = 4` |
    | 3 | `(4, 4, 4)` | 16 | 找到目标，返回索引 4 |

    数组有序，所以中点值小于目标时可以排除中点及其左侧；
    中点值大于目标时可以排除中点及其右侧。

### 重复元素的左右边界

在数组 `[1, 2, 2, 2, 4, 6]` 中查找数字 2。
一名同学用二分查找在索引 2 找到目标后立即返回，并说：
“索引 2 就是数字 2 的左边界。”

<!-- numbered-subquestions -->

1. 这名同学的说法是否正确？数字 2 的左、右边界分别是多少？请说明理由。
2. 查找左边界时，若中点元素等于目标，接下来应继续搜索哪一侧？
3. 查找右边界时又应继续搜索哪一侧？只需说明方向，无须写出完整的查找过程。

??? success "参考答案"

    1. 这名同学的说法不正确。找到一个 2 后立即返回，只能保证找到某一个 2，不能保证找到最左或最右的 2。
        本题的左边界为索引 1，右边界为索引 3。

    2. 查找左边界时，即使中点元素等于 2，也要继续搜索左侧，
        例如在双闭区间写法中令 `j = m - 1`。

    3. 查找右边界时，中点元素等于 2 后应继续搜索右侧，
        例如令 `i = m + 1`。

### 不同数据该选哪种搜索方法

请在“顺序查找、二分查找、哈希表”中，为下面三个场景选择合适的方法，并说明理由：

<!-- numbered-subquestions -->

1. 在 $10^7$ 个已经有序且不再变动的整数中反复查找，不额外建立其他数据结构；
2. 在频繁插入、删除的数据集中反复判断某个键是否存在，不要求保持有序，也不进行范围查找；
3. 在无序数组中只查找一次某个值。

??? success "参考答案"

    1. 二分查找：数据有序且静态，$O(\log n)$ 且无须额外空间。
    2. 哈希表：当哈希函数能把键较均匀地分散到各桶时，插入、删除和按键查找的平均时间复杂度都是 $O(1)$。
    3. 直接从头到尾遍历：只查找一次时，排序或建立哈希表都要先处理整个数组，
        并不会减少这一次任务的总工作量。

        选择取决于数据是否有序、是否允许建立额外结构、查询次数以及需要执行哪些操作。

## 编程练习

### 有序数组的二分查找

给定一个按严格递增顺序排列的整数数组 `nums` 和目标值 `target`。请使用二分查找找到 `target`：若存在，返回它的数组索引；若不存在，返回 -1。

??? tip "解题提示"

    1. 初始区间是 left = 0、right = n - 1，非空条件是 left <= right
    2. 用 mid = left + (right - left) // 2 计算中点
    3. 若 `nums[mid]` 小于 `target`，就把左边界移到 `mid + 1`；若 `nums[mid]` 大于 `target`，就把右边界移到 `mid - 1`；相等时立即返回

[LeetCode](https://leetcode.cn/problems/binary-search/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" } [题目解析](https://leetcode.cn/problems/binary-search/solutions/1692151/by-jyd-i7xr/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }

### 有序数组的插入位置

给定一个按严格递增顺序排列的整数数组 `nums` 和目标值 `target`。

若 `target` 已在数组中，返回它的索引；否则，返回把 `target` 插入数组后仍能保持严格递增顺序的位置。答案可能是 0，也可能等于数组长度。请使用二分查找。

??? tip "解题提示"

    1. 答案可能是 0，也可能是数组长度 n
    2. 使用双闭区间时，若 `nums[mid]` 大于等于 `target`，就令 `right = mid - 1`，继续检查更靠左的位置；否则令 `left = mid + 1`
    3. 循环结束时 left 就是插入位置

[LeetCode](https://leetcode.cn/problems/search-insert-position/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }