<!-- Автоматически создано utils/exercises/publish_exercises.py; не редактируйте напрямую. -->

# Упражнения

## Вопросы для самопроверки

### Временная и пространственная сложность итерации и рекурсии

Обе функции ниже вычисляют $1 + 2 + \dots + n$ (считайте, что $n \ge 1$). Присвойте `n` значение 4,
ответьте на вопросы в порядке фактического выполнения программы, а затем сравните эффективность двух вариантов.

```python
def sum_iter(n):
    s = 0
    for i in range(1, n + 1):
        s += i
    return s

def sum_recur(n):
    if n == 1:
        return 1
    return n + sum_recur(n - 1)
```

<!-- numbered-subquestions -->

1. Какие значения принимает переменная `s` после каждой итерации при выполнении `sum_iter(4)`?
2. Какие функции поочередно вызываются при выполнении `sum_recur(4)`? Как формируется результат при возврате, начиная с самого глубокого вызова?
3. Каковы временная и пространственная сложности каждого варианта? Обоснуйте ответ, опираясь на процессы выполнения из вопросов 1 и 2.

??? success "Ответ"

    1. Переменная цикла `i` поочередно принимает значения `1, 2, 3, 4`, а `s` после каждой итерации становится равной
        `1, 3, 6, 10`. Поэтому `sum_iter(4)` возвращает 10.

    2. Функции вызываются в следующем порядке:
        `sum_recur(4) → sum_recur(3) → sum_recur(2) → sum_recur(1)`.
        `sum_recur(1)` возвращает 1, после чего следующие уровни поочередно получают `2 + 1 = 3`, `3 + 3 = 6` и `4 + 6 = 10`.
        В самой глубокой точке все 4 вызова функции еще не завершены.

    3. В обеих функциях число итераций или вызовов пропорционально $n$, поэтому их временная сложность равна $O(n)$.
        Пространственная сложность различается: итеративный вариант использует постоянное число переменных, поэтому она равна $O(1)$;
        в рекурсивном варианте предыдущие вызовы ожидают возврата результата до достижения условия завершения, поэтому в стеке вызовов одновременно хранится до $n$ вызовов.
        Его пространственная сложность равна $O(n)$.

        При анализе пространственной сложности нужно учитывать не только переменные в коде, но и память, занимаемую рекурсивными вызовами.

### Временная сложность трех фрагментов кода

Во всех трех фрагментах кода входные данные — положительное целое число $n$. Расположите фрагменты в порядке возрастания временной сложности и укажите сложность каждого из них.

```python
# Фрагмент 1
s = 0
for i in range(n):
    s += i

# Фрагмент 2
s = 0
for i in range(n):
    for j in range(i, n):
        s += j

# Фрагмент 3
while n > 1:
    n = n // 2
```

??? success "Ответ"

    Порядок от меньшей сложности к большей: фрагмент 3 — $O(\log n)$, фрагмент 1 — $O(n)$, фрагмент 2 — $O(n^2)$.
    В фрагменте 3 на каждой итерации $n$ уменьшается вдвое, поэтому цикл выполняется примерно $\log_2 n$ раз.
    Цикл во фрагменте 1 выполняется ровно $n$ раз. Число итераций внутреннего цикла во фрагменте 2 последовательно равно
    $n,n-1,\dots,1$, а их сумма — $n(n+1)/2$, поэтому сложность квадратичная.

### Какой способ разворота экономнее по памяти

Все элементы массива `nums` можно расположить в обратном порядке двумя способами:

<!-- numbered-subquestions -->

1. создать новый массив `res` той же длины, скопировать в него элементы в обратном порядке и вернуть его;
2. задать два индекса `i` и `j`, перемещать их от начала и конца массива к середине и попарно менять местами `nums[i]` и `nums[j]`.

    Какова пространственная сложность каждого способа? Какой из них выполняет операцию «на месте»?

??? success "Ответ"

    1. Требуется вспомогательный массив той же длины, что и входной, поэтому пространственная сложность равна $O(n)$.

    2. Используются только две индексные переменные,
        поэтому пространственная сложность равна $O(1)$, а операция выполняется на месте.

        Обратите внимание: разворот на месте изменяет входной массив,
        поэтому его следует предпочитать только тогда, когда менять входные данные разрешено. Если исходный массив нужно сохранить, затрат на копирование в способе 1 не избежать.

## Задачи по программированию

### Число Фибоначчи

Последовательность Фибоначчи задается так: $F(0)=0$, $F(1)=1$, а при $n\ge2$
выполняется $F(n)=F(n-1)+F(n-2)$.

Дано неотрицательное целое число `n`. Вычислите и верните $F(n)$ с помощью цикла, не используя рекурсию.

??? tip "Подсказки"

    1. Сначала отдельно обработайте случаи, когда n равно 0 или 1
    2. Для вычисления следующего члена нужны только два предыдущих, поэтому хранить всю последовательность не требуется
    3. Обновляя две переменные, не перезапишите слишком рано старое значение, которое еще понадобится

[LeetCode](https://leetcode.com/problems/fibonacci-number/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }