<!-- Автоматически создано utils/exercises/publish_exercises.py; не редактируйте напрямую. -->

# Упражнения

## Вопросы для самопроверки

### Какие задачи подходят для метода «разделяй и властвуй»

Ученик хочет решить следующие задачи способом «разделить на две половины, решить каждую отдельно, затем объединить результаты».
Для каждой задачи выберите одно из утверждений: «подходит для метода “разделяй и властвуй”», «разделение возможно, но не уменьшает общий объем работы» или «половины нельзя решить независимо». Объясните свой выбор.

<!-- numbered-subquestions -->

1. Отсортировать неупорядоченный массив;
2. найти максимальный элемент массива;
3. последовательно выполнить набор операций стека `push(x)` и `pop()`, выводя элемент, полученный при каждой операции `pop()`.

??? success "Ответ"

    1. Подходит: массив делится пополам, обе половины независимо сортируются, а затем сливаются за $O(n)$ — именно так работает сортировка слиянием.
    2. Разделение возможно, но оно не уменьшит общий объем работы: в обеих половинах в сумме все равно нужно проверить все $n$ элементов,
        поэтому, как и при прямом обходе, потребуется $O(n)$ времени.
    3. Половины нельзя решить независимо: содержимое стека в начале второй половины операций зависит от результата первой,
        поэтому решить их независимо, не зная результатов друг друга, невозможно.

### Как быстрое возведение в степень уменьшает число вычислений

Рекурсивная функция ниже вычисляет $x^n$ методом «разделяй и властвуй»:

```python
def fast_pow(x, n):
    if n == 0:
        return 1
    half = fast_pow(x, n // 2)
    if n % 2 == 0:
        return half * half
    return half * half * x
```

Функция вызывается как `fast_pow(3, 5)`.

<!-- numbered-subquestions -->

1. Какие значения последовательно принимает параметр `n` при рекурсивных вызовах?
2. Какие значения поочередно возвращаются на каждом уровне, начиная с самого глубокого?
3. Почему результат нужно сначала сохранить в `half`, а не дважды записывать `fast_pow(x, n // 2)`?

??? success "Ответ"

    1. Параметр последовательно принимает значения `5 → 2 → 1 → 0`: на каждом шаге показатель степени уменьшается вдвое до достижения условия завершения.

    2. При `n = 0` возвращается 1; при `n = 1` возвращается $1×1×3=3$;
        при `n = 2` — $3×3=9$; при `n = 5` — $9×9×3=243$.

    3. Если записать `fast_pow(x, n // 2)` по обе стороны умножения, два рекурсивных вызова будут решать одну и ту же подзадачу.
        Когда результат сохраняется в `half`, на каждом уровне выполняется только один рекурсивный вызов, а глубина рекурсии составляет примерно $\log n$;
        два вызова привели бы к множеству повторных вычислений.

### Разделение левого и правого поддеревьев по последовательностям обхода

Двоичное дерево без повторяющихся узлов имеет следующие последовательности прямого и симметричного обходов:

- прямой обход: `[A, B, D, E, C]`
- симметричный обход: `[D, B, E, A, C]`

Выполните только разделение на уровне корневого узла: продолжать рекурсию и рисовать все дерево не требуется.

<!-- numbered-subquestions -->

1. Какой узел является корневым?
2. Какие участки симметричного обхода соответствуют левому и правому поддеревьям?
3. Какие участки прямого обхода соответствуют левому и правому поддеревьям? Какие непосредственные дочерние узлы имеет корень?

??? success "Ответ"

    1. Первый узел прямого обхода является корневым, поэтому корень — `A`.

    2. Узел `A` делит симметричный обход на две части: левому поддереву соответствует `[D, B, E]`, правому — `[C]`.

    3. Левое поддерево содержит 3 узла, поэтому следующие после корня `A` 3 элемента прямого обхода относятся к левому поддереву:
        `[B, D, E]`. Оставшийся участок `[C]` относится к правому поддереву.
        Следовательно, левый дочерний узел корня — `B`, а правый — `C`.

## Задачи по программированию

### Быстрое возведение в степень

Даны вещественное число `x` и целое число `n`. Вычислите $x^n$, не используя встроенную функцию возведения в степень.
Примените рекурсивный метод «разделяй и властвуй»: каждый раз уменьшайте показатель степени вдвое и повторно используйте уже вычисленный результат подзадачи.
В этой задаче $x^0=1$, в том числе при `x = 0`; если `n < 0`, гарантируется, что `x != 0`, а ответ можно преобразовать к $(1/x)^{-n}$.

??? tip "Подсказки"

    1. При n, равном 0, ответ равен 1
    2. Вычислив x в степени n // 2, сохраните результат в half и не выполняйте рекурсивный вызов второй раз
    3. Если n < 0, сначала замените x на 1 / x, а n — на -n; в C++ или Java предварительно преобразуйте n в 64-битное целое число, чтобы избежать переполнения при смене знака у минимального 32-битного целого

[LeetCode](https://leetcode.com/problems/powx-n/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }