# Упражнения

## Вопросы для самопроверки

### Как перестраивается куча после добавления числа 10

Массив `[9, 7, 8, 3, 5]` представляет максимальную кучу. Теперь в нее добавляют число 10.

<!-- numbered-subquestions -->

1. Сначала число 10 добавляется в конец массива. Чему равно значение его родительского узла?
2. Выполните упорядочивание кучи снизу вверх, начиная с нового узла, и запишите массив после каждого обмена.
3. Какой элемент в итоге окажется на вершине кучи? Сколько всего обменов выполнено?

??? success "Ответ"

    1. После добавления 10 его индекс равен 5, а индекс родительского узла равен
        $\lfloor(5-1)/2\rfloor=2$. Значение родительского узла — 8.

    2. Число 10 больше 8, поэтому после первого обмена получается `[9, 7, 10, 3, 5, 8]`;
        затем 10 больше родительского узла 9, и после второго обмена получается `[10, 7, 9, 3, 5, 8]`.
        Число 10 достигло корневого узла, поэтому упорядочивание завершено.

    3. В итоге на вершине кучи находится 10. Всего выполнено 2 обмена.

### Проверка отношений между родительскими и дочерними узлами минимальной кучи

Массив `[1, 4, 3, 7, 6, 2]` представляет полное двоичное дерево. В минимальной куче значение каждого родительского узла не превышает значения его дочерних узлов.
Для индекса $i$ индексы левого и правого дочерних узлов равны $2i+1$ и $2i+2$ соответственно.

<!-- numbered-subquestions -->

1. Укажите индексы и значения дочерних узлов для индекса 2.
2. В узле с индексом 2 находится значение 3. Нарушается ли правило минимальной кучи при сравнении этого узла с его дочерним узлом? Если да, какие элементы нужно поменять местами?
3. С учетом ответа на вопрос 2: если правило нарушено, запишите массив после обмена; если не нарушено, объясните, почему обмен не требуется. Затем проверьте остальные отношения между родительскими и дочерними узлами.

??? success "Ответ"

    1. Левый дочерний узел индекса 2 имеет индекс 5 и значение 2. Индекс правого дочернего узла равен 6, но длина массива равна 6, поэтому такого узла нет.

    2. Значение родительского узла 3 больше значения дочернего узла 2, что нарушает правило минимальной кучи. Нужно поменять местами элементы с индексами 2 и 5.

    3. После обмена получается `[1, 4, 2, 7, 6, 3]`. Проверим все отношения:
        `1 ≤ 4`, `1 ≤ 2`; `4 ≤ 7`, `4 ≤ 6`; `2 ≤ 3`.
        Каждый родительский узел теперь не больше своих дочерних узлов, поэтому правило минимальной кучи выполняется.

### Сохранение трех наибольших чисел в минимальной куче

Чтобы сохранять 3 наибольших числа из потока данных `[4, 1, 7, 3, 8]`, можно поддерживать минимальную кучу размером не более 3.

Сначала последовательно добавьте в минимальную кучу первые 3 числа. Когда куча заполнена, для каждого нового числа:
если оно больше вершины кучи, удалите вершину и добавьте новое число; иначе оставьте кучу без изменений.

Запишите после чтения каждого числа набор чисел, хранящихся в куче, и ее вершину.
Достаточно записывать сохраненные числа как множество; порядок их расположения в массиве кучи указывать не нужно.

??? success "Ответ"

    Результаты после чтения каждого числа:

    | Прочитанное число | Сохраненные числа | Вершина кучи |
    | --- | --- | --- |
    | 4 | `{4}` | 4 |
    | 1 | `{1, 4}` | 1 |
    | 7 | `{1, 4, 7}` | 1 |
    | 3 | `{3, 4, 7}` | 3 |
    | 8 | `{4, 7, 8}` | 4 |

    После заполнения кучи на ее вершине находится наименьшее из сохраненных чисел. Новое число заменяет вершину,
    только если оно больше нее. Итоговое множество `{4, 7, 8}` действительно содержит 3 наибольших числа.

## Задачи по программированию

### k-й наибольший элемент массива

Даны массив целых чисел `nums` и целое число $k$, где $1 \le k \le n$, а $n$ — длина массива. Если расположить массив по убыванию, верните элемент на позиции $k$.

Повторяющиеся элементы учитываются по отдельности. Например, 2-й наибольший элемент массива `[5, 5, 2]` по-прежнему равен 5. Используйте минимальную кучу размером не более $k$.

??? tip "Подсказки"

    1. k-й наибольший элемент — наименьший среди k наибольших чисел
    2. Добавляйте каждое число в минимальную кучу, а когда ее размер превышает k, извлекайте наименьшее значение
    3. После обхода в куче останутся k наибольших чисел, а на ее вершине будет находиться ответ

[LeetCode](https://leetcode.com/problems/kth-largest-element-in-an-array/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }