# 練習

## 知識鞏固

### 這段排列演算法會漏掉結果嗎

一個回溯演算法按 `1、2、3` 的順序嘗試生成全部排列。每次選擇數字 `x` 時，它會：

1. 把 `x` 加到當前路徑末尾；
2. 把 `x` 標記為“已使用”；
3. 遞迴填寫下一個位置。

遞迴返回後，同學只從路徑末尾刪除了 `x`，然後繼續嘗試下一個數字。

<!-- numbered-subquestions -->

1. 演算法首先得到哪個排列？它還能得到全部 6 個排列嗎？
2. 遞迴返回上一層前，只刪除路徑末尾的數字是否足夠？如果不夠，還需要做什麼？說明理由。

??? success "參考答案"

    1. 它首先得到 `[1, 2, 3]`，但無法得到全部排列。雖然返回時路徑變短了，
        數字 1、2、3 的標記仍都是“已使用”，後續分支便沒有可選數字。

    2. 不夠。刪除路徑末尾的 `x` 後，還必須把 `x` 重新標記為“未使用”。
        當前路徑和已使用標記共同描述搜尋狀態；選擇時修改了兩處，回退時也必須把兩處都恢復，
        其他分支才能再次選擇 `x`。

### 數字的選擇順序重要嗎

給定排好序的陣列 `[2, 3, 5]` 和目標值 5，每個數可以重複選擇。
演算法規定每條搜尋路徑中的數字只能按從小到大的順序出現。

<!-- numbered-subquestions -->

1. 能得到哪些不同的組合？
2. 為什麼同一組數字不需要按不同順序重複搜尋？“從小到大”的限制起到了什麼作用？
3. 當前路徑為 `[3]`、還差 2 時，下一個候選數是 3。為什麼此時可以停止檢查這一層後面的所有候選數？

??? success "參考答案"

    1. 不同的組合為 `[2, 3]` 和 `[5]`。

    2. 本題把 `[2, 3]` 和 `[3, 2]` 看作同一種組合，數字的選擇順序不計入答案。
        規定路徑中的數字從小到大出現，就能在搜尋時直接跳過 `[3, 2]` 這類重複組合。

    3. 當前還差 2，而候選數 3 已經大於 2。因為陣列已經排好序，
        3 後面的候選數只會更大，也都不可能加入當前組合，所以可以直接結束這一層的檢查。

### 下一枚皇后可以放在哪些位置

在一個 `4 × 4` 棋盤上按行放置皇后，行、列下標都從 0 開始。
目前已經在 `(0, 1)` 和 `(1, 3)` 放置了皇后，現在要在第 2 行放置下一個皇后。

<!-- numbered-subquestions -->

1. 哪些列會因為“同列”而被排除？
2. 在剩餘列中，哪些位置會因為“同一條對角線”而被排除？
3. 第 2 行還剩哪些位置可以嘗試？

??? success "參考答案"

    1. 第 1 列和第 3 列已經有皇后，因此位置 `(2, 1)` 和 `(2, 3)` 被排除。

    2. 在剩餘位置中，`(2, 2)` 與 `(1, 3)` 位於同一條對角線上，因此也被排除。
        位置 `(2, 0)` 與已有兩個皇后都不在同列或同一條對角線上。

    3. 第 2 行可以嘗試的位置只有 `(2, 0)`。

        這一步只說明當前放置合法；之後若無法完成棋盤，仍需回退並嘗試更早的其他選擇。

## 程式設計練習

### 無重複元素的全排列

整數陣列 `nums` 至少包含一個元素，並且其中各元素互不相同。
請列出把這些元素各使用一次所能形成的全部順序，並將每一種順序作為一個陣列返回。
結果中各排列的先後次序不作要求。
請使用回溯，並用布林陣列記錄每個位置的元素是否已經選入當前排列。

??? tip "解題提示"

    1. 遞迴深度表示正在填寫排列中的第幾個位置
    2. 每一層只嘗試尚未使用的元素
    3. 路徑長度達到 `nums` 的長度時，把它的副本加入答案

[LeetCode](https://leetcode.cn/problems/permutations/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" } [題目解析](https://leetcode.cn/problems/permutations/solutions/2363882/46-quan-pai-lie-hui-su-qing-xi-tu-jie-by-6o7h/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }

> **說明：** 連結題解透過交換陣列元素，把已選元素依次放到陣列前部；本練習使用布林陣列記錄每個元素是否已選。兩種方法都能避免同一元素被重複選擇，但程式碼結構不同