# 練習

## 知識鞏固

### 哪些任務適合分治

一位同學想用“先分成兩半，分別解決，再合併結果”的方法完成以下任務。
請分別判斷它們是“適合分治”“可以分治，但不會減少總工作量”還是“兩半不能獨立解決”，並說明理由。

<!-- numbered-subquestions -->

1. 將一個無序陣列排序；
2. 求一個陣列中的最大值；
3. 按順序執行一串 `push(x)`、`pop()` 堆疊操作，並輸出每次 `pop()` 得到的元素。

??? success "參考答案"

    1. 適合：對半分解、兩半獨立排序、$O(n)$ 合併——這正是合併排序。
    2. 可以分治，但不會減少總工作量：左右兩半仍需合計檢查全部 $n$ 個元素，
        和直接掃描一樣都是 $O(n)$ 時間。
    3. 兩半不能獨立解決：後半段開始時的堆疊內容取決於前半段執行結果，
        兩半不能在互不知道結果時獨立完成。

### 快速冪是怎樣減少計算的

下面的遞迴函式用分治計算 $x^n$：

```python
def fast_pow(x, n):
    if n == 0:
        return 1
    half = fast_pow(x, n // 2)
    if n % 2 == 0:
        return half * half
    return half * half * x
```

用它計算 `fast_pow(3, 5)`：

<!-- numbered-subquestions -->

1. 遞迴呼叫時，參數 `n` 依次變成哪些值？
2. 從最深層開始返回時，各層依次返回什麼值？
3. 為什麼要先儲存 `half`，而不是把 `fast_pow(x, n // 2)` 寫兩遍？

??? success "參考答案"

    1. 參數依次為 `5 → 2 → 1 → 0`，每次都把指數減半，直到到達終止條件。

    2. `n = 0` 時返回 1；`n = 1` 時返回 $1×1×3=3$；
        `n = 2` 時返回 $3×3=9$；`n = 5` 時返回 $9×9×3=243$。

    3. 如果把 `fast_pow(x, n // 2)` 在乘法兩邊各寫一次，兩次遞迴會計算完全相同的子問題。
        先把結果儲存為 `half`，每層就只遞迴一次，遞迴深度約為 $\log n$；
        呼叫兩次會造成大量重複計算。

### 從走訪序列拆分左右子樹

一棵沒有重複節點的二元樹，其前序走訪和中序走訪分別為：

- 前序走訪：`[A, B, D, E, C]`
- 中序走訪：`[D, B, E, A, C]`

只完成根節點這一層的拆分，不必繼續遞迴，也不必畫出整棵樹：

<!-- numbered-subquestions -->

1. 根節點是什麼？
2. 左、右子樹在中序走訪中分別對應哪一段？
3. 左、右子樹在前序走訪中分別對應哪一段？根節點有哪些直接孩子？

??? success "參考答案"

    1. 前序走訪的第一個節點是根節點，因此根節點為 `A`。

    2. `A` 把中序走訪分成兩部分：左子樹為 `[D, B, E]`，右子樹為 `[C]`。

    3. 左子樹有 3 個節點，因此根節點 `A` 後面的 3 個前序元素屬於左子樹，
        即 `[B, D, E]`；剩餘的 `[C]` 屬於右子樹。
        所以根節點的左孩子是 `B`，右孩子是 `C`。

## 程式設計練習

### 快速冪

給定實數 `x` 和整數 `n`，請計算 $x^n$，且不能呼叫語言內建的冪函式。
要求使用遞迴分治：每次把指數縮小一半，並複用已經算出的子問題結果。
本題規定 $x^0=1$，包括 `x = 0` 時；當 `n < 0` 時保證 `x != 0`，答案可轉化為 $(1/x)^{-n}$。

??? tip "解題提示"

    1. n 等於 0 時答案是 1
    2. 算出 x 的 n // 2 次方後儲存為 half，不要遞迴呼叫第二次
    3. 當 n < 0 時，先把 x 改為 1 / x，再把 n 改為 -n；使用 C++ 或 Java 時，可先把 n 轉為 64 位整數，避免最小的 32 位整數取相反數時溢位

[LeetCode](https://leetcode.cn/problems/powx-n/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" } [題目解析](https://leetcode.cn/problems/powx-n/solutions/241471/50-powx-n-kuai-su-mi-qing-xi-tu-jie-by-jyd/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }

> **說明：** 連結中的題解使用迭代位運算，與本練習指定的遞迴分治方法不同；請根據本題的解題提示完成遞迴版本