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# 12.6   練習

## 12.6.1   知識鞏固

### 1.   哪些任務適合分治

一位同學想用“先分成兩半，分別解決，再合併結果”的方法完成以下任務。
請分別判斷它們是“適合分治”“可以分治，但不會減少總工作量”還是“兩半不能獨立解決”，並說明理由。

<!-- numbered-subquestions -->

1. 將一個無序陣列排序；
2. 求一個陣列中的最大值；
3. 按順序執行一串 `push(x)`、`pop()` 堆疊操作，並輸出每次 `pop()` 得到的元素。

??? success "參考答案"

    1. 適合：對半分解、兩半獨立排序、$O(n)$ 合併——這正是合併排序。
    2. 可以分治，但不會減少總工作量：左右兩半仍需合計檢查全部 $n$ 個元素，
        和直接掃描一樣都是 $O(n)$ 時間。
    3. 兩半不能獨立解決：後半段開始時的堆疊內容取決於前半段執行結果，
        兩半不能在互不知道結果時獨立完成。

### 2. &nbsp; 快速冪是怎樣減少計算的

下面的遞迴函式用分治計算 $x^n$：

=== "Python"

    ```python title="fast_power.py"
    def fast_pow(x: int, n: int) -> int:
        """快速冪"""
        if n == 0:
            return 1
        half = fast_pow(x, n // 2)
        if n % 2 == 0:
            return half * half
        return half * half * x
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="fast_power.cpp"
    /* 快速冪 */
    int fastPow(int x, int n) {
        if (n == 0) {
            return 1;
        }
        int half = fastPow(x, n / 2);
        if (n % 2 == 0) {
            return half * half;
        }
        return half * half * x;
    }
    ```

=== "Java"

    ```java title="fast_power.java"
    /* 快速冪 */
    int fastPow(int x, int n) {
        if (n == 0) {
            return 1;
        }
        int half = fastPow(x, n / 2);
        if (n % 2 == 0) {
            return half * half;
        }
        return half * half * x;
    }
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="fast_power.cs"
    /* 快速冪 */
    int FastPow(int x, int n) {
        if (n == 0) {
            return 1;
        }
        int half = FastPow(x, n / 2);
        if (n % 2 == 0) {
            return half * half;
        }
        return half * half * x;
    }
    ```

=== "Go"

    ```go title="fast_power.go"
    /* 快速冪 */
    func fastPow(x, n int) int {
        if n == 0 {
            return 1
        }
        half := fastPow(x, n/2)
        if n%2 == 0 {
            return half * half
        }
        return half * half * x
    }
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="fast_power.swift"
    /* 快速冪 */
    func fastPow(x: Int, n: Int) -> Int {
        if n == 0 {
            return 1
        }
        let half = fastPow(x: x, n: n / 2)
        if n % 2 == 0 {
            return half * half
        }
        return half * half * x
    }
    ```

=== "JS"

    ```javascript title="fast_power.js"
    /* 快速冪 */
    function fastPow(x, n) {
        if (n === 0) {
            return 1;
        }
        const half = fastPow(x, Math.floor(n / 2));
        if (n % 2 === 0) {
            return half * half;
        }
        return half * half * x;
    }
    ```

=== "TS"

    ```typescript title="fast_power.ts"
    /* 快速冪 */
    function fastPow(x: number, n: number): number {
        if (n === 0) {
            return 1;
        }
        const half = fastPow(x, Math.floor(n / 2));
        if (n % 2 === 0) {
            return half * half;
        }
        return half * half * x;
    }
    ```

=== "Dart"

    ```dart title="fast_power.dart"
    /* 快速冪 */
    int fastPow(int x, int n) {
      if (n == 0) {
        return 1;
      }
      int half = fastPow(x, n ~/ 2);
      if (n % 2 == 0) {
        return half * half;
      }
      return half * half * x;
    }
    ```

=== "Rust"

    ```rust title="fast_power.rs"
    /* 快速冪 */
    fn fast_pow(x: i32, n: i32) -> i32 {
        if n == 0 {
            return 1;
        }
        let half = fast_pow(x, n / 2);
        if n % 2 == 0 {
            return half * half;
        }
        half * half * x
    }
    ```

=== "C"

    ```c title="fast_power.c"
    /* 快速冪 */
    int fastPow(int x, int n) {
        if (n == 0) {
            return 1;
        }
        int half = fastPow(x, n / 2);
        if (n % 2 == 0) {
            return half * half;
        }
        return half * half * x;
    }
    ```

=== "Kotlin"

    ```kotlin title="fast_power.kt"
    /* 快速冪 */
    fun fastPow(x: Int, n: Int): Int {
        if (n == 0) {
            return 1
        }
        val half = fastPow(x, n / 2)
        if (n % 2 == 0) {
            return half * half
        }
        return half * half * x
    }
    ```

=== "Ruby"

    ```ruby title="fast_power.rb"
    ### 快速冪 ###
    def fast_pow(x, n)
      return 1 if n == 0

      half = fast_pow(x, n / 2)
      return half * half if n.even?

      half * half * x
    end
    ```

令 `x = 3`、`n = 5`，用這個函式計算：

<!-- numbered-subquestions -->

1. 遞迴呼叫時，參數 `n` 依次變成哪些值？
2. 從最深層開始返回時，各層依次返回什麼值？
3. 為什麼要先把遞迴結果儲存為 `half`，而不是在乘法兩邊各呼叫一次相同的子問題？

??? success "參考答案"

    1. 參數依次為 `5 → 2 → 1 → 0`，每次都把指數減半，直到到達終止條件。

    2. `n = 0` 時返回 1；`n = 1` 時返回 $1×1×3=3$；
        `n = 2` 時返回 $3×3=9$；`n = 5` 時返回 $9×9×3=243$。

    3. 如果在乘法兩邊各呼叫一次相同的子問題，兩次遞迴會進行完全相同的計算。
        先把結果儲存為 `half`，每層就只遞迴一次，遞迴深度約為 $\log n$；
        呼叫兩次會造成大量重複計算。

### 3. &nbsp; 從走訪序列拆分左右子樹

一棵沒有重複節點的二元樹，其前序走訪和中序走訪分別為：

- 前序走訪：`[A, B, D, E, C]`
- 中序走訪：`[D, B, E, A, C]`

只完成根節點這一層的拆分，不必繼續遞迴，也不必畫出整棵樹：

<!-- numbered-subquestions -->

1. 根節點是什麼？
2. 左、右子樹在中序走訪中分別對應哪一段？
3. 左、右子樹在前序走訪中分別對應哪一段？根節點有哪些直接孩子？

??? success "參考答案"

    1. 前序走訪的第一個節點是根節點，因此根節點為 `A`。

    2. `A` 把中序走訪分成兩部分：左子樹為 `[D, B, E]`，右子樹為 `[C]`。

    3. 左子樹有 3 個節點，因此根節點 `A` 後面的 3 個前序元素屬於左子樹，
        即 `[B, D, E]`；剩餘的 `[C]` 屬於右子樹。
        所以根節點的左孩子是 `B`，右孩子是 `C`。

## 12.6.2 &nbsp; 程式設計練習

### 1. &nbsp; 快速冪

給定實數 `x` 和整數 `n`，請計算 $x^n$，且不能呼叫語言內建的冪函式。
要求使用遞迴分治：每次把指數縮小一半，並複用已經算出的子問題結果。
本題規定 $x^0=1$，包括 `x = 0` 時；當 `n < 0` 時保證 `x != 0`，答案可轉化為 $(1/x)^{-n}$。

??? tip "解題提示"

    1. n 等於 0 時答案是 1
    2. 算出 x 的 n // 2 次方後儲存為 half，不要遞迴呼叫第二次
    3. 當 n < 0 時，先把 x 改為 1 / x，再把 n 改為 -n；使用 C++ 或 Java 時，可先把 n 轉為 64 位整數，避免最小的 32 位整數取相反數時溢位

[LeetCode](https://leetcode.cn/problems/powx-n/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" } [題目解析](https://leetcode.cn/problems/powx-n/solutions/241471/50-powx-n-kuai-su-mi-qing-xi-tu-jie-by-jyd/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }

> **說明：** 連結中的題解使用迭代位運算，與本練習指定的遞迴分治方法不同；請根據本題的解題提示完成遞迴版本