# Базовые операции графа

Базовые операции графа можно разделить на операции над "ребрами" и операции над "вершинами". В двух способах представления - "матрица смежности" и "список смежности" - реализация будет различаться.

## Реализация на основе матрицы смежности

Пусть дан неориентированный граф с числом вершин $n$ . Тогда способы реализации различных операций показаны на рисунках ниже.

- **Добавление или удаление ребра**: достаточно изменить соответствующее ребро в матрице смежности, это требует $O(1)$ времени. Поскольку граф неориентированный, нужно одновременно обновлять ребра в обоих направлениях.
- **Добавление вершины**: в конец матрицы смежности добавляется одна строка и один столбец, которые полностью заполняются нулями; это требует $O(n)$ времени.
- **Удаление вершины**: из матрицы смежности удаляется одна строка и один столбец. В худшем случае, когда удаляются первая строка и первый столбец, приходится "сдвигать вверх-влево" $(n-1)^2$ элементов, поэтому требуется $O(n^2)$ времени.
- **Инициализация**: передаются $n$ вершин, затем инициализируется список вершин `vertices` длины $n$ , что требует $O(n)$ времени; после этого инициализируется матрица смежности `adjMat` размера $n \times n$ , что требует $O(n^2)$ времени.

=== "Инициализация матрицы смежности"
    ![Инициализация матрицы смежности, добавление и удаление ребер и вершин](graph_operations.assets/adjacency_matrix_step1_initialization.png)

=== "Добавление ребра"
    ![adjacency_matrix_add_edge](graph_operations.assets/adjacency_matrix_step2_add_edge.png)

=== "Удаление ребра"
    ![adjacency_matrix_remove_edge](graph_operations.assets/adjacency_matrix_step3_remove_edge.png)

=== "Добавление вершины"
    ![adjacency_matrix_add_vertex](graph_operations.assets/adjacency_matrix_step4_add_vertex.png)

=== "Удаление вершины"
    ![adjacency_matrix_remove_vertex](graph_operations.assets/adjacency_matrix_step5_remove_vertex.png)

Ниже приведен код реализации графа на основе матрицы смежности:

```src
[file]{graph_adjacency_matrix}-[class]{graph_adj_mat}-[func]{}
```

## Реализация на основе списка смежности

Пусть неориентированный граф содержит в сумме $n$ вершин и $m$ ребер. Тогда различные операции можно реализовать способом, показанным на рисунках ниже.

- **Добавление ребра**: достаточно добавить ребро в конец списка, соответствующего вершине; это требует $O(1)$ времени. Поскольку граф неориентированный, нужно одновременно добавлять ребра в обоих направлениях.
- **Удаление ребра**: нужно найти и удалить указанное ребро в списке, соответствующем вершине; это требует $O(m)$ времени. В неориентированном графе нужно удалять ребра в обоих направлениях.
- **Добавление вершины**: в список смежности добавляется еще один список, а новая вершина становится его головным узлом; это требует $O(1)$ времени.
- **Удаление вершины**: требуется пройти по всему списку смежности и удалить все ребра, содержащие указанную вершину; это требует $O(n + m)$ времени.
- **Инициализация**: в списке смежности создаются $n$ вершин и $2m$ ребер; это требует $O(n + m)$ времени.

=== "Инициализация списка смежности"
    ![Инициализация списка смежности, добавление и удаление ребер и вершин](graph_operations.assets/adjacency_list_step1_initialization.png)

=== "Добавление ребра"
    ![adjacency_list_add_edge](graph_operations.assets/adjacency_list_step2_add_edge.png)

=== "Удаление ребра"
    ![adjacency_list_remove_edge](graph_operations.assets/adjacency_list_step3_remove_edge.png)

=== "Добавление вершины"
    ![adjacency_list_add_vertex](graph_operations.assets/adjacency_list_step4_add_vertex.png)

=== "Удаление вершины"
    ![adjacency_list_remove_vertex](graph_operations.assets/adjacency_list_step5_remove_vertex.png)

Ниже приведен код списка смежности. По сравнению с рисунками выше, реальная реализация имеет следующие отличия.

- Чтобы упростить добавление и удаление вершин, а также упростить код, мы используем список, то есть динамический массив, вместо связного списка.
- Для хранения списка смежности используется хеш-таблица, где `key` - это экземпляр вершины, а `value` - список смежных вершин данной вершины.

Кроме того, в списке смежности мы используем класс `Vertex` для представления вершины. Причина в следующем: если, как и в матрице смежности, различать вершины по индексам списка, то при удалении вершины с индексом $i$ пришлось бы обходить весь список смежности и уменьшать на $1$ все индексы, большие $i$ , что крайне неэффективно. Если же каждая вершина является уникальным экземпляром `Vertex` , то после удаления одной вершины остальные вершины менять уже не требуется.

```src
[file]{graph_adjacency_list}-[class]{graph_adj_list}-[func]{}
```

## Сравнение эффективности

Пусть в графе имеется $n$ вершин и $m$ ребер. В таблице ниже сравниваются временная и пространственная эффективность матрицы смежности и списка смежности. Обрати внимание: список смежности (связный список) соответствует реализации из этой статьи, а список смежности (хеш-таблица) означает вариант, где все списки заменены хеш-таблицами.

<p align="center"> Таблица <id> &nbsp; Сравнение матрицы смежности и списка смежности </p>

|              | Матрица смежности | Список смежности (связный список) | Список смежности (хеш-таблица) |
| ------------ | ----------------- | --------------------------------- | ------------------------------ |
| Проверка смежности | $O(1)$   | $O(n)$         | $O(1)$           |
| Добавление ребра   | $O(1)$   | $O(1)$         | $O(1)$           |
| Удаление ребра     | $O(1)$   | $O(n)$         | $O(1)$           |
| Добавление вершины | $O(n)$   | $O(1)$         | $O(1)$           |
| Удаление вершины   | $O(n^2)$ | $O(n + m)$     | $O(n)$           |
| Занимаемая память  | $O(n^2)$ | $O(n + m)$     | $O(n + m)$       |

Если смотреть только на таблицу, может показаться, что список смежности на основе хеш-таблицы является лучшим и по времени, и по памяти. Но на практике операции над ребрами в матрице смежности часто выполняются быстрее, потому что там нужен лишь один доступ к массиву или одно присваивание. В целом матрица смежности воплощает принцип "обмен пространства на время", а список смежности - принцип "обмен времени на пространство".