<!-- Автоматически создано utils/exercises/publish_exercises.py; не редактируйте напрямую. -->

# Упражнения

## Вопросы для самопроверки

### Первые итерации сортировки выбором и пузырьком

Дан массив `[4, 2, 5, 1, 3]`. В обоих случаях элементы сортируются по возрастанию.

<!-- numbered-subquestions -->

1. Выполните первые две итерации сортировки выбором, запишите массив после каждой из них и укажите, какие позиции уже определены.
2. Выполните первую итерацию сортировки пузырьком, запишите состояние массива и число обменов, а также укажите, какая позиция уже определена.

??? success "Ответ"

    1. Первые две итерации:

        | Итерация | Состояние массива | Пояснение |
        | --- | --- | --- |
        | 1 | `[1, 2, 5, 4, 3]` | Наименьший элемент 1 меняется местами с первым элементом |
        | 2 | `[1, 2, 5, 4, 3]` | Значение 2 уже находится по индексу 1, обмен не нужен |

        Теперь первые две позиции определены, а дальнейший выбор наименьшего элемента выполняется только в `[5, 4, 3]`.

    2. Последовательно сравниваются соседние элементы: 4 и 2 меняются местами; 4 и 5 остаются на месте; 5 и 1 меняются местами; 5 и 3 меняются местами.
        Получается `[2, 4, 1, 3, 5]`, всего 3 обмена. Наибольший элемент 5 переместился в конец массива, поэтому последняя позиция определена.

### Меняется ли взаимный порядок равных элементов

В массиве $[2_a, 2_b, 1]$ значения $2_a$ и $2_b$ равны, но нижние индексы отмечают их исходный порядок.

<!-- numbered-subquestions -->

1. Запишите массив после первой итерации сортировки выбором. Изменился ли взаимный порядок $2_a$ и $2_b$?
2. Запишите массив после первой итерации сортировки пузырьком. Изменился ли взаимный порядок $2_a$ и $2_b$?
3. На основании первых двух ответов объясните, чем различаются эти сортировки в сохранении исходного порядка равных элементов.

??? success "Ответ"

    1. На первой итерации сортировка выбором находит наименьший элемент 1 и меняет его местами с первым элементом $2_a$, поэтому получается
        $[1, 2_b, 2_a]$. Элемент $2_a$ переместился за $2_b$, и их взаимный порядок изменился.

    2. Сортировка пузырьком сначала сравнивает $2_a$ и $2_b$. Они равны, поэтому обмена нет. Затем $2_b$ сравнивается с 1 и меняется с ним местами.
        После первой итерации получается $[2_a, 1, 2_b]$. Элемент $2_a$ по-прежнему находится перед $2_b$, их взаимный порядок не изменился.

    3. В этом примере сортировка выбором меняет исходный порядок равных элементов. Сортировка пузырьком обменивает соседние элементы, только когда левый больше правого.
        Равные элементы не меняются местами, поэтому их исходный взаимный порядок сохраняется.

### Сравнение сортировки подсчетом и поразрядной сортировки

Школе нужно упорядочить большое количество номеров учеников, каждый из которых состоит ровно из 8 цифр. Ответьте на вопросы.

<!-- numbered-subquestions -->

1. Сколько итераций потребуется поразрядной сортировке, начинающей с младшего разряда?
2. Почему сортировка подсчетом, использующая весь номер как целое число, подготовит множество неиспользуемых позиций для счетчиков?
3. Какой из двух способов вы выберете для большого количества 8-значных номеров — сортировку подсчетом или поразрядную сортировку? Обоснуйте выбор с учетом первых двух ответов.

??? success "Ответ"

    1. Номер состоит из 8 разрядов, поэтому от младшего до старшего потребуется 8 итераций; на каждой из них элементы распределяются только по цифрам 0–9.

    2. Для прямого подсчета пришлось бы выделить позиции для всех возможных 8-значных значений, хотя в действительности используется лишь небольшая их часть.
        Большинство счетчиков всегда оставалось бы равным 0.

    3. Следует выбрать поразрядную сортировку. Она использует свойства «фиксированное число разрядов и только 10 возможных значений каждого разряда» и требует лишь 8 повторений стабильной группировки.
        Если же использовать весь 8-значный номер как индекс при сортировке подсчетом, пришлось бы выделить счетчики для множества значений, которые никогда не встретятся.

## Задачи по программированию

### Сортировка массива слиянием

Дан массив целых чисел `nums`. Самостоятельно реализуйте сортировку слиянием, расположите элементы в неубывающем порядке и верните массив. Не используйте встроенную функцию сортировки языка.

??? tip "Подсказки"

    1. Интервал длины не более 1 уже упорядочен
    2. Разделите интервал в середине на две половины и рекурсивно отсортируйте каждую
    3. Слейте два упорядоченных полуинтервала с помощью двух указателей, а затем запишите результат обратно в исходный массив

[LeetCode](https://leetcode.com/problems/sort-an-array/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }

### Сортировка массива целых чисел подсчетом

Даны массив целых чисел `nums` и неотрицательное целое число $K$. Каждый элемент массива находится в диапазоне от $0$ до $K$.

Реализуйте сортировку подсчетом, запишите результат в `nums` в неубывающем порядке и верните `nums`.
Не определяйте порядок элементов с помощью сравнений между ними и не используйте встроенную функцию сортировки языка.

??? tip "Подсказки"

    1. Поскольку каждый элемент находится в диапазоне от 0 до K, значение элемента можно напрямую использовать как индекс массива счетчиков
    2. При первом обходе nums увеличивайте счетчик в соответствующей позиции на 1
    3. Затем переберите массив счетчиков от 0 до K: если значение x встретилось несколько раз, запишите x в nums подряд столько же раз