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# 13.4   n クイーン問題

!!! question

    チェスのルールによれば、クイーンは同じ行、同じ列、または同じ斜線上にある駒を攻撃できます。$n$ 個のクイーンと $n \times n$ サイズの盤面が与えられたとき、すべてのクイーンが互いに攻撃し合わない配置を求めます。

下図に示すように、$n = 4$ のとき、2 つの解を見つけることができます。バックトラッキングの観点から見ると、$n \times n$ サイズの盤面には合計 $n^2$ 個のマスがあり、これがすべての選択肢 `choices` を与えます。クイーンを 1 つずつ配置していく過程で、盤面の状態は絶えず変化し、その各時点の盤面が状態 `state` です。

![4 クイーン問題の解](n_queens_problem.assets/solution_4_queens.png){ class="animation-figure" }

<p align="center"> 図 13-15 &nbsp; 4 クイーン問題の解 </p>

下図は本問題の 3 つの制約条件を示しています。**複数のクイーンは同じ行、同じ列、同じ対角線上に置けません**。なお、対角線には主対角線 `\` と副対角線 `/` の 2 種類があります。

![n クイーン問題の制約条件](n_queens_problem.assets/n_queens_constraints.png){ class="animation-figure" }

<p align="center"> 図 13-16 &nbsp; n クイーン問題の制約条件 </p>

### 1. &nbsp; 行ごとの配置戦略

クイーンの数と盤面の行数はいずれも $n$ なので、次の推論を容易に得られます：**盤面の各行にはクイーンを 1 つだけ配置できます**。

つまり、行ごとの配置戦略を採用できます：最初の行から始めて、各行に 1 つのクイーンを配置し、最後の行まで進みます。

下図は 4 クイーン問題における行ごとの配置過程を示しています。図の大きさの都合上、下図では 1 行目における検索分岐の 1 つだけを展開し、列制約と対角線制約を満たさない案はすべて枝刈りしています。

![行ごとの配置戦略](n_queens_problem.assets/n_queens_placing.png){ class="animation-figure" }

<p align="center"> 図 13-17 &nbsp; 行ごとの配置戦略 </p>

本質的には、**行ごとの配置戦略は枝刈りとして機能します**。これにより、同じ行に複数のクイーンが現れるすべての探索分岐を回避できます。

### 2. &nbsp; 列と対角線の枝刈り

列制約を満たすために、長さ $n$ のブール配列 `cols` を用いて、各列にクイーンがあるかどうかを記録できます。配置を決めるたびに、`cols` を使って既存のクイーンがある列を枝刈りし、バックトラッキングの中で `cols` の状態を動的に更新します。

!!! tip

    注意として、行列の原点は左上にあり、行インデックスは上から下へ、列インデックスは左から右へ増加します。

では、対角線制約はどのように扱えばよいのでしょうか。盤面上のあるマスの行列インデックスを $(row, col)$ とし、行列内のある主対角線を選ぶと、その対角線上のすべてのマスで行インデックスから列インデックスを引いた値が等しいことが分かります。**つまり、主対角線上のすべてのマスでは $row - col$ が一定値になります**。

つまり、2 つのマスが $row_1 - col_1 = row_2 - col_2$ を満たすなら、それらは必ず同じ主対角線上にあります。この性質を利用して、下図の配列 `diags1` により、各主対角線にクイーンがあるかどうかを記録できます。

同様に、**副対角線上のすべてのマスでは $row + col$ が一定値です**。副対角線制約も配列 `diags2` を使って処理できます。

![列制約と対角線制約の処理](n_queens_problem.assets/n_queens_cols_diagonals.png){ class="animation-figure" }

<p align="center"> 図 13-18 &nbsp; 列制約と対角線制約の処理 </p>

### 3. &nbsp; コード実装

注意として、$n$ 次正方行列では $row - col$ の範囲は $[-n + 1, n - 1]$ 、$row + col$ の範囲は $[0, 2n - 2]$ です。したがって、主対角線と副対角線の本数はいずれも $2n - 1$ であり、配列 `diags1` と `diags2` の長さもともに $2n - 1$ です。

=== "Python"

    ```python title="n_queens.py"
    def backtrack(
        row: int,
        n: int,
        state: list[list[str]],
        res: list[list[list[str]]],
        cols: list[bool],
        diags1: list[bool],
        diags2: list[bool],
    ):
        """バックトラッキング：N クイーン"""
        # すべての行への配置が完了したら、解を記録する
        if row == n:
            res.append([list(row) for row in state])
            return
        # すべての列を走査
        for col in range(n):
            # このマスに対応する主対角線と副対角線を計算
            diag1 = row - col + n - 1
            diag2 = row + col
            # 枝刈り：そのマスの列、主対角線、副対角線にクイーンがあってはならない
            if not cols[col] and not diags1[diag1] and not diags2[diag2]:
                # 試行：そのマスにクイーンを置く
                state[row][col] = "Q"
                cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = True
                # 次の行に配置する
                backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2)
                # 戻す：そのマスを空きマスに戻す
                state[row][col] = "#"
                cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = False

    def n_queens(n: int) -> list[list[list[str]]]:
        """N クイーンを解く"""
        # n*n の盤面を初期化する。'Q' はクイーン、'#' は空きマスを表す
        state = [["#" for _ in range(n)] for _ in range(n)]
        cols = [False] * n  # 列にクイーンがあるか記録
        diags1 = [False] * (2 * n - 1)  # 主対角線にクイーンがあるかを記録
        diags2 = [False] * (2 * n - 1)  # 副対角線にクイーンがあるかを記録
        res = []
        backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2)

        return res
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="n_queens.cpp"
    /* バックトラッキング：N クイーン */
    void backtrack(int row, int n, vector<vector<string>> &state, vector<vector<vector<string>>> &res, vector<bool> &cols,
                   vector<bool> &diags1, vector<bool> &diags2) {
        // すべての行への配置が完了したら、解を記録する
        if (row == n) {
            res.push_back(state);
            return;
        }
        // すべての列を走査
        for (int col = 0; col < n; col++) {
            // このマスに対応する主対角線と副対角線を計算
            int diag1 = row - col + n - 1;
            int diag2 = row + col;
            // 枝刈り：そのマスの列、主対角線、副対角線にクイーンがあってはならない
            if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
                // 試行：そのマスにクイーンを置く
                state[row][col] = "Q";
                cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = true;
                // 次の行に配置する
                backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2);
                // 戻す：そのマスを空きマスに戻す
                state[row][col] = "#";
                cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = false;
            }
        }
    }

    /* N クイーンを解く */
    vector<vector<vector<string>>> nQueens(int n) {
        // n*n の盤面を初期化する。'Q' はクイーン、'#' は空きマスを表す
        vector<vector<string>> state(n, vector<string>(n, "#"));
        vector<bool> cols(n, false);           // 列にクイーンがあるか記録
        vector<bool> diags1(2 * n - 1, false); // 主対角線にクイーンがあるかを記録
        vector<bool> diags2(2 * n - 1, false); // 副対角線にクイーンがあるかを記録
        vector<vector<vector<string>>> res;

        backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2);

        return res;
    }
    ```

=== "Java"

    ```java title="n_queens.java"
    /* バックトラッキング：N クイーン */
    void backtrack(int row, int n, List<List<String>> state, List<List<List<String>>> res,
            boolean[] cols, boolean[] diags1, boolean[] diags2) {
        // すべての行への配置が完了したら、解を記録する
        if (row == n) {
            List<List<String>> copyState = new ArrayList<>();
            for (List<String> sRow : state) {
                copyState.add(new ArrayList<>(sRow));
            }
            res.add(copyState);
            return;
        }
        // すべての列を走査
        for (int col = 0; col < n; col++) {
            // このマスに対応する主対角線と副対角線を計算
            int diag1 = row - col + n - 1;
            int diag2 = row + col;
            // 枝刈り：そのマスの列、主対角線、副対角線にクイーンがあってはならない
            if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
                // 試行：そのマスにクイーンを置く
                state.get(row).set(col, "Q");
                cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = true;
                // 次の行に配置する
                backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2);
                // 戻す：そのマスを空きマスに戻す
                state.get(row).set(col, "#");
                cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = false;
            }
        }
    }

    /* N クイーンを解く */
    List<List<List<String>>> nQueens(int n) {
        // n*n の盤面を初期化する。'Q' はクイーン、'#' は空きマスを表す
        List<List<String>> state = new ArrayList<>();
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            List<String> row = new ArrayList<>();
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                row.add("#");
            }
            state.add(row);
        }
        boolean[] cols = new boolean[n]; // 列にクイーンがあるか記録
        boolean[] diags1 = new boolean[2 * n - 1]; // 主対角線にクイーンがあるかを記録
        boolean[] diags2 = new boolean[2 * n - 1]; // 副対角線にクイーンがあるかを記録
        List<List<List<String>>> res = new ArrayList<>();

        backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2);

        return res;
    }
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="n_queens.cs"
    /* バックトラッキング：N クイーン */
    void Backtrack(int row, int n, List<List<string>> state, List<List<List<string>>> res,
            bool[] cols, bool[] diags1, bool[] diags2) {
        // すべての行への配置が完了したら、解を記録する
        if (row == n) {
            List<List<string>> copyState = [];
            foreach (List<string> sRow in state) {
                copyState.Add(new List<string>(sRow));
            }
            res.Add(copyState);
            return;
        }
        // すべての列を走査
        for (int col = 0; col < n; col++) {
            // このマスに対応する主対角線と副対角線を計算
            int diag1 = row - col + n - 1;
            int diag2 = row + col;
            // 枝刈り：そのマスの列、主対角線、副対角線にクイーンがあってはならない
            if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
                // 試行：そのマスにクイーンを置く
                state[row][col] = "Q";
                cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = true;
                // 次の行に配置する
                Backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2);
                // 戻す：そのマスを空きマスに戻す
                state[row][col] = "#";
                cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = false;
            }
        }
    }

    /* N クイーンを解く */
    List<List<List<string>>> NQueens(int n) {
        // n*n の盤面を初期化する。'Q' はクイーン、'#' は空きマスを表す
        List<List<string>> state = [];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            List<string> row = [];
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                row.Add("#");
            }
            state.Add(row);
        }
        bool[] cols = new bool[n]; // 列にクイーンがあるか記録
        bool[] diags1 = new bool[2 * n - 1]; // 主対角線にクイーンがあるかを記録
        bool[] diags2 = new bool[2 * n - 1]; // 副対角線にクイーンがあるかを記録
        List<List<List<string>>> res = [];

        Backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2);

        return res;
    }
    ```

=== "Go"

    ```go title="n_queens.go"
    /* バックトラッキング：N クイーン */
    func backtrack(row, n int, state *[][]string, res *[][][]string, cols, diags1, diags2 *[]bool) {
        // すべての行への配置が完了したら、解を記録する
        if row == n {
            newState := make([][]string, len(*state))
            for i, _ := range newState {
                newState[i] = make([]string, len((*state)[0]))
                copy(newState[i], (*state)[i])

            }
            *res = append(*res, newState)
            return
        }
        // すべての列を走査
        for col := 0; col < n; col++ {
            // このマスに対応する主対角線と副対角線を計算
            diag1 := row - col + n - 1
            diag2 := row + col
            // 枝刈り：そのマスの列、主対角線、副対角線にクイーンがあってはならない
            if !(*cols)[col] && !(*diags1)[diag1] && !(*diags2)[diag2] {
                // 試行：そのマスにクイーンを置く
                (*state)[row][col] = "Q"
                (*cols)[col], (*diags1)[diag1], (*diags2)[diag2] = true, true, true
                // 次の行に配置する
                backtrack(row+1, n, state, res, cols, diags1, diags2)
                // 戻す：そのマスを空きマスに戻す
                (*state)[row][col] = "#"
                (*cols)[col], (*diags1)[diag1], (*diags2)[diag2] = false, false, false
            }
        }
    }

    /* N クイーンを解く */
    func nQueens(n int) [][][]string {
        // n*n の盤面を初期化する。'Q' はクイーン、'#' は空きマスを表す
        state := make([][]string, n)
        for i := 0; i < n; i++ {
            row := make([]string, n)
            for i := 0; i < n; i++ {
                row[i] = "#"
            }
            state[i] = row
        }
        // 列にクイーンがあるか記録
        cols := make([]bool, n)
        diags1 := make([]bool, 2*n-1)
        diags2 := make([]bool, 2*n-1)
        res := make([][][]string, 0)
        backtrack(0, n, &state, &res, &cols, &diags1, &diags2)
        return res
    }
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="n_queens.swift"
    /* バックトラッキング：N クイーン */
    func backtrack(row: Int, n: Int, state: inout [[String]], res: inout [[[String]]], cols: inout [Bool], diags1: inout [Bool], diags2: inout [Bool]) {
        // すべての行への配置が完了したら、解を記録する
        if row == n {
            res.append(state)
            return
        }
        // すべての列を走査
        for col in 0 ..< n {
            // このマスに対応する主対角線と副対角線を計算
            let diag1 = row - col + n - 1
            let diag2 = row + col
            // 枝刈り：そのマスの列、主対角線、副対角線にクイーンがあってはならない
            if !cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2] {
                // 試行：そのマスにクイーンを置く
                state[row][col] = "Q"
                cols[col] = true
                diags1[diag1] = true
                diags2[diag2] = true
                // 次の行に配置する
                backtrack(row: row + 1, n: n, state: &state, res: &res, cols: &cols, diags1: &diags1, diags2: &diags2)
                // 戻す：そのマスを空きマスに戻す
                state[row][col] = "#"
                cols[col] = false
                diags1[diag1] = false
                diags2[diag2] = false
            }
        }
    }

    /* N クイーンを解く */
    func nQueens(n: Int) -> [[[String]]] {
        // n*n の盤面を初期化する。'Q' はクイーン、'#' は空きマスを表す
        var state = Array(repeating: Array(repeating: "#", count: n), count: n)
        var cols = Array(repeating: false, count: n) // 列にクイーンがあるか記録
        var diags1 = Array(repeating: false, count: 2 * n - 1) // 主対角線にクイーンがあるかを記録
        var diags2 = Array(repeating: false, count: 2 * n - 1) // 副対角線にクイーンがあるかを記録
        var res: [[[String]]] = []

        backtrack(row: 0, n: n, state: &state, res: &res, cols: &cols, diags1: &diags1, diags2: &diags2)

        return res
    }
    ```

=== "JS"

    ```javascript title="n_queens.js"
    /* バックトラッキング：N クイーン */
    function backtrack(row, n, state, res, cols, diags1, diags2) {
        // すべての行への配置が完了したら、解を記録する
        if (row === n) {
            res.push(state.map((row) => row.slice()));
            return;
        }
        // すべての列を走査
        for (let col = 0; col < n; col++) {
            // このマスに対応する主対角線と副対角線を計算
            const diag1 = row - col + n - 1;
            const diag2 = row + col;
            // 枝刈り：そのマスの列、主対角線、副対角線にクイーンがあってはならない
            if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
                // 試行：そのマスにクイーンを置く
                state[row][col] = 'Q';
                cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = true;
                // 次の行に配置する
                backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2);
                // 戻す：そのマスを空きマスに戻す
                state[row][col] = '#';
                cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = false;
            }
        }
    }

    /* N クイーンを解く */
    function nQueens(n) {
        // n*n の盤面を初期化する。'Q' はクイーン、'#' は空きマスを表す
        const state = Array.from({ length: n }, () => Array(n).fill('#'));
        const cols = Array(n).fill(false); // 列にクイーンがあるか記録
        const diags1 = Array(2 * n - 1).fill(false); // 主対角線にクイーンがあるかを記録
        const diags2 = Array(2 * n - 1).fill(false); // 副対角線にクイーンがあるかを記録
        const res = [];

        backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2);
        return res;
    }
    ```

=== "TS"

    ```typescript title="n_queens.ts"
    /* バックトラッキング：N クイーン */
    function backtrack(
        row: number,
        n: number,
        state: string[][],
        res: string[][][],
        cols: boolean[],
        diags1: boolean[],
        diags2: boolean[]
    ): void {
        // すべての行への配置が完了したら、解を記録する
        if (row === n) {
            res.push(state.map((row) => row.slice()));
            return;
        }
        // すべての列を走査
        for (let col = 0; col < n; col++) {
            // このマスに対応する主対角線と副対角線を計算
            const diag1 = row - col + n - 1;
            const diag2 = row + col;
            // 枝刈り：そのマスの列、主対角線、副対角線にクイーンがあってはならない
            if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
                // 試行：そのマスにクイーンを置く
                state[row][col] = 'Q';
                cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = true;
                // 次の行に配置する
                backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2);
                // 戻す：そのマスを空きマスに戻す
                state[row][col] = '#';
                cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = false;
            }
        }
    }

    /* N クイーンを解く */
    function nQueens(n: number): string[][][] {
        // n*n の盤面を初期化する。'Q' はクイーン、'#' は空きマスを表す
        const state = Array.from({ length: n }, () => Array(n).fill('#'));
        const cols = Array(n).fill(false); // 列にクイーンがあるか記録
        const diags1 = Array(2 * n - 1).fill(false); // 主対角線にクイーンがあるかを記録
        const diags2 = Array(2 * n - 1).fill(false); // 副対角線にクイーンがあるかを記録
        const res: string[][][] = [];

        backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2);
        return res;
    }
    ```

=== "Dart"

    ```dart title="n_queens.dart"
    /* バックトラッキング：N クイーン */
    void backtrack(
      int row,
      int n,
      List<List<String>> state,
      List<List<List<String>>> res,
      List<bool> cols,
      List<bool> diags1,
      List<bool> diags2,
    ) {
      // すべての行への配置が完了したら、解を記録する
      if (row == n) {
        List<List<String>> copyState = [];
        for (List<String> sRow in state) {
          copyState.add(List.from(sRow));
        }
        res.add(copyState);
        return;
      }
      // すべての列を走査
      for (int col = 0; col < n; col++) {
        // このマスに対応する主対角線と副対角線を計算
        int diag1 = row - col + n - 1;
        int diag2 = row + col;
        // 枝刈り：そのマスの列、主対角線、副対角線にクイーンがあってはならない
        if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
          // 試行：そのマスにクイーンを置く
          state[row][col] = "Q";
          cols[col] = true;
          diags1[diag1] = true;
          diags2[diag2] = true;
          // 次の行に配置する
          backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2);
          // 戻す：そのマスを空きマスに戻す
          state[row][col] = "#";
          cols[col] = false;
          diags1[diag1] = false;
          diags2[diag2] = false;
        }
      }
    }

    /* N クイーンを解く */
    List<List<List<String>>> nQueens(int n) {
      // n*n の盤面を初期化する。'Q' はクイーン、'#' は空きマスを表す
      List<List<String>> state = List.generate(n, (index) => List.filled(n, "#"));
      List<bool> cols = List.filled(n, false); // 列にクイーンがあるか記録
      List<bool> diags1 = List.filled(2 * n - 1, false); // 主対角線にクイーンがあるかを記録
      List<bool> diags2 = List.filled(2 * n - 1, false); // 副対角線にクイーンがあるかを記録
      List<List<List<String>>> res = [];

      backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2);

      return res;
    }
    ```

=== "Rust"

    ```rust title="n_queens.rs"
    /* バックトラッキング：N クイーン */
    fn backtrack(
        row: usize,
        n: usize,
        state: &mut Vec<Vec<String>>,
        res: &mut Vec<Vec<Vec<String>>>,
        cols: &mut [bool],
        diags1: &mut [bool],
        diags2: &mut [bool],
    ) {
        // すべての行への配置が完了したら、解を記録する
        if row == n {
            res.push(state.clone());
            return;
        }
        // すべての列を走査
        for col in 0..n {
            // このマスに対応する主対角線と副対角線を計算
            let diag1 = row + n - 1 - col;
            let diag2 = row + col;
            // 枝刈り：そのマスの列、主対角線、副対角線にクイーンがあってはならない
            if !cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2] {
                // 試行：そのマスにクイーンを置く
                state[row][col] = "Q".into();
                (cols[col], diags1[diag1], diags2[diag2]) = (true, true, true);
                // 次の行に配置する
                backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2);
                // 戻す：そのマスを空きマスに戻す
                state[row][col] = "#".into();
                (cols[col], diags1[diag1], diags2[diag2]) = (false, false, false);
            }
        }
    }

    /* N クイーンを解く */
    fn n_queens(n: usize) -> Vec<Vec<Vec<String>>> {
        // n*n の盤面を初期化する。'Q' はクイーン、'#' は空きマスを表す
        let mut state: Vec<Vec<String>> = vec![vec!["#".to_string(); n]; n];
        let mut cols = vec![false; n]; // 列にクイーンがあるか記録
        let mut diags1 = vec![false; 2 * n - 1]; // 主対角線にクイーンがあるかを記録
        let mut diags2 = vec![false; 2 * n - 1]; // 副対角線にクイーンがあるかを記録
        let mut res: Vec<Vec<Vec<String>>> = Vec::new();

        backtrack(
            0,
            n,
            &mut state,
            &mut res,
            &mut cols,
            &mut diags1,
            &mut diags2,
        );

        res
    }
    ```

=== "C"

    ```c title="n_queens.c"
    /* バックトラッキング：N クイーン */
    void backtrack(int row, int n, char state[MAX_SIZE][MAX_SIZE], char ***res, int *resSize, bool cols[MAX_SIZE],
                   bool diags1[2 * MAX_SIZE - 1], bool diags2[2 * MAX_SIZE - 1]) {
        // すべての行への配置が完了したら、解を記録する
        if (row == n) {
            res[*resSize] = (char **)malloc(sizeof(char *) * n);
            for (int i = 0; i < n; ++i) {
                res[*resSize][i] = (char *)malloc(sizeof(char) * (n + 1));
                strcpy(res[*resSize][i], state[i]);
            }
            (*resSize)++;
            return;
        }
        // すべての列を走査
        for (int col = 0; col < n; col++) {
            // このマスに対応する主対角線と副対角線を計算
            int diag1 = row - col + n - 1;
            int diag2 = row + col;
            // 枝刈り：そのマスの列、主対角線、副対角線にクイーンがあってはならない
            if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
                // 試行：そのマスにクイーンを置く
                state[row][col] = 'Q';
                cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = true;
                // 次の行に配置する
                backtrack(row + 1, n, state, res, resSize, cols, diags1, diags2);
                // 戻す：そのマスを空きマスに戻す
                state[row][col] = '#';
                cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = false;
            }
        }
    }

    /* N クイーンを解く */
    char ***nQueens(int n, int *returnSize) {
        char state[MAX_SIZE][MAX_SIZE];
        // n*n の盤面を初期化する。'Q' はクイーン、'#' は空きマスを表す
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                state[i][j] = '#';
            }
            state[i][n] = '\0';
        }
        bool cols[MAX_SIZE] = {false};           // 列にクイーンがあるか記録
        bool diags1[2 * MAX_SIZE - 1] = {false}; // 主対角線にクイーンがあるかを記録
        bool diags2[2 * MAX_SIZE - 1] = {false}; // 副対角線にクイーンがあるかを記録

        char ***res = (char ***)malloc(sizeof(char **) * MAX_SIZE);
        *returnSize = 0;
        backtrack(0, n, state, res, returnSize, cols, diags1, diags2);
        return res;
    }
    ```

=== "Kotlin"

    ```kotlin title="n_queens.kt"
    /* バックトラッキング：N クイーン */
    fun backtrack(
        row: Int,
        n: Int,
        state: MutableList<MutableList<String>>,
        res: MutableList<MutableList<MutableList<String>>?>,
        cols: BooleanArray,
        diags1: BooleanArray,
        diags2: BooleanArray
    ) {
        // すべての行への配置が完了したら、解を記録する
        if (row == n) {
            val copyState = mutableListOf<MutableList<String>>()
            for (sRow in state) {
                copyState.add(sRow.toMutableList())
            }
            res.add(copyState)
            return
        }
        // すべての列を走査
        for (col in 0..<n) {
            // このマスに対応する主対角線と副対角線を計算
            val diag1 = row - col + n - 1
            val diag2 = row + col
            // 枝刈り：そのマスの列、主対角線、副対角線にクイーンがあってはならない
            if (!cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]) {
                // 試行：そのマスにクイーンを置く
                state[row][col] = "Q"
                diags2[diag2] = true
                diags1[diag1] = diags2[diag2]
                cols[col] = diags1[diag1]
                // 次の行に配置する
                backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2)
                // 戻す：そのマスを空きマスに戻す
                state[row][col] = "#"
                diags2[diag2] = false
                diags1[diag1] = diags2[diag2]
                cols[col] = diags1[diag1]
            }
        }
    }

    /* N クイーンを解く */
    fun nQueens(n: Int): MutableList<MutableList<MutableList<String>>?> {
        // n*n の盤面を初期化する。'Q' はクイーン、'#' は空きマスを表す
        val state = mutableListOf<MutableList<String>>()
        for (i in 0..<n) {
            val row = mutableListOf<String>()
            for (j in 0..<n) {
                row.add("#")
            }
            state.add(row)
        }
        val cols = BooleanArray(n) // 列にクイーンがあるか記録
        val diags1 = BooleanArray(2 * n - 1) // 主対角線にクイーンがあるかを記録
        val diags2 = BooleanArray(2 * n - 1) // 副対角線にクイーンがあるかを記録
        val res = mutableListOf<MutableList<MutableList<String>>?>()

        backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2)

        return res
    }
    ```

=== "Ruby"

    ```ruby title="n_queens.rb"
    ### バックトラッキング法：Nクイーン ###
    def backtrack(row, n, state, res, cols, diags1, diags2)
      # すべての行への配置が完了したら、解を記録する
      if row == n
        res << state.map { |row| row.dup }
        return
      end

      # すべての列を走査
      for col in 0...n
        # このマスに対応する主対角線と副対角線を計算
        diag1 = row - col + n - 1
        diag2 = row + col
        # 枝刈り：そのマスの列、主対角線、副対角線にクイーンがあってはならない
        if !cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2]
          # 試行：そのマスにクイーンを置く
          state[row][col] = "Q"
          cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = true
          # 次の行に配置する
          backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2)
          # 戻す：そのマスを空きマスに戻す
          state[row][col] = "#"
          cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = false
        end
      end
    end

    ### Nクイーンを解く ###
    def n_queens(n)
      # n*n の盤面を初期化する。'Q' はクイーン、'#' は空きマスを表す
      state = Array.new(n) { Array.new(n, "#") }
      cols = Array.new(n, false) # 列にクイーンがあるか記録
      diags1 = Array.new(2 * n - 1, false) # 主対角線にクイーンがあるかを記録
      diags2 = Array.new(2 * n - 1, false) # 副対角線にクイーンがあるかを記録
      res = []
      backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2)

      res
    end
    ```

??? pythontutor "コードの可視化"

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行ごとに $n$ 回配置し、列制約を考慮すると、1 行目から最終行までの選択肢はそれぞれ $n$、$n-1$、$\dots$、$2$、$1$ 個となるため、時間計算量は $O(n!)$ です。解を記録する際には、行列 `state` をコピーして `res` に追加する必要があり、このコピー操作には $O(n^2)$ 時間を要します。したがって、**全体の時間計算量は $O(n! \cdot n^2)$** です。実際には、対角線制約による枝刈りも探索空間を大きく縮小できるため、探索効率はしばしば上記の時間計算量より良くなります。

配列 `state` は $O(n^2)$ の空間を使用し、配列 `cols`、`diags1`、`diags2` はいずれも $O(n)$ の空間を使用します。最大再帰深さは $n$ で、スタックフレーム空間として $O(n)$ を使用します。したがって、**空間計算量は $O(n^2)$** です。