--- comments: true --- # 7.1   二分木 二分木（binary tree）は非線形データ構造の一種であり、「祖先」と「子孫」の派生関係を表し、「一つを二つに分ける」分割統治の考え方を体現しています。連結リストと同様に、二分木の基本単位はノードであり、各ノードは値、左子ノードへの参照、右子ノードへの参照を含みます。 === "Python" ```python title="" class TreeNode: """二分木ノードクラス""" def __init__(self, val: int): self.val: int = val # ノード値 self.left: TreeNode | None = None # 左子ノード参照 self.right: TreeNode | None = None # 右子ノード参照 ``` === "C++" ```cpp title="" /* 二分木ノード構造体 */ struct TreeNode { int val; // ノード値 TreeNode *left; // 左子ノードポインタ TreeNode *right; // 右子ノードポインタ TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {} }; ``` === "Java" ```java title="" /* 二分木ノードクラス */ class TreeNode { int val; // ノード値 TreeNode left; // 左子ノード参照 TreeNode right; // 右子ノード参照 TreeNode(int x) { val = x; } } ``` === "C#" ```csharp title="" /* 二分木ノードクラス */ class TreeNode(int? x) { public int? val = x; // ノード値 public TreeNode? left; // 左子ノード参照 public TreeNode? right; // 右子ノード参照 } ``` === "Go" ```go title="" /* 二分木ノード構造体 */ type TreeNode struct { Val int Left *TreeNode Right *TreeNode } /* コンストラクタ */ func NewTreeNode(v int) *TreeNode { return &TreeNode{ Left: nil, // 左子ノードポインタ Right: nil, // 右子ノードポインタ Val: v, // ノード値 } } ``` === "Swift" ```swift title="" /* 二分木ノードクラス */ class TreeNode { var val: Int // ノード値 var left: TreeNode? // 左子ノード参照 var right: TreeNode? // 右子ノード参照 init(x: Int) { val = x } } ``` === "JS" ```javascript title="" /* 二分木ノードクラス */ class TreeNode { val; // ノード値 left; // 左子ノードポインタ right; // 右子ノードポインタ constructor(val, left, right) { this.val = val === undefined ? 0 : val; this.left = left === undefined ? null : left; this.right = right === undefined ? null : right; } } ``` === "TS" ```typescript title="" /* 二分木ノードクラス */ class TreeNode { val: number; left: TreeNode | null; right: TreeNode | null; constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) { this.val = val === undefined ? 0 : val; // ノード値 this.left = left === undefined ? null : left; // 左子ノード参照 this.right = right === undefined ? null : right; // 右子ノード参照 } } ``` === "Dart" ```dart title="" /* 二分木ノードクラス */ class TreeNode { int val; // ノード値 TreeNode? left; // 左子ノード参照 TreeNode? right; // 右子ノード参照 TreeNode(this.val, [this.left, this.right]); } ``` === "Rust" ```rust title="" use std::rc::Rc; use std::cell::RefCell; /* 二分木ノード構造体 */ struct TreeNode { val: i32, // ノード値 left: Option>>, // 左子ノード参照 right: Option>>, // 右子ノード参照 } impl TreeNode { /* コンストラクタ */ fn new(val: i32) -> Rc> { Rc::new(RefCell::new(Self { val, left: None, right: None })) } } ``` === "C" ```c title="" /* 二分木ノード構造体 */ typedef struct TreeNode { int val; // ノード値 int height; // ノードの高さ struct TreeNode *left; // 左子ノードポインタ struct TreeNode *right; // 右子ノードポインタ } TreeNode; /* コンストラクタ */ TreeNode *newTreeNode(int val) { TreeNode *node; node = (TreeNode *)malloc(sizeof(TreeNode)); node->val = val; node->height = 0; node->left = NULL; node->right = NULL; return node; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="" /* 二分木ノードクラス */ class TreeNode(val _val: Int) { // ノード値 val left: TreeNode? = null // 左子ノード参照 val right: TreeNode? = null // 右子ノード参照 } ``` === "Ruby" ```ruby title="" ### 二分木ノードクラス ### class TreeNode attr_accessor :val # ノード値 attr_accessor :left # 左子ノード参照 attr_accessor :right # 右子ノード参照 def initialize(val) @val = val end end ``` 各ノードは 2 つの参照（ポインタ）を持ち、それぞれ左子ノード（left-child node）と右子ノード（right-child node）を指します。このノードはこれら 2 つの子ノードの親ノード（parent node）と呼ばれます。二分木のあるノードが与えられたとき、そのノードの左子ノードとその配下のノードからなる木をそのノードの左部分木（left subtree）と呼び、同様に右部分木（right subtree）が定義されます。 **二分木では、葉ノードを除くすべてのノードが子ノードと空でない部分木を持ちます**。以下の図に示すように、「ノード 2」を親ノードとみなすと、その左子ノードと右子ノードはそれぞれ「ノード 4」と「ノード 5」であり、左部分木は「ノード 4 とその配下のノードからなる木」、右部分木は「ノード 5 とその配下のノードからなる木」です。 ![親ノード、子ノード、部分木](binary_tree.assets/binary_tree_definition.png){ class="animation-figure" }

図 7-1   親ノード、子ノード、部分木

## 7.1.1   二分木のよく使われる用語 二分木でよく使われる用語を以下の図に示します。 - 根ノード（root node）：二分木の最上位にあるノードで、親ノードを持ちません。 - 葉ノード（leaf node）：子ノードを持たないノードで、2 本のポインタはいずれも `None` を指します。 - 辺（edge）：2 つのノードを結ぶ線分、すなわちノード参照（ポインタ）です。 - ノードが属するレベル（level）：上から下へ向かって増加し、根ノードのレベルは 1 です。 - ノードの次数（degree）：ノードの子ノードの数。二分木では次数の取り得る値は 0、1、2 です。 - 二分木の高さ（height）：根ノードから最も遠い葉ノードまでに通る辺の数。 - ノードの深さ（depth）：根ノードからそのノードまでに通る辺の数。 - ノードの高さ（height）：そのノードから最も遠い葉ノードまでに通る辺の数。 ![二分木のよく使われる用語](binary_tree.assets/binary_tree_terminology.png){ class="animation-figure" }

図 7-2   二分木のよく使われる用語

!!! tip なお、通常「高さ」と「深さ」は「通過した辺の数」と定義しますが、問題や教材によっては「通過したノードの数」と定義する場合もあります。その場合、高さと深さはいずれも 1 を加える必要があります。 ## 7.1.2   二分木の基本操作 ### 1.   二分木を初期化する 連結リストと同様に、まずノードを初期化し、その後で参照（ポインタ）を構築します。 === "Python" ```python title="binary_tree.py" # 二分木を初期化する # ノードを初期化する n1 = TreeNode(val=1) n2 = TreeNode(val=2) n3 = TreeNode(val=3) n4 = TreeNode(val=4) n5 = TreeNode(val=5) # ノード間の参照（ポインタ）を構築する n1.left = n2 n1.right = n3 n2.left = n4 n2.right = n5 ``` === "C++" ```cpp title="binary_tree.cpp" /* 二分木を初期化する */ // ノードを初期化する TreeNode* n1 = new TreeNode(1); TreeNode* n2 = new TreeNode(2); TreeNode* n3 = new TreeNode(3); TreeNode* n4 = new TreeNode(4); TreeNode* n5 = new TreeNode(5); // ノード間の参照（ポインタ）を構築する n1->left = n2; n1->right = n3; n2->left = n4; n2->right = n5; ``` === "Java" ```java title="binary_tree.java" // ノードを初期化する TreeNode n1 = new TreeNode(1); TreeNode n2 = new TreeNode(2); TreeNode n3 = new TreeNode(3); TreeNode n4 = new TreeNode(4); TreeNode n5 = new TreeNode(5); // ノード間の参照（ポインタ）を構築する n1.left = n2; n1.right = n3; n2.left = n4; n2.right = n5; ``` === "C#" ```csharp title="binary_tree.cs" /* 二分木を初期化する */ // ノードを初期化する TreeNode n1 = new(1); TreeNode n2 = new(2); TreeNode n3 = new(3); TreeNode n4 = new(4); TreeNode n5 = new(5); // ノード間の参照（ポインタ）を構築する n1.left = n2; n1.right = n3; n2.left = n4; n2.right = n5; ``` === "Go" ```go title="binary_tree.go" /* 二分木を初期化する */ // ノードを初期化する n1 := NewTreeNode(1) n2 := NewTreeNode(2) n3 := NewTreeNode(3) n4 := NewTreeNode(4) n5 := NewTreeNode(5) // ノード間の参照（ポインタ）を構築する n1.Left = n2 n1.Right = n3 n2.Left = n4 n2.Right = n5 ``` === "Swift" ```swift title="binary_tree.swift" // ノードを初期化する let n1 = TreeNode(x: 1) let n2 = TreeNode(x: 2) let n3 = TreeNode(x: 3) let n4 = TreeNode(x: 4) let n5 = TreeNode(x: 5) // ノード間の参照（ポインタ）を構築する n1.left = n2 n1.right = n3 n2.left = n4 n2.right = n5 ``` === "JS" ```javascript title="binary_tree.js" /* 二分木を初期化する */ // ノードを初期化する let n1 = new TreeNode(1), n2 = new TreeNode(2), n3 = new TreeNode(3), n4 = new TreeNode(4), n5 = new TreeNode(5); // ノード間の参照（ポインタ）を構築する n1.left = n2; n1.right = n3; n2.left = n4; n2.right = n5; ``` === "TS" ```typescript title="binary_tree.ts" /* 二分木を初期化する */ // ノードを初期化する let n1 = new TreeNode(1), n2 = new TreeNode(2), n3 = new TreeNode(3), n4 = new TreeNode(4), n5 = new TreeNode(5); // ノード間の参照（ポインタ）を構築する n1.left = n2; n1.right = n3; n2.left = n4; n2.right = n5; ``` === "Dart" ```dart title="binary_tree.dart" /* 二分木を初期化する */ // ノードを初期化する TreeNode n1 = new TreeNode(1); TreeNode n2 = new TreeNode(2); TreeNode n3 = new TreeNode(3); TreeNode n4 = new TreeNode(4); TreeNode n5 = new TreeNode(5); // ノード間の参照（ポインタ）を構築する n1.left = n2; n1.right = n3; n2.left = n4; n2.right = n5; ``` === "Rust" ```rust title="binary_tree.rs" // ノードを初期化する let n1 = TreeNode::new(1); let n2 = TreeNode::new(2); let n3 = TreeNode::new(3); let n4 = TreeNode::new(4); let n5 = TreeNode::new(5); // ノード間の参照（ポインタ）を構築する n1.borrow_mut().left = Some(n2.clone()); n1.borrow_mut().right = Some(n3); n2.borrow_mut().left = Some(n4); n2.borrow_mut().right = Some(n5); ``` === "C" ```c title="binary_tree.c" /* 二分木を初期化する */ // ノードを初期化する TreeNode *n1 = newTreeNode(1); TreeNode *n2 = newTreeNode(2); TreeNode *n3 = newTreeNode(3); TreeNode *n4 = newTreeNode(4); TreeNode *n5 = newTreeNode(5); // ノード間の参照（ポインタ）を構築する n1->left = n2; n1->right = n3; n2->left = n4; n2->right = n5; ``` === "Kotlin" ```kotlin title="binary_tree.kt" // ノードを初期化する val n1 = TreeNode(1) val n2 = TreeNode(2) val n3 = TreeNode(3) val n4 = TreeNode(4) val n5 = TreeNode(5) // ノード間の参照（ポインタ）を構築する n1.left = n2 n1.right = n3 n2.left = n4 n2.right = n5 ``` === "Ruby" ```ruby title="binary_tree.rb" # 二分木を初期化する # ノードを初期化する n1 = TreeNode.new(1) n2 = TreeNode.new(2) n3 = TreeNode.new(3) n4 = TreeNode.new(4) n5 = TreeNode.new(5) # ノード間の参照（ポインタ）を構築する n1.left = n2 n1.right = n3 n2.left = n4 n2.right = n5 ``` ??? pythontutor "実行の可視化" https://pythontutor.com/render.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%E5%B7%A6%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%23%20%E5%8F%B3%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20n1%20%3D%20TreeNode%28val%3D1%29%0A%20%20%20%20n2%20%3D%20TreeNode%28val%3D2%29%0A%20%20%20%20n3%20%3D%20TreeNode%28val%3D3%29%0A%20%20%20%20n4%20%3D%20TreeNode%28val%3D4%29%0A%20%20%20%20n5%20%3D%20TreeNode%28val%3D5%29%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9E%84%E5%BB%BA%E8%8A%82%E7%82%B9%E4%B9%8B%E9%97%B4%E7%9A%84%E5%BC%95%E7%94%A8%EF%BC%88%E6%8C%87%E9%92%88%EF%BC%89%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20n1.right%20%3D%20n3%0A%20%20%20%20n2.left%20%3D%20n4%0A%20%20%20%20n2.right%20%3D%20n5&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&mode=display&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false ### 2.   ノードの挿入と削除 連結リストと同様に、二分木でのノードの挿入と削除はポインタを変更することで実現できます。以下の図に 1 つの例を示します。 ![二分木でノードを挿入・削除する](binary_tree.assets/binary_tree_add_remove.png){ class="animation-figure" }

図 7-3   二分木でノードを挿入・削除する

=== "Python" ```python title="binary_tree.py" # ノードの挿入と削除 p = TreeNode(0) # n1 -> n2 の間にノード P を挿入する n1.left = p p.left = n2 # ノード P を削除する n1.left = n2 ``` === "C++" ```cpp title="binary_tree.cpp" /* ノードの挿入と削除 */ TreeNode* P = new TreeNode(0); // n1 -> n2 の間にノード P を挿入する n1->left = P; P->left = n2; // ノード P を削除する n1->left = n2; // メモリを解放する delete P; ``` === "Java" ```java title="binary_tree.java" TreeNode P = new TreeNode(0); // n1 -> n2 の間にノード P を挿入する n1.left = P; P.left = n2; // ノード P を削除する n1.left = n2; ``` === "C#" ```csharp title="binary_tree.cs" /* ノードの挿入と削除 */ TreeNode P = new(0); // n1 -> n2 の間にノード P を挿入する n1.left = P; P.left = n2; // ノード P を削除する n1.left = n2; ``` === "Go" ```go title="binary_tree.go" /* ノードの挿入と削除 */ // n1 -> n2 の間にノード P を挿入する p := NewTreeNode(0) n1.Left = p p.Left = n2 // ノード P を削除する n1.Left = n2 ``` === "Swift" ```swift title="binary_tree.swift" let P = TreeNode(x: 0) // n1 -> n2 の間にノード P を挿入する n1.left = P P.left = n2 // ノード P を削除する n1.left = n2 ``` === "JS" ```javascript title="binary_tree.js" /* ノードの挿入と削除 */ let P = new TreeNode(0); // n1 -> n2 の間にノード P を挿入する n1.left = P; P.left = n2; // ノード P を削除する n1.left = n2; ``` === "TS" ```typescript title="binary_tree.ts" /* ノードの挿入と削除 */ const P = new TreeNode(0); // n1 -> n2 の間にノード P を挿入する n1.left = P; P.left = n2; // ノード P を削除する n1.left = n2; ``` === "Dart" ```dart title="binary_tree.dart" /* ノードの挿入と削除 */ TreeNode P = new TreeNode(0); // n1 -> n2 の間にノード P を挿入する n1.left = P; P.left = n2; // ノード P を削除する n1.left = n2; ``` === "Rust" ```rust title="binary_tree.rs" let p = TreeNode::new(0); // n1 -> n2 の間にノード P を挿入する n1.borrow_mut().left = Some(p.clone()); p.borrow_mut().left = Some(n2.clone()); // ノード p を削除する n1.borrow_mut().left = Some(n2); ``` === "C" ```c title="binary_tree.c" /* ノードの挿入と削除 */ TreeNode *P = newTreeNode(0); // n1 -> n2 の間にノード P を挿入する n1->left = P; P->left = n2; // ノード P を削除する n1->left = n2; // メモリを解放する free(P); ``` === "Kotlin" ```kotlin title="binary_tree.kt" val P = TreeNode(0) // n1 -> n2 の間にノード P を挿入する n1.left = P P.left = n2 // ノード P を削除する n1.left = n2 ``` === "Ruby" ```ruby title="binary_tree.rb" # ノードの挿入と削除 _p = TreeNode.new(0) # n1 -> n2 の間にノード _p を挿入する n1.left = _p _p.left = n2 # ノードを削除する n1.left = n2 ``` ??? pythontutor "実行の可視化" https://pythontutor.com/render.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%E5%B7%A6%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%23%20%E5%8F%B3%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20n1%20%3D%20TreeNode%28val%3D1%29%0A%20%20%20%20n2%20%3D%20TreeNode%28val%3D2%29%0A%20%20%20%20n3%20%3D%20TreeNode%28val%3D3%29%0A%20%20%20%20n4%20%3D%20TreeNode%28val%3D4%29%0A%20%20%20%20n5%20%3D%20TreeNode%28val%3D5%29%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9E%84%E5%BB%BA%E8%8A%82%E7%82%B9%E4%B9%8B%E9%97%B4%E7%9A%84%E5%BC%95%E7%94%A8%EF%BC%88%E6%8C%87%E9%92%88%EF%BC%89%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20n1.right%20%3D%20n3%0A%20%20%20%20n2.left%20%3D%20n4%0A%20%20%20%20n2.right%20%3D%20n5%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E4%B8%8E%E5%88%A0%E9%99%A4%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20p%20%3D%20TreeNode%280%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%9C%A8%20n1%20-%3E%20n2%20%E4%B8%AD%E9%97%B4%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%20P%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20p%0A%20%20%20%20p.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%A0%E9%99%A4%E8%8A%82%E7%82%B9%20P%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2&cumulative=false&curInstr=37&heapPrimitives=nevernest&mode=display&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false !!! tip 注意すべき点として、ノードの挿入は二分木の元の論理構造を変える可能性があり、ノードの削除は通常、そのノードと配下のすべての部分木の削除を意味します。そのため、二分木における挿入と削除は、実際に意味のある操作を実現するために、通常は一連の操作を組み合わせて行います。 ## 7.1.3   一般的な二分木の種類 ### 1.   充足二分木 以下の図に示すように、充足二分木（perfect binary tree）ではすべてのレベルのノードが完全に埋まっています。充足二分木では、葉ノードの次数は $0$ で、それ以外のすべてのノードの次数は $2$ です。木の高さを $h$ とすると、ノード総数は $2^{h+1} - 1$ となり、標準的な指数関係を示して、自然界でよく見られる細胞分裂の現象を反映しています。 !!! tip なお、中国語圏では充足二分木は満二分木と呼ばれることもあります。 ![充足二分木](binary_tree.assets/perfect_binary_tree.png){ class="animation-figure" }

図 7-4   充足二分木

### 2.   完全二分木 以下の図に示すように、完全二分木（complete binary tree）では最下層のノードだけが完全に埋まっていなくてもよく、しかも最下層のノードは左から右へ連続して詰められていなければなりません。なお、充足二分木も完全二分木の一種です。 ![完全二分木](binary_tree.assets/complete_binary_tree.png){ class="animation-figure" }

図 7-5   完全二分木

### 3.   充満二分木 以下の図に示すように、充満二分木（full binary tree）では、葉ノードを除くすべてのノードが 2 つの子ノードを持ちます。 ![充満二分木](binary_tree.assets/full_binary_tree.png){ class="animation-figure" }

図 7-6   充満二分木

### 4.   平衡二分木 以下の図に示すように、平衡二分木（balanced binary tree）では、任意のノードについて左部分木と右部分木の高さの差の絶対値が 1 を超えません。 ![平衡二分木](binary_tree.assets/balanced_binary_tree.png){ class="animation-figure" }

図 7-7   平衡二分木

## 7.1.4   二分木の退化 以下の図は、二分木の理想的な構造と退化した構造を示しています。二分木の各レベルのノードがすべて埋まっていると「充足二分木」となり、すべてのノードが片側に偏ると二分木は「連結リスト」へ退化します。 - 充足二分木は理想的なケースであり、二分木の「分割統治」の利点を十分に発揮できます。 - 連結リストはその対極にあり、各種操作はすべて線形操作となり、時間計算量は $O(n)$ まで退化します。 ![二分木の最良構造と最悪構造](binary_tree.assets/binary_tree_best_worst_cases.png){ class="animation-figure" }

図 7-8   二分木の最良構造と最悪構造

以下の表に示すように、最良構造と最悪構造では、二分木の葉ノード数、ノード総数、高さなどが極大または極小になります。

表 7-1   二分木の最良構造と最悪構造

| | 充足二分木 | 連結リスト | | --------------------------- | ------------------ | ------- | | 第 $i$ レベルのノード数 | $2^{i-1}$ | $1$ | | 高さ $h$ の木の葉ノード数 | $2^h$ | $1$ | | 高さ $h$ の木のノード総数 | $2^{h+1} - 1$ | $h + 1$ | | ノード総数 $n$ の木の高さ | $\log_2 (n+1) - 1$ | $n - 1$ |