--- comments: true --- # 7.2 二分木の走査物理構造の観点から見ると、木は連結リストを基盤としたデータ構造であり、その走査はポインタを通じてノードへ順にアクセスすることで行われます。しかし、木は非線形データ構造であるため、木の走査は連結リストの走査よりも複雑であり、検索アルゴリズムを用いて実現する必要があります。二分木の一般的な走査方法には、レベル順走査、先行順走査、中間順走査、後行順走査などがあります。 ## 7.2.1 レベル順走査次の図に示すように、レベル順走査（level-order traversal）では、二分木を上から下へ層ごとに走査し、各層では左から右の順にノードへアクセスします。レベル順走査は本質的に幅優先走査（breadth-first traversal）に属し、幅優先探索（breadth-first search, BFS）とも呼ばれます。これは「同心円状に外側へ広がる」ような、層ごとの走査方法を表しています。 ![二分木のレベル順走査](binary_tree_traversal.assets/binary_tree_bfs.png){ class="animation-figure" }

図 7-9 二分木のレベル順走査

### 1. コードの実装幅優先走査は通常「キュー」を用いて実装します。キューは「先入れ先出し」の規則に従い、幅優先走査は「層ごとに進む」という規則に従います。両者の背後にある考え方は一致しています。実装コードは次のとおりです： === "Python" ```python title="binary_tree_bfs.py" def level_order(root: TreeNode | None) -> list[int]: """レベル順走査""" # キューを初期化し、ルートノードを追加する queue: deque[TreeNode] = deque() queue.append(root) # 走査順序を保存するためのリストを初期化する res = [] while queue: node: TreeNode = queue.popleft() # デキュー res.append(node.val) # ノードの値を保存する if node.left is not None: queue.append(node.left) # 左子ノードをキューに追加 if node.right is not None: queue.append(node.right) # 右子ノードをキューに追加 return res ``` === "C++" ```cpp title="binary_tree_bfs.cpp" /* レベル順走査 */ vector levelOrder(TreeNode *root) { // キューを初期化し、ルートノードを追加する queue queue; queue.push(root); // 走査順序を保存するためのリストを初期化する vector vec; while (!queue.empty()) { TreeNode *node = queue.front(); queue.pop(); // デキュー vec.push_back(node->val); // ノードの値を保存する if (node->left != nullptr) queue.push(node->left); // 左子ノードをキューに追加 if (node->right != nullptr) queue.push(node->right); // 右子ノードをキューに追加 } return vec; } ``` === "Java" ```java title="binary_tree_bfs.java" /* レベル順走査 */ List levelOrder(TreeNode root) { // キューを初期化し、ルートノードを追加する Queue queue = new LinkedList<>(); queue.add(root); // 走査順序を保存するためのリストを初期化する List list = new ArrayList<>(); while (!queue.isEmpty()) { TreeNode node = queue.poll(); // デキュー list.add(node.val); // ノードの値を保存する if (node.left != null) queue.offer(node.left); // 左子ノードをキューに追加 if (node.right != null) queue.offer(node.right); // 右子ノードをキューに追加 } return list; } ``` === "C#" ```csharp title="binary_tree_bfs.cs" /* レベル順走査 */ List LevelOrder(TreeNode root) { // キューを初期化し、ルートノードを追加する Queue queue = new(); queue.Enqueue(root); // 走査順序を保存するためのリストを初期化する List list = []; while (queue.Count != 0) { TreeNode node = queue.Dequeue(); // デキュー list.Add(node.val!.Value); // ノードの値を保存する if (node.left != null) queue.Enqueue(node.left); // 左子ノードをキューに追加 if (node.right != null) queue.Enqueue(node.right); // 右子ノードをキューに追加 } return list; } ``` === "Go" ```go title="binary_tree_bfs.go" /* レベル順走査 */ func levelOrder(root *TreeNode) []any { // キューを初期化し、ルートノードを追加する queue := list.New() queue.PushBack(root) // 走査順を保存するためのスライスを初期化する nums := make([]any, 0) for queue.Len() > 0 { // デキュー node := queue.Remove(queue.Front()).(*TreeNode) // ノードの値を保存する nums = append(nums, node.Val) if node.Left != nil { // 左子ノードをキューに追加 queue.PushBack(node.Left) } if node.Right != nil { // 右子ノードをキューに追加 queue.PushBack(node.Right) } } return nums } ``` === "Swift" ```swift title="binary_tree_bfs.swift" /* レベル順走査 */ func levelOrder(root: TreeNode) -> [Int] { // キューを初期化し、ルートノードを追加する var queue: [TreeNode] = [root] // 走査順序を保存するためのリストを初期化する var list: [Int] = [] while !queue.isEmpty { let node = queue.removeFirst() // デキュー list.append(node.val) // ノードの値を保存する if let left = node.left { queue.append(left) // 左子ノードをキューに追加 } if let right = node.right { queue.append(right) // 右子ノードをキューに追加 } } return list } ``` === "JS" ```javascript title="binary_tree_bfs.js" /* レベル順走査 */ function levelOrder(root) { // キューを初期化し、ルートノードを追加する const queue = [root]; // 走査順序を保存するためのリストを初期化する const list = []; while (queue.length) { let node = queue.shift(); // デキュー list.push(node.val); // ノードの値を保存する if (node.left) queue.push(node.left); // 左子ノードをキューに追加 if (node.right) queue.push(node.right); // 右子ノードをキューに追加 } return list; } ``` === "TS" ```typescript title="binary_tree_bfs.ts" /* レベル順走査 */ function levelOrder(root: TreeNode | null): number[] { // キューを初期化し、ルートノードを追加する const queue = [root]; // 走査順序を保存するためのリストを初期化する const list: number[] = []; while (queue.length) { let node = queue.shift() as TreeNode; // デキュー list.push(node.val); // ノードの値を保存する if (node.left) { queue.push(node.left); // 左子ノードをキューに追加 } if (node.right) { queue.push(node.right); // 右子ノードをキューに追加 } } return list; } ``` === "Dart" ```dart title="binary_tree_bfs.dart" /* レベル順走査 */ List levelOrder(TreeNode? root) { // キューを初期化し、ルートノードを追加する Queue queue = Queue(); queue.add(root); // 走査順序を保存するためのリストを初期化する List res = []; while (queue.isNotEmpty) { TreeNode? node = queue.removeFirst(); // デキュー res.add(node!.val); // ノードの値を保存する if (node.left != null) queue.add(node.left); // 左子ノードをキューに追加 if (node.right != null) queue.add(node.right); // 右子ノードをキューに追加 } return res; } ``` === "Rust" ```rust title="binary_tree_bfs.rs" /* レベル順走査 */ fn level_order(root: &Rc>) -> Vec { // キューを初期化し、ルートノードを追加する let mut que = VecDeque::new(); que.push_back(root.clone()); // 走査順序を保存するためのリストを初期化する let mut vec = Vec::new(); while let Some(node) = que.pop_front() { // デキュー vec.push(node.borrow().val); // ノードの値を保存する if let Some(left) = node.borrow().left.as_ref() { que.push_back(left.clone()); // 左子ノードをキューに追加 } if let Some(right) = node.borrow().right.as_ref() { que.push_back(right.clone()); // 右子ノードをキューに追加 }; } vec } ``` === "C" ```c title="binary_tree_bfs.c" /* レベル順走査 */ int *levelOrder(TreeNode *root, int *size) { /* 補助キュー */ int front, rear; int index, *arr; TreeNode *node; TreeNode **queue; /* 補助キュー */ queue = (TreeNode **)malloc(sizeof(TreeNode *) * MAX_SIZE); // キューへのポインタ front = 0, rear = 0; // 根ノードを追加する queue[rear++] = root; // 走査順序を保存するためのリストを初期化する /* 補助配列 */ arr = (int *)malloc(sizeof(int) * MAX_SIZE); // 配列ポインタ index = 0; while (front < rear) { // デキュー node = queue[front++]; // ノードの値を保存する arr[index++] = node->val; if (node->left != NULL) { // 左子ノードをキューに追加 queue[rear++] = node->left; } if (node->right != NULL) { // 右子ノードをキューに追加 queue[rear++] = node->right; } } // 配列長の値を更新 *size = index; arr = realloc(arr, sizeof(int) * (*size)); // 補助配列の領域を解放する free(queue); return arr; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="binary_tree_bfs.kt" /* レベル順走査 */ fun levelOrder(root: TreeNode?): MutableList { // キューを初期化し、ルートノードを追加する val queue = LinkedList() queue.add(root) // 走査順序を保存するためのリストを初期化する val list = mutableListOf() while (queue.isNotEmpty()) { val node = queue.poll() // デキュー list.add(node?._val!!) // ノードの値を保存する if (node.left != null) queue.offer(node.left) // 左子ノードをキューに追加 if (node.right != null) queue.offer(node.right) // 右子ノードをキューに追加 } return list } ``` === "Ruby" ```ruby title="binary_tree_bfs.rb" ### レベル順走査 ### def level_order(root) # キューを初期化し、ルートノードを追加する queue = [root] # 走査順序を保存するためのリストを初期化する res = [] while !queue.empty? node = queue.shift # デキュー res << node.val # ノードの値を保存する queue << node.left unless node.left.nil? # 左子ノードをキューに追加 queue << node.right unless node.right.nil? # 右子ノードをキューに追加 end res end ``` ??? pythontutor "コードの可視化"

### 2. 計算量 - **時間計算量は $O(n)$** ：すべてのノードを1回ずつ訪問するため、計算量は $O(n)$ です。ここで、$n$ はノード数です。 - **空間計算量は $O(n)$** ：最悪の場合、すなわち完全二分木では、最下層に到達する前に、キュー内には最大で同時に $(n + 1) / 2$ 個のノードが存在し、$O(n)$ の空間を使用します。 ## 7.2.2 先行順・中間順・後行順走査同様に、先行順・中間順・後行順走査はいずれも深度優先走査（depth-first traversal）に属し、深度優先探索（depth-first search, DFS）とも呼ばれます。これは「まず行き止まりまで進み、その後で戻って続ける」という走査方法を表しています。次の図は、二分木に対して深度優先走査を行う仕組みを示しています。**深度優先走査は、二分木全体の外周をぐるりと「一周する」ようなものです**。各ノードでは3つの位置に出会い、それぞれが先行順走査・中間順走査・後行順走査に対応します。 ![二分探索木の先行順・中間順・後行順走査](binary_tree_traversal.assets/binary_tree_dfs.png){ class="animation-figure" }

図 7-10 二分探索木の先行順・中間順・後行順走査

### 1. コードの実装深度優先探索は通常、再帰に基づいて実装されます： === "Python" ```python title="binary_tree_dfs.py" def pre_order(root: TreeNode | None): """先行順走査""" if root is None: return # 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木 res.append(root.val) pre_order(root=root.left) pre_order(root=root.right) def in_order(root: TreeNode | None): """中順走査""" if root is None: return # 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木 in_order(root=root.left) res.append(root.val) in_order(root=root.right) def post_order(root: TreeNode | None): """後順走査""" if root is None: return # 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード post_order(root=root.left) post_order(root=root.right) res.append(root.val) ``` === "C++" ```cpp title="binary_tree_dfs.cpp" /* 先行順走査 */ void preOrder(TreeNode *root) { if (root == nullptr) return; // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木 vec.push_back(root->val); preOrder(root->left); preOrder(root->right); } /* 中順走査 */ void inOrder(TreeNode *root) { if (root == nullptr) return; // 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木 inOrder(root->left); vec.push_back(root->val); inOrder(root->right); } /* 後順走査 */ void postOrder(TreeNode *root) { if (root == nullptr) return; // 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード postOrder(root->left); postOrder(root->right); vec.push_back(root->val); } ``` === "Java" ```java title="binary_tree_dfs.java" /* 先行順走査 */ void preOrder(TreeNode root) { if (root == null) return; // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木 list.add(root.val); preOrder(root.left); preOrder(root.right); } /* 中順走査 */ void inOrder(TreeNode root) { if (root == null) return; // 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木 inOrder(root.left); list.add(root.val); inOrder(root.right); } /* 後順走査 */ void postOrder(TreeNode root) { if (root == null) return; // 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード postOrder(root.left); postOrder(root.right); list.add(root.val); } ``` === "C#" ```csharp title="binary_tree_dfs.cs" /* 先行順走査 */ void PreOrder(TreeNode? root) { if (root == null) return; // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木 list.Add(root.val!.Value); PreOrder(root.left); PreOrder(root.right); } /* 中順走査 */ void InOrder(TreeNode? root) { if (root == null) return; // 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木 InOrder(root.left); list.Add(root.val!.Value); InOrder(root.right); } /* 後順走査 */ void PostOrder(TreeNode? root) { if (root == null) return; // 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード PostOrder(root.left); PostOrder(root.right); list.Add(root.val!.Value); } ``` === "Go" ```go title="binary_tree_dfs.go" /* 先行順走査 */ func preOrder(node *TreeNode) { if node == nil { return } // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木 nums = append(nums, node.Val) preOrder(node.Left) preOrder(node.Right) } /* 中順走査 */ func inOrder(node *TreeNode) { if node == nil { return } // 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木 inOrder(node.Left) nums = append(nums, node.Val) inOrder(node.Right) } /* 後順走査 */ func postOrder(node *TreeNode) { if node == nil { return } // 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード postOrder(node.Left) postOrder(node.Right) nums = append(nums, node.Val) } ``` === "Swift" ```swift title="binary_tree_dfs.swift" /* 先行順走査 */ func preOrder(root: TreeNode?) { guard let root = root else { return } // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木 list.append(root.val) preOrder(root: root.left) preOrder(root: root.right) } /* 中順走査 */ func inOrder(root: TreeNode?) { guard let root = root else { return } // 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木 inOrder(root: root.left) list.append(root.val) inOrder(root: root.right) } /* 後順走査 */ func postOrder(root: TreeNode?) { guard let root = root else { return } // 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード postOrder(root: root.left) postOrder(root: root.right) list.append(root.val) } ``` === "JS" ```javascript title="binary_tree_dfs.js" /* 先行順走査 */ function preOrder(root) { if (root === null) return; // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木 list.push(root.val); preOrder(root.left); preOrder(root.right); } /* 中順走査 */ function inOrder(root) { if (root === null) return; // 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木 inOrder(root.left); list.push(root.val); inOrder(root.right); } /* 後順走査 */ function postOrder(root) { if (root === null) return; // 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード postOrder(root.left); postOrder(root.right); list.push(root.val); } ``` === "TS" ```typescript title="binary_tree_dfs.ts" /* 先行順走査 */ function preOrder(root: TreeNode | null): void { if (root === null) { return; } // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木 list.push(root.val); preOrder(root.left); preOrder(root.right); } /* 中順走査 */ function inOrder(root: TreeNode | null): void { if (root === null) { return; } // 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木 inOrder(root.left); list.push(root.val); inOrder(root.right); } /* 後順走査 */ function postOrder(root: TreeNode | null): void { if (root === null) { return; } // 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード postOrder(root.left); postOrder(root.right); list.push(root.val); } ``` === "Dart" ```dart title="binary_tree_dfs.dart" /* 先行順走査 */ void preOrder(TreeNode? node) { if (node == null) return; // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木 list.add(node.val); preOrder(node.left); preOrder(node.right); } /* 中順走査 */ void inOrder(TreeNode? node) { if (node == null) return; // 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木 inOrder(node.left); list.add(node.val); inOrder(node.right); } /* 後順走査 */ void postOrder(TreeNode? node) { if (node == null) return; // 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード postOrder(node.left); postOrder(node.right); list.add(node.val); } ``` === "Rust" ```rust title="binary_tree_dfs.rs" /* 先行順走査 */ fn pre_order(root: Option<&Rc>>) -> Vec { let mut result = vec![]; fn dfs(root: Option<&Rc>>, res: &mut Vec) { if let Some(node) = root { // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木 let node = node.borrow(); res.push(node.val); dfs(node.left.as_ref(), res); dfs(node.right.as_ref(), res); } } dfs(root, &mut result); result } /* 中順走査 */ fn in_order(root: Option<&Rc>>) -> Vec { let mut result = vec![]; fn dfs(root: Option<&Rc>>, res: &mut Vec) { if let Some(node) = root { // 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木 let node = node.borrow(); dfs(node.left.as_ref(), res); res.push(node.val); dfs(node.right.as_ref(), res); } } dfs(root, &mut result); result } /* 後順走査 */ fn post_order(root: Option<&Rc>>) -> Vec { let mut result = vec![]; fn dfs(root: Option<&Rc>>, res: &mut Vec) { if let Some(node) = root { // 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード let node = node.borrow(); dfs(node.left.as_ref(), res); dfs(node.right.as_ref(), res); res.push(node.val); } } dfs(root, &mut result); result } ``` === "C" ```c title="binary_tree_dfs.c" /* 先行順走査 */ void preOrder(TreeNode *root, int *size) { if (root == NULL) return; // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木 arr[(*size)++] = root->val; preOrder(root->left, size); preOrder(root->right, size); } /* 中順走査 */ void inOrder(TreeNode *root, int *size) { if (root == NULL) return; // 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木 inOrder(root->left, size); arr[(*size)++] = root->val; inOrder(root->right, size); } /* 後順走査 */ void postOrder(TreeNode *root, int *size) { if (root == NULL) return; // 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード postOrder(root->left, size); postOrder(root->right, size); arr[(*size)++] = root->val; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="binary_tree_dfs.kt" /* 先行順走査 */ fun preOrder(root: TreeNode?) { if (root == null) return // 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木 list.add(root._val) preOrder(root.left) preOrder(root.right) } /* 中順走査 */ fun inOrder(root: TreeNode?) { if (root == null) return // 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木 inOrder(root.left) list.add(root._val) inOrder(root.right) } /* 後順走査 */ fun postOrder(root: TreeNode?) { if (root == null) return // 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード postOrder(root.left) postOrder(root.right) list.add(root._val) } ``` === "Ruby" ```ruby title="binary_tree_dfs.rb" ### 前順走査 ### def pre_order(root) return if root.nil? # 訪問順序：根ノード -> 左部分木 -> 右部分木 $res << root.val pre_order(root.left) pre_order(root.right) end ### 中順走査 ### def in_order(root) return if root.nil? # 訪問優先順: 左部分木 -> 根ノード -> 右部分木 in_order(root.left) $res << root.val in_order(root.right) end ### 後順走査 ### def post_order(root) return if root.nil? # 訪問優先順: 左部分木 -> 右部分木 -> 根ノード post_order(root.left) post_order(root.right) $res << root.val end ``` ??? pythontutor "コードの可視化"

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!!! tip 深度優先探索は反復によって実装することもできます。興味のある読者は自身で調べてみてください。次の図は、二分木の先行順走査における再帰の過程を示しており、「行き」と「帰り」という2つの逆向きの部分に分けられます。 1. 「行き」は新しいメソッドの開始を表し、この過程でプログラムは次のノードにアクセスします。 2. 「帰り」は関数の復帰を表し、現在のノードへのアクセスが完了したことを意味します。 === "<1>" ![先行順走査の再帰過程](binary_tree_traversal.assets/preorder_step1.png){ class="animation-figure" } === "<2>" ![preorder_step2](binary_tree_traversal.assets/preorder_step2.png){ class="animation-figure" } === "<3>" ![preorder_step3](binary_tree_traversal.assets/preorder_step3.png){ class="animation-figure" } === "<4>" ![preorder_step4](binary_tree_traversal.assets/preorder_step4.png){ class="animation-figure" } === "<5>" ![preorder_step5](binary_tree_traversal.assets/preorder_step5.png){ class="animation-figure" } === "<6>" ![preorder_step6](binary_tree_traversal.assets/preorder_step6.png){ class="animation-figure" } === "<7>" ![preorder_step7](binary_tree_traversal.assets/preorder_step7.png){ class="animation-figure" } === "<8>" ![preorder_step8](binary_tree_traversal.assets/preorder_step8.png){ class="animation-figure" } === "<9>" ![preorder_step9](binary_tree_traversal.assets/preorder_step9.png){ class="animation-figure" } === "<10>" ![preorder_step10](binary_tree_traversal.assets/preorder_step10.png){ class="animation-figure" } === "<11>" ![preorder_step11](binary_tree_traversal.assets/preorder_step11.png){ class="animation-figure" }

図 7-11 先行順走査の再帰過程

### 2. 計算量 - **時間計算量は $O(n)$** ：すべてのノードを1回ずつ訪問するため、計算量は $O(n)$ です。 - **空間計算量は $O(n)$** ：最悪の場合、すなわち木が連結リストに退化したとき、再帰の深さは $n$ に達し、システムは $O(n)$ のスタックフレーム空間を使用します。