--- comments: true --- # 8.2   Построение кучи В некоторых случаях требуется построить кучу, используя сразу все элементы списка. Этот процесс называется построением кучи. ## 8.2.1   Реализация через операцию добавления в кучу Сначала мы создаем пустую кучу, затем обходим список и для каждого элемента по очереди выполняем операцию добавления в кучу: сначала помещаем элемент в хвост кучи, а затем выполняем для него упорядочивание снизу вверх. Каждый раз, когда элемент добавляется в кучу, ее длина увеличивается на единицу. Поскольку узлы последовательно добавляются в двоичное дерево сверху вниз, куча строится сверху вниз. Пусть число элементов равно $n$. Так как каждая операция добавления требует $O(\log{n})$ времени, временная сложность такого построения кучи составляет $O(n \log n)$ . ## 8.2.2   Реализация через обход и упорядочивание На самом деле можно реализовать и более эффективный способ построения кучи, который состоит из двух шагов. 1. Без изменений добавить все элементы списка в кучу. В этот момент свойства кучи еще не выполняются. 2. Обойти кучу в обратном порядке, то есть в порядке, обратном обходу по уровням, и по очереди выполнить упорядочивание сверху вниз для каждого нелистового узла. **После того как некоторый узел был упорядочен, поддерево с этим узлом в качестве корня становится корректной подкучей**. А поскольку обход выполняется в обратном порядке, куча строится снизу вверх. Причина выбора обратного обхода в том, что он гарантирует: поддеревья ниже текущего узла уже являются корректными подкучами, а значит, упорядочивание текущего узла действительно будет эффективным. Стоит отметить, что **листовые узлы не имеют дочерних узлов, поэтому они естественным образом являются корректными подкучами и не требуют упорядочивания**. Как показано в коде ниже, последний нелистовой узел является родителем последнего узла, и именно с него мы начинаем обратный обход и упорядочивание: === "Python" ```python title="my_heap.py" def __init__(self, nums: list[int]): """Конструктор, строящий кучу по входному списку""" # Добавить элементы списка в кучу без изменений self.max_heap = nums # Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых for i in range(self.parent(self.size() - 1), -1, -1): self.sift_down(i) ``` === "C++" ```cpp title="my_heap.cpp" /* Конструктор, строящий кучу по входному списку */ MaxHeap(vector nums) { // Добавить элементы списка в кучу без изменений maxHeap = nums; // Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) { siftDown(i); } } ``` === "Java" ```java title="my_heap.java" /* Конструктор, строящий кучу по входному списку */ MaxHeap(List nums) { // Добавить элементы списка в кучу без изменений maxHeap = new ArrayList<>(nums); // Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) { siftDown(i); } } ``` === "C#" ```csharp title="my_heap.cs" /* Конструктор: построить кучу по входному списку */ MaxHeap(IEnumerable nums) { // Добавить элементы списка в кучу без изменений maxHeap = new List(nums); // Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых var size = Parent(this.Size() - 1); for (int i = size; i >= 0; i--) { SiftDown(i); } } ``` === "Go" ```go title="my_heap.go" /* Конструктор, строящий кучу по срезу */ func newMaxHeap(nums []any) *maxHeap { // Добавить элементы списка в кучу без изменений h := &maxHeap{data: nums} for i := h.parent(len(h.data) - 1); i >= 0; i-- { // Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых h.siftDown(i) } return h } ``` === "Swift" ```swift title="my_heap.swift" /* Конструктор, строящий кучу по входному списку */ init(nums: [Int]) { // Добавить элементы списка в кучу без изменений maxHeap = nums // Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых for i in (0 ... parent(i: size() - 1)).reversed() { siftDown(i: i) } } ``` === "JS" ```javascript title="my_heap.js" /* Конструктор, создающий пустую кучу или строящий кучу по входному списку */ constructor(nums) { // Добавить элементы списка в кучу без изменений this.#maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums]; // Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых for (let i = this.#parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) { this.#siftDown(i); } } ``` === "TS" ```typescript title="my_heap.ts" /* Конструктор, создающий пустую кучу или строящий кучу по входному списку */ constructor(nums?: number[]) { // Добавить элементы списка в кучу без изменений this.maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums]; // Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых for (let i = this.parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) { this.siftDown(i); } } ``` === "Dart" ```dart title="my_heap.dart" /* Конструктор, строящий кучу по входному списку */ MaxHeap(List nums) { // Добавить элементы списка в кучу без изменений _maxHeap = nums; // Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых for (int i = _parent(size() - 1); i >= 0; i--) { siftDown(i); } } ``` === "Rust" ```rust title="my_heap.rs" /* Конструктор, строящий кучу по входному списку */ fn new(nums: Vec) -> Self { // Добавить элементы списка в кучу без изменений let mut heap = MaxHeap { max_heap: nums }; // Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых for i in (0..=Self::parent(heap.size() - 1)).rev() { heap.sift_down(i); } heap } ``` === "C" ```c title="my_heap.c" /* Конструктор, строящий кучу по срезу */ MaxHeap *newMaxHeap(int nums[], int size) { // Поместить все элементы в кучу MaxHeap *maxHeap = (MaxHeap *)malloc(sizeof(MaxHeap)); maxHeap->size = size; memcpy(maxHeap->data, nums, size * sizeof(int)); for (int i = parent(maxHeap, size - 1); i >= 0; i--) { // Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых siftDown(maxHeap, i); } return maxHeap; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="my_heap.kt" /* Максимальная куча */ class MaxHeap(nums: MutableList?) { // Использовать список вместо массива, чтобы не учитывать проблему расширения private val maxHeap = mutableListOf() /* Конструктор, строящий кучу по входному списку */ init { // Добавить элементы списка в кучу без изменений maxHeap.addAll(nums!!) // Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых for (i in parent(size() - 1) downTo 0) { siftDown(i) } } /* Получить индекс левого дочернего узла */ private fun left(i: Int): Int { return 2 * i + 1 } /* Получить индекс правого дочернего узла */ private fun right(i: Int): Int { return 2 * i + 2 } /* Получить индекс родительского узла */ private fun parent(i: Int): Int { return (i - 1) / 2 // Округление вниз при делении } /* Поменять элементы местами */ private fun swap(i: Int, j: Int) { val temp = maxHeap[i] maxHeap[i] = maxHeap[j] maxHeap[j] = temp } /* Получение размера кучи */ fun size(): Int { return maxHeap.size } /* Проверка, пуста ли куча */ fun isEmpty(): Boolean { /* Проверка, пуста ли куча */ return size() == 0 } /* Доступ к элементу на вершине кучи */ fun peek(): Int { return maxHeap[0] } /* Добавление элемента в кучу */ fun push(_val: Int) { // Добавление узла maxHeap.add(_val) // Просеивание снизу вверх siftUp(size() - 1) } /* Начиная с узла i, выполнить просеивание снизу вверх */ private fun siftUp(it: Int) { // Параметры функций в Kotlin неизменяемы, поэтому создается временная переменная var i = it while (true) { // Получение родительского узла для узла i val p = parent(i) // Завершить heapify, когда «корневой узел уже пройден» или «узел не требует исправления» if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p]) break // Поменять два узла местами swap(i, p) // Циклическое просеивание вверх i = p } } /* Извлечение элемента из кучи */ fun pop(): Int { // Обработка пустого случая if (isEmpty()) throw IndexOutOfBoundsException() // Поменять корневой узел с самым правым листом местами (поменять первый и последний элементы) swap(0, size() - 1) // Удаление узла val _val = maxHeap.removeAt(size() - 1) // Просеивание сверху вниз siftDown(0) // Вернуть элемент с вершины кучи return _val } /* Начиная с узла i, выполнить просеивание сверху вниз */ private fun siftDown(it: Int) { // Параметры функций в Kotlin неизменяемы, поэтому создается временная переменная var i = it while (true) { // Определить узел с максимальным значением среди i, l и r и обозначить его как ma val l = left(i) val r = right(i) var ma = i if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma]) ma = l if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma]) ma = r // Если узел i уже максимален или индексы l и r вне границ, дальнейшее просеивание не требуется, выйти if (ma == i) break // Поменять два узла местами swap(i, ma) // Циклическое просеивание вниз i = ma } } /* Вывести кучу (двоичное дерево) */ fun print() { val queue = PriorityQueue { a: Int, b: Int -> b - a } queue.addAll(maxHeap) printHeap(queue) } } ``` === "Ruby" ```ruby title="my_heap.rb" ### Конструктор, строящий кучу по входному списку ### def initialize(nums) # Добавить элементы списка в кучу без изменений @max_heap = nums # Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых parent(size - 1).downto(0) do |i| sift_down(i) end end ``` ??? pythontutor "Визуализация кода"
## 8.2.3   Анализ сложности Теперь попробуем оценить временную сложность второго способа построения кучи. - Пусть число узлов полного двоичного дерева равно $n$ , тогда число листовых узлов равно $(n + 1) / 2$ , где $/$ означает целочисленное деление вниз. Следовательно, число узлов, которые нужно упорядочивать, равно $(n - 1) / 2$ . - В процессе упорядочивания сверху вниз каждый узел в худшем случае может просеяться до листа, поэтому максимальное число итераций равно высоте двоичного дерева $\log n$ . Перемножив эти два значения, можно получить временную сложность построения кучи $O(n \log n)$ . **Но эта оценка неточна, потому что мы не учли свойство двоичного дерева: на нижних уровнях узлов гораздо больше, чем на верхних**. Далее выполним более точный расчет. Чтобы упростить вычисления, предположим, что дано «идеальное двоичное дерево» высоты $h$ с числом узлов $n$. Это предположение не повлияет на корректность результата. ![Число узлов на каждом уровне идеального двоичного дерева](build_heap.assets/heapify_operations_count.png){ class="animation-figure" }

Рисунок 8-5   Число узлов на каждом уровне идеального двоичного дерева

Как показано на рисунке 8-5, максимальное число итераций упорядочивания сверху вниз для некоторого узла равно расстоянию от этого узла до листового узла, а это расстояние как раз и есть высота узла. Поэтому мы можем просуммировать для каждого уровня выражение «число узлов $\times$ высота узла» и **получить суммарное число итераций упорядочивания для всех узлов**. $$ T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{(h-1)}\times1 $$ Чтобы упростить это выражение, воспользуемся школьными знаниями о последовательностях и сначала умножим $T(h)$ на $2$ : $$ \begin{aligned} T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{h-1}\times1 \newline 2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \dots + 2^{h}\times1 \newline \end{aligned} $$ Используя метод вычитания со сдвигом, вычтем из нижней строки $2 T(h)$ верхнюю строку $T(h)$ , тогда получим: $$ 2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{h-1} + 2^h $$ Из этого выражения видно, что $T(h)$ представляет собой геометрическую прогрессию, поэтому можно напрямую применить формулу суммы и получить временную сложность: $$ \begin{aligned} T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline & = 2^{h+1} - h - 2 \newline & = O(2^h) \end{aligned} $$ Далее, число узлов идеального двоичного дерева высоты $h$ равно $n = 2^{h+1} - 1$ , поэтому несложно получить сложность $O(2^h) = O(n)$ . Из этого вывода следует, что **построение кучи из входного списка имеет временную сложность $O(n)$ , то есть выполняется очень эффективно**.