--- comments: true --- # 10.3 Двоичный поиск границ ## 10.3.1 Поиск левой границы !!! question Дан упорядоченный массив `nums` длины $n$, который может содержать повторяющиеся элементы. Верните индекс самого левого элемента `target` в массиве. Если массив не содержит этот элемент, верните $-1$ . Вспомним метод поиска точки вставки при двоичном поиске: после завершения поиска указатель $i$ указывает на самый левый `target` , **поэтому поиск точки вставки по сути является поиском индекса самого левого `target`**. Рассмотрим реализацию поиска левой границы через функцию поиска точки вставки. Обратите внимание: массив может не содержать `target` , и тогда возможны две ситуации. - Индекс точки вставки $i$ выходит за границы массива. - Элемент `nums[i]` не равен `target` . Если возникает любая из этих ситуаций, достаточно сразу вернуть $-1$ . Код приведен ниже: === "Python" ```python title="binary_search_edge.py" def binary_search_left_edge(nums: list[int], target: int) -> int: """Бинарный поиск самого левого target""" # Эквивалентно поиску точки вставки target i = binary_search_insertion(nums, target) # target не найден, вернуть -1 if i == len(nums) or nums[i] != target: return -1 # Найти target и вернуть индекс i return i ``` === "C++" ```cpp title="binary_search_edge.cpp" /* Бинарный поиск самого левого target */ int binarySearchLeftEdge(vector &nums, int target) { // Эквивалентно поиску точки вставки target int i = binarySearchInsertion(nums, target); // target не найден, вернуть -1 if (i == nums.size() || nums[i] != target) { return -1; } // Найти target и вернуть индекс i return i; } ``` === "Java" ```java title="binary_search_edge.java" /* Бинарный поиск самого левого target */ int binarySearchLeftEdge(int[] nums, int target) { // Эквивалентно поиску точки вставки target int i = binary_search_insertion.binarySearchInsertion(nums, target); // target не найден, вернуть -1 if (i == nums.length || nums[i] != target) { return -1; } // Найти target и вернуть индекс i return i; } ``` === "C#" ```csharp title="binary_search_edge.cs" /* Бинарный поиск самого левого target */ int BinarySearchLeftEdge(int[] nums, int target) { // Эквивалентно поиску точки вставки target int i = binary_search_insertion.BinarySearchInsertion(nums, target); // target не найден, вернуть -1 if (i == nums.Length || nums[i] != target) { return -1; } // Найти target и вернуть индекс i return i; } ``` === "Go" ```go title="binary_search_edge.go" /* Бинарный поиск самого левого target */ func binarySearchLeftEdge(nums []int, target int) int { // Эквивалентно поиску точки вставки target i := binarySearchInsertion(nums, target) // target не найден, вернуть -1 if i == len(nums) || nums[i] != target { return -1 } // Найти target и вернуть индекс i return i } ``` === "Swift" ```swift title="binary_search_edge.swift" /* Бинарный поиск самого левого target */ func binarySearchLeftEdge(nums: [Int], target: Int) -> Int { // Эквивалентно поиску точки вставки target let i = binarySearchInsertion(nums: nums, target: target) // target не найден, вернуть -1 if i == nums.endIndex || nums[i] != target { return -1 } // Найти target и вернуть индекс i return i } ``` === "JS" ```javascript title="binary_search_edge.js" /* Бинарный поиск самого левого target */ function binarySearchLeftEdge(nums, target) { // Эквивалентно поиску точки вставки target const i = binarySearchInsertion(nums, target); // target не найден, вернуть -1 if (i === nums.length || nums[i] !== target) { return -1; } // Найти target и вернуть индекс i return i; } ``` === "TS" ```typescript title="binary_search_edge.ts" /* Бинарный поиск самого левого target */ function binarySearchLeftEdge(nums: Array, target: number): number { // Эквивалентно поиску точки вставки target const i = binarySearchInsertion(nums, target); // target не найден, вернуть -1 if (i === nums.length || nums[i] !== target) { return -1; } // Найти target и вернуть индекс i return i; } ``` === "Dart" ```dart title="binary_search_edge.dart" /* Бинарный поиск самого левого target */ int binarySearchLeftEdge(List nums, int target) { // Эквивалентно поиску точки вставки target int i = binarySearchInsertion(nums, target); // target не найден, вернуть -1 if (i == nums.length || nums[i] != target) { return -1; } // Найти target и вернуть индекс i return i; } ``` === "Rust" ```rust title="binary_search_edge.rs" /* Бинарный поиск самого левого target */ fn binary_search_left_edge(nums: &[i32], target: i32) -> i32 { // Эквивалентно поиску точки вставки target let i = binary_search_insertion(nums, target); // target не найден, вернуть -1 if i == nums.len() as i32 || nums[i as usize] != target { return -1; } // Найти target и вернуть индекс i i } ``` === "C" ```c title="binary_search_edge.c" /* Бинарный поиск самого левого target */ int binarySearchLeftEdge(int *nums, int numSize, int target) { // Эквивалентно поиску точки вставки target int i = binarySearchInsertion(nums, numSize, target); // target не найден, вернуть -1 if (i == numSize || nums[i] != target) { return -1; } // Найти target и вернуть индекс i return i; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="binary_search_edge.kt" /* Бинарный поиск самого левого target */ fun binarySearchLeftEdge(nums: IntArray, target: Int): Int { // Эквивалентно поиску точки вставки target val i = binarySearchInsertion(nums, target) // target не найден, вернуть -1 if (i == nums.size || nums[i] != target) { return -1 } // Найти target и вернуть индекс i return i } ``` === "Ruby" ```ruby title="binary_search_edge.rb" ### Бинарный поиск самого левого target ### def binary_search_left_edge(nums, target) # Эквивалентно поиску точки вставки target i = binary_search_insertion(nums, target) # target не найден, вернуть -1 return -1 if i == nums.length || nums[i] != target i # Найти target и вернуть индекс i end ``` ??? pythontutor "Визуализация кода"

## 10.3.2 Поиск правой границы Как тогда найти самый правый `target` ? Самый прямой способ - изменить код, заменив операцию сужения указателя в случае `nums[m] == target` . Мы не будем приводить этот код, заинтересованные читатели могут реализовать его самостоятельно. Ниже представлены два более изящных способа. ### 1. Повторное использование поиска левой границы На самом деле функцию поиска самого левого элемента можно использовать и для поиска самого правого элемента. Конкретная идея такова: **преобразовать поиск самого правого `target` в поиск самого левого `target + 1`**. Как показано на рисунке 10-7, после завершения поиска указатель $i$ указывает на самый левый `target + 1` (если он существует), а указатель $j$ указывает на самый правый `target` , **поэтому достаточно вернуть $j$**. ![Преобразование поиска правой границы в поиск левой](binary_search_edge.assets/binary_search_right_edge_by_left_edge.png){ class="animation-figure" }

Рисунок 10-7 Преобразование поиска правой границы в поиск левой

Обратите внимание: функция возвращает точку вставки $i$ , поэтому из нее нужно вычесть $1$ , чтобы получить $j$ : === "Python" ```python title="binary_search_edge.py" def binary_search_right_edge(nums: list[int], target: int) -> int: """Бинарный поиск самого правого target""" # Преобразовать задачу в поиск самого левого target + 1 i = binary_search_insertion(nums, target + 1) # j указывает на самый правый target, а i — на первый элемент больше target j = i - 1 # target не найден, вернуть -1 if j == -1 or nums[j] != target: return -1 # Найти target и вернуть индекс j return j ``` === "C++" ```cpp title="binary_search_edge.cpp" /* Бинарный поиск самого правого target */ int binarySearchRightEdge(vector &nums, int target) { // Преобразовать задачу в поиск самого левого target + 1 int i = binarySearchInsertion(nums, target + 1); // j указывает на самый правый target, а i — на первый элемент больше target int j = i - 1; // target не найден, вернуть -1 if (j == -1 || nums[j] != target) { return -1; } // Найти target и вернуть индекс j return j; } ``` === "Java" ```java title="binary_search_edge.java" /* Бинарный поиск самого правого target */ int binarySearchRightEdge(int[] nums, int target) { // Преобразовать задачу в поиск самого левого target + 1 int i = binary_search_insertion.binarySearchInsertion(nums, target + 1); // j указывает на самый правый target, а i — на первый элемент больше target int j = i - 1; // target не найден, вернуть -1 if (j == -1 || nums[j] != target) { return -1; } // Найти target и вернуть индекс j return j; } ``` === "C#" ```csharp title="binary_search_edge.cs" /* Бинарный поиск самого правого target */ int BinarySearchRightEdge(int[] nums, int target) { // Преобразовать задачу в поиск самого левого target + 1 int i = binary_search_insertion.BinarySearchInsertion(nums, target + 1); // j указывает на самый правый target, а i — на первый элемент больше target int j = i - 1; // target не найден, вернуть -1 if (j == -1 || nums[j] != target) { return -1; } // Найти target и вернуть индекс j return j; } ``` === "Go" ```go title="binary_search_edge.go" /* Бинарный поиск самого правого target */ func binarySearchRightEdge(nums []int, target int) int { // Преобразовать задачу в поиск самого левого target + 1 i := binarySearchInsertion(nums, target+1) // j указывает на самый правый target, а i — на первый элемент больше target j := i - 1 // target не найден, вернуть -1 if j == -1 || nums[j] != target { return -1 } // Найти target и вернуть индекс j return j } ``` === "Swift" ```swift title="binary_search_edge.swift" /* Бинарный поиск самого правого target */ func binarySearchRightEdge(nums: [Int], target: Int) -> Int { // Преобразовать задачу в поиск самого левого target + 1 let i = binarySearchInsertion(nums: nums, target: target + 1) // j указывает на самый правый target, а i — на первый элемент больше target let j = i - 1 // target не найден, вернуть -1 if j == -1 || nums[j] != target { return -1 } // Найти target и вернуть индекс j return j } ``` === "JS" ```javascript title="binary_search_edge.js" /* Бинарный поиск самого правого target */ function binarySearchRightEdge(nums, target) { // Преобразовать задачу в поиск самого левого target + 1 const i = binarySearchInsertion(nums, target + 1); // j указывает на самый правый target, а i — на первый элемент больше target const j = i - 1; // target не найден, вернуть -1 if (j === -1 || nums[j] !== target) { return -1; } // Найти target и вернуть индекс j return j; } ``` === "TS" ```typescript title="binary_search_edge.ts" /* Бинарный поиск самого правого target */ function binarySearchRightEdge(nums: Array, target: number): number { // Преобразовать задачу в поиск самого левого target + 1 const i = binarySearchInsertion(nums, target + 1); // j указывает на самый правый target, а i — на первый элемент больше target const j = i - 1; // target не найден, вернуть -1 if (j === -1 || nums[j] !== target) { return -1; } // Найти target и вернуть индекс j return j; } ``` === "Dart" ```dart title="binary_search_edge.dart" /* Бинарный поиск самого правого target */ int binarySearchRightEdge(List nums, int target) { // Преобразовать задачу в поиск самого левого target + 1 int i = binarySearchInsertion(nums, target + 1); // j указывает на самый правый target, а i — на первый элемент больше target int j = i - 1; // target не найден, вернуть -1 if (j == -1 || nums[j] != target) { return -1; } // Найти target и вернуть индекс j return j; } ``` === "Rust" ```rust title="binary_search_edge.rs" /* Бинарный поиск самого правого target */ fn binary_search_right_edge(nums: &[i32], target: i32) -> i32 { // Преобразовать задачу в поиск самого левого target + 1 let i = binary_search_insertion(nums, target + 1); // j указывает на самый правый target, а i — на первый элемент больше target let j = i - 1; // target не найден, вернуть -1 if j == -1 || nums[j as usize] != target { return -1; } // Найти target и вернуть индекс j j } ``` === "C" ```c title="binary_search_edge.c" /* Бинарный поиск самого правого target */ int binarySearchRightEdge(int *nums, int numSize, int target) { // Преобразовать задачу в поиск самого левого target + 1 int i = binarySearchInsertion(nums, numSize, target + 1); // j указывает на самый правый target, а i — на первый элемент больше target int j = i - 1; // target не найден, вернуть -1 if (j == -1 || nums[j] != target) { return -1; } // Найти target и вернуть индекс j return j; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="binary_search_edge.kt" /* Бинарный поиск самого правого target */ fun binarySearchRightEdge(nums: IntArray, target: Int): Int { // Преобразовать задачу в поиск самого левого target + 1 val i = binarySearchInsertion(nums, target + 1) // j указывает на самый правый target, а i — на первый элемент больше target val j = i - 1 // target не найден, вернуть -1 if (j == -1 || nums[j] != target) { return -1 } // Найти target и вернуть индекс j return j } ``` === "Ruby" ```ruby title="binary_search_edge.rb" ### Бинарный поиск самого правого target ### def binary_search_right_edge(nums, target) # Преобразовать задачу в поиск самого левого target + 1 i = binary_search_insertion(nums, target + 1) # j указывает на самый правый target, а i — на первый элемент больше target j = i - 1 # target не найден, вернуть -1 return -1 if j == -1 || nums[j] != target j # Найти target и вернуть индекс j end ``` ??? pythontutor "Визуализация кода"

Во весь экран >

### 2. Преобразование в поиск элемента Мы знаем, что если массив не содержит `target` , то в конце поиска указатели $i$ и $j$ будут указывать соответственно на первый элемент, больший `target` , и на первый элемент, меньший `target` . Следовательно, как показано на рисунке 10-8, для поиска левой и правой границы можно сконструировать элемент, которого нет в массиве. - Поиск самого левого `target` : можно преобразовать в поиск `target - 0.5` и вернуть указатель $i$ . - Поиск самого правого `target` : можно преобразовать в поиск `target + 0.5` и вернуть указатель $j$ . ![Преобразование поиска границ в поиск элемента](binary_search_edge.assets/binary_search_edge_by_element.png){ class="animation-figure" }

Рисунок 10-8 Преобразование поиска границ в поиск элемента

Код здесь опущен, но стоит обратить внимание на два момента. - По условию массив не содержит дробных чисел, поэтому нам не нужно беспокоиться о том, как обрабатывать случай равенства другим элементам массива. - Поскольку этот метод вводит дробные числа, переменную `target` в функции нужно изменить на тип с плавающей запятой (в Python менять ничего не требуется).