---
comments: true
---
# 7.2 Обход двоичного дерева
С точки зрения физической структуры дерево представляет собой разновидность структуры данных на основе связей, поэтому его обход выполняется через последовательный доступ к узлам по указателям. Однако дерево является нелинейной структурой данных, а значит, его обход сложнее, чем обход связного списка, и для него требуется использовать поисковые алгоритмы.
К распространенным способам обхода двоичного дерева относятся обход по уровням, прямой обход, симметричный обход и обратный обход.
## 7.2.1 Обход по уровням
Как показано на рисунке 7-9, обход по уровням (level-order traversal) проходит двоичное дерево сверху вниз по уровням и на каждом уровне посещает узлы слева направо.
По своей сути обход по уровням относится к обходу в ширину (breadth-first traversal), также называемому поиском в ширину (breadth-first search, BFS). Он отражает идею «расширяться от центра к периферии слой за слоем».
{ class="animation-figure" }
Рисунок 7-9 Обход двоичного дерева по уровням
### 1. Код реализации
Обход в ширину обычно реализуется с помощью «очереди». Очередь подчиняется правилу «первым пришел - первым вышел», а обход в ширину подчиняется правилу «продвигаться по уровням», поэтому стоящая за ними идея согласована. Код реализации приведен ниже:
=== "Python"
```python title="binary_tree_bfs.py"
def level_order(root: TreeNode | None) -> list[int]:
"""Обход в ширину"""
# Инициализировать очередь и добавить корневой узел
queue: deque[TreeNode] = deque()
queue.append(root)
# Инициализировать список для хранения последовательности обхода
res = []
while queue:
node: TreeNode = queue.popleft() # Извлечение из очереди
res.append(node.val) # Сохранить значение узла
if node.left is not None:
queue.append(node.left) # Поместить левый дочерний узел в очередь
if node.right is not None:
queue.append(node.right) # Поместить правый дочерний узел в очередь
return res
```
=== "C++"
```cpp title="binary_tree_bfs.cpp"
/* Обход в ширину */
vector levelOrder(TreeNode *root) {
// Инициализировать очередь и добавить корневой узел
queue queue;
queue.push(root);
// Инициализировать список для хранения последовательности обхода
vector vec;
while (!queue.empty()) {
TreeNode *node = queue.front();
queue.pop(); // Извлечение из очереди
vec.push_back(node->val); // Сохранить значение узла
if (node->left != nullptr)
queue.push(node->left); // Поместить левый дочерний узел в очередь
if (node->right != nullptr)
queue.push(node->right); // Поместить правый дочерний узел в очередь
}
return vec;
}
```
=== "Java"
```java title="binary_tree_bfs.java"
/* Обход в ширину */
List levelOrder(TreeNode root) {
// Инициализировать очередь и добавить корневой узел
Queue queue = new LinkedList<>();
queue.add(root);
// Инициализировать список для хранения последовательности обхода
List list = new ArrayList<>();
while (!queue.isEmpty()) {
TreeNode node = queue.poll(); // Извлечение из очереди
list.add(node.val); // Сохранить значение узла
if (node.left != null)
queue.offer(node.left); // Поместить левый дочерний узел в очередь
if (node.right != null)
queue.offer(node.right); // Поместить правый дочерний узел в очередь
}
return list;
}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_tree_bfs.cs"
/* Обход в ширину */
List LevelOrder(TreeNode root) {
// Инициализировать очередь и добавить корневой узел
Queue queue = new();
queue.Enqueue(root);
// Инициализировать список для хранения последовательности обхода
List list = [];
while (queue.Count != 0) {
TreeNode node = queue.Dequeue(); // Извлечение из очереди
list.Add(node.val!.Value); // Сохранить значение узла
if (node.left != null)
queue.Enqueue(node.left); // Поместить левый дочерний узел в очередь
if (node.right != null)
queue.Enqueue(node.right); // Поместить правый дочерний узел в очередь
}
return list;
}
```
=== "Go"
```go title="binary_tree_bfs.go"
/* Обход в ширину */
func levelOrder(root *TreeNode) []any {
// Инициализировать очередь и добавить корневой узел
queue := list.New()
queue.PushBack(root)
// Инициализировать срез для хранения последовательности обхода
nums := make([]any, 0)
for queue.Len() > 0 {
// Извлечение из очереди
node := queue.Remove(queue.Front()).(*TreeNode)
// Сохранить значение узла
nums = append(nums, node.Val)
if node.Left != nil {
// Поместить левый дочерний узел в очередь
queue.PushBack(node.Left)
}
if node.Right != nil {
// Поместить правый дочерний узел в очередь
queue.PushBack(node.Right)
}
}
return nums
}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_tree_bfs.swift"
/* Обход в ширину */
func levelOrder(root: TreeNode) -> [Int] {
// Инициализировать очередь и добавить корневой узел
var queue: [TreeNode] = [root]
// Инициализировать список для хранения последовательности обхода
var list: [Int] = []
while !queue.isEmpty {
let node = queue.removeFirst() // Извлечение из очереди
list.append(node.val) // Сохранить значение узла
if let left = node.left {
queue.append(left) // Поместить левый дочерний узел в очередь
}
if let right = node.right {
queue.append(right) // Поместить правый дочерний узел в очередь
}
}
return list
}
```
=== "JS"
```javascript title="binary_tree_bfs.js"
/* Обход в ширину */
function levelOrder(root) {
// Инициализировать очередь и добавить корневой узел
const queue = [root];
// Инициализировать список для хранения последовательности обхода
const list = [];
while (queue.length) {
let node = queue.shift(); // Извлечение из очереди
list.push(node.val); // Сохранить значение узла
if (node.left) queue.push(node.left); // Поместить левый дочерний узел в очередь
if (node.right) queue.push(node.right); // Поместить правый дочерний узел в очередь
}
return list;
}
```
=== "TS"
```typescript title="binary_tree_bfs.ts"
/* Обход в ширину */
function levelOrder(root: TreeNode | null): number[] {
// Инициализировать очередь и добавить корневой узел
const queue = [root];
// Инициализировать список для хранения последовательности обхода
const list: number[] = [];
while (queue.length) {
let node = queue.shift() as TreeNode; // Извлечение из очереди
list.push(node.val); // Сохранить значение узла
if (node.left) {
queue.push(node.left); // Поместить левый дочерний узел в очередь
}
if (node.right) {
queue.push(node.right); // Поместить правый дочерний узел в очередь
}
}
return list;
}
```
=== "Dart"
```dart title="binary_tree_bfs.dart"
/* Обход в ширину */
List levelOrder(TreeNode? root) {
// Инициализировать очередь и добавить корневой узел
Queue queue = Queue();
queue.add(root);
// Инициализировать список для хранения последовательности обхода
List res = [];
while (queue.isNotEmpty) {
TreeNode? node = queue.removeFirst(); // Извлечение из очереди
res.add(node!.val); // Сохранить значение узла
if (node.left != null) queue.add(node.left); // Поместить левый дочерний узел в очередь
if (node.right != null) queue.add(node.right); // Поместить правый дочерний узел в очередь
}
return res;
}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_tree_bfs.rs"
/* Обход в ширину */
fn level_order(root: &Rc>) -> Vec {
// Инициализировать очередь и добавить корневой узел
let mut que = VecDeque::new();
que.push_back(root.clone());
// Инициализировать список для хранения последовательности обхода
let mut vec = Vec::new();
while let Some(node) = que.pop_front() {
// Извлечение из очереди
vec.push(node.borrow().val); // Сохранить значение узла
if let Some(left) = node.borrow().left.as_ref() {
que.push_back(left.clone()); // Поместить левый дочерний узел в очередь
}
if let Some(right) = node.borrow().right.as_ref() {
que.push_back(right.clone()); // Поместить правый дочерний узел в очередь
};
}
vec
}
```
=== "C"
```c title="binary_tree_bfs.c"
/* Обход в ширину */
int *levelOrder(TreeNode *root, int *size) {
/* Вспомогательная очередь */
int front, rear;
int index, *arr;
TreeNode *node;
TreeNode **queue;
/* Вспомогательная очередь */
queue = (TreeNode **)malloc(sizeof(TreeNode *) * MAX_SIZE);
// Указатель очереди
front = 0, rear = 0;
// Добавить корневой узел
queue[rear++] = root;
// Инициализировать список для хранения последовательности обхода
/* Вспомогательный массив */
arr = (int *)malloc(sizeof(int) * MAX_SIZE);
// Указатель на массив
index = 0;
while (front < rear) {
// Извлечение из очереди
node = queue[front++];
// Сохранить значение узла
arr[index++] = node->val;
if (node->left != NULL) {
// Поместить левый дочерний узел в очередь
queue[rear++] = node->left;
}
if (node->right != NULL) {
// Поместить правый дочерний узел в очередь
queue[rear++] = node->right;
}
}
// Обновить значение длины массива
*size = index;
arr = realloc(arr, sizeof(int) * (*size));
// Освободить память вспомогательного массива
free(queue);
return arr;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="binary_tree_bfs.kt"
/* Обход в ширину */
fun levelOrder(root: TreeNode?): MutableList {
// Инициализировать очередь и добавить корневой узел
val queue = LinkedList()
queue.add(root)
// Инициализировать список для хранения последовательности обхода
val list = mutableListOf()
while (queue.isNotEmpty()) {
val node = queue.poll() // Извлечение из очереди
list.add(node?._val!!) // Сохранить значение узла
if (node.left != null)
queue.offer(node.left) // Поместить левый дочерний узел в очередь
if (node.right != null)
queue.offer(node.right) // Поместить правый дочерний узел в очередь
}
return list
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="binary_tree_bfs.rb"
### Обход в ширину ###
def level_order(root)
# Инициализировать очередь и добавить корневой узел
queue = [root]
# Инициализировать список для хранения последовательности обхода
res = []
while !queue.empty?
node = queue.shift # Извлечение из очереди
res << node.val # Сохранить значение узла
queue << node.left unless node.left.nil? # Поместить левый дочерний узел в очередь
queue << node.right unless node.right.nil? # Поместить правый дочерний узел в очередь
end
res
end
```
??? pythontutor "Визуализация кода"
### 2. Анализ сложности
- **Временная сложность равна $O(n)$** : все узлы посещаются по одному разу, поэтому требуется $O(n)$ времени, где $n$ - число узлов.
- **Пространственная сложность равна $O(n)$** : в худшем случае, то есть для полной двоичной деревообразной структуры, до достижения самого нижнего уровня в очереди одновременно может находиться до $(n + 1) / 2$ узлов, что требует $O(n)$ памяти.
## 7.2.2 Прямой, симметричный и обратный обходы
Соответственно, прямой, симметричный и обратный обходы относятся к обходу в глубину (depth-first traversal), также называемому поиском в глубину (depth-first search, DFS). Он отражает идею «сначала идти до конца, затем возвращаться и продолжать».
На рисунке 7-10 показан принцип работы обхода двоичного дерева в глубину. **Обход в глубину можно представить как обход всей двоичной структуры по внешнему контуру** , и у каждого узла встречаются три позиции, соответствующие прямому, симметричному и обратному обходам.
{ class="animation-figure" }
Рисунок 7-10 Прямой, симметричный и обратный обходы двоичного дерева поиска
### 1. Код реализации
Поиск в глубину обычно реализуется через рекурсию:
=== "Python"
```python title="binary_tree_dfs.py"
def pre_order(root: TreeNode | None):
"""Предварительный обход"""
if root is None:
return
# Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
res.append(root.val)
pre_order(root=root.left)
pre_order(root=root.right)
def in_order(root: TreeNode | None):
"""Симметричный обход"""
if root is None:
return
# Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
in_order(root=root.left)
res.append(root.val)
in_order(root=root.right)
def post_order(root: TreeNode | None):
"""Обратный обход"""
if root is None:
return
# Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
post_order(root=root.left)
post_order(root=root.right)
res.append(root.val)
```
=== "C++"
```cpp title="binary_tree_dfs.cpp"
/* Предварительный обход */
void preOrder(TreeNode *root) {
if (root == nullptr)
return;
// Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
vec.push_back(root->val);
preOrder(root->left);
preOrder(root->right);
}
/* Симметричный обход */
void inOrder(TreeNode *root) {
if (root == nullptr)
return;
// Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
inOrder(root->left);
vec.push_back(root->val);
inOrder(root->right);
}
/* Обратный обход */
void postOrder(TreeNode *root) {
if (root == nullptr)
return;
// Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
postOrder(root->left);
postOrder(root->right);
vec.push_back(root->val);
}
```
=== "Java"
```java title="binary_tree_dfs.java"
/* Предварительный обход */
void preOrder(TreeNode root) {
if (root == null)
return;
// Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
list.add(root.val);
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}
/* Симметричный обход */
void inOrder(TreeNode root) {
if (root == null)
return;
// Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
inOrder(root.left);
list.add(root.val);
inOrder(root.right);
}
/* Обратный обход */
void postOrder(TreeNode root) {
if (root == null)
return;
// Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
list.add(root.val);
}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_tree_dfs.cs"
/* Предварительный обход */
void PreOrder(TreeNode? root) {
if (root == null) return;
// Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
list.Add(root.val!.Value);
PreOrder(root.left);
PreOrder(root.right);
}
/* Симметричный обход */
void InOrder(TreeNode? root) {
if (root == null) return;
// Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
InOrder(root.left);
list.Add(root.val!.Value);
InOrder(root.right);
}
/* Обратный обход */
void PostOrder(TreeNode? root) {
if (root == null) return;
// Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
PostOrder(root.left);
PostOrder(root.right);
list.Add(root.val!.Value);
}
```
=== "Go"
```go title="binary_tree_dfs.go"
/* Предварительный обход */
func preOrder(node *TreeNode) {
if node == nil {
return
}
// Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
nums = append(nums, node.Val)
preOrder(node.Left)
preOrder(node.Right)
}
/* Симметричный обход */
func inOrder(node *TreeNode) {
if node == nil {
return
}
// Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
inOrder(node.Left)
nums = append(nums, node.Val)
inOrder(node.Right)
}
/* Обратный обход */
func postOrder(node *TreeNode) {
if node == nil {
return
}
// Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
postOrder(node.Left)
postOrder(node.Right)
nums = append(nums, node.Val)
}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_tree_dfs.swift"
/* Предварительный обход */
func preOrder(root: TreeNode?) {
guard let root = root else {
return
}
// Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
list.append(root.val)
preOrder(root: root.left)
preOrder(root: root.right)
}
/* Симметричный обход */
func inOrder(root: TreeNode?) {
guard let root = root else {
return
}
// Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
inOrder(root: root.left)
list.append(root.val)
inOrder(root: root.right)
}
/* Обратный обход */
func postOrder(root: TreeNode?) {
guard let root = root else {
return
}
// Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
postOrder(root: root.left)
postOrder(root: root.right)
list.append(root.val)
}
```
=== "JS"
```javascript title="binary_tree_dfs.js"
/* Предварительный обход */
function preOrder(root) {
if (root === null) return;
// Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
list.push(root.val);
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}
/* Симметричный обход */
function inOrder(root) {
if (root === null) return;
// Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
inOrder(root.left);
list.push(root.val);
inOrder(root.right);
}
/* Обратный обход */
function postOrder(root) {
if (root === null) return;
// Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
list.push(root.val);
}
```
=== "TS"
```typescript title="binary_tree_dfs.ts"
/* Предварительный обход */
function preOrder(root: TreeNode | null): void {
if (root === null) {
return;
}
// Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
list.push(root.val);
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}
/* Симметричный обход */
function inOrder(root: TreeNode | null): void {
if (root === null) {
return;
}
// Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
inOrder(root.left);
list.push(root.val);
inOrder(root.right);
}
/* Обратный обход */
function postOrder(root: TreeNode | null): void {
if (root === null) {
return;
}
// Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
list.push(root.val);
}
```
=== "Dart"
```dart title="binary_tree_dfs.dart"
/* Предварительный обход */
void preOrder(TreeNode? node) {
if (node == null) return;
// Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
list.add(node.val);
preOrder(node.left);
preOrder(node.right);
}
/* Симметричный обход */
void inOrder(TreeNode? node) {
if (node == null) return;
// Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
inOrder(node.left);
list.add(node.val);
inOrder(node.right);
}
/* Обратный обход */
void postOrder(TreeNode? node) {
if (node == null) return;
// Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
postOrder(node.left);
postOrder(node.right);
list.add(node.val);
}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_tree_dfs.rs"
/* Предварительный обход */
fn pre_order(root: Option<&Rc>>) -> Vec {
let mut result = vec![];
fn dfs(root: Option<&Rc>>, res: &mut Vec) {
if let Some(node) = root {
// Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
let node = node.borrow();
res.push(node.val);
dfs(node.left.as_ref(), res);
dfs(node.right.as_ref(), res);
}
}
dfs(root, &mut result);
result
}
/* Симметричный обход */
fn in_order(root: Option<&Rc>>) -> Vec {
let mut result = vec![];
fn dfs(root: Option<&Rc>>, res: &mut Vec) {
if let Some(node) = root {
// Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
let node = node.borrow();
dfs(node.left.as_ref(), res);
res.push(node.val);
dfs(node.right.as_ref(), res);
}
}
dfs(root, &mut result);
result
}
/* Обратный обход */
fn post_order(root: Option<&Rc>>) -> Vec {
let mut result = vec![];
fn dfs(root: Option<&Rc>>, res: &mut Vec) {
if let Some(node) = root {
// Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
let node = node.borrow();
dfs(node.left.as_ref(), res);
dfs(node.right.as_ref(), res);
res.push(node.val);
}
}
dfs(root, &mut result);
result
}
```
=== "C"
```c title="binary_tree_dfs.c"
/* Предварительный обход */
void preOrder(TreeNode *root, int *size) {
if (root == NULL)
return;
// Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
arr[(*size)++] = root->val;
preOrder(root->left, size);
preOrder(root->right, size);
}
/* Симметричный обход */
void inOrder(TreeNode *root, int *size) {
if (root == NULL)
return;
// Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
inOrder(root->left, size);
arr[(*size)++] = root->val;
inOrder(root->right, size);
}
/* Обратный обход */
void postOrder(TreeNode *root, int *size) {
if (root == NULL)
return;
// Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
postOrder(root->left, size);
postOrder(root->right, size);
arr[(*size)++] = root->val;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="binary_tree_dfs.kt"
/* Предварительный обход */
fun preOrder(root: TreeNode?) {
if (root == null) return
// Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
list.add(root._val)
preOrder(root.left)
preOrder(root.right)
}
/* Симметричный обход */
fun inOrder(root: TreeNode?) {
if (root == null) return
// Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
inOrder(root.left)
list.add(root._val)
inOrder(root.right)
}
/* Обратный обход */
fun postOrder(root: TreeNode?) {
if (root == null) return
// Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
postOrder(root.left)
postOrder(root.right)
list.add(root._val)
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="binary_tree_dfs.rb"
### Предварительный обход ###
def pre_order(root)
return if root.nil?
# Порядок обхода: корень -> левое поддерево -> правое поддерево
$res << root.val
pre_order(root.left)
pre_order(root.right)
end
### Симметричный обход ###
def in_order(root)
return if root.nil?
# Порядок обхода: левое поддерево -> корень -> правое поддерево
in_order(root.left)
$res << root.val
in_order(root.right)
end
### Обратный обход ###
def post_order(root)
return if root.nil?
# Порядок обхода: левое поддерево -> правое поддерево -> корень
post_order(root.left)
post_order(root.right)
$res << root.val
end
```
??? pythontutor "Визуализация кода"
!!! tip
Поиск в глубину можно реализовать и итеративно. Заинтересованные читатели могут изучить это самостоятельно.
На рисунке 7-11 показан рекурсивный процесс прямого обхода двоичного дерева. Его можно разделить на две противоположные части: «вход в рекурсию» и «возврат».
1. «Вход в рекурсию» означает запуск нового вызова функции. В этом процессе программа переходит к следующему узлу.
2. «Возврат» означает завершение вызова функции и возврат назад, то есть текущий узел уже полностью обработан.
=== "<1>"
{ class="animation-figure" }
=== "<2>"
{ class="animation-figure" }
=== "<3>"
{ class="animation-figure" }
=== "<4>"
{ class="animation-figure" }
=== "<5>"
{ class="animation-figure" }
=== "<6>"
{ class="animation-figure" }
=== "<7>"
{ class="animation-figure" }
=== "<8>"
{ class="animation-figure" }
=== "<9>"
{ class="animation-figure" }
=== "<10>"
{ class="animation-figure" }
=== "<11>"
{ class="animation-figure" }
Рисунок 7-11 Рекурсивный процесс прямого обхода
### 2. Анализ сложности
- **Временная сложность равна $O(n)$** : все узлы посещаются по одному разу, поэтому требуется $O(n)$ времени.
- **Пространственная сложность равна $O(n)$** : в худшем случае, когда дерево вырождается в связный список, глубина рекурсии достигает $n$ , и система тратит $O(n)$ памяти на стек вызовов.