12.6 练习
12.6.1 知识巩固
1. 哪些任务适合分治
一位同学想用“先分成两半，分别解决，再合并结果”的方法完成以下任务。
请分别判断它们是“适合分治”“可以分治，但不会减少总工作量”还是“两半不能独立解决”，并说明理由。
- 将一个无序数组排序；
- 求一个数组中的最大值；
- 按顺序执行一串
push(x)、pop() 栈操作，并输出每次 pop() 得到的元素。
参考答案
- 适合：对半分解、两半独立排序、\(O(n)\) 合并——这正是归并排序。
- 可以分治，但不会减少总工作量：左右两半仍需合计检查全部 \(n\) 个元素，
和直接扫描一样都是 \(O(n)\) 时间。
- 两半不能独立解决：后半段开始时的栈内容取决于前半段执行结果，
两半不能在互不知道结果时独立完成。
2. 快速幂是怎样减少计算的
下面的递归函数用分治计算 \(x^n\)：
fast_power.pydef fast_pow(x: int, n: int) -> int:
"""快速幂"""
if n == 0:
return 1
half = fast_pow(x, n // 2)
if n % 2 == 0:
return half * half
return half * half * x
fast_power.cpp/* 快速幂 */
int fastPow(int x, int n) {
if (n == 0) {
return 1;
}
int half = fastPow(x, n / 2);
if (n % 2 == 0) {
return half * half;
}
return half * half * x;
}
fast_power.java/* 快速幂 */
int fastPow(int x, int n) {
if (n == 0) {
return 1;
}
int half = fastPow(x, n / 2);
if (n % 2 == 0) {
return half * half;
}
return half * half * x;
}
fast_power.cs/* 快速幂 */
int FastPow(int x, int n) {
if (n == 0) {
return 1;
}
int half = FastPow(x, n / 2);
if (n % 2 == 0) {
return half * half;
}
return half * half * x;
}
fast_power.go/* 快速幂 */
func fastPow(x, n int) int {
if n == 0 {
return 1
}
half := fastPow(x, n/2)
if n%2 == 0 {
return half * half
}
return half * half * x
}
fast_power.swift/* 快速幂 */
func fastPow(x: Int, n: Int) -> Int {
if n == 0 {
return 1
}
let half = fastPow(x: x, n: n / 2)
if n % 2 == 0 {
return half * half
}
return half * half * x
}
fast_power.js/* 快速幂 */
function fastPow(x, n) {
if (n === 0) {
return 1;
}
const half = fastPow(x, Math.floor(n / 2));
if (n % 2 === 0) {
return half * half;
}
return half * half * x;
}
fast_power.ts/* 快速幂 */
function fastPow(x: number, n: number): number {
if (n === 0) {
return 1;
}
const half = fastPow(x, Math.floor(n / 2));
if (n % 2 === 0) {
return half * half;
}
return half * half * x;
}
fast_power.dart/* 快速幂 */
int fastPow(int x, int n) {
if (n == 0) {
return 1;
}
int half = fastPow(x, n ~/ 2);
if (n % 2 == 0) {
return half * half;
}
return half * half * x;
}
fast_power.rs/* 快速幂 */
fn fast_pow(x: i32, n: i32) -> i32 {
if n == 0 {
return 1;
}
let half = fast_pow(x, n / 2);
if n % 2 == 0 {
return half * half;
}
half * half * x
}
fast_power.c/* 快速幂 */
int fastPow(int x, int n) {
if (n == 0) {
return 1;
}
int half = fastPow(x, n / 2);
if (n % 2 == 0) {
return half * half;
}
return half * half * x;
}
fast_power.kt/* 快速幂 */
fun fastPow(x: Int, n: Int): Int {
if (n == 0) {
return 1
}
val half = fastPow(x, n / 2)
if (n % 2 == 0) {
return half * half
}
return half * half * x
}
fast_power.rb### 快速幂 ###
def fast_pow(x, n)
return 1 if n == 0
half = fast_pow(x, n / 2)
return half * half if n.even?
half * half * x
end
令 x = 3、n = 5，用这个函数计算：
- 递归调用时，参数
n 依次变成哪些值？
- 从最深层开始返回时，各层依次返回什么值？
- 为什么要先把递归结果保存为
half，而不是在乘法两边各调用一次相同的子问题？
参考答案
-
参数依次为 5 → 2 → 1 → 0，每次都把指数减半，直到到达终止条件。
-
n = 0 时返回 1；n = 1 时返回 \(1×1×3=3\)；
n = 2 时返回 \(3×3=9\)；n = 5 时返回 \(9×9×3=243\)。
-
如果在乘法两边各调用一次相同的子问题，两次递归会进行完全相同的计算。
先把结果保存为 half，每层就只递归一次，递归深度约为 \(\log n\)；
调用两次会造成大量重复计算。
3. 从遍历序列拆分左右子树
一棵没有重复节点的二叉树，其前序遍历和中序遍历分别为：
- 前序遍历：
[A, B, D, E, C]
- 中序遍历：
[D, B, E, A, C]
只完成根节点这一层的拆分，不必继续递归，也不必画出整棵树：
- 根节点是什么？
- 左、右子树在中序遍历中分别对应哪一段？
- 左、右子树在前序遍历中分别对应哪一段？根节点有哪些直接孩子？
参考答案
-
前序遍历的第一个节点是根节点，因此根节点为 A。
-
A 把中序遍历分成两部分：左子树为 [D, B, E]，右子树为 [C]。
-
左子树有 3 个节点，因此根节点 A 后面的 3 个前序元素属于左子树，
即 [B, D, E]；剩余的 [C] 属于右子树。
所以根节点的左孩子是 B，右孩子是 C。
12.6.2 编程练习
1. 快速幂
给定实数 x 和整数 n，请计算 \(x^n\)，且不能调用语言内置的幂函数。
要求使用递归分治：每次把指数缩小一半，并复用已经算出的子问题结果。
本题规定 \(x^0=1\)，包括 x = 0 时；当 n < 0 时保证 x != 0，答案可转化为 \((1/x)^{-n}\)。
解题提示
- n 等于 0 时答案是 1
- 算出 x 的 n // 2 次方后保存为 half，不要递归调用第二次
- 当 n < 0 时，先把 x 改为 1 / x，再把 n 改为 -n；使用 C++ 或 Java 时，可先把 n 转为 64 位整数，避免最小的 32 位整数取相反数时溢出
LeetCode 题目解析
说明： 链接中的题解使用迭代位运算，与本练习指定的递归分治方法不同；请根据本题的解题提示完成递归版本