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2.6   演習

2.6.1   確認問題

1.   反復と再帰の時間・空間計算量

次の 2 つのコードは、どちらも \(1 + 2 + \dots + n\) を計算します（\(n \ge 1\) とします）。n を 4 として、 プログラムが実際に実行される順序に沿って次の問いに答え、2 つの書き方の効率を比較してください。

complexity_exercises.py
def sum_iter(n: int) -> int:
    """反復による総和"""
    res = 0
    for i in range(1, n + 1):
        res += i
    return res

def sum_recur(n: int) -> int:
    """再帰による総和"""
    if n == 1:
        return 1
    return n + sum_recur(n - 1)
complexity_exercises.cpp
/* 反復による総和 */
int sumIter(int n) {
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        res += i;
    }
    return res;
}

/* 再帰による総和 */
int sumRecur(int n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    return n + sumRecur(n - 1);
}
complexity_exercises.java
/* 反復による総和 */
int sumIter(int n) {
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        res += i;
    }
    return res;
}

/* 再帰による総和 */
int sumRecur(int n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    return n + sumRecur(n - 1);
}
complexity_exercises.cs
/* 反復による総和 */
int SumIter(int n) {
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        res += i;
    }
    return res;
}

/* 再帰による総和 */
int SumRecur(int n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    return n + SumRecur(n - 1);
}
complexity_exercises.go
/* 反復による総和 */
func sumIter(n int) int {
    res := 0
    for i := 1; i <= n; i++ {
        res += i
    }
    return res
}

/* 再帰による総和 */
func sumRecur(n int) int {
    if n == 1 {
        return 1
    }
    return n + sumRecur(n-1)
}
complexity_exercises.swift
/* 反復による総和 */
func sumIter(n: Int) -> Int {
    var res = 0
    for i in 1 ... n {
        res += i
    }
    return res
}

/* 再帰による総和 */
func sumRecur(n: Int) -> Int {
    if n == 1 {
        return 1
    }
    return n + sumRecur(n: n - 1)
}
complexity_exercises.js
/* 反復による総和 */
function sumIter(n) {
    let res = 0;
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        res += i;
    }
    return res;
}

/* 再帰による総和 */
function sumRecur(n) {
    if (n === 1) {
        return 1;
    }
    return n + sumRecur(n - 1);
}
complexity_exercises.ts
/* 反復による総和 */
function sumIter(n: number): number {
    let res = 0;
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        res += i;
    }
    return res;
}

/* 再帰による総和 */
function sumRecur(n: number): number {
    if (n === 1) {
        return 1;
    }
    return n + sumRecur(n - 1);
}
complexity_exercises.dart
/* 反復による総和 */
int sumIter(int n) {
  int res = 0;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    res += i;
  }
  return res;
}

/* 再帰による総和 */
int sumRecur(int n) {
  if (n == 1) {
    return 1;
  }
  return n + sumRecur(n - 1);
}
complexity_exercises.rs
/* 反復による総和 */
fn sum_iter(n: i32) -> i32 {
    let mut res = 0;
    for i in 1..=n {
        res += i;
    }
    res
}

/* 再帰による総和 */
fn sum_recur(n: i32) -> i32 {
    if n == 1 {
        return 1;
    }
    n + sum_recur(n - 1)
}
complexity_exercises.c
/* 反復による総和 */
int sumIter(int n) {
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        res += i;
    }
    return res;
}

/* 再帰による総和 */
int sumRecur(int n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    return n + sumRecur(n - 1);
}
complexity_exercises.kt
/* 反復による総和 */
fun sumIter(n: Int): Int {
    var res = 0
    for (i in 1..n) {
        res += i
    }
    return res
}

/* 再帰による総和 */
fun sumRecur(n: Int): Int {
    if (n == 1) {
        return 1
    }
    return n + sumRecur(n - 1)
}
complexity_exercises.rb
### 反復による総和 ###
def sum_iter(n)
  res = 0
  for i in 1..n
    res += i
  end
  res
end

### 再帰による総和 ###
def sum_recur(n)
  return 1 if n == 1

  n + sum_recur(n - 1)
end
  1. n = 4 を入力して反復関数を実行すると、各ループの終了時に累積変数 res はそれぞれいくつになりますか？
  2. n = 4 を入力して再帰関数を実行すると、引数 n はどの値を順に取りますか？最も深い呼び出しから戻るとき、結果はどのように求められますか？
  3. 2 つの書き方の時間計算量と空間計算量は、それぞれいくつですか？問い 1、2 の実行過程と結び付けて理由を説明してください。
解答

  1. ループ変数 i は 1、2、3、4 の順に変化し、各ループの終了時に res は 1、3、6、10 となります。したがって、反復関数は 10 を返します。

  2. 引数 n は 4 → 3 → 2 → 1 の順に変化します。 最も深い呼び出しが 1 を返した後、各呼び出しは順に 2 + 1 = 3、3 + 3 = 6、4 + 6 = 10 を得ます。 最も深い呼び出しに到達した時点では、4 回の関数呼び出しはどれもまだ終了していません。

  3. どちらのコードも、\(n\) に比例する回数のループまたは呼び出しを行うため、時間計算量はともに \(O(n)\) です。 一方、空間計算量は異なります。反復版が使う変数は定数個だけなので \(O(1)\) です。 再帰版では、終了条件に到達するまで、それまでの関数呼び出しが結果を待つ必要があります。そのため、呼び出しスタックには最大で \(n\) 回分の呼び出しが同時に保存され、 空間計算量は \(O(n)\) です。

    空間計算量を分析するときは、コード中の変数だけでなく、再帰呼び出しが使う空間も考える必要があります。

2.   3 つのコードの時間計算量

次の 3 つのコード片はいずれも、正の整数 \(n\) を入力とします。時間計算量が小さい順に並べ、それぞれの計算量を書いてください。

complexity_exercises.py
def linear_loop(n: int) -> int:
    """線形時間のループ"""
    res = 0
    for i in range(n):
        res += i
    return res

def quadratic_loop(n: int) -> int:
    """二次時間のループ"""
    res = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):
            res += j
    return res

def logarithmic_loop(n: int) -> int:
    """対数時間のループ"""
    while n > 1:
        n //= 2
    return n
complexity_exercises.cpp
/* 線形時間のループ */
int linearLoop(int n) {
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        res += i;
    }
    return res;
}

/* 二次時間のループ */
int quadraticLoop(int n) {
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = i; j < n; ++j) {
            res += j;
        }
    }
    return res;
}

/* 対数時間のループ */
int logarithmicLoop(int n) {
    while (n > 1) {
        n /= 2;
    }
    return n;
}
complexity_exercises.java
/* 線形時間のループ */
int linearLoop(int n) {
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        res += i;
    }
    return res;
}

/* 二次時間のループ */
int quadraticLoop(int n) {
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = i; j < n; j++) {
            res += j;
        }
    }
    return res;
}

/* 対数時間のループ */
int logarithmicLoop(int n) {
    while (n > 1) {
        n /= 2;
    }
    return n;
}
complexity_exercises.cs
/* 線形時間のループ */
int LinearLoop(int n) {
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        res += i;
    }
    return res;
}

/* 二次時間のループ */
int QuadraticLoop(int n) {
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = i; j < n; j++) {
            res += j;
        }
    }
    return res;
}

/* 対数時間のループ */
int LogarithmicLoop(int n) {
    while (n > 1) {
        n /= 2;
    }
    return n;
}
complexity_exercises.go
/* 線形時間のループ */
func linearLoop(n int) int {
    res := 0
    for i := 0; i < n; i++ {
        res += i
    }
    return res
}

/* 二次時間のループ */
func quadraticLoop(n int) int {
    res := 0
    for i := 0; i < n; i++ {
        for j := i; j < n; j++ {
            res += j
        }
    }
    return res
}

/* 対数時間のループ */
func logarithmicLoop(n int) int {
    for n > 1 {
        n /= 2
    }
    return n
}
complexity_exercises.swift
/* 線形時間のループ */
func linearLoop(n: Int) -> Int {
    var res = 0
    for i in 0 ..< n {
        res += i
    }
    return res
}

/* 二次時間のループ */
func quadraticLoop(n: Int) -> Int {
    var res = 0
    for i in 0 ..< n {
        for j in i ..< n {
            res += j
        }
    }
    return res
}

/* 対数時間のループ */
func logarithmicLoop(n: Int) -> Int {
    var n = n
    while n > 1 {
        n /= 2
    }
    return n
}
complexity_exercises.js
/* 線形時間のループ */
function linearLoop(n) {
    let res = 0;
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        res += i;
    }
    return res;
}

/* 二次時間のループ */
function quadraticLoop(n) {
    let res = 0;
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        for (let j = i; j < n; j++) {
            res += j;
        }
    }
    return res;
}

/* 対数時間のループ */
function logarithmicLoop(n) {
    while (n > 1) {
        n = Math.floor(n / 2);
    }
    return n;
}
complexity_exercises.ts
/* 線形時間のループ */
function linearLoop(n: number): number {
    let res = 0;
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        res += i;
    }
    return res;
}

/* 二次時間のループ */
function quadraticLoop(n: number): number {
    let res = 0;
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        for (let j = i; j < n; j++) {
            res += j;
        }
    }
    return res;
}

/* 対数時間のループ */
function logarithmicLoop(n: number): number {
    while (n > 1) {
        n = Math.floor(n / 2);
    }
    return n;
}
complexity_exercises.dart
/* 線形時間のループ */
int linearLoop(int n) {
  int res = 0;
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    res += i;
  }
  return res;
}

/* 二次時間のループ */
int quadraticLoop(int n) {
  int res = 0;
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    for (int j = i; j < n; j++) {
      res += j;
    }
  }
  return res;
}

/* 対数時間のループ */
int logarithmicLoop(int n) {
  while (n > 1) {
    n ~/= 2;
  }
  return n;
}
complexity_exercises.rs
/* 線形時間のループ */
fn linear_loop(n: i32) -> i32 {
    let mut res = 0;
    for i in 0..n {
        res += i;
    }
    res
}

/* 二次時間のループ */
fn quadratic_loop(n: i32) -> i32 {
    let mut res = 0;
    for i in 0..n {
        for j in i..n {
            res += j;
        }
    }
    res
}

/* 対数時間のループ */
fn logarithmic_loop(mut n: i32) -> i32 {
    while n > 1 {
        n /= 2;
    }
    n
}
complexity_exercises.c
/* 線形時間のループ */
int linearLoop(int n) {
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        res += i;
    }
    return res;
}

/* 二次時間のループ */
int quadraticLoop(int n) {
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = i; j < n; j++) {
            res += j;
        }
    }
    return res;
}

/* 対数時間のループ */
int logarithmicLoop(int n) {
    while (n > 1) {
        n /= 2;
    }
    return n;
}
complexity_exercises.kt
/* 線形時間のループ */
fun linearLoop(n: Int): Int {
    var res = 0
    for (i in 0 until n) {
        res += i
    }
    return res
}

/* 二次時間のループ */
fun quadraticLoop(n: Int): Int {
    var res = 0
    for (i in 0 until n) {
        for (j in i until n) {
            res += j
        }
    }
    return res
}

/* 対数時間のループ */
fun logarithmicLoop(n: Int): Int {
    var value = n
    while (value > 1) {
        value /= 2
    }
    return value
}
complexity_exercises.rb
### 線形時間のループ ###
def linear_loop(n)
  res = 0
  for i in 0...n
    res += i
  end
  res
end

### 二次時間のループ ###
def quadratic_loop(n)
  res = 0
  for i in 0...n
    for j in i...n
      res += j
    end
  end
  res
end

### 対数時間のループ ###
def logarithmic_loop(n)
  n /= 2 while n > 1
  n
end
解答

小さい順に、コード片 3 は \(O(\log n)\)、コード片 1 は \(O(n)\)、コード片 2 は \(O(n^2)\) です。 コード片 3 では、ループのたびに \(n\) が半分になるため、ループ回数は約 \(\log_2 n\) 回です。 コード片 1 のループはちょうど \(n\) 回実行されます。コード片 2 の内側のループ回数は順に \(n,n-1,\dots,1\) で、合計は \(n(n+1)/2\) となるため、二次の計算量です。

3.   どちらの反転が空間を節約できるか

配列 nums のすべての要素を逆順にする方法として、次の 2 つがあります。

  1. 同じ長さの新しい配列 res を作り、逆順にコピーして返す。

  2. 2 つのインデックス i と j をそれぞれ先頭と末尾から中央へ動かし、nums[i] と nums[j] を順に交換する。

    2 つの方法の空間計算量は、それぞれいくつですか？どちらが「インプレース」な操作ですか？

解答

  1. 入力と同じ長さの補助配列が必要なため、空間計算量は \(O(n)\) です。

  2. 使うのは 2 つのインデックス変数だけなので、 空間計算量は \(O(1)\) であり、インプレースな操作です。

    ただし、インプレースな反転は入力配列を変更します。 入力の変更が許される場合にのみ優先して使うべきです。元の配列を残す必要がある場合は、方法 1 のコピーにかかる空間を省くことはできません。

2.6.2   プログラミング演習

1.   フィボナッチ数

フィボナッチ数列は、\(F(0)=0\)、\(F(1)=1\) を満たし、\(n\ge2\) のとき \(F(n)=F(n-1)+F(n-2)\) となります。

0 以上の整数 n が与えられます。再帰を使わず、ループを使って \(F(n)\) を計算し、返してください。

解法のヒント
  1. まず、n が 0 と 1 の場合をそれぞれ処理します
  2. 次の項の計算に必要なのは直前の 2 項だけで、数列全体を保存する必要はありません
  3. 2 つの変数を更新するときは、後で使う古い値を先に上書きしないよう注意します

LeetCode

ご意見、ご質問、ご提案があればぜひコメントしてください