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2.6   練習

2.6.1   知識鞏固

1.   迭代與遞迴的時間和空間

下面兩段程式碼都計算 \(1 + 2 + \dots + n\)（設 \(n \ge 1\)）。請把 n 設為 4， 按照程式實際執行的順序回答問題，然後比較兩種寫法的效率。

complexity_exercises.py
def sum_iter(n: int) -> int:
    """迭代求和"""
    res = 0
    for i in range(1, n + 1):
        res += i
    return res

def sum_recur(n: int) -> int:
    """遞迴求和"""
    if n == 1:
        return 1
    return n + sum_recur(n - 1)
complexity_exercises.cpp
/* 迭代求和 */
int sumIter(int n) {
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        res += i;
    }
    return res;
}

/* 遞迴求和 */
int sumRecur(int n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    return n + sumRecur(n - 1);
}
complexity_exercises.java
/* 迭代求和 */
int sumIter(int n) {
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        res += i;
    }
    return res;
}

/* 遞迴求和 */
int sumRecur(int n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    return n + sumRecur(n - 1);
}
complexity_exercises.cs
/* 迭代求和 */
int SumIter(int n) {
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        res += i;
    }
    return res;
}

/* 遞迴求和 */
int SumRecur(int n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    return n + SumRecur(n - 1);
}
complexity_exercises.go
/* 迭代求和 */
func sumIter(n int) int {
    res := 0
    for i := 1; i <= n; i++ {
        res += i
    }
    return res
}

/* 遞迴求和 */
func sumRecur(n int) int {
    if n == 1 {
        return 1
    }
    return n + sumRecur(n-1)
}
complexity_exercises.swift
/* 迭代求和 */
func sumIter(n: Int) -> Int {
    var res = 0
    for i in 1 ... n {
        res += i
    }
    return res
}

/* 遞迴求和 */
func sumRecur(n: Int) -> Int {
    if n == 1 {
        return 1
    }
    return n + sumRecur(n: n - 1)
}
complexity_exercises.js
/* 迭代求和 */
function sumIter(n) {
    let res = 0;
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        res += i;
    }
    return res;
}

/* 遞迴求和 */
function sumRecur(n) {
    if (n === 1) {
        return 1;
    }
    return n + sumRecur(n - 1);
}
complexity_exercises.ts
/* 迭代求和 */
function sumIter(n: number): number {
    let res = 0;
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        res += i;
    }
    return res;
}

/* 遞迴求和 */
function sumRecur(n: number): number {
    if (n === 1) {
        return 1;
    }
    return n + sumRecur(n - 1);
}
complexity_exercises.dart
/* 迭代求和 */
int sumIter(int n) {
  int res = 0;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    res += i;
  }
  return res;
}

/* 遞迴求和 */
int sumRecur(int n) {
  if (n == 1) {
    return 1;
  }
  return n + sumRecur(n - 1);
}
complexity_exercises.rs
/* 迭代求和 */
fn sum_iter(n: i32) -> i32 {
    let mut res = 0;
    for i in 1..=n {
        res += i;
    }
    res
}

/* 遞迴求和 */
fn sum_recur(n: i32) -> i32 {
    if n == 1 {
        return 1;
    }
    n + sum_recur(n - 1)
}
complexity_exercises.c
/* 迭代求和 */
int sumIter(int n) {
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        res += i;
    }
    return res;
}

/* 遞迴求和 */
int sumRecur(int n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    return n + sumRecur(n - 1);
}
complexity_exercises.kt
/* 迭代求和 */
fun sumIter(n: Int): Int {
    var res = 0
    for (i in 1..n) {
        res += i
    }
    return res
}

/* 遞迴求和 */
fun sumRecur(n: Int): Int {
    if (n == 1) {
        return 1
    }
    return n + sumRecur(n - 1)
}
complexity_exercises.rb
### 迭代求和 ###
def sum_iter(n)
  res = 0
  for i in 1..n
    res += i
  end
  res
end

### 遞迴求和 ###
def sum_recur(n)
  return 1 if n == 1

  n + sum_recur(n - 1)
end
  1. 輸入 n = 4 執行迭代函式時，每輪迴圈結束後，累加變數 res 的值分別是多少？
  2. 輸入 n = 4 執行遞迴函式時，參數 n 會依次取哪些值？從最深的一層開始返回時，結果怎樣得到？
  3. 兩種寫法的時間複雜度和空間複雜度分別是多少？結合第 1、2 問的執行過程說明理由。
參考答案

  1. 迴圈變數 i 依次為 1、2、3、4，每輪結束後，res 依次變為 1、3、6、10，所以迭代函式返回 10。

  2. 參數 n 依次為 4 → 3 → 2 → 1。 最深一層返回 1，隨後各層依次得到 2 + 1 = 3、3 + 3 = 6、4 + 6 = 10。 在最深處，4 次函式呼叫都尚未結束。

  3. 兩段程式碼都進行與 \(n\) 成正比的迴圈或呼叫，因此時間複雜度均為 \(O(n)\) 。 空間複雜度不同：迭代版只使用常數個變數，為 \(O(1)\) ； 遞迴版在到達終止條件前，前面的函式呼叫都要等待返回結果，因此呼叫堆疊中最多同時儲存 \(n\) 次呼叫， 空間複雜度為 \(O(n)\)。

    分析空間複雜度時，除程式碼中的變數外，還要考慮遞迴呼叫佔用的空間。

2.   三段程式碼的時間複雜度

以下三個程式碼片段的輸入均為正整數 \(n\) 。請按時間複雜度從低到高排序，並寫出各自的複雜度。

complexity_exercises.py
def linear_loop(n: int) -> int:
    """線性階迴圈"""
    res = 0
    for i in range(n):
        res += i
    return res

def quadratic_loop(n: int) -> int:
    """平方階迴圈"""
    res = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):
            res += j
    return res

def logarithmic_loop(n: int) -> int:
    """對數階迴圈"""
    while n > 1:
        n //= 2
    return n
complexity_exercises.cpp
/* 線性階迴圈 */
int linearLoop(int n) {
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        res += i;
    }
    return res;
}

/* 平方階迴圈 */
int quadraticLoop(int n) {
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = i; j < n; ++j) {
            res += j;
        }
    }
    return res;
}

/* 對數階迴圈 */
int logarithmicLoop(int n) {
    while (n > 1) {
        n /= 2;
    }
    return n;
}
complexity_exercises.java
/* 線性階迴圈 */
int linearLoop(int n) {
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        res += i;
    }
    return res;
}

/* 平方階迴圈 */
int quadraticLoop(int n) {
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = i; j < n; j++) {
            res += j;
        }
    }
    return res;
}

/* 對數階迴圈 */
int logarithmicLoop(int n) {
    while (n > 1) {
        n /= 2;
    }
    return n;
}
complexity_exercises.cs
/* 線性階迴圈 */
int LinearLoop(int n) {
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        res += i;
    }
    return res;
}

/* 平方階迴圈 */
int QuadraticLoop(int n) {
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = i; j < n; j++) {
            res += j;
        }
    }
    return res;
}

/* 對數階迴圈 */
int LogarithmicLoop(int n) {
    while (n > 1) {
        n /= 2;
    }
    return n;
}
complexity_exercises.go
/* 線性階迴圈 */
func linearLoop(n int) int {
    res := 0
    for i := 0; i < n; i++ {
        res += i
    }
    return res
}

/* 平方階迴圈 */
func quadraticLoop(n int) int {
    res := 0
    for i := 0; i < n; i++ {
        for j := i; j < n; j++ {
            res += j
        }
    }
    return res
}

/* 對數階迴圈 */
func logarithmicLoop(n int) int {
    for n > 1 {
        n /= 2
    }
    return n
}
complexity_exercises.swift
/* 線性階迴圈 */
func linearLoop(n: Int) -> Int {
    var res = 0
    for i in 0 ..< n {
        res += i
    }
    return res
}

/* 平方階迴圈 */
func quadraticLoop(n: Int) -> Int {
    var res = 0
    for i in 0 ..< n {
        for j in i ..< n {
            res += j
        }
    }
    return res
}

/* 對數階迴圈 */
func logarithmicLoop(n: Int) -> Int {
    var n = n
    while n > 1 {
        n /= 2
    }
    return n
}
complexity_exercises.js
/* 線性階迴圈 */
function linearLoop(n) {
    let res = 0;
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        res += i;
    }
    return res;
}

/* 平方階迴圈 */
function quadraticLoop(n) {
    let res = 0;
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        for (let j = i; j < n; j++) {
            res += j;
        }
    }
    return res;
}

/* 對數階迴圈 */
function logarithmicLoop(n) {
    while (n > 1) {
        n = Math.floor(n / 2);
    }
    return n;
}
complexity_exercises.ts
/* 線性階迴圈 */
function linearLoop(n: number): number {
    let res = 0;
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        res += i;
    }
    return res;
}

/* 平方階迴圈 */
function quadraticLoop(n: number): number {
    let res = 0;
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        for (let j = i; j < n; j++) {
            res += j;
        }
    }
    return res;
}

/* 對數階迴圈 */
function logarithmicLoop(n: number): number {
    while (n > 1) {
        n = Math.floor(n / 2);
    }
    return n;
}
complexity_exercises.dart
/* 線性階迴圈 */
int linearLoop(int n) {
  int res = 0;
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    res += i;
  }
  return res;
}

/* 平方階迴圈 */
int quadraticLoop(int n) {
  int res = 0;
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    for (int j = i; j < n; j++) {
      res += j;
    }
  }
  return res;
}

/* 對數階迴圈 */
int logarithmicLoop(int n) {
  while (n > 1) {
    n ~/= 2;
  }
  return n;
}
complexity_exercises.rs
/* 線性階迴圈 */
fn linear_loop(n: i32) -> i32 {
    let mut res = 0;
    for i in 0..n {
        res += i;
    }
    res
}

/* 平方階迴圈 */
fn quadratic_loop(n: i32) -> i32 {
    let mut res = 0;
    for i in 0..n {
        for j in i..n {
            res += j;
        }
    }
    res
}

/* 對數階迴圈 */
fn logarithmic_loop(mut n: i32) -> i32 {
    while n > 1 {
        n /= 2;
    }
    n
}
complexity_exercises.c
/* 線性階迴圈 */
int linearLoop(int n) {
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        res += i;
    }
    return res;
}

/* 平方階迴圈 */
int quadraticLoop(int n) {
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = i; j < n; j++) {
            res += j;
        }
    }
    return res;
}

/* 對數階迴圈 */
int logarithmicLoop(int n) {
    while (n > 1) {
        n /= 2;
    }
    return n;
}
complexity_exercises.kt
/* 線性階迴圈 */
fun linearLoop(n: Int): Int {
    var res = 0
    for (i in 0 until n) {
        res += i
    }
    return res
}

/* 平方階迴圈 */
fun quadraticLoop(n: Int): Int {
    var res = 0
    for (i in 0 until n) {
        for (j in i until n) {
            res += j
        }
    }
    return res
}

/* 對數階迴圈 */
fun logarithmicLoop(n: Int): Int {
    var value = n
    while (value > 1) {
        value /= 2
    }
    return value
}
complexity_exercises.rb
### 線性階迴圈 ###
def linear_loop(n)
  res = 0
  for i in 0...n
    res += i
  end
  res
end

### 平方階迴圈 ###
def quadratic_loop(n)
  res = 0
  for i in 0...n
    for j in i...n
      res += j
    end
  end
  res
end

### 對數階迴圈 ###
def logarithmic_loop(n)
  n /= 2 while n > 1
  n
end
參考答案

從低到高為：片段三 \(O(\log n)\)、片段一 \(O(n)\)、片段二 \(O(n^2)\)。 片段三每輪把 \(n\) 縮小為原來的一半，約迴圈 \(\log_2 n\) 次。 片段一的迴圈恰好執行 \(n\) 次。片段二的內層迴圈次數依次為 \(n,n-1,\dots,1\)，總次數為 \(n(n+1)/2\)，因此屬於平方階。

3.   哪種反轉更節省空間

要將陣列 nums 中的元素全部反轉，有兩種做法：

  1. 新建一個等長陣列 res，倒序複製後返回；

  2. 用兩個索引 i 和 j 分別從首、尾向中間移動，逐對交換 nums[i] 與 nums[j] 。

    兩種做法的空間複雜度各是多少？哪種屬於“原地”操作？

參考答案

  1. 需要與輸入等長的輔助陣列，空間複雜度 \(O(n)\)。

  2. 只使用兩個索引變數， 空間複雜度 \(O(1)\) ，屬於原地操作。

    需要注意：原地反轉會修改輸入陣列， 僅在允許修改輸入時才應優先選用；若需保留原陣列，第 1 種做法的複製開銷不可避免。

2.6.2   程式設計練習

1.   費波那契數

費波那契數列滿足：\(F(0)=0\)、\(F(1)=1\)，並且當 \(n\ge2\) 時， \(F(n)=F(n-1)+F(n-2)\)。

給定非負整數 n，請使用迴圈計算並返回 \(F(n)\)，不使用遞迴。

解題提示
  1. 先單獨處理 n 為 0 和 1 的情況
  2. 計算下一項時只需要前兩項，無須儲存整個數列
  3. 更新兩個變數時，注意不要過早覆蓋仍會用到的舊值

LeetCode 題目解析

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