# 二分木 二分木（binary tree）は、「祖先」と「子孫」の派生関係を表す非線形データ構造で、「一つを二つに分ける」という分割統治の論理を体現しています。連結リストと同様、基本単位はノードで、各ノードには値、左の子への参照、右の子への参照が含まれます。 === "Python" ```python title="" class TreeNode: """二分木のノードクラス""" def __init__(self, val: int): self.val: int = val # ノードの値 self.left: TreeNode | None = None # 左の子への参照 self.right: TreeNode | None = None # 右の子への参照 ``` === "C++" ```cpp title="" /* 二分木のノード構造体 */ struct TreeNode { int val; // ノードの値 TreeNode *left; // 左の子へのポインタ TreeNode *right; // 右の子へのポインタ TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {} }; ``` === "Java" ```java title="" /* 二分木のノードクラス */ class TreeNode { int val; // ノードの値 TreeNode left; // 左の子への参照 TreeNode right; // 右の子への参照 TreeNode(int x) { val = x; } } ``` === "C#" ```csharp title="" /* 二分木のノードクラス */ class TreeNode(int? x) { public int? val = x; // ノードの値 public TreeNode? left; // 左の子への参照 public TreeNode? right; // 右の子への参照 } ``` === "Go" ```go title="" /* 二分木のノード構造体 */ type TreeNode struct { Val int Left *TreeNode Right *TreeNode } /* コンストラクタ */ func NewTreeNode(v int) *TreeNode { return &TreeNode{ Left: nil, // 左の子へのポインタ Right: nil, // 右の子へのポインタ Val: v, // ノードの値 } } ``` === "Swift" ```swift title="" /* 二分木のノードクラス */ class TreeNode { var val: Int // ノードの値 var left: TreeNode? // 左の子への参照 var right: TreeNode? // 右の子への参照 init(x: Int) { val = x } } ``` === "JS" ```javascript title="" /* 二分木のノードクラス */ class TreeNode { val; // ノードの値 left; // 左の子へのポインタ right; // 右の子へのポインタ constructor(val, left, right) { this.val = val === undefined ? 0 : val; this.left = left === undefined ? null : left; this.right = right === undefined ? null : right; } } ``` === "TS" ```typescript title="" /* 二分木のノードクラス */ class TreeNode { val: number; left: TreeNode | null; right: TreeNode | null; constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) { this.val = val === undefined ? 0 : val; // ノードの値 this.left = left === undefined ? null : left; // 左の子への参照 this.right = right === undefined ? null : right; // 右の子への参照 } } ``` === "Dart" ```dart title="" /* 二分木のノードクラス */ class TreeNode { int val; // ノードの値 TreeNode? left; // 左の子への参照 TreeNode? right; // 右の子への参照 TreeNode(this.val, [this.left, this.right]); } ``` === "Rust" ```rust title="" use std::rc::Rc; use std::cell::RefCell; /* 二分木のノード構造体 */ struct TreeNode { val: i32, // ノードの値 left: Option>>, // 左の子への参照 right: Option>>, // 右の子への参照 } impl TreeNode { /* コンストラクタ */ fn new(val: i32) -> Rc> { Rc::new(RefCell::new(Self { val, left: None, right: None })) } } ``` === "C" ```c title="" /* 二分木のノード構造体 */ typedef struct TreeNode { int val; // ノードの値 int height; // ノードの高さ struct TreeNode *left; // 左の子へのポインタ struct TreeNode *right; // 右の子へのポインタ } TreeNode; /* コンストラクタ */ TreeNode *newTreeNode(int val) { TreeNode *node; node = (TreeNode *)malloc(sizeof(TreeNode)); node->val = val; node->height = 0; node->left = NULL; node->right = NULL; return node; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="" /* 二分木のノードクラス */ class TreeNode(val _val: Int) { // ノードの値 var left: TreeNode? = null // 左の子への参照 var right: TreeNode? = null // 右の子への参照 } ``` === "Ruby" ```ruby title="" ### 二分木のノードクラス ### class TreeNode attr_accessor :val # ノードの値 attr_accessor :left # 左の子への参照 attr_accessor :right # 右の子への参照 def initialize(val) @val = val end end ``` 各ノードは二つの参照（ポインタ）を持ち、それぞれ左の子ノード（left-child node）と右の子ノード（right-child node）を指します。そのノードは、二つの子の親ノード（parent node）と呼ばれます。あるノードの左の子とその下のノードが作る木を左部分木（left subtree）と呼び、同様に右部分木（right subtree）も定義できます。 **二分木では、葉以外のすべてのノードが、子ノードと空でない部分木を持ちます**。下図で「ノード 2」を親とすると、左右の子は「ノード 4」と「ノード 5」です。左部分木はノード 4 とその下のノードが作る木、右部分木はノード 5 とその下のノードが作る木です。 ![親ノード、子ノード、部分木](binary_tree.assets/binary_tree_definition.png) ## 二分木の主な用語 主な用語を下図に示します。 - 根ノード（root node）：最上層にある、親を持たないノードです。 - 葉ノード（leaf node）：子を持たず、二つのポインタがどちらも `None` を指すノードです。 - 辺（edge）：二つのノードを結ぶ線で、ノードの参照（ポインタ）です。 - ノードのレベル（level）：上から下へ増え、根のレベルは 1 です。 - ノードの次数（degree）：子ノードの数です。二分木では 0、1、2 のいずれかです。 - 二分木の高さ（height）：根から最も遠い葉までに通る辺の数です。 - ノードの深さ（depth）：根からそのノードまでに通る辺の数です。 - ノードの高さ（height）：そのノードから最も遠い葉と、そのノードとの間にある辺の数です。 ![二分木の主な用語](binary_tree.assets/binary_tree_terminology.png) !!! tip 通常、高さと深さは通る辺の数で定義しますが、問題や教科書によっては通るノードの数で定義する場合もあります。その場合は、高さと深さの両方に 1 を加えます。 ## 二分木の基本操作 ### 二分木の初期化 連結リストと同じく、まずノードを初期化し、次に参照（ポインタ）をつなぎます。 === "Python" ```python title="binary_tree.py" # 二分木を初期化 # ノードを初期化 n1 = TreeNode(val=1) n2 = TreeNode(val=2) n3 = TreeNode(val=3) n4 = TreeNode(val=4) n5 = TreeNode(val=5) # ノード間の参照（ポインタ）をつなぐ n1.left = n2 n1.right = n3 n2.left = n4 n2.right = n5 ``` === "C++" ```cpp title="binary_tree.cpp" /* 二分木を初期化 */ // ノードを初期化 TreeNode* n1 = new TreeNode(1); TreeNode* n2 = new TreeNode(2); TreeNode* n3 = new TreeNode(3); TreeNode* n4 = new TreeNode(4); TreeNode* n5 = new TreeNode(5); // ノード間の参照（ポインタ）をつなぐ n1->left = n2; n1->right = n3; n2->left = n4; n2->right = n5; ``` === "Java" ```java title="binary_tree.java" // ノードを初期化 TreeNode n1 = new TreeNode(1); TreeNode n2 = new TreeNode(2); TreeNode n3 = new TreeNode(3); TreeNode n4 = new TreeNode(4); TreeNode n5 = new TreeNode(5); // ノード間の参照（ポインタ）をつなぐ n1.left = n2; n1.right = n3; n2.left = n4; n2.right = n5; ``` === "C#" ```csharp title="binary_tree.cs" /* 二分木を初期化 */ // ノードを初期化 TreeNode n1 = new(1); TreeNode n2 = new(2); TreeNode n3 = new(3); TreeNode n4 = new(4); TreeNode n5 = new(5); // ノード間の参照（ポインタ）をつなぐ n1.left = n2; n1.right = n3; n2.left = n4; n2.right = n5; ``` === "Go" ```go title="binary_tree.go" /* 二分木を初期化 */ // ノードを初期化 n1 := NewTreeNode(1) n2 := NewTreeNode(2) n3 := NewTreeNode(3) n4 := NewTreeNode(4) n5 := NewTreeNode(5) // ノード間の参照（ポインタ）をつなぐ n1.Left = n2 n1.Right = n3 n2.Left = n4 n2.Right = n5 ``` === "Swift" ```swift title="binary_tree.swift" // ノードを初期化 let n1 = TreeNode(x: 1) let n2 = TreeNode(x: 2) let n3 = TreeNode(x: 3) let n4 = TreeNode(x: 4) let n5 = TreeNode(x: 5) // ノード間の参照（ポインタ）をつなぐ n1.left = n2 n1.right = n3 n2.left = n4 n2.right = n5 ``` === "JS" ```javascript title="binary_tree.js" /* 二分木を初期化 */ // ノードを初期化 let n1 = new TreeNode(1), n2 = new TreeNode(2), n3 = new TreeNode(3), n4 = new TreeNode(4), n5 = new TreeNode(5); // ノード間の参照（ポインタ）をつなぐ n1.left = n2; n1.right = n3; n2.left = n4; n2.right = n5; ``` === "TS" ```typescript title="binary_tree.ts" /* 二分木を初期化 */ // ノードを初期化 let n1 = new TreeNode(1), n2 = new TreeNode(2), n3 = new TreeNode(3), n4 = new TreeNode(4), n5 = new TreeNode(5); // ノード間の参照（ポインタ）をつなぐ n1.left = n2; n1.right = n3; n2.left = n4; n2.right = n5; ``` === "Dart" ```dart title="binary_tree.dart" /* 二分木を初期化 */ // ノードを初期化 TreeNode n1 = new TreeNode(1); TreeNode n2 = new TreeNode(2); TreeNode n3 = new TreeNode(3); TreeNode n4 = new TreeNode(4); TreeNode n5 = new TreeNode(5); // ノード間の参照（ポインタ）をつなぐ n1.left = n2; n1.right = n3; n2.left = n4; n2.right = n5; ``` === "Rust" ```rust title="binary_tree.rs" // ノードを初期化 let n1 = TreeNode::new(1); let n2 = TreeNode::new(2); let n3 = TreeNode::new(3); let n4 = TreeNode::new(4); let n5 = TreeNode::new(5); // ノード間の参照（ポインタ）をつなぐ n1.borrow_mut().left = Some(n2.clone()); n1.borrow_mut().right = Some(n3); n2.borrow_mut().left = Some(n4); n2.borrow_mut().right = Some(n5); ``` === "C" ```c title="binary_tree.c" /* 二分木を初期化 */ // ノードを初期化 TreeNode *n1 = newTreeNode(1); TreeNode *n2 = newTreeNode(2); TreeNode *n3 = newTreeNode(3); TreeNode *n4 = newTreeNode(4); TreeNode *n5 = newTreeNode(5); // ノード間の参照（ポインタ）をつなぐ n1->left = n2; n1->right = n3; n2->left = n4; n2->right = n5; ``` === "Kotlin" ```kotlin title="binary_tree.kt" // ノードを初期化 val n1 = TreeNode(1) val n2 = TreeNode(2) val n3 = TreeNode(3) val n4 = TreeNode(4) val n5 = TreeNode(5) // ノード間の参照（ポインタ）をつなぐ n1.left = n2 n1.right = n3 n2.left = n4 n2.right = n5 ``` === "Ruby" ```ruby title="binary_tree.rb" # 二分木を初期化 # ノードを初期化 n1 = TreeNode.new(1) n2 = TreeNode.new(2) n3 = TreeNode.new(3) n4 = TreeNode.new(4) n5 = TreeNode.new(5) # ノード間の参照（ポインタ）をつなぐ n1.left = n2 n1.right = n3 n2.left = n4 n2.right = n5 ``` ??? pythontutor "実行の可視化" https://pythontutor.com/render.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9C%A8%E3%81%AE%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%89%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__(self%2C%20val%3A%20int)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%89%E3%81%AE%E5%80%A4%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%E5%B7%A6%E3%81%AE%E5%AD%90%E3%81%B8%E3%81%AE%E5%8F%82%E7%85%A7%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%23%20%E5%8F%B3%E3%81%AE%E5%AD%90%E3%81%B8%E3%81%AE%E5%8F%82%E7%85%A7%0A%0A%22%22%22%E5%AE%9F%E8%A1%8C%E7%94%A8%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%89%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9C%A8%E3%82%92%E5%88%9D%E6%9C%9F%E5%8C%96%0A%20%20%20%20%23%20%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%89%E3%82%92%E5%88%9D%E6%9C%9F%E5%8C%96%0A%20%20%20%20n1%20%3D%20TreeNode(val%3D1)%0A%20%20%20%20n2%20%3D%20TreeNode(val%3D2)%0A%20%20%20%20n3%20%3D%20TreeNode(val%3D3)%0A%20%20%20%20n4%20%3D%20TreeNode(val%3D4)%0A%20%20%20%20n5%20%3D%20TreeNode(val%3D5)%0A%20%20%20%20%23%20%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%89%E9%96%93%E3%81%AE%E5%8F%82%E7%85%A7%EF%BC%88%E3%83%9D%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%BF%EF%BC%89%E3%82%92%E3%81%A4%E3%81%AA%E3%81%90%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20n1.right%20%3D%20n3%0A%20%20%20%20n2.left%20%3D%20n4%0A%20%20%20%20n2.right%20%3D%20n5&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&mode=display&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false ### ノードの挿入と削除 連結リストと同様に、ポインタを変更してノードを挿入・削除できます。下図に例を示します。 ![二分木でのノードの挿入と削除](binary_tree.assets/binary_tree_add_remove.png) === "Python" ```python title="binary_tree.py" # ノードの挿入と削除 p = TreeNode(0) # n1 -> n2 の間にノード P を挿入 n1.left = p p.left = n2 # ノード P を削除 n1.left = n2 ``` === "C++" ```cpp title="binary_tree.cpp" /* ノードの挿入と削除 */ TreeNode* P = new TreeNode(0); // n1 -> n2 の間にノード P を挿入 n1->left = P; P->left = n2; // ノード P を削除 n1->left = n2; // メモリを解放 delete P; ``` === "Java" ```java title="binary_tree.java" TreeNode P = new TreeNode(0); // n1 -> n2 の間にノード P を挿入 n1.left = P; P.left = n2; // ノード P を削除 n1.left = n2; ``` === "C#" ```csharp title="binary_tree.cs" /* ノードの挿入と削除 */ TreeNode P = new(0); // n1 -> n2 の間にノード P を挿入 n1.left = P; P.left = n2; // ノード P を削除 n1.left = n2; ``` === "Go" ```go title="binary_tree.go" /* ノードの挿入と削除 */ // n1 -> n2 の間にノード P を挿入 p := NewTreeNode(0) n1.Left = p p.Left = n2 // ノード P を削除 n1.Left = n2 ``` === "Swift" ```swift title="binary_tree.swift" let P = TreeNode(x: 0) // n1 -> n2 の間にノード P を挿入 n1.left = P P.left = n2 // ノード P を削除 n1.left = n2 ``` === "JS" ```javascript title="binary_tree.js" /* ノードの挿入と削除 */ let P = new TreeNode(0); // n1 -> n2 の間にノード P を挿入 n1.left = P; P.left = n2; // ノード P を削除 n1.left = n2; ``` === "TS" ```typescript title="binary_tree.ts" /* ノードの挿入と削除 */ const P = new TreeNode(0); // n1 -> n2 の間にノード P を挿入 n1.left = P; P.left = n2; // ノード P を削除 n1.left = n2; ``` === "Dart" ```dart title="binary_tree.dart" /* ノードの挿入と削除 */ TreeNode P = new TreeNode(0); // n1 -> n2 の間にノード P を挿入 n1.left = P; P.left = n2; // ノード P を削除 n1.left = n2; ``` === "Rust" ```rust title="binary_tree.rs" let p = TreeNode::new(0); // n1 -> n2 の間にノード P を挿入 n1.borrow_mut().left = Some(p.clone()); p.borrow_mut().left = Some(n2.clone()); // ノード p を削除 n1.borrow_mut().left = Some(n2); ``` === "C" ```c title="binary_tree.c" /* ノードの挿入と削除 */ TreeNode *P = newTreeNode(0); // n1 -> n2 の間にノード P を挿入 n1->left = P; P->left = n2; // ノード P を削除 n1->left = n2; // メモリを解放 free(P); ``` === "Kotlin" ```kotlin title="binary_tree.kt" val P = TreeNode(0) // n1 -> n2 の間にノード P を挿入 n1.left = P P.left = n2 // ノード P を削除 n1.left = n2 ``` === "Ruby" ```ruby title="binary_tree.rb" # ノードの挿入と削除 _p = TreeNode.new(0) # n1 -> n2 の間にノード _p を挿入 n1.left = _p _p.left = n2 # ノードを削除 n1.left = n2 ``` ??? pythontutor "実行の可視化" https://pythontutor.com/render.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9C%A8%E3%81%AE%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%89%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__(self%2C%20val%3A%20int)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%89%E3%81%AE%E5%80%A4%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%E5%B7%A6%E3%81%AE%E5%AD%90%E3%81%B8%E3%81%AE%E5%8F%82%E7%85%A7%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%23%20%E5%8F%B3%E3%81%AE%E5%AD%90%E3%81%B8%E3%81%AE%E5%8F%82%E7%85%A7%0A%0A%22%22%22%E5%AE%9F%E8%A1%8C%E7%94%A8%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%89%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9C%A8%E3%82%92%E5%88%9D%E6%9C%9F%E5%8C%96%0A%20%20%20%20%23%20%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%89%E3%82%92%E5%88%9D%E6%9C%9F%E5%8C%96%0A%20%20%20%20n1%20%3D%20TreeNode(val%3D1)%0A%20%20%20%20n2%20%3D%20TreeNode(val%3D2)%0A%20%20%20%20n3%20%3D%20TreeNode(val%3D3)%0A%20%20%20%20n4%20%3D%20TreeNode(val%3D4)%0A%20%20%20%20n5%20%3D%20TreeNode(val%3D5)%0A%20%20%20%20%23%20%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%89%E9%96%93%E3%81%AE%E5%8F%82%E7%85%A7%EF%BC%88%E3%83%9D%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%BF%EF%BC%89%E3%82%92%E3%81%A4%E3%81%AA%E3%81%90%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20n1.right%20%3D%20n3%0A%20%20%20%20n2.left%20%3D%20n4%0A%20%20%20%20n2.right%20%3D%20n5%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%89%E3%81%AE%E6%8C%BF%E5%85%A5%E3%81%A8%E5%89%8A%E9%99%A4%0A%20%20%20%20p%20%3D%20TreeNode(0)%0A%20%20%20%20%23%20n1%20-%3E%20n2%20%E3%81%AE%E9%96%93%E3%81%AB%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%89%20P%20%E3%82%92%E6%8C%BF%E5%85%A5%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20p%0A%20%20%20%20p.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20%23%20%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%89%20P%20%E3%82%92%E5%89%8A%E9%99%A4%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2&cumulative=false&curInstr=37&heapPrimitives=nevernest&mode=display&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false !!! tip 挿入は元の論理構造を変える可能性があり、削除は通常、そのノードとすべての部分木の削除を意味します。そのため、実際に意味のある操作を実現するには、複数の操作を組み合わせて挿入や削除を行うのが一般的です。 ## 主な二分木の種類 ### パーフェクト二分木 下図のパーフェクト二分木（perfect binary tree）は、すべてのレベルが完全に埋まっています。葉の次数は $0$、ほかのすべてのノードの次数は $2$ です。高さが $h$ なら、総ノード数は $2^{h+1} - 1$ という典型的な指数関係になり、自然界の細胞分裂に似た様子を示します。 !!! tip 中国語圏では、パーフェクト二分木は「满二叉树」ともよく呼ばれます。 ![パーフェクト二分木](binary_tree.assets/perfect_binary_tree.png) ### 完全二分木 下図の完全二分木（complete binary tree）では、最下層だけが完全に埋まっていなくてもよく、その層のノードは左から右へ連続して埋まっている必要があります。パーフェクト二分木も、完全二分木の一種です。 ![完全二分木](binary_tree.assets/complete_binary_tree.png) ### 全二分木 下図の全二分木（full binary tree）では、葉以外のすべてのノードが二つの子を持ちます。 ![全二分木](binary_tree.assets/full_binary_tree.png) ### 平衡二分木 下図の平衡二分木（balanced binary tree）では、どのノードでも左右の部分木の高さの差の絶対値が 1 以下です。 ![平衡二分木](binary_tree.assets/balanced_binary_tree.png) ## 二分木の退化 下図は理想的な構造と退化した構造です。各層が埋まるとパーフェクト二分木になり、すべてのノードが一方に偏ると連結リストに退化します。 - パーフェクト二分木は理想的な場合で、分割統治の利点を十分に発揮できます。 - 連結リストはもう一方の極端な場合で、各操作が線形になり、時間計算量は $O(n)$ に悪化します。 ![二分木の最良と最悪の構造](binary_tree.assets/binary_tree_best_worst_cases.png) 下表のように、最良と最悪の構造では、葉の数、総ノード数、高さなどが最大値または最小値になります。

表   二分木の最良と最悪の構造

| | パーフェクト二分木 | 連結リスト | | --------------------------- | ------------------ | ------- | | 第 $i$ レベルのノード数 | $2^{i-1}$ | $1$ | | 高さ $h$ の木の葉ノード数 | $2^h$ | $1$ | | 高さ $h$ の木の総ノード数 | $2^{h+1} - 1$ | $h + 1$ | | 総ノード数 $n$ の木の高さ | $\log_2 (n+1) - 1$ | $n - 1$ |