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极客时间专栏/程序员的数学基础课/加餐/数学专栏课外加餐（一） | 我们为什么需要反码和补码？.md Normal file
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<audio id="audio" title="数学专栏课外加餐（一） | 我们为什么需要反码和补码？" controls="" preload="none"><source id="mp3" src="https://static001.geekbang.org/resource/audio/5f/08/5f59716a0fd62177dac57420e9851008.mp3"></audio>
你好，我是黄申。欢迎来到第一次课外加餐时间。
专栏已经更新了几讲，看到这么多人在留言区写下自己的疑惑和观点，我非常开心。很多同学在留言里提出了很多非常好的问题，所以我决定每隔一段时间，对留言里的疑问、有代表性的问题做个集中的解答，也是对我们主线内容做一个补充，希望对你有帮助。
## 什么是符号位？为什么要有符号位？
在[第1讲](https://time.geekbang.org/column/article/71840)里，我介绍了十进制数转二进制数。这里面很多人对逻辑右移和算术右移中提到的符号位和补码有疑惑。这里面涉及了几个重要的概念，包括符号位、溢出、原码、反码和补码。我详细讲一下这几个点的来龙去脉。
首先我们来看，**什么是符号位，为什么要有符号位**？用一句话来概括就是，**符号位是有符号二进制数中的最高位，我们需要它来表示负数。**
在实际的硬件系统中，计算机CPU的运算器只实现了加法器，而没有实现减法器。那么计算机如何做减法呢？我们可以通过加上一个负数来达到这个目的。比如，3-2可以看作3+(-2)。因此，负数的表示对于计算机中的二进制减法至关重要。
那么，接下来的问题就是，**如何让计算机理解哪些是正数，哪些是负数呢**？为此，人们把二进制数分为有符号数（signed）和无符号数（unsigned）。
如果是有符号数，那么最高位就是符号位。当符号位为0时，表示该数值为正数；当符号位为1时，表示该数值为负数。例如一个8位的有符号位二进制数10100010，最高位是1，这就表示它是一个负数。
如果是无符号数，那么最高位就不是符号位，而是二进制数字的一部分，例如一个8位的无符号位二进制数10100010，我们可以通过第1讲讲过的内容，换算出它所对应的十进制数是162。由于没有表示负数的符号位，所有无符号位的二进制都代表正数。
有些编程语言，比如Java，它所有和数字相关的数据类型都是有符号位的；而有些编程语言，比如C语言，它有诸如unsigned int这种无符号位的数据类型。
下面我们来看，**什么是溢出？**
在数学的理论中，数字可以有无穷大，也有无穷小。可是，现实中的计算机系统，总有一个物理上的极限（比如说晶体管的大小和数量），因此不可能表示无穷大或者无穷小的数字。对计算机而言，无论是何种数据类型，都有一个上限和下限。
在Java中，int型是32位，它的最大值也就是上限是2^31-1（最高位是符号位，所以是2的31次方而不是32次方），最小值也就是下限是-2^31。而long型是64位，它的最大值，也就是上限是2^63-1；最小值，也就是下限是-2^63。
对于n位的数字类型，符号位是1，后面n-1位全是0，我们把这种情形表示为-2^(n-1) ，而不是2^(n-1)。一旦某个数字超过了这些限定，就会发生溢出。如果超出上限，就叫**上溢出**（overflow）。如果超出了下限，就叫**下溢出**（underflow）。
那么**溢出之后会发生什么呢？**我以上溢出为例来给你解释。
n位数字的最大的正值，其符号位为0，剩下的n-1位都为1，再增大一个就变为了符号位为1，剩下的n-1位都为0。而符号位是1，后面n-1位全是0，我们已经说过这表示-2^(n-1)。
<img src="https://static001.geekbang.org/resource/image/10/36/10974fab2acf1ebd3cd3938387b65c36.jpg" alt="">
那么就是说，上溢出之后，又从下限开始，最大的数值加1，就变成了最小的数值，周而复始，这不就是余数和取模的概念吗？下面这个图可以帮助你的理解。
<img src="https://static001.geekbang.org/resource/image/57/71/57e275c509cb477588b8c19b63df0b71.jpg" alt="">
其中右半部分的虚线表示已经溢出的区间，而为了方便你理解，我将溢出后所对应的数字也标在了虚线的区间里。由此可以看到，所以说，**计算机数据的溢出，就相当于取模。**而用于取模的除数就是数据类型的上限减去下限的值，再加上1，也就是(2^(n-1)-1)-(-2^(n-1))+1=2x2^(n-1)-1+1=2^n-1+1。
你可能会好奇，这个除数为什么不直接写成2^n呢？这是因为2^n已经是n+1位了，已经超出了n位所能表示的范围。
## 二进制的原码、反码及补码
理解了符号位和溢出，我接下来说说，什么是二进制的原码、反码和补码，以及我们为什么需要它们。
**原码**就是我们看到的二进制的原始表示。对于有符号的二进制来说，原码的最高位是符号位，而其余的位用来表示该数字绝对值的二进制。所以+2的原码是000…010，-2的的原码是100.…010。
那么我们是不是可以直接使用负数的原码来进行减法计算呢？答案是否定的。我还是以3+(-2)为例。
假设我们使用Java中的32位整型来表示2，它的十进制是000…010。最低的两位是10，前面的高位都是0。如果我们使用-2的原码，也就是100…010，然后我们把3的二进制原码000…011和-2的二进制原码100…010相加，会得到100…0101。具体计算你可以看我画的这幅图。
<img src="https://static001.geekbang.org/resource/image/26/6b/267986137720c8a14e45fa3bb46f736b.jpg" alt="">
二进制编码上的加减法和十进制类似，只不过，在加法中，十进制是满10才进一位，二进制加法中只要满2就进位；同样，在减法中，二进制借位后相当于2而不是10。
相加后的结果是二进制100…0101，它的最高位是1，表示负数，而最低的3位是101，表示5，所以结果就是-5的原码了，而3+(-2)应该等于1，两者不符。
如果负数的原码并不适用于减法操作，那该怎么办呢？这个问题的解答还要依赖计算机的溢出机制。
我刚刚介绍了溢出以及取模的特性，我们可以充分利用这一点，对计算机里的减法进行变换。假设有i-j，其中j为正数。如果i-j加上取模的除数，那么会形成溢出，并正好能够获得我们想要的i-j的运算结果。如果我说的还是不太好理解，你可以参考下面这张图。
<img src="https://static001.geekbang.org/resource/image/d3/4f/d3788c6ecac1f8d8eee9552c7452ca4f.jpg" alt="">
我们把这个过程用表达式写出来就是i-j=(i-j)+(2^n-1+1)=i+(2^n-1-j+1)。
其中2^n-1的二进制码在不考虑符号位的情况下是n-1位的1，那么2^n-1-2的结果就是下面这样的：
<img src="https://static001.geekbang.org/resource/image/41/0e/413470413ff2fe1ce02fa51f07884c0e.jpg" alt="">
从结果可以观察出来，所谓2^n-1-j相当于对正数j的二进制原码，除了符号位之外按位取反（0变1，1变0）。由于负数-j和正数j的原码，除了符号位之外都是相同的，所以，2^n-1-j也相当于对负数-j的二进制原码，除了符号位之外按位取反。我们把2^n-1-j所对应的编码称为负数-j的反码。所以，-2的反码就是1111…1101。
有了反码的定义，那么就可以得出i-j=i+(2^n-1-j+1)=i的原码+(-j的反码)+1。
如果我们把-j的反码加上1定义为-j的补码，就可以得到i-j=i的原码+(-j的补码)。
由于正数的加法无需负数的加法这样的变换，因此正数的原码、反码和补码三者都是一样的。最终，我们可以得到i-j=i的补码+(-j的补码)。
换句话说，计算机可以通过补码，正确地运算二进制减法。我们再来用3+(-2)来验证一下。正数3的补码仍然是0000…0011，-2的补码是1111…1110，两者相加，最后得到了正确的结果1的二进制。
<img src="https://static001.geekbang.org/resource/image/3f/1f/3f4133ef63fd467bd389f58820c72d1f.jpg" alt="">
可见，溢出本来是计算机数据类型的一种局限性，但在负数的加法上，它倒是可以帮我们大忙。
最后，给你留一道思考题吧。理解了负数的原码、反码和补码之后，你能算算看，8位的有符号位二进制数10100010，对应的是哪个十进制数吗？
好了，关于二进制的补充内容就到这里了。欢迎你继续留言给我。你也可以点击“请朋友读”，把今天的内容分享给你的好友，和他一起精进。

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极客时间专栏/程序员的数学基础课/加餐/数学专栏课外加餐（三）：程序员需要读哪些数学书？.md Normal file
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<audio id="audio" title="数学专栏课外加餐（三）：程序员需要读哪些数学书？" controls="" preload="none"><source id="mp3" src="https://static001.geekbang.org/resource/audio/0f/b2/0f87307b4f2d9f43968d7a1387760bb2.mp3"></audio>
你好，我是黄申。欢迎来到第三次加餐时间！之前很多同学问我能否推荐一些数学方面的书，今天我就来分享几本。
数学领域涉及的面很广，相关的书籍也很多。咱们这个专栏我从数学的三个主要方面，介绍程序员常用的数学知识，包括离散数学、概率和统计和线性代数。所以我还是围绕这个专栏的三大模块，来给你推荐相应的书籍。
## 基础思想篇推荐书籍：《离散数学及其应用》
第一模块是“基础思想篇”。这一模块，我尝试用实际项目中的案例，把不同的离散数学知识点串了起来，并加以解释。如果你对其中某些点，有更深的兴趣，可以参考Kenneth H·Rosen所著的《**离散数学及其应用**》，英文原名是$Discrete$ $Mathematics$ $and$ $Its$ $Applications$。
<img src="https://static001.geekbang.org/resource/image/42/48/4219469a129f55f25373045081867848.jpg" alt="">
这本书是国外高校的教材，对所有离散数学的知识点介绍的比较全面。咱们讲过的同余定理、数学归纳法、递归、分治算法、排列和组合、树和树的遍历、图和最短路径、逻辑以及集合等概念，这里面都有非常详细的介绍。我看很多人对这些内容很感兴趣，可以参考这本书的相关章节，深入学习。
除此之外，这本书还有几个特点，我觉得非常好。
第一，介绍了不少证明的方法。计算机算法的正确性是很重要的，专栏中我在不同的地方介绍并使用了数学归纳法，在解释Dijkstra算法时也用到了反证法和分情形证明的思想。数学中用于证明的方法其实还有很多，这本书涉及了穷举证明、存在性证明等。相信这些证明方法，可以让你更好地理解，为什么有些算法是可行的，有些算法是有问题的，并帮助你在理解算法、学习算法，甚至设计算法时保证它的正确性。
第二，介绍了不少逻辑和集合相关的知识。这些我在专栏里没有涉及太多。主要是因为程序员经常接触各种条件和查询语句，对这些内容已经很熟悉了，所以我没有花太多的篇幅。如果你想知道更多关于逻辑、集合和布尔代数这些基础内容的解释，也可以看看这本书。
第三，和编程结合得非常紧密。主要体现在两个方面：第一，它介绍了一些基于伪代码的算法，也对这些算法进行了时间和空间复杂度的分析，例如常见的排序、搜索算法。第二，它介绍了不少离散数学在计算机科学中的应用场景，例如关系型数据库和SQL查询语言是如何设计的。另外，它也提供了不少课后习题，可以加深你对这些知识点的理解。所以，当你读到这本书的某些章节时，会发现，怎么和计算机的数据结构和算法这么像啊？确实，离散数学和数据结构和基础算法有着紧密的联系，加上这本书使用了不少计算机的语言、例子和应用，自然有不少共同的内容了。
专栏的第二模块是“概率统计篇”，这本书也谈到了一些离散概率的内容。在学习第二个模块的时候，你也可以搭配这本书的内容来看，相信对你会很有帮助。
当然，这本书的某些内容讲得比较深，而且有些知识点在程序员日常编码中基本上用不到。你可以结合我专栏的主题和内容，并针对自己的日常工作，挑出一些重点来学习。
## 概率统计篇推荐书籍：《概率统计》
专栏第一模块已经结束了，接下来的“概率统计篇”我会着重介绍概率统计及其在计算机领域中的主要应用。你可以预先阅读一些相关的书籍，热热身。这里我推荐另一本国外高校的教材，Morris H．DeGroot和Mark J．Schervish所著的《**概率统计**》，英文原名是$Probability$ $and$ $Statistics$。本书的两位作者，DeGroot和Schervish都是贝叶斯统计理论的重量级人物。
<img src="https://static001.geekbang.org/resource/image/8a/76/8aa4bee1c0b435fd4dbe8bae7f955076.png" alt="">
这本书包含了概率论常用的知识点，包括了随机变量及其分布、条件概率、期望值、贝叶斯理论、马尔科夫链等等。专栏的第二模块，我也会介绍这些知识点，以及它们在计算机领域，特别是机器学习中的应用。
我们再来说这本书的几个特色。
第一，这本书通常以列举非常实用的例子开始，然后详尽地讲解理论及其扩展应用。比如，一开篇解释“概率”的时候，作者使用了抛硬币的例子，分别从“频率”“经典”和“主观”的角度来解释概率，并又阐述了“概率理论”和“概率”有何不同。这样的写法会给你很多思路上的启发，让你获得更直观的认识。文章中也不乏很多来源于各个领域的案例，比如经济学和金融学等等。
第二，对概念的解释非常详细。比如“充分统计量（sufficient statistic）”这个概念，一般的书可能两句话就解释完了，然后就是大堆的公式，但是这本书用了差不多两页的篇幅来解释它。我觉得这点对自学者而言是非常有帮助的。
第三，这本书几乎没有任何涉及计算机算法和代码的部分，哪怕是伪代码也没有。我想作者是希望完全从概率和统计本身的角度来写，而避免过多的实现细节。不过，对于这点你也不用过于担心，因为在专栏中，我会结合一些具体的机器学习算法及其应用，给你展示这些理论知识是如何运用到实践中的。
总的来说，这是一本相当不错的概率和统计方面的专业书籍。如果你预先读读这本书的内容，对概念有了理解，再看我的专栏也会更有感触。
## 线性代数篇推荐书籍：《线性代数及其应用》
如今的机器学习模型，除了基于概率和统计，还会使用线性代数的知识，本专栏的第三个模块就是“线性代数”。介绍线性代数的书籍不少，我这里推荐一本David C. Lay和Steven R. Lay合著的《**线性代数及其应用**》，英文原名$Linear$ $Algebra$ $and$ $Its$ $Applications$。
<img src="https://static001.geekbang.org/resource/image/41/65/4103851f3c50c4f1048bbe144178c965.png" alt="">
这本书最大的特色在于：
第一，使用通俗易懂的口吻和大量的插图来阐述概念。而且在我看来，这些概念他解释得也相当清楚，比如线性方程、向量空间、特征向量、奇异值的分解等等，这些都是在机器学习算法中常用的模型或技术。
第二，写作的逻辑也相当清晰。这本书基本上都是先提出一个实际的问题，然后对这个问题进行分析，最终才进行定理式的归纳和证明。通俗易懂的同时，不乏数学的严谨性。和前面两本推荐的书一样，这本书中也结合了很多生动的案例，特别是经济学领域的。
第三，这本书还配套了一本优秀的学习指南$Linear$ $Algebra$ $and$ $Its$ $Applications$: $Study$ $Guide$。这本指南，加上原书课后的习题，对于自学的读者巩固知识很有帮助。不过我没有找到这本指南的中文翻译版。如果哪位同学有好的练习题推荐，也可以在留言区分享出来。
## 入门、通识类书籍推荐
除了上述三本重量级的专业书籍，我觉得还有几本通俗的入门书也是不错的。
一套是几位日本作家写的《**程序员的数学**》系列，包括《程序员的数学》《程序员的数学：概率统计》《程序员的数学：线性代数》。这套书也强调了和计算机领域紧密相连的三大模块。这几位作者使用朴实的语言，把最重要的一些概念给说明白了。相比前面三本，这套书所涵盖的内容可能没有那么全面、也没有那么深入，不过对于初学者来讲，是不错的入门书籍。
<img src="https://static001.geekbang.org/resource/image/c1/69/c1cf06f722b99ee0a3efd2a530c33c69.png" alt="">
最后一本书是吴军老师的《**数学之美**》。这本书最大的特点是和计算机领域结合得非常紧密。所有的问题和解决方案，最后都联系到了计算机中的某个应用。可以说，作者更多的是从计算机从业者的角度出发，深入探讨了背后的数学思想和知识。除此之外，吴军老师广博的学识和深刻的见解，在这本书中也体现得淋漓尽致。这本书的写作风格对我写作这个专栏也是非常有启发的。
<img src="https://static001.geekbang.org/resource/image/07/21/07a3b6e3dcbb918f3f9458c23dc32921.png" alt="">
读书在精，不在多。我选的这些书，你可能多多少少见过，但是能静下心来读完一本的人可能寥寥无几。我相信，订阅这个专栏的你，一定有颗不甘于平庸的心。你一定有你的目标和追求。开卷有益，坚持下去，学下去、读下去，相信你一定会有所收获！

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极客时间专栏/程序员的数学基础课/加餐/数学专栏课外加餐（二） | 位操作的三个应用实例.md Normal file
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<audio id="audio" title="数学专栏课外加餐（二） | 位操作的三个应用实例" controls="" preload="none"><source id="mp3" src="https://static001.geekbang.org/resource/audio/51/18/5171039ec2a0ad7ea56e8ce968860d18.mp3"></audio>
你好，我是黄申。欢迎来到第二次课外加餐时间。
## 位操作的应用实例
留言里很多同学对位操作比较感兴趣，我这里通过计算机中的位操作的几个应用，来帮你理解位操作。
### 1.验证奇偶数
在[第2节](https://time.geekbang.org/column/article/72163)里，我提到了，奇偶数其实也是余数的应用。编程中，我们也可以用位运算来判断奇偶数。
仔细观察，你会发现偶数的二进制最后一位总是0，而奇数的二进制最后一位总是1，因此对于给定的某个数字，我们可以把它的二进制和数字1的二进制进行按位“与”的操作，取得这个数字的二进制最后一位，然后再进行判断。
我这里写了一段代码，比较了使用位运算和模运算的效率，我统计了进行1亿次奇偶数判断，使用这两种方法各花了多少毫秒。如果在你的机器上两者花费的时间差不多，你可以尝试增加统计的次数。在我的机器上测试下来，同样次数的奇偶判断，使用位运算的方法耗时明显更低。
```
public class Lesson1_append1 {
public static void main(String[] args) {
int even_cnt = 0, odd_cnt = 0;
long start = 0, end = 0;
start = System.currentTimeMillis();
for (int i = 0; i &lt; 100000000; i++) {
if((i &amp; 1) == 0){
even_cnt ++;
}else{
odd_cnt ++;
}
}
end = System.currentTimeMillis();
System.out.println(end - start);
System.out.println(even_cnt + &quot; &quot; + odd_cnt);
even_cnt = 0;
odd_cnt = 0;
start = 0;
end = 0;
start = System.currentTimeMillis();
for (int i = 0; i &lt; 100000000; i++) {
if((i % 2) == 0){
even_cnt ++;
}else{
odd_cnt ++;
}
}
end = System.currentTimeMillis();
System.out.println(end - start);
System.out.println(even_cnt + &quot; &quot; + odd_cnt);
}
}
```
### 2.交换两个数字
你应该知道，要想在计算机中交换两个变量的值，通常都需要一个中间变量，来临时存放被交换的值。不过，利用异或的特性，我们就可以避免这个中间变量。具体的代码如下：
```
x = (x ^ y);
y = x ^ y;
x = x ^ y;
```
把第一步代入第二步中, 可以得到：
```
y = (x ^ y) ^ y = x ^ (y ^ y) = x ^ 0 = x
```
把第一步和第二步的结果代入第三步中，可以得到：
```
x = (x ^ y) ^ x = (x ^ x) ^ y = 0 ^ y = y
```
这里用到异或的两个特性，第一个是两个相等的数的异或为0，比如x^x= 0；第二个是任何一个数和0异或之后，还是这个数不变，比如0^y=y。
### 3.集合操作
集合和逻辑的概念是紧密相连的，因此集合的操作也可以通过位的逻辑操作来实现。
假设我们有两个集合{1, 3, 8}和{4, 8}。我们先把这两个集合转为两个8位的二进制数，从右往左以1到8依次来编号。
如果某个数字在集合中，相应的位置1，否则置0。那么第一个集合就可以转换为10000101，第二个集合可以转换为10001000。那么这两个二进制数的按位与就是10000000，只有第8位是1，代表了两个集合的交为{8}。而这两个二进制数的按位或就是10001101，第8位、第4位、第3位和第1位是1，代表了两个集合的并为{1, 3, 4, 8}。
说到这里，不禁让我想起Elasticsearch的BitSet。我曾经使用Elasticsearch这个开源的搜索引擎来实现电商平台的搜索。
当时为了提升查询的效率，我使用了Elasticsearch的Filter查询。我研究了一下这个Filter查询的原理，发现它并没有考虑各种文档的相关性得分，因此它可以把文档匹配关键字的情况，转换成了一个BitSet。
你可以把BitSet想成一个巨大的位数组。每一位对应了某篇文档是否和给定的关键词匹配，如果匹配，这一位就置1，否则就置0。每个关键词都可以拥有一个BitSet，用于表示哪些文档和这个关键词匹配。那么要查看同时命中多个关键词的文档有哪些，就是对多个BitSet求交集。利用上面介绍的按位与，这点是很容易实现的，而且效率相当之高。
## 二分查找时的两个细节
[第3节](https://time.geekbang.org/column/article/72243)我介绍了迭代法，并讲解了相关的代码实现。其中，有两个细节我在这里补充说明一下。
第一个是关于**中间值的计算**。我优化了两处代码，分别是Lesson3_2的第16行和Lesson3_3的第22行。
其中，Lesson3_2的第16行由原来的：
```
double middle = (min + max) / 2;
```
改为：
```
double middle = min + (max - min) / 2;
```
Lesson3_3的第22行由原来的：
```
int middle = (left + right) / 2;
```
改为：
```
int middle = left + (right - left) / 2;
```
这两处改动的初衷都是一样的，是为了避免溢出。在第一篇加餐中，介绍负数的加法时，我已经解释了什么是溢出。那这里为什么会发生溢出呢？我以第二处代码为例来讲解下。
从理论上来说，(left+right)/2=left+(right-left)/2。可是，我们之前说过，计算机系统有自身的局限性，无论是何种数据类型，都有一个上限或者下限。一旦某个数字超过了这些限定，就会发生溢出。
对于变量left和right而言，在定义的时候都指定了数据类型，因此不会超出范围。可是，left+right的和就不一定了。从下图可以看出，当left和right都已经很接近某个数据类型的最大值时，两者的和就会超过这个最大值，发生上溢出。这也是为什么最好不用通过(left+right)/2来求两者的中间值。
<img src="https://static001.geekbang.org/resource/image/35/cc/35e891800614511659e0cbf11060b5cc.jpg" alt="">
那么为什么left + (right -left)/2就不会溢出呢？首先，right是没有超过最大值的，那么(right -left)/2自然也就没有超过范围，即使left加上了(right -left)/2，也不会超过right的值，所以运算的整个过程都不会产生溢出。
第二个是关于误差百分比和绝对误差。在Lesson3_2中有这么一行：
```
double delta = Math.abs((square / n) - 1);
```
这里我使用了误差的百分比，也就是误差值占输入值n的比例。其实绝对误差也是可以的，不过我在这里考虑了n的大小。比如，如果n是一个很小的正整数，比如个位数，那么误差可能要精确到0.00001。但是如果n是一个很大的数呢？比如几个亿，那么精确到0.00001可能没有多大必要，也许精确到0.1也就可以了。所以，使用误差的百分比可以避免由于不同的n，导致的迭代次数有过大差异。
由于这里n是大于1的正整数，所以可以直接拿平方值square去除以n。否则，我们要单独判断n为0的情况，并使用绝对误差。
## 关于迭代法、数学归纳法和递归
从第3节到第6节，我连续介绍了迭代法、数学归纳法、递归。这些概念之间存在相互联系，又不完全一样，很多同学对此也有一些疑惑。所以，这里我来帮你梳理一下。
迭代法和递归都是通过不断反复的步骤，计算数值或进行操作的方法。迭代一般适合正向思维，而递归一般适合逆向思维。而递归回溯的时候，也体现了正向递推的思维。它们本身都是抽象的流程，可以有不同的编程实现。
对于某些重复性的计算，数学归纳法可以从理论上证明某个结论是否成立。如果成立，它可以大大节约迭代法中数值计算部分的时间。不过，在使用数学归纳法之前，我们需要通过一些数学知识，假设命题，并证明该命题成立。
对于那些无法使用数学归纳法来证明的迭代问题，我们可以通过编程实现。这里需要注意的是，广义上来说，递归也是迭代法的一种。不过，在计算机编程中，我们所提到的迭代是一种具体的编程实现，是指使用循环来实现的正向递推，而递归是指使用函数的嵌套调用来实现的逆向递推。当然，两种实现通常是可以相互转换的。
循环的实现很容易理解，对硬件资源的开销比较小。不过，循环更适合“单线剧情”，例如计算2^n，n!，1+2+3+…+n等等。而对于存在很多“分支剧情”的复杂案例而言，使用递归调用更加合适。
利用函数的嵌套调用，递归编程可以存储很多中间变量。我们可以很轻松地跟踪不同的分支，而所有这些对程序员基本是透明的。如果这时使用循环，我们不得不自己创建并保存很多中间变量。当然，正是由于这个特性，递归比较消耗硬件资源。
递归编程本身就体现了分治的思想，这个思想还可以延伸到集群的分布式架构中。最近几年比较主流的MapReduce框架也体现了这种思想。
综合上面说的几点，你可以大致遵循这样的原则：
<li>
如果一个问题可以被迭代法解决，而且是有关数值计算的，那你就看看是否可以假设命题，并优先考虑使用数学归纳法来证明；
</li>
<li>
如果需要借助计算机，那么优先考虑是否可以使用循环来实现。如果问题本身过于复杂，再考虑函数的嵌套调用，是否可以通过递归将问题逐级简化；
</li>
<li>
如果数据量过大，可以考虑采用分治思想的分布式系统来处理。
</li>
最后，给你留一道思考题吧。
在1到n的数字中，有且只有唯一的一个数字m重复出现了，其它的数字都只出现一次。请把这个数字找出来。提示：可以充分利用异或的两个特性。
好了，前面6讲的补充内容就到这里了。欢迎你留言给我。你也可以点击“请朋友读”，把今天的内容分享给你的好友，和他一起精进。