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极客时间专栏/重学线性代数/基础篇/基础通关 | 线性代数5道典型例题及解析.md

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+<audio id="audio" title="基础通关 | 线性代数5道典型例题及解析" controls="" preload="none"><source id="mp3" src="https://static001.geekbang.org/resource/audio/15/3d/1571aefebc1158aa4b39450b15a86d3d.mp3"></audio>
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+你好，我是朱维刚。欢迎你继续跟我学习线性代数。
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+今天这一节课的内容是基础通关。这里会用5道典型例题，让你巩固一下线性代数的基础知识，这也是进入应用篇学习之前的一次动手机会。从课程上线到现在快有一个月了，这期间我收到了不少同学的提问和建议，有些问题也是我没有想到的，非常有深度，说实话这让我感觉挺意外的，希望你再接再厉。
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+现在，你可以看一下基础通关的5道例题了，题目和解析都放在了正文中，你可以自己试着做一下。基础通关后，我们应用篇再见。
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+## 例题一
+
+找到线性方程组$Ax=b$的所有解，其中：
+
+$$<br>
+A=\left[\begin{array}{cc}<br>
+1 &amp; 2 \\\<br>
+3 &amp; 0 \\\<br>
+-1 &amp; 2<br>
+\end{array}\right], b=\left[\begin{array}{c}<br>
+1 \\\<br>
+0 \\\<br>
+1<br>
+\end{array}\right]<br>
+$$
+
+### 解析：
+
+这里考察了解线性方程组的方法，特别是高斯消元法，你可以参考第4节的内容。
+
+首先，形成增广矩阵：
+
+$$<br>
+\left[\begin{array}{cccc}<br>
+1 &amp; 2 &amp; 1 \\\<br>
+3 &amp; 0  &amp; 0 \\\<br>
+-1 &amp; 2  &amp; 1<br>
+\end{array}\right]<br>
+$$
+
+接着，分步计算增广矩阵的行阶梯形矩阵：
+
+1. 第一行乘-3和第二行相加。
+1. 第一行和第三行相加。
+
+$$<br>
+\left[\begin{array}{cccc}<br>
+1 &amp; 2  &amp; 1 \\\<br>
+0 &amp; -6  &amp; -3 \\\<br>
+0 &amp; 4  &amp; 2<br>
+\end{array}\right]<br>
+$$
+
+1. 第二行乘$\frac{1}{3}$和第一行相加。
+1. 第二行乘$\frac{2}{3}$和第三行相加。
+1. 第三行乘$-\frac{1}{6}$。
+
+$$<br>
+\left[\begin{array}{llll}<br>
+1 &amp; 0  &amp; 0 \\\<br>
+0 &amp; 1  &amp; \frac{1}{2} \\\<br>
+0 &amp; 0  &amp; 0<br>
+\end{array}\right]<br>
+$$
+
+最后得出该线性方程组的唯一解：
+
+$$<br>
+x=\left[\begin{array}{l}<br>
+0 \\\<br>
+\frac{1}{2}<br>
+\end{array}\right]<br>
+$$
+
+## 例题二
+
+找到线性方程组$Ax=b$的所有解，其中：
+
+$$<br>
+A=\left[\begin{array}{lll}<br>
+1 &amp; 2 &amp; 3 \\\<br>
+0 &amp; 2 &amp; 2<br>
+\end{array}\right], b=\left[\begin{array}{l}<br>
+1 \\\<br>
+1<br>
+\end{array}\right]<br>
+$$
+
+### 解析：
+
+这里考察了解线性方程组的方法，特别是高斯消元法。你可以参考第4节的内容，和例题一不同的是，例题二这里得到的会是无穷解。所以，这一题里找特殊解和通用解的方法是关键。
+
+首先，形成增广矩阵：
+
+$$<br>
+\left[\begin{array}{lllll}<br>
+1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 1 &amp; 1 \\\<br>
+0 &amp; 2 &amp; 2 &amp; 1 &amp; 1<br>
+\end{array}\right]<br>
+$$
+
+接着，形成增广矩阵：分步计算增广矩阵的行阶梯形矩阵：
+
+1. 第一行乘-1和第二行相加；
+1. 第二行乘1/2。
+
+$$<br>
+\left[\begin{array}{lllll}<br>
+1 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 0 \\\<br>
+0 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 1 &amp; \frac{1}{2}<br>
+\end{array}\right]<br>
+$$
+
+使用主元列，得到特殊解：
+
+$$<br>
+x=\left[\begin{array}{l}<br>
+0 \\\<br>
+\frac{1}{2} \\\<br>
+0<br>
+\end{array}\right]<br>
+$$
+
+下一步，获取线性方程组$Ax=0$的通用解，从增广矩阵的左边，能够立即得出：
+
+$$<br>
+\lambda\left[\begin{array}{c}<br>
+1 \\\<br>
+1 \\\<br>
+-1<br>
+\end{array}\right]<br>
+$$
+
+最后，把特殊解和通用解组合起来就是：
+
+$$<br>
+x=\left[\begin{array}{l}<br>
+0 \\\<br>
+\frac{1}{2} \\\<br>
+0<br>
+\end{array}\right]+\lambda\left[\begin{array}{c}<br>
+1 \\\<br>
+1 \\\<br>
+-1<br>
+\end{array}\right]<br>
+$$
+
+## 例题三
+
+计算矩阵乘$AB$。
+
+$$<br>
+A=\left[\begin{array}{ccc}<br>
+1 &amp; 2 &amp; 3 \\\<br>
+0 &amp; -1 &amp; 2<br>
+\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ccc}<br>
+4 &amp; -1 &amp; 2 \\\<br>
+0 &amp; 2 &amp; 1<br>
+\end{array}\right]<br>
+$$
+
+### 解析：
+
+这里考察了基本的矩阵乘运算，特别是普通矩阵乘，只有相邻阶数匹配的矩阵才能相乘，你可以参考第3节的内容。
+
+矩阵乘无法完成，因为$A$是2行3列矩阵，$B$也是2行3列矩阵，$A$和邻居维度不同。
+
+## 例题四
+
+计算矩阵乘$AB$。
+
+$$<br>
+A=\left[\begin{array}{ccc}<br>
+1 &amp; 2 &amp; 3 \\\<br>
+0 &amp; -1 &amp; 2<br>
+\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc}<br>
+4 &amp; -1 \\\<br>
+2 &amp; 0 \\\<br>
+2 &amp; 1<br>
+\end{array}\right]<br>
+$$
+
+### 解析：
+
+这里考察了基本的矩阵乘运算，特别是普通矩阵乘，你可以参考第3节的内容。
+
+矩阵乘可以完成，因为两个矩阵的邻居维度相同，拿$a_{11}$举例：$a_{11}=1 \times 4+2 \times 2+3 \times 2=14$，结果：
+
+$$<br>
+A B=\left[\begin{array}{cc}<br>
+14 &amp; 2 \\\<br>
+2 &amp; 2<br>
+\end{array}\right]<br>
+$$
+
+## 例题五
+
+假设$R^{3}$和它的运算$\langle\ ·,· \rangle$，$x, y \in R^{3}$，我们有：
+
+$$<br>
+\langle x, y\rangle=x^{T} A y, A=\left[\begin{array}{ccc}<br>
+4 &amp; 2 &amp; 1 \\\<br>
+0 &amp; 4 &amp; -1 \\\<br>
+1 &amp; -1 &amp; 5<br>
+\end{array}\right]<br>
+$$
+
+那么，$\langle\ ·,· \rangle$是内积吗？
+
+### 解析：
+
+这里考察了内积，以及内积的性质之一：对称性，你可以参考第10节的内容。
+
+选择$x=\left[\begin{array}{lll}1 &amp; 1 &amp; 0\end{array}\right]^{T}$，$y=\left[\begin{array}{lll}1 &amp; 2 &amp; 0\end{array}\right]^{T}$，通过计算，能够得到：
+
+$$<br>
+\begin{array}{l}<br>
+\langle x, y\rangle=16 \\\<br>
+\langle y, x\rangle=14 \\\<br>
+\langle x, y\rangle \neq\langle y, x\rangle<br>
+\end{array}<br>
+$$
+
+于是，$\langle\ ·,· \rangle$是不对称的。