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专栏/程序员的数学课/01 从计数开始，程序员必知必会的数制转换法.md.html
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@@ -192,7 +192,7 @@ function hide_canvas() {
</ul>
<p>这里 b、o、x 三个英文字母的选择均来自数制的英文单词。</p>
<p>综上，我们对这几个数制的信息整理如下表：</p>
<p><img src="assets/CgqCHl-WYACATr-VAAC40XoQFZU944.png" alt="1.png" /></p>
<p><img src="assets/CgqCHl-WYACATr-VAAC40XoQFZU944.png" alt="png" /></p>
<h3>数制转换的方法</h3>
<p>人们在使用数制进行计算时，都习惯性地把原问题映射到十进制中；计算完成后，再映射回去。这里就牵涉数制的转换啦。</p>
<p>我举一个生活中最常见的数制转换的例子。</p>
@@ -203,31 +203,31 @@ function hide_canvas() {
<p>“40分钟+40分钟=80分钟”就是十进制的算术过程，可见为了完成其他数制的运算，我们依旧更喜欢用十进制做桥梁，毕竟我们对十进制的运算是最熟悉的。</p>
<h4>1. 换基法（换向十进制）</h4>
<p>我们给出数制转换的定量方法，也就是对于任意一个基数 N 进制下的数字 X，它转换为十进制的方法。如下图的公式所示：原进制若是 N 进制，转换时的基数便取 N。例如，将二进制的 X 转化为十进制时，运算时的转换基数便取为 2。</p>
<p><img src="assets/Ciqc1F-WYCCAOCMMAACEX2a1vNU222.png" alt="2.png" /></p>
<p><img src="assets/Ciqc1F-WYCCAOCMMAACEX2a1vNU222.png" alt="png" /></p>
<ul>
<li>我们举个例子，十进制下的 2020。</li>
</ul>
<p>它是十进制，所以我们基数便取 10；2020有 4 位数，根据上图公式，我们分别取(4-1)次方、(4-2)次方、(4-3)次方、(4-4)次方，再分别与每位数相乘，再相加取和。</p>
<p><img src="assets/Ciqc1F-WYCiAGzKgAABcMIWYJfA894.png" alt="3.png" /></p>
<p><img src="assets/Ciqc1F-WYCiAGzKgAABcMIWYJfA894.png" alt="png" /></p>
<ul>
<li>再举个例子，二进制下的 10110，利用换基法转换为十进制。</li>
</ul>
<p>它原是二进制，所以我们基数便取 2；10110 有 5 位数，根据上图公式，我们分别取(5-1)次方、(5-2)次方、(5-3)次方、(5-4)次方、(5-5)次方，再分别与每位数相乘，再相加取和。</p>
<p><img src="assets/CgqCHl-WYDWAFnchAABhzdyMebE350.png" alt="4.png" /></p>
<p><img src="assets/CgqCHl-WYDWAFnchAABhzdyMebE350.png" alt="png" /></p>
<h4>2. 除余法（十进制向其他进制转换）</h4>
<p>转向的目标进制为 N 进制，则以 N 为除数不断地做除法，将最后的商和之前的余数<strong>逆序</strong>串联在一起，就是最终的结果。</p>
<p>例如，十进制的 19 转换为二进制的过程如下图所示：</p>
<p><img src="assets/CgqCHl-WYEKAWp8MAABzhu_bTgE812.png" alt="5.png" /></p>
<p><img src="assets/CgqCHl-WYEKAWp8MAABzhu_bTgE812.png" alt="png" /></p>
<p>用 19 对 2 做除法得到余数 1，再用商对 2 做除法得到余数 1，再用商对 2 做除法得到余数 0...直到商为 1 结束。最终，用最后的商（也就是1），和过程中所有的余数<strong>逆序</strong>串联在一起，就是最终的结果 10011。</p>
<p>值得一提的是，除余法除了适用于十进制向二进制的转换，也<strong>适用于十进制向任何数制的转换</strong>。例如，用除余法将十进制的 100，转换为八进制和十六进制的计算过程如下，得到结果分别是 0144 和 0x64。</p>
<p><img src="assets/Ciqc1F-WYEqAI9leAABAGGC65Co725.png" alt="6.png" /></p>
<p><img src="assets/Ciqc1F-WYEqAI9leAABAGGC65Co725.png" alt="png" /></p>
<p>我们可以给出个简单的证明，根据换基法我们知道某个数制 N 下的数字的十进制表示为：</p>
<p><img src="assets/Ciqc1F-WYFOAS0s2AABTeUEt0AY493.png" alt="7.png" /></p>
<p><img src="assets/Ciqc1F-WYFOAS0s2AABTeUEt0AY493.png" alt="png" /></p>
<p>其中，Xm、Xm-1、...、X1 分别为数字 X 在 N 进制下的每一位数字，也是我们要求解的目标。接着，我们可以计算 X 除以 N。</p>
<p>这样可以得到，当我们第一次对 N 做除法时，就可以得到商为 N 进制下的 XmXm-1Xm-2...X2，余数就是 X1，即：
<img src="assets/CgqCHl-ZLnKAYGn9AACGBxBvaeQ751.png" alt="WechatIMG237.png" />
<img src="assets/CgqCHl-ZLnKAYGn9AACGBxBvaeQ751.png" alt="png" />
那么第一次除以 N，是如何得到商为 N 进制下的 XmXm-1Xm-2...X2，余数就是 X1 的呢？你可以通过下图这个 16 进制下的 5321 这个例子理解。
<img src="assets/Ciqc1F-aLESAM0L2AAITpDWjzuk862.png" alt="WechatIMG259.png" />
<img src="assets/Ciqc1F-aLESAM0L2AAITpDWjzuk862.png" alt="png" />
这里以 16 进制下的 5321 为例，可以更好地理解这一过程。如果不带入具体数制下的数字，你也可以通过公式推导出来，只是不那么容易理解，不过你自己也可以尝试。</p>
<p>接着同理，我们再用上一步的商 XmXm-1Xm-2...X2 重复对 N 做除法的过程，就会得到新的商为 N 进制下的 XmXm-1Xm-2...X3 ，余数为 X2 。再同理，重复上面的过程，你会发现得到的余数分别是 X1X2X3...Xm。</p>
<p>最后，我们把所有的余数做个逆序，就得到了 N 进制下的 X 的每一位，最终就能得到 XmXm-1Xm-2...X1 了。</p>
@@ -242,7 +242,7 @@ function hide_canvas() {
<li>最后，别忘加上二进制的符号 0b，并去掉首位 0。</li>
</ul>
<p>则八进制的 023 的二进制表示就是 0b10011，如下图：</p>
<p><img src="assets/CgqCHl-WYbSARzuZAABfRNDl43E120.png" alt="9.png" /></p>
<p><img src="assets/CgqCHl-WYbSARzuZAABfRNDl43E120.png" alt="png" /></p>
<p><strong>同理，二进制转换为八进制，可以采用每 3 位合并的按位合并法。</strong></p>
<p>如下图，二进制的 0b10011 转换为八进制，则<strong>从后往前</strong>每 3 位合并：</p>
<ul>
@@ -251,10 +251,10 @@ function hide_canvas() {
<li>别忘加上八进制的符号 0o。</li>
</ul>
<p>则最终八进制的结果就是 0o23 或 023。</p>
<p><img src="assets/CgqCHl-WYb2AWnlDAABXQI-u4nk588.png" alt="10.png" /></p>
<p><img src="assets/CgqCHl-WYb2AWnlDAABXQI-u4nk588.png" alt="png" /></p>
<p>对于<strong>十六进制和二进制之间的转换</strong>，也可以采用按位合并和按位拆分的方法，区别只是在于需要按<strong>4 位</strong>进行合并或拆分。</p>
<p>例如下图，十六进制的 0x1a 转换为二进制，由于 1 为 0001，a 为 1010，串联在一起之后，二进制的结果就是 0b11010。</p>
<p><img src="assets/Ciqc1F-WYcSAbeioAABXFe3nLms882.png" alt="11.png" /></p>
<p><img src="assets/Ciqc1F-WYcSAbeioAABXFe3nLms882.png" alt="png" /></p>
<p>同样地，二进制的 0b1011101 转换为十六进制，从后往前每 4 位合并：</p>
<ul>
<li>最后 4 位是 1101，它是十进制的 13，在十六进制表示为 d；</li>
@@ -262,14 +262,14 @@ function hide_canvas() {
<li>别忘加上十六进制的符号 0x。</li>
</ul>
<p>则最终十六进制的结果就是 0x5d。
<img src="assets/CgqCHl-XgvyAPLFvAABXUh2bCnY315.png" alt="WechatIMG133.png" /></p>
<img src="assets/CgqCHl-XgvyAPLFvAABXUh2bCnY315.png" alt="png" /></p>
<p>为何八进制与二进制的转换是按照 3 位数合并、拆分，而十六进制与二进制之间则是 4 位数呢？本质原因是在于 2³=8 和 2⁴=16。根据这表达式可以看出，二进制中的 3 个 bit（位），恰好可以表示 0～7 这 8 个数字。因此，按照 3 位合并，就可以从二进制转化到八进制了。同理，按照 4 位合并，就可以从二进制转化到十六进制了。</p>
<p>而八进制与十六进制之间的转换，就不适用按位合并和按位拆分的方法了，你可以以二进制或十进制为跳板，进行两者之间的转换。</p>
<h4>4. 数制转换图</h4>
<p>我们总结一下，对于一般的数制之间转换，我们喜欢以十进制来作为跳板。</p>
<p>其他数制向十进制的转换方法是<strong>换基法</strong>，而十进制向其他数制转换的方法是<strong>除余法</strong>。</p>
<p>特别地，对于程序员经常关注的二进制、八进制和十六进制之间，它们又有一些特殊的转换方法。二进制向八进制或十六进制的转换，可以采用<strong>按位合并法</strong>；八进制或十六进制向二进制的转换，可以采用<strong>按位拆分法</strong>。</p>
<p><img src="assets/Ciqc1F-WYpOAE9r4AAHd7gv5pPI247.png" alt="13.png" /></p>
<p><img src="assets/Ciqc1F-WYpOAE9r4AAHd7gv5pPI247.png" alt="png" /></p>
<p>数制转换方法图</p>
<h3>数制转换与编程</h3>
<p>在编程的时候，利用对不同数制及其转换的性质，往往能让很多复杂问题迎刃而解。最常见的就是二进制下的运算，看下下面的例题。</p>