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<title>15 浮点数和定点数（上）：怎么用有限的Bit表示尽可能多的信息？.md.html</title>
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<li><a href="../">上一级</a></li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/00 开篇词 为什么你需要学习计算机组成原理？.md.html">00 开篇词 为什么你需要学习计算机组成原理？</a>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/01 冯·诺依曼体系结构：计算机组成的金字塔.md.html">01 冯·诺依曼体系结构：计算机组成的金字塔</a>
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</li>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/02 给你一张知识地图，计算机组成原理应该这么学.md.html">02 给你一张知识地图，计算机组成原理应该这么学</a>
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</li>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/03 通过你的CPU主频，我们来谈谈“性能”究竟是什么？.md.html">03 通过你的CPU主频，我们来谈谈“性能”究竟是什么？</a>
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</li>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/04 穿越功耗墙，我们该从哪些方面提升“性能”？.md.html">04 穿越功耗墙，我们该从哪些方面提升“性能”？</a>
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</li>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/05 计算机指令：让我们试试用纸带编程.md.html">05 计算机指令：让我们试试用纸带编程</a>
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</li>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/06 指令跳转：原来if...else就是goto.md.html">06 指令跳转：原来if...else就是goto</a>
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</li>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/07 函数调用：为什么会发生stack overflow？.md.html">07 函数调用：为什么会发生stack overflow？</a>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/08 ELF和静态链接：为什么程序无法同时在Linux和Windows下运行？.md.html">08 ELF和静态链接：为什么程序无法同时在Linux和Windows下运行？</a>
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</li>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/09 程序装载：“640K内存”真的不够用么？.md.html">09 程序装载：“640K内存”真的不够用么？</a>
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</li>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/10 动态链接：程序内部的“共享单车”.md.html">10 动态链接：程序内部的“共享单车”</a>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/11 二进制编码：“手持两把锟斤拷，口中疾呼烫烫烫”？.md.html">11 二进制编码：“手持两把锟斤拷，口中疾呼烫烫烫”？</a>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/12 理解电路：从电报机到门电路，我们如何做到“千里传信”？.md.html">12 理解电路：从电报机到门电路，我们如何做到“千里传信”？</a>
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</li>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/13 加法器：如何像搭乐高一样搭电路（上）？.md.html">13 加法器：如何像搭乐高一样搭电路（上）？</a>
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</li>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/14 乘法器：如何像搭乐高一样搭电路（下）？.md.html">14 乘法器：如何像搭乐高一样搭电路（下）？</a>
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<a class="current-tab" href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/15 浮点数和定点数（上）：怎么用有限的Bit表示尽可能多的信息？.md.html">15 浮点数和定点数（上）：怎么用有限的Bit表示尽可能多的信息？</a>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/16 浮点数和定点数（下）：深入理解浮点数到底有什么用？.md.html">16 浮点数和定点数（下）：深入理解浮点数到底有什么用？</a>
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</li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/17 建立数据通路（上）：指令加运算=CPU.md.html">17 建立数据通路（上）：指令加运算=CPU</a>
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</li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/18 建立数据通路（中）：指令加运算=CPU.md.html">18 建立数据通路（中）：指令加运算=CPU</a>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/19 建立数据通路（下）：指令加运算=CPU.md.html">19 建立数据通路（下）：指令加运算=CPU</a>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/20 面向流水线的指令设计（上）：一心多用的现代CPU.md.html">20 面向流水线的指令设计（上）：一心多用的现代CPU</a>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/21 面向流水线的指令设计（下）：奔腾4是怎么失败的？.md.html">21 面向流水线的指令设计（下）：奔腾4是怎么失败的？</a>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/22 冒险和预测（一）：hazard是“危”也是“机”.md.html">22 冒险和预测（一）：hazard是“危”也是“机”</a>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/23 冒险和预测（二）：流水线里的接力赛.md.html">23 冒险和预测（二）：流水线里的接力赛</a>
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</li>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/24 冒险和预测（三）：CPU里的“线程池”.md.html">24 冒险和预测（三）：CPU里的“线程池”</a>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/25 冒险和预测（四）：今天下雨了，明天还会下雨么？.md.html">25 冒险和预测（四）：今天下雨了，明天还会下雨么？</a>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/26 Superscalar和VLIW：如何让CPU的吞吐率超过1？.md.html">26 Superscalar和VLIW：如何让CPU的吞吐率超过1？</a>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/27 SIMD：如何加速矩阵乘法？.md.html">27 SIMD：如何加速矩阵乘法？</a>
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</li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/28 异常和中断：程序出错了怎么办？.md.html">28 异常和中断：程序出错了怎么办？</a>
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</li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/29 CISC和RISC：为什么手机芯片都是ARM？.md.html">29 CISC和RISC：为什么手机芯片都是ARM？</a>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/30 GPU（上）：为什么玩游戏需要使用GPU？.md.html">30 GPU（上）：为什么玩游戏需要使用GPU？</a>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/31 GPU（下）：为什么深度学习需要使用GPU？.md.html">31 GPU（下）：为什么深度学习需要使用GPU？</a>
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</li>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/32 FPGA、ASIC和TPU（上）：计算机体系结构的黄金时代.md.html">32 FPGA、ASIC和TPU（上）：计算机体系结构的黄金时代</a>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/33 解读TPU：设计和拆解一块ASIC芯片.md.html">33 解读TPU：设计和拆解一块ASIC芯片</a>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/34 理解虚拟机：你在云上拿到的计算机是什么样的？.md.html">34 理解虚拟机：你在云上拿到的计算机是什么样的？</a>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/35 存储器层次结构全景：数据存储的大金字塔长什么样？.md.html">35 存储器层次结构全景：数据存储的大金字塔长什么样？</a>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/36 局部性原理：数据库性能跟不上，加个缓存就好了？.md.html">36 局部性原理：数据库性能跟不上，加个缓存就好了？</a>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/37 理解CPU Cache（上）：“4毫秒”究竟值多少钱？.md.html">37 理解CPU Cache（上）：“4毫秒”究竟值多少钱？</a>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/38 高速缓存（下）：你确定你的数据更新了么？.md.html">38 高速缓存（下）：你确定你的数据更新了么？</a>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/39 MESI协议：如何让多核CPU的高速缓存保持一致？.md.html">39 MESI协议：如何让多核CPU的高速缓存保持一致？</a>
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</li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/40 理解内存（上）：虚拟内存和内存保护是什么？.md.html">40 理解内存（上）：虚拟内存和内存保护是什么？</a>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/41 理解内存（下）：解析TLB和内存保护.md.html">41 理解内存（下）：解析TLB和内存保护</a>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/42 总线：计算机内部的高速公路.md.html">42 总线：计算机内部的高速公路</a>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/43 输入输出设备：我们并不是只能用灯泡显示“0”和“1”.md.html">43 输入输出设备：我们并不是只能用灯泡显示“0”和“1”</a>
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</li>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/44 理解IO_WAIT：IO性能到底是怎么回事儿？.md.html">44 理解IO_WAIT：IO性能到底是怎么回事儿？</a>
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</li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/45 机械硬盘：Google早期用过的“黑科技”.md.html">45 机械硬盘：Google早期用过的“黑科技”</a>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/46 SSD硬盘（上）：如何完成性能优化的KPI？.md.html">46 SSD硬盘（上）：如何完成性能优化的KPI？</a>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/47 SSD硬盘（下）：如何完成性能优化的KPI？.md.html">47 SSD硬盘（下）：如何完成性能优化的KPI？</a>
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</li>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/48 DMA：为什么Kafka这么快？.md.html">48 DMA：为什么Kafka这么快？</a>
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</li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/49 数据完整性（上）：硬件坏了怎么办？.md.html">49 数据完整性（上）：硬件坏了怎么办？</a>
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</li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/50 数据完整性（下）：如何还原犯罪现场？.md.html">50 数据完整性（下）：如何还原犯罪现场？</a>
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</li>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/51 分布式计算：如果所有人的大脑都联网会怎样？.md.html">51 分布式计算：如果所有人的大脑都联网会怎样？</a>
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</li>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/52 设计大型DMP系统（上）：MongoDB并不是什么灵丹妙药.md.html">52 设计大型DMP系统（上）：MongoDB并不是什么灵丹妙药</a>
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</li>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/53 设计大型DMP系统（下）：SSD拯救了所有的DBA.md.html">53 设计大型DMP系统（下）：SSD拯救了所有的DBA</a>
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</li>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/54 理解Disruptor（上）：带你体会CPU高速缓存的风驰电掣.md.html">54 理解Disruptor（上）：带你体会CPU高速缓存的风驰电掣</a>
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</li>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/55 理解Disruptor（下）：不需要换挡和踩刹车的CPU，有多快？.md.html">55 理解Disruptor（下）：不需要换挡和踩刹车的CPU，有多快？</a>
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</li>
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<li>
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<a href="/专栏/深入浅出计算机组成原理/结束语 知也无涯，愿你也享受发现的乐趣.md.html">结束语 知也无涯，愿你也享受发现的乐趣</a>
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<p id="tip" align="center"></p>
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<div><h1>15 浮点数和定点数（上）：怎么用有限的Bit表示尽可能多的信息？</h1>
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<p>在我们日常的程序开发中，不只会用到整数。更多情况下，我们用到的都是实数。比如，我们开发一个电商 App，商品的价格常常会是 9 块 9；再比如，现在流行的深度学习算法，对应的机器学习里的模型里的各个权重也都是 1.23 这样的数。可以说，在实际的应用过程中，这些有零有整的实数，是和整数同样常用的数据类型，我们也需要考虑到。</p>
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<h2>浮点数的不精确性</h2>
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<p>那么，我们能不能用二进制表示所有的实数，然后在二进制下计算它的加减乘除呢？先不着急，我们从一个有意思的小案例来看。</p>
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<p>你可以在 Linux 下打开 Python 的命令行 Console，也可以在 Chrome 浏览器里面通过开发者工具，打开浏览器里的 Console，在里面输入“0.3 + 0.6”，然后看看你会得到一个什么样的结果。</p>
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<pre><code>>>> 0.3 + 0.6
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0.8999999999999999
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||
</code></pre>
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<p>不知道你有没有大吃一惊，这么简单的一个加法，无论是在 Python 还是在 JavaScript 里面，算出来的结果居然不是准确的 0.9，而是 0.8999999999999999 这么个结果。这是为什么呢？</p>
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<p>在回答为什么之前，我们先来想一个更抽象的问题。通过前面的这么多讲，你应该知道我们现在用的计算机通常用 16/32 个比特（bit）来表示一个数。那我问你，我们用 32 个比特，能够表示所有实数吗？</p>
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<p>答案很显然是不能。32 个比特，只能表示 2 的 32 次方个不同的数，差不多是 40 亿个。如果表示的数要超过这个数，就会有两个不同的数的二进制表示是一样的。那计算机可就会一筹莫展，不知道这个数到底是多少。</p>
|
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<p>40 亿个数看似已经很多了，但是比起无限多的实数集合却只是沧海一粟。所以，这个时候，计算机的设计者们，就要面临一个问题了：我到底应该让这 40 亿个数映射到实数集合上的哪些数，在实际应用中才能最划得来呢？</p>
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<h2>定点数的表示</h2>
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<p>有一个很直观的想法，就是我们用 4 个比特来表示 0～9 的整数，那么 32 个比特就可以表示 8 个这样的整数。然后我们把最右边的 2 个 0～9 的整数，当成小数部分；把左边 6 个 0～9 的整数，当成整数部分。这样，我们就可以用 32 个比特，来表示从 0 到 999999.99 这样 1 亿个实数了。</p>
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<p><img src="assets/f5a0b0f2188ebe0d18f4424578a588b3.jpg" alt="img" /></p>
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<p>这种用二进制来表示十进制的编码方式，叫作<a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/二進碼十進數"><strong>BCD 编码</strong></a>（Binary-Coded Decimal）。其实它的运用非常广泛，最常用的是在超市、银行这样需要用小数记录金额的情况里。在超市里面，我们的小数最多也就到分。这样的表示方式，比较直观清楚，也满足了小数部分的计算。</p>
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<p>不过，这样的表示方式也有几个缺点。</p>
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<p>**第一，这样的表示方式有点“浪费”。**本来 32 个比特我们可以表示 40 亿个不同的数，但是在 BCD 编码下，只能表示 1 亿个数，如果我们要精确到分的话，那么能够表示的最大金额也就是到 100 万。如果我们的货币单位是人民币或者美元还好，如果我们的货币单位变成了津巴布韦币，这个数量就不太够用了。</p>
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<p>**第二，这样的表示方式没办法同时表示很大的数字和很小的数字。**我们在写程序的时候，实数的用途可能是多种多样的。有时候我们想要表示商品的金额，关心的是 9.99 这样小的数字；有时候，我们又要进行物理学的运算，需要表示光速，也就是 3×1083×108 这样很大的数字。那么，我们有没有一个办法，既能够表示很小的数，又能表示很大的数呢？</p>
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<h2>浮点数的表示</h2>
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<p>答案当然是有的，就是你可能经常听说过的<strong>浮点数</strong>（Floating Point），也就是<strong>float 类型</strong>。</p>
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<p>我们先来想一想。如果我们想在一张便签纸上，用一行来写一个十进制数，能够写下多大范围的数？因为我们要让人能够看清楚，所以字最小也有一个限制。你会发现一个和上面我们用 BCD 编码表示数一样的问题，就是纸张的宽度限制了我们能够表示的数的大小。如果宽度只放得下 8 个数字，那么我们还是只能写下最大到 99999999 这样的数字。</p>
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<p><img src="assets/c321a0b9d95ba475439f9fbdff07bf56.png" alt="img" /></p>
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<p>有限宽度的便签，只能写下有限大小的数字</p>
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<p>其实，这里的纸张宽度，就和我们 32 个比特一样，是在空间层面的限制。那么，在现实生活中，我们是怎么表示一个很大的数的呢？比如说，我们想要在一本科普书里，写一下宇宙内原子的数量，莫非是用一页纸，用好多行写下很多个 0 么？</p>
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<p>当然不是了，我们会用科学计数法来表示这个数字。宇宙内的原子的数量，大概在 10 的 82 次方左右，我们就用 1.0×10821.0×1082 这样的形式来表示这个数值，不需要写下 82 个 0。</p>
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<p>在计算机里，我们也可以用一样的办法，用科学计数法来表示实数。浮点数的科学计数法的表示，有一个<strong>IEEE</strong>的标准，它定义了两个基本的格式。一个是用 32 比特表示单精度的浮点数，也就是我们常常说的 float 或者 float32 类型。另外一个是用 64 比特表示双精度的浮点数，也就是我们平时说的 double 或者 float64 类型。</p>
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<p>双精度类型和单精度类型差不多，这里，我们来看单精度类型，双精度你自然也就明白了。</p>
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<p><img src="assets/914b71bf1d85fb6ed76e1135f39b6941.jpg" alt="img" /></p>
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<p>单精度的 32 个比特可以分成三部分。</p>
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<p>第一部分是一个<strong>符号位</strong>，用来表示是正数还是负数。我们一般用<strong>s</strong>来表示。在浮点数里，我们不像正数分符号数还是无符号数，所有的浮点数都是有符号的。</p>
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<p>接下来是一个 8 个比特组成的<strong>指数位</strong>。我们一般用<strong>e</strong>来表示。8 个比特能够表示的整数空间，就是 0～255。我们在这里用 1～254 映射到 -126～127 这 254 个有正有负的数上。因为我们的浮点数，不仅仅想要表示很大的数，还希望能够表示很小的数，所以指数位也会有负数。</p>
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<p>你发现没，我们没有用到 0 和 255。没错，这里的 0（也就是 8 个比特全部为 0） 和 255 （也就是 8 个比特全部为 1）另有它用，我们等一下再讲。</p>
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<p>最后，是一个 23 个比特组成的<strong>有效数位</strong>。我们用<strong>f</strong>来表示。综合科学计数法，我们的浮点数就可以表示成下面这样：</p>
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<p>(−1)s×1.f×2e(−1)s×1.f×2e</p>
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<p>你会发现，这里的浮点数，没有办法表示 0。的确，要表示 0 和一些特殊的数，我们就要用上在 e 里面留下的 0 和 255 这两个表示，这两个表示其实是两个标记位。在 e 为 0 且 f 为 0 的时候，我们就把这个浮点数认为是 0。至于其它的 e 是 0 或者 255 的特殊情况，你可以看下面这个表格，分别可以表示出无穷大、无穷小、NAN 以及一个特殊的不规范数。</p>
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<p><img src="assets/f922249a89667c4d10239eb8840dc94c.jpg" alt="img" /></p>
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<p>我们可以以 0.5 为例子。0.5 的符号为 s 应该是 0，f 应该是 0，而 e 应该是 -1，也就是</p>
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<p>0.5=(−1)0×1.0×2−1=0.50.5=(−1)0×1.0×2−1=0.5，对应的浮点数表示，就是 32 个比特。</p>
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<p><img src="assets/5168fce3f313f4fc0b600ce5d1805c50.jpeg" alt="img" /></p>
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<p>s=0，e=2−1s=0，e=2−1，需要注意，e 表示从 -126 到 127 个，-1 是其中的第 126 个数，这里的 e 如果用整数表示，就是 26+25+24+23+22+21=12626+25+24+23+22+21=126，1.f=1.01.f=1.0。</p>
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<p>在这样的浮点数表示下，不考虑符号的话，浮点数能够表示的最小的数和最大的数，差不多是 1.17×10−381.17×10−38 和 3.40×10383.40×1038。比前面的 BCD 编码能够表示的范围大多了。</p>
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<h2>总结延伸</h2>
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<p>你会看到，在这样的表示方式下，浮点数能够表示的数据范围一下子大了很多。正是因为这个数对应的小数点的位置是“浮动”的，它才被称为浮点数。随着指数位 e 的值的不同，小数点的位置也在变动。对应的，前面的 BCD 编码的实数，就是小数点固定在某一位的方式，我们也就把它称为<strong>定点数</strong>。</p>
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<p>回到我们最开头，为什么我们用 0.3 + 0.6 不能得到 0.9 呢？这是因为，浮点数没有办法精确表示 0.3、0.6 和 0.9。事实上，我们拿出 0.1～0.9 这 9 个数，其中只有 0.5 能够被精确地表示成二进制的浮点数，也就是 s = 0、e = -1、f = 0 这样的情况。</p>
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<p>而 0.3、0.6 乃至我们希望的 0.9，都只是一个近似的表达。这个也为我们带来了一个挑战，就是浮点数无论是表示还是计算其实都是近似计算。那么，在使用过程中，我们该怎么来使用浮点数，以及使用浮点数会遇到些什么问题呢？下一讲，我会用更多的实际代码案例，来带你看看浮点数计算中的各种“坑”。</p>
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<h2>推荐阅读</h2>
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<p>如果对浮点数的表示还不是很清楚，你可以仔细阅读一下《计算机组成与设计：硬件 / 软件接口》的 3.5.1 节。</p>
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