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<audio id="audio" title="31 | 深度和广度优先搜索：如何找出社交网络中的三度好友关系？" controls="" preload="none"><source id="mp3" src="https://static001.geekbang.org/resource/audio/1e/dd/1ee276db3427735b231a2fe19e9537dd.mp3"></audio>

上一节我们讲了图的表示方法，讲到如何用有向图、无向图来表示一个社交网络。在社交网络中，有一个[六度分割理论](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AD%E5%BA%A6%E5%88%86%E9%9A%94%E7%90%86%E8%AE%BA)，具体是说，你与世界上的另一个人间隔的关系不会超过六度，也就是说平均只需要六步就可以联系到任何两个互不相识的人。

一个用户的一度连接用户很好理解，就是他的好友，二度连接用户就是他好友的好友，三度连接用户就是他好友的好友的好友。在社交网络中，我们往往通过用户之间的连接关系，来实现推荐“可能认识的人”这么一个功能。今天的开篇问题就是，**给你一个用户，如何找出这个用户的所有三度（其中包含一度、二度和三度）好友关系？**

这就要用到今天要讲的深度优先和广度优先搜索算法。

## 什么是“搜索”算法？

我们知道，算法是作用于具体数据结构之上的，深度优先搜索算法和广度优先搜索算法都是基于“图”这种数据结构的。这是因为，图这种数据结构的表达能力很强，大部分涉及搜索的场景都可以抽象成“图”。

图上的搜索算法，最直接的理解就是，在图中找出从一个顶点出发，到另一个顶点的路径。具体方法有很多，比如今天要讲的两种最简单、最“暴力”的深度优先、广度优先搜索，还有A*、IDA*等启发式搜索算法。

我们上一节讲过，图有两种主要存储方法，邻接表和邻接矩阵。今天我会用邻接表来存储图。

我这里先给出图的代码实现。需要说明一下，深度优先搜索算法和广度优先搜索算法，既可以用在无向图，也可以用在有向图上。在今天的讲解中，我都针对无向图来讲解。

```
public class Graph { // 无向图
  private int v; // 顶点的个数
  private LinkedList&lt;Integer&gt; adj[]; // 邻接表

  public Graph(int v) {
    this.v = v;
    adj = new LinkedList[v];
    for (int i=0; i&lt;v; ++i) {
      adj[i] = new LinkedList&lt;&gt;();
    }
  }

  public void addEdge(int s, int t) { // 无向图一条边存两次
    adj[s].add(t);
    adj[t].add(s);
  }
}

```

## 广度优先搜索（BFS）

广度优先搜索（Breadth-First-Search），我们平常都简称BFS。直观地讲，它其实就是一种“地毯式”层层推进的搜索策略，即先查找离起始顶点最近的，然后是次近的，依次往外搜索。理解起来并不难，所以我画了一张示意图，你可以看下。

<img src="https://static001.geekbang.org/resource/image/00/ea/002e9e54fb0d4dbf5462226d946fa1ea.jpg" alt="">

尽管广度优先搜索的原理挺简单，但代码实现还是稍微有点复杂度。所以，我们重点讲一下它的代码实现。

这里面，bfs()函数就是基于之前定义的，图的广度优先搜索的代码实现。其中s表示起始顶点，t表示终止顶点。我们搜索一条从s到t的路径。实际上，这样求得的路径就是从s到t的最短路径。

```
public void bfs(int s, int t) {
  if (s == t) return;
  boolean[] visited = new boolean[v];
  visited[s]=true;
  Queue&lt;Integer&gt; queue = new LinkedList&lt;&gt;();
  queue.add(s);
  int[] prev = new int[v];
  for (int i = 0; i &lt; v; ++i) {
    prev[i] = -1;
  }
  while (queue.size() != 0) {
    int w = queue.poll();
   for (int i = 0; i &lt; adj[w].size(); ++i) {
      int q = adj[w].get(i);
      if (!visited[q]) {
        prev[q] = w;
        if (q == t) {
          print(prev, s, t);
          return;
        }
        visited[q] = true;
        queue.add(q);
      }
    }
  }
}

private void print(int[] prev, int s, int t) { // 递归打印s-&gt;t的路径
  if (prev[t] != -1 &amp;&amp; t != s) {
    print(prev, s, prev[t]);
  }
  System.out.print(t + &quot; &quot;);
}

```

这段代码不是很好理解，里面有三个重要的辅助变量visited、queue、prev。只要理解这三个变量，读懂这段代码估计就没什么问题了。

**visited**是用来记录已经被访问的顶点，用来避免顶点被重复访问。如果顶点q被访问，那相应的visited[q]会被设置为true。

**queue**是一个队列，用来存储已经被访问、但相连的顶点还没有被访问的顶点。因为广度优先搜索是逐层访问的，也就是说，我们只有把第k层的顶点都访问完成之后，才能访问第k+1层的顶点。当我们访问到第k层的顶点的时候，我们需要把第k层的顶点记录下来，稍后才能通过第k层的顶点来找第k+1层的顶点。所以，我们用这个队列来实现记录的功能。

**prev**用来记录搜索路径。当我们从顶点s开始，广度优先搜索到顶点t后，prev数组中存储的就是搜索的路径。不过，这个路径是反向存储的。prev[w]存储的是，顶点w是从哪个前驱顶点遍历过来的。比如，我们通过顶点2的邻接表访问到顶点3，那prev[3]就等于2。为了正向打印出路径，我们需要递归地来打印，你可以看下print()函数的实现方式。

为了方便你理解，我画了一个广度优先搜索的分解图，你可以结合着代码以及我的讲解一块儿看。

<img src="https://static001.geekbang.org/resource/image/4f/3a/4fea8c4505b342cfaf8cb0a93a65503a.jpg" alt=""><img src="https://static001.geekbang.org/resource/image/ea/23/ea00f376d445225a304de4531dd82723.jpg" alt=""><img src="https://static001.geekbang.org/resource/image/4c/39/4cd192d4c220cc9ac8049fd3547dba39.jpg" alt="">

掌握了广度优先搜索算法的原理，我们来看下，广度优先搜索的时间、空间复杂度是多少呢？

最坏情况下，终止顶点t离起始顶点s很远，需要遍历完整个图才能找到。这个时候，每个顶点都要进出一遍队列，每个边也都会被访问一次，所以，广度优先搜索的时间复杂度是O(V+E)，其中，V表示顶点的个数，E表示边的个数。当然，对于一个连通图来说，也就是说一个图中的所有顶点都是连通的，E肯定要大于等于V-1，所以，广度优先搜索的时间复杂度也可以简写为O(E)。

广度优先搜索的空间消耗主要在几个辅助变量visited数组、queue队列、prev数组上。这三个存储空间的大小都不会超过顶点的个数，所以空间复杂度是O(V)。

## 深度优先搜索（DFS）

深度优先搜索（Depth-First-Search），简称DFS。最直观的例子就是“走迷宫”。

假设你站在迷宫的某个岔路口，然后想找到出口。你随意选择一个岔路口来走，走着走着发现走不通的时候，你就回退到上一个岔路口，重新选择一条路继续走，直到最终找到出口。这种走法就是一种深度优先搜索策略。

走迷宫的例子很容易能看懂，我们现在再来看下，如何在图中应用深度优先搜索，来找某个顶点到另一个顶点的路径。

你可以看我画的这幅图。搜索的起始顶点是s，终止顶点是t，我们希望在图中寻找一条从顶点s到顶点t的路径。如果映射到迷宫那个例子，s就是你起始所在的位置，t就是出口。

我用深度递归算法，把整个搜索的路径标记出来了。这里面实线箭头表示遍历，虚线箭头表示回退。从图中我们可以看出，深度优先搜索找出来的路径，并不是顶点s到顶点t的最短路径。

<img src="https://static001.geekbang.org/resource/image/87/85/8778201ce6ff7037c0b3f26b83efba85.jpg" alt="">

实际上，深度优先搜索用的是一种比较著名的算法思想，回溯思想。这种思想解决问题的过程，非常适合用递归来实现。回溯思想我们后面会有专门的一节来讲，我们现在还回到深度优先搜索算法上。

我把上面的过程用递归来翻译出来，就是下面这个样子。我们发现，深度优先搜索代码实现也用到了prev、visited变量以及print()函数，它们跟广度优先搜索代码实现里的作用是一样的。不过，深度优先搜索代码实现里，有个比较特殊的变量found，它的作用是，当我们已经找到终止顶点t之后，我们就不再递归地继续查找了。

```
boolean found = false; // 全局变量或者类成员变量

public void dfs(int s, int t) {
  found = false;
  boolean[] visited = new boolean[v];
  int[] prev = new int[v];
  for (int i = 0; i &lt; v; ++i) {
    prev[i] = -1;
  }
  recurDfs(s, t, visited, prev);
  print(prev, s, t);
}

private void recurDfs(int w, int t, boolean[] visited, int[] prev) {
  if (found == true) return;
  visited[w] = true;
  if (w == t) {
    found = true;
    return;
  }
  for (int i = 0; i &lt; adj[w].size(); ++i) {
    int q = adj[w].get(i);
    if (!visited[q]) {
      prev[q] = w;
      recurDfs(q, t, visited, prev);
    }
  }
}

```

理解了深度优先搜索算法之后，我们来看，深度优先搜索的时间、空间复杂度是多少呢？

从我前面画的图可以看出，每条边最多会被访问两次，一次是遍历，一次是回退。所以，图上的深度优先搜索算法的时间复杂度是O(E)，E表示边的个数。

深度优先搜索算法的消耗内存主要是visited、prev数组和递归调用栈。visited、prev数组的大小跟顶点的个数V成正比，递归调用栈的最大深度不会超过顶点的个数，所以总的空间复杂度就是O(V)。

## 解答开篇

了解了深度优先搜索和广度优先搜索的原理之后，开篇的问题是不是变得很简单了呢？我们现在来一起看下，如何找出社交网络中某个用户的三度好友关系？

上一节我们讲过，社交网络可以用图来表示。这个问题就非常适合用图的广度优先搜索算法来解决，因为广度优先搜索是层层往外推进的。首先，遍历与起始顶点最近的一层顶点，也就是用户的一度好友，然后再遍历与用户距离的边数为2的顶点，也就是二度好友关系，以及与用户距离的边数为3的顶点，也就是三度好友关系。

我们只需要稍加改造一下广度优先搜索代码，用一个数组来记录每个顶点与起始顶点的距离，非常容易就可以找出三度好友关系。

## 内容小结

广度优先搜索和深度优先搜索是图上的两种最常用、最基本的搜索算法，比起其他高级的搜索算法，比如A*、IDA*等，要简单粗暴，没有什么优化，所以，也被叫作暴力搜索算法。所以，这两种搜索算法仅适用于状态空间不大，也就是说图不大的搜索。

广度优先搜索，通俗的理解就是，地毯式层层推进，从起始顶点开始，依次往外遍历。广度优先搜索需要借助队列来实现，遍历得到的路径就是，起始顶点到终止顶点的最短路径。深度优先搜索用的是回溯思想，非常适合用递归实现。换种说法，深度优先搜索是借助栈来实现的。在执行效率方面，深度优先和广度优先搜索的时间复杂度都是O(E)，空间复杂度是O(V)。

## 课后思考

<li>
我们通过广度优先搜索算法解决了开篇的问题，你可以思考一下，能否用深度优先搜索来解决呢？
</li>
<li>
学习数据结构最难的不是理解和掌握原理，而是能灵活地将各种场景和问题抽象成对应的数据结构和算法。今天的内容中提到，迷宫可以抽象成图，走迷宫可以抽象成搜索算法，你能具体讲讲，如何将迷宫抽象成一个图吗？或者换个说法，如何在计算机中存储一个迷宫？
</li>

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