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chapter_graph/graph/index.html

@@ -3529,7 +3529,7 @@ G & = \{ V, E \} \newline
 <p><img alt="有权图与无权图" src="../graph.assets/weighted_graph.png" /></p>
 <p align="center"> 图 9-4 &nbsp; 有权图与无权图 </p>
 
-<p>图的常用术语包括：</p>
+<p>图数据结构包含以下常用术语。</p>
 <ul>
 <li>「邻接 adjacency」：当两顶点之间存在边相连时，称这两顶点“邻接”。在图 9-4 中，顶点 1 的邻接顶点为顶点 2、3、5。</li>
 <li>「路径 path」：从顶点 A 到顶点 B 经过的边构成的序列被称为从 A 到 B 的“路径”。在图 9-4 中，边序列 1-5-2-4 是顶点 1 到顶点 4 的一条路径。</li>
@@ -3539,15 +3539,15 @@ G &amp; = \{ V, E \} \newline
 <p>图的常用表示方式包括“邻接矩阵”和“邻接表”。以下使用无向图进行举例。</p>
 <h3 id="1">1. &nbsp; 邻接矩阵<a class="headerlink" href="#1" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p>设图的顶点数量为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> ，「邻接矩阵 adjacency matrix」使用一个 <span class="arithmatex">\(n \times n\)</span> 大小的矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，用 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 或 <span class="arithmatex">\(0\)</span> 表示两个顶点之间是否存在边。</p>
-<p>如图 9-5 所示，设邻接矩阵为 <span class="arithmatex">\(M\)</span> 、顶点列表为 <span class="arithmatex">\(V\)</span> ，那么矩阵元素 <span class="arithmatex">\(M[i, j] = 1\)</span> 表示顶点 <span class="arithmatex">\(V[i]\)</span> 到顶点 <span class="arithmatex">\(V[j]\)</span> 之间存在边，反之 <span class="arithmatex">\(M[i, j] = 0\)</span> 表示两顶点之间无边。</p>
+<p>如图 9-5 所示，设邻接矩阵为 <span class="arithmatex">\(M\)</span>、顶点列表为 <span class="arithmatex">\(V\)</span> ，那么矩阵元素 <span class="arithmatex">\(M[i, j] = 1\)</span> 表示顶点 <span class="arithmatex">\(V[i]\)</span> 到顶点 <span class="arithmatex">\(V[j]\)</span> 之间存在边，反之 <span class="arithmatex">\(M[i, j] = 0\)</span> 表示两顶点之间无边。</p>
 <p><img alt="图的邻接矩阵表示" src="../graph.assets/adjacency_matrix.png" /></p>
 <p align="center"> 图 9-5 &nbsp; 图的邻接矩阵表示 </p>
 
-<p>邻接矩阵具有以下特性：</p>
+<p>邻接矩阵具有以下特性。</p>
 <ul>
 <li>顶点不能与自身相连，因此邻接矩阵主对角线元素没有意义。</li>
 <li>对于无向图，两个方向的边等价，此时邻接矩阵关于主对角线对称。</li>
-<li>将邻接矩阵的元素从 <span class="arithmatex">\(1\)</span> , <span class="arithmatex">\(0\)</span> 替换为权重，则可表示有权图。</li>
+<li>将邻接矩阵的元素从 <span class="arithmatex">\(1\)</span> 和 <span class="arithmatex">\(0\)</span> 替换为权重，则可表示有权图。</li>
 </ul>
 <p>使用邻接矩阵表示图时，我们可以直接访问矩阵元素以获取边，因此增删查操作的效率很高，时间复杂度均为 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 。然而，矩阵的空间复杂度为 <span class="arithmatex">\(O(n^2)\)</span> ，内存占用较多。</p>
 <h3 id="2">2. &nbsp; 邻接表<a class="headerlink" href="#2" title="Permanent link">&para;</a></h3>

chapter_graph/graph_operations/index.html

@@ -4558,7 +4558,7 @@
 </div>
 </div>
 <h2 id="922">9.2.2 &nbsp; 基于邻接表的实现<a class="headerlink" href="#922" title="Permanent link">&para;</a></h2>
-<p>设无向图的顶点总数为 <span class="arithmatex">\(n\)</span> 、边总数为 <span class="arithmatex">\(m\)</span> ，则可根据图 9-8 所示的方法实现各种操作。</p>
+<p>设无向图的顶点总数为 <span class="arithmatex">\(n\)</span>、边总数为 <span class="arithmatex">\(m\)</span> ，则可根据图 9-8 所示的方法实现各种操作。</p>
 <ul>
 <li><strong>添加边</strong>：在顶点对应链表的末尾添加边即可，使用 <span class="arithmatex">\(O(1)\)</span> 时间。因为是无向图，所以需要同时添加两个方向的边。</li>
 <li><strong>删除边</strong>：在顶点对应链表中查找并删除指定边，使用 <span class="arithmatex">\(O(m)\)</span> 时间。在无向图中，需要同时删除两个方向的边。</li>
@@ -4587,12 +4587,12 @@
 </div>
 <p align="center"> 图 9-8 &nbsp; 邻接表的初始化、增删边、增删顶点 </p>
 
-<p>以下是基于邻接表实现图的代码示例。细心的同学可能注意到，<strong>我们在邻接表中使用 <code>Vertex</code> 节点类来表示顶点</strong>，这样做的原因有：</p>
-<ul>
+<p>以下是基于邻接表实现图的代码示例。细心的同学可能注意到，<strong>我们在邻接表中使用 <code>Vertex</code> 节点类来表示顶点</strong>，而这样做是有原因的。</p>
+<ol>
 <li>如果我们选择通过顶点值来区分不同顶点，那么值重复的顶点将无法被区分。</li>
 <li>如果类似邻接矩阵那样，使用顶点列表索引来区分不同顶点。那么，假设我们想要删除索引为 <span class="arithmatex">\(i\)</span> 的顶点，则需要遍历整个邻接表，将其中 <span class="arithmatex">\(&gt; i\)</span> 的索引全部减 <span class="arithmatex">\(1\)</span> ，这样操作效率较低。</li>
 <li>因此我们考虑引入顶点类 <code>Vertex</code> ，使得每个顶点都是唯一的对象，此时删除顶点时就无须改动其余顶点了。</li>
-</ul>
+</ol>
 <div class="tabbed-set tabbed-alternate" data-tabs="4:12"><input checked="checked" id="__tabbed_4_1" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_2" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_3" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_4" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_5" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_6" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_7" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_8" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_9" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_10" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_11" name="__tabbed_4" type="radio" /><input id="__tabbed_4_12" name="__tabbed_4" type="radio" /><div class="tabbed-labels"><label for="__tabbed_4_1">Java</label><label for="__tabbed_4_2">C++</label><label for="__tabbed_4_3">Python</label><label for="__tabbed_4_4">Go</label><label for="__tabbed_4_5">JS</label><label for="__tabbed_4_6">TS</label><label for="__tabbed_4_7">C</label><label for="__tabbed_4_8">C#</label><label for="__tabbed_4_9">Swift</label><label for="__tabbed_4_10">Zig</label><label for="__tabbed_4_11">Dart</label><label for="__tabbed_4_12">Rust</label></div>
 <div class="tabbed-content">
 <div class="tabbed-block">

chapter_graph/graph_traversal/index.html

@@ -3925,7 +3925,7 @@
 
 <div class="admonition question">
 <p class="admonition-title">广度优先遍历的序列是否唯一？</p>
-<p>不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历，<strong>而多个相同距离的顶点的遍历顺序是允许被任意打乱的</strong>。以图 9-10 为例，顶点 <span class="arithmatex">\(1\)</span> , <span class="arithmatex">\(3\)</span> 的访问顺序可以交换、顶点 <span class="arithmatex">\(2\)</span> , <span class="arithmatex">\(4\)</span> , <span class="arithmatex">\(6\)</span> 的访问顺序也可以任意交换。</p>
+<p>不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历，<strong>而多个相同距离的顶点的遍历顺序是允许被任意打乱的</strong>。以图 9-10 为例，顶点 <span class="arithmatex">\(1\)</span>、<span class="arithmatex">\(3\)</span> 的访问顺序可以交换、顶点 <span class="arithmatex">\(2\)</span>、<span class="arithmatex">\(4\)</span>、<span class="arithmatex">\(6\)</span> 的访问顺序也可以任意交换。</p>
 </div>
 <h3 id="2">2. &nbsp; 复杂度分析<a class="headerlink" href="#2" title="Permanent link">&para;</a></h3>
 <p><strong>时间复杂度：</strong> 所有顶点都会入队并出队一次，使用 <span class="arithmatex">\(O(|V|)\)</span> 时间；在遍历邻接顶点的过程中，由于是无向图，因此所有边都会被访问 <span class="arithmatex">\(2\)</span> 次，使用 <span class="arithmatex">\(O(2|E|)\)</span> 时间；总体使用 <span class="arithmatex">\(O(|V| + |E|)\)</span> 时间。</p>
@@ -4263,7 +4263,7 @@
 </div>
 </div>
 </div>
-<p>深度优先遍历的算法流程如图 9-12 所示，其中：</p>
+<p>深度优先遍历的算法流程如图 9-12 所示。</p>
 <ul>
 <li><strong>直虚线代表向下递推</strong>，表示开启了一个新的递归方法来访问新顶点。</li>
 <li><strong>曲虚线代表向上回溯</strong>，表示此递归方法已经返回，回溯到了开启此递归方法的位置。</li>