xinyin025/hello-algo
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2023-04-09 04:34:58 +08:00
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commit 01d05cc1f0
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chapter_heap/build_heap.md
+18 -18
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@@ -16,7 +16,7 @@ comments: true
### 基于堆化操作实现
有趣的是，存在一种更高效的建堆方法，其时间复杂度仅为 $O(n)$ 。我们先将列表所有元素原封不动添加到堆中，**然后迭代地对各个结点执行“从顶至底堆化”**。当然，**我们不需要对叶结点执行堆化操作**，因为它们没有子结点。
有趣的是，存在一种更高效的建堆方法，其时间复杂度仅为 $O(n)$ 。我们先将列表所有元素原封不动添加到堆中，**然后迭代地对各个节点执行“从顶至底堆化”**。当然，**我们不需要对叶节点执行堆化操作**，因为它们没有子节点。
=== "Java"
@@ -25,7 +25,7 @@ comments: true
MaxHeap(List<Integer> nums) {
// 将列表元素原封不动添加进堆
maxHeap = new ArrayList<>(nums);
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
siftDown(i);
}
@@ -39,7 +39,7 @@ comments: true
MaxHeap(vector<int> nums) {
// 将列表元素原封不动添加进堆
maxHeap = nums;
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
siftDown(i);
}
@@ -53,7 +53,7 @@ comments: true
""" 构造方法 """
# 将列表元素原封不动添加进堆
self.max_heap = nums
# 堆化除叶结点以外的其他所有结点
# 堆化除叶节点以外的其他所有节点
for i in range(self.parent(self.size() - 1), -1, -1):
self.sift_down(i)
```
@@ -66,7 +66,7 @@ comments: true
// 将列表元素原封不动添加进堆
h := &maxHeap{data: nums}
for i := len(h.data) - 1; i >= 0; i-- {
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
h.siftDown(i)
}
return h
@@ -80,7 +80,7 @@ comments: true
constructor(nums) {
// 将列表元素原封不动添加进堆
this.#maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
for (let i = this.#parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
this.#siftDown(i);
}
@@ -94,7 +94,7 @@ comments: true
constructor(nums?: number[]) {
// 将列表元素原封不动添加进堆
this.maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
for (let i = this.parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
this.siftDown(i);
}
@@ -115,7 +115,7 @@ comments: true
{
// 将列表元素原封不动添加进堆
maxHeap = new List<int>(nums);
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
var size = parent(this.size() - 1);
for (int i = size; i >= 0; i--)
{
@@ -131,7 +131,7 @@ comments: true
init(nums: [Int]) {
// 将列表元素原封不动添加进堆
maxHeap = nums
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
for i in stride(from: parent(i: size() - 1), through: 0, by: -1) {
siftDown(i: i)
}
@@ -147,7 +147,7 @@ comments: true
self.max_heap = std.ArrayList(T).init(allocator);
// 将列表元素原封不动添加进堆
try self.max_heap.?.appendSlice(nums);
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
var i: usize = parent(self.size() - 1) + 1;
while (i > 0) : (i -= 1) {
try self.siftDown(i - 1);
@@ -159,18 +159,18 @@ comments: true
为什么第二种建堆方法的时间复杂度是 $O(n)$ ？我们来展开推算一下。
- 完全二叉树中，设结点总数为 $n$ ，则叶结点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。因此，在排除叶结点后，需要堆化的结点数量为 $(n - 1)/2$ ，复杂度为 $O(n)$ ；
- 在从顶至底堆化的过程中，每个结点最多堆化到叶结点，因此最大迭代次数为二叉树高度 $O(\log n)$ ；
- 完全二叉树中，设节点总数为 $n$ ，则叶节点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。因此，在排除叶节点后，需要堆化的节点数量为 $(n - 1)/2$ ，复杂度为 $O(n)$ ；
- 在从顶至底堆化的过程中，每个节点最多堆化到叶节点，因此最大迭代次数为二叉树高度 $O(\log n)$ ；
将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 $O(n \log n)$。**然而，这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层结点数量远多于顶层结点的特性**。
将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 $O(n \log n)$。**然而，这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层节点数量远多于顶层节点的特性**。
接下来我们来进行更为详细的计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）结点数量为 $n$ ，树高度为 $h$ 。上文提到，**结点堆化最大迭代次数等于该结点到叶结点的距离，而该距离正是“结点高度”**。
接下来我们来进行更为详细的计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）节点数量为 $n$ ，树高度为 $h$ 。上文提到，**节点堆化最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离，而该距离正是“节点高度”**。
![完美二叉树的各层结点数量](build_heap.assets/heapify_operations_count.png)
![完美二叉树的各层节点数量](build_heap.assets/heapify_operations_count.png)
<p align="center"> Fig. 完美二叉树的各层结点数量 </p>
<p align="center"> Fig. 完美二叉树的各层节点数量 </p>
因此，我们可以将各层的“结点数量 $\times$ 结点高度”求和，**从而得到所有结点的堆化迭代次数的总和**。
因此，我们可以将各层的“节点数量 $\times$ 节点高度”求和，**从而得到所有节点的堆化迭代次数的总和**。
$$
T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{(h-1)}\times1
@@ -201,4 +201,4 @@ T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline
\end{aligned}
$$
进一步地，高度为 $h$ 的完美二叉树的结点数量为 $n = 2^{h+1} - 1$ ，易得复杂度为 $O(2^h) = O(n)$ 。以上推算表明，**输入列表并建堆的时间复杂度为 $O(n)$ ，非常高效**。
进一步地，高度为 $h$ 的完美二叉树的节点数量为 $n = 2^{h+1} - 1$ ，易得复杂度为 $O(2^h) = O(n)$ 。以上推算表明，**输入列表并建堆的时间复杂度为 $O(n)$ ，非常高效**。