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krahets
+309
-309
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
+249
-249
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
+97
-97
@@ -4,16 +4,16 @@ comments: true
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# 7.1. 二叉树
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「二叉树 Binary Tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着“一分为二”的分治逻辑。类似于链表，二叉树也是以结点为单位存储的，结点包含「值」和两个「指针」。
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||||
「二叉树 Binary Tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着“一分为二”的分治逻辑。类似于链表，二叉树也是以节点为单位存储的，节点包含「值」和两个「指针」。
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=== "Java"
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```java title=""
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/* 二叉树结点类 */
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/* 二叉树节点类 */
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class TreeNode {
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int val; // 结点值
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||||
TreeNode left; // 左子结点指针
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||||
TreeNode right; // 右子结点指针
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int val; // 节点值
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TreeNode left; // 左子节点指针
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TreeNode right; // 右子节点指针
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||||
TreeNode(int x) { val = x; }
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}
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```
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@@ -21,11 +21,11 @@ comments: true
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=== "C++"
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```cpp title=""
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||||
/* 二叉树结点结构体 */
|
||||
/* 二叉树节点结构体 */
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struct TreeNode {
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||||
int val; // 结点值
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||||
TreeNode *left; // 左子结点指针
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||||
TreeNode *right; // 右子结点指针
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||||
int val; // 节点值
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||||
TreeNode *left; // 左子节点指针
|
||||
TreeNode *right; // 右子节点指针
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||||
TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
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};
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```
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@@ -33,24 +33,24 @@ comments: true
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||||
=== "Python"
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||||
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||||
```python title=""
|
||||
""" 二叉树结点类 """
|
||||
""" 二叉树节点类 """
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||||
class TreeNode:
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||||
def __init__(self, val: int):
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||||
self.val: int = val # 结点值
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self.left: Optional[TreeNode] = None # 左子结点指针
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||||
self.right: Optional[TreeNode] = None # 右子结点指针
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||||
self.val: int = val # 节点值
|
||||
self.left: Optional[TreeNode] = None # 左子节点指针
|
||||
self.right: Optional[TreeNode] = None # 右子节点指针
|
||||
```
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||||
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||||
=== "Go"
|
||||
|
||||
```go title=""
|
||||
/* 二叉树结点结构体 */
|
||||
/* 二叉树节点结构体 */
|
||||
type TreeNode struct {
|
||||
Val int
|
||||
Left *TreeNode
|
||||
Right *TreeNode
|
||||
}
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||||
/* 结点初始化方法 */
|
||||
/* 节点初始化方法 */
|
||||
func NewTreeNode(v int) *TreeNode {
|
||||
return &TreeNode{
|
||||
Left: nil,
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||||
@@ -63,27 +63,27 @@ comments: true
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||||
=== "JavaScript"
|
||||
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||||
```javascript title=""
|
||||
/* 二叉树结点类 */
|
||||
/* 二叉树节点类 */
|
||||
function TreeNode(val, left, right) {
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||||
this.val = (val === undefined ? 0 : val); // 结点值
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||||
this.left = (left === undefined ? null : left); // 左子结点指针
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||||
this.right = (right === undefined ? null : right); // 右子结点指针
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||||
this.val = (val === undefined ? 0 : val); // 节点值
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||||
this.left = (left === undefined ? null : left); // 左子节点指针
|
||||
this.right = (right === undefined ? null : right); // 右子节点指针
|
||||
}
|
||||
```
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||||
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||||
=== "TypeScript"
|
||||
|
||||
```typescript title=""
|
||||
/* 二叉树结点类 */
|
||||
/* 二叉树节点类 */
|
||||
class TreeNode {
|
||||
val: number;
|
||||
left: TreeNode | null;
|
||||
right: TreeNode | null;
|
||||
|
||||
constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
|
||||
this.val = val === undefined ? 0 : val; // 结点值
|
||||
this.left = left === undefined ? null : left; // 左子结点指针
|
||||
this.right = right === undefined ? null : right; // 右子结点指针
|
||||
this.val = val === undefined ? 0 : val; // 节点值
|
||||
this.left = left === undefined ? null : left; // 左子节点指针
|
||||
this.right = right === undefined ? null : right; // 右子节点指针
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
```
|
||||
@@ -97,11 +97,11 @@ comments: true
|
||||
=== "C#"
|
||||
|
||||
```csharp title=""
|
||||
/* 二叉树结点类 */
|
||||
/* 二叉树节点类 */
|
||||
class TreeNode {
|
||||
int val; // 结点值
|
||||
TreeNode? left; // 左子结点指针
|
||||
TreeNode? right; // 右子结点指针
|
||||
int val; // 节点值
|
||||
TreeNode? left; // 左子节点指针
|
||||
TreeNode? right; // 右子节点指针
|
||||
TreeNode(int x) { val = x; }
|
||||
}
|
||||
```
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||||
@@ -109,11 +109,11 @@ comments: true
|
||||
=== "Swift"
|
||||
|
||||
```swift title=""
|
||||
/* 二叉树结点类 */
|
||||
/* 二叉树节点类 */
|
||||
class TreeNode {
|
||||
var val: Int // 结点值
|
||||
var left: TreeNode? // 左子结点指针
|
||||
var right: TreeNode? // 右子结点指针
|
||||
var val: Int // 节点值
|
||||
var left: TreeNode? // 左子节点指针
|
||||
var right: TreeNode? // 右子节点指针
|
||||
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||||
init(x: Int) {
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||||
val = x
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@@ -127,26 +127,26 @@ comments: true
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||||
```
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||||
结点的两个指针分别指向「左子结点」和「右子结点」，并且称该结点为两个子结点的「父结点」。给定二叉树某结点，将“左子结点及其以下结点形成的树”称为该结点的「左子树」，右子树同理。
|
||||
节点的两个指针分别指向「左子节点」和「右子节点」，并且称该节点为两个子节点的「父节点」。给定二叉树某节点，将“左子节点及其以下节点形成的树”称为该节点的「左子树」，右子树同理。
|
||||
|
||||
除了叶结点外，每个结点都有子结点和子树。例如，若将下图的“结点 2”看作父结点，那么其左子结点和右子结点分别为“结点 4”和“结点 5”，左子树和右子树分别为“结点 4 及其以下结点形成的树”和“结点 5 及其以下结点形成的树”。
|
||||
除了叶节点外，每个节点都有子节点和子树。例如，若将下图的“节点 2”看作父节点，那么其左子节点和右子节点分别为“节点 4”和“节点 5”，左子树和右子树分别为“节点 4 及其以下节点形成的树”和“节点 5 及其以下节点形成的树”。
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<p align="center"> Fig. 父结点、子结点、子树 </p>
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<p align="center"> Fig. 父节点、子节点、子树 </p>
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## 7.1.1. 二叉树常见术语
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二叉树的术语较多，建议尽量理解并记住。后续可能遗忘，可以在需要使用时回来查看确认。
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- 「根结点 Root Node」：二叉树最顶层的结点，其没有父结点；
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||||
- 「叶结点 Leaf Node」：没有子结点的结点，其两个指针都指向 $\text{null}$ ；
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||||
- 结点所处「层 Level」：从顶至底依次增加，根结点所处层为 1 ；
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||||
- 结点「度 Degree」：结点的子结点数量。二叉树中，度的范围是 0, 1, 2 ；
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||||
- 「边 Edge」：连接两个结点的边，即结点指针；
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||||
- 二叉树「高度」：二叉树中根结点到最远叶结点走过边的数量；
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||||
- 结点「深度 Depth」 ：根结点到该结点走过边的数量；
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||||
- 结点「高度 Height」：最远叶结点到该结点走过边的数量；
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||||
- 「根节点 Root Node」：二叉树最顶层的节点，其没有父节点；
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||||
- 「叶节点 Leaf Node」：没有子节点的节点，其两个指针都指向 $\text{null}$ ；
|
||||
- 节点所处「层 Level」：从顶至底依次增加，根节点所处层为 1 ；
|
||||
- 节点「度 Degree」：节点的子节点数量。二叉树中，度的范围是 0, 1, 2 ；
|
||||
- 「边 Edge」：连接两个节点的边，即节点指针；
|
||||
- 二叉树「高度」：二叉树中根节点到最远叶节点走过边的数量；
|
||||
- 节点「深度 Depth」 ：根节点到该节点走过边的数量；
|
||||
- 节点「高度 Height」：最远叶节点到该节点走过边的数量；
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@@ -154,16 +154,16 @@ comments: true
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!!! tip "高度与深度的定义"
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||||
值得注意，我们通常将「高度」和「深度」定义为“走过边的数量”，而有些题目或教材会将其定义为“走过结点的数量”，此时高度或深度都需要 + 1 。
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||||
值得注意，我们通常将「高度」和「深度」定义为“走过边的数量”，而有些题目或教材会将其定义为“走过节点的数量”，此时高度或深度都需要 + 1 。
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## 7.1.2. 二叉树基本操作
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**初始化二叉树**。与链表类似，先初始化结点，再构建引用指向（即指针）。
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**初始化二叉树**。与链表类似，先初始化节点，再构建引用指向（即指针）。
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=== "Java"
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||||
```java title="binary_tree.java"
|
||||
// 初始化结点
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||||
// 初始化节点
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||||
TreeNode n1 = new TreeNode(1);
|
||||
TreeNode n2 = new TreeNode(2);
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||||
TreeNode n3 = new TreeNode(3);
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||||
@@ -180,7 +180,7 @@ comments: true
|
||||
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||||
```cpp title="binary_tree.cpp"
|
||||
/* 初始化二叉树 */
|
||||
// 初始化结点
|
||||
// 初始化节点
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||||
TreeNode* n1 = new TreeNode(1);
|
||||
TreeNode* n2 = new TreeNode(2);
|
||||
TreeNode* n3 = new TreeNode(3);
|
||||
@@ -197,7 +197,7 @@ comments: true
|
||||
|
||||
```python title="binary_tree.py"
|
||||
""" 初始化二叉树 """
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||||
# 初始化结点
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||||
# 初始化节点
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||||
n1 = TreeNode(val=1)
|
||||
n2 = TreeNode(val=2)
|
||||
n3 = TreeNode(val=3)
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||||
@@ -214,7 +214,7 @@ comments: true
|
||||
|
||||
```go title="binary_tree.go"
|
||||
/* 初始化二叉树 */
|
||||
// 初始化结点
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||||
// 初始化节点
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||||
n1 := NewTreeNode(1)
|
||||
n2 := NewTreeNode(2)
|
||||
n3 := NewTreeNode(3)
|
||||
@@ -231,7 +231,7 @@ comments: true
|
||||
|
||||
```javascript title="binary_tree.js"
|
||||
/* 初始化二叉树 */
|
||||
// 初始化结点
|
||||
// 初始化节点
|
||||
let n1 = new TreeNode(1),
|
||||
n2 = new TreeNode(2),
|
||||
n3 = new TreeNode(3),
|
||||
@@ -248,7 +248,7 @@ comments: true
|
||||
|
||||
```typescript title="binary_tree.ts"
|
||||
/* 初始化二叉树 */
|
||||
// 初始化结点
|
||||
// 初始化节点
|
||||
let n1 = new TreeNode(1),
|
||||
n2 = new TreeNode(2),
|
||||
n3 = new TreeNode(3),
|
||||
@@ -271,7 +271,7 @@ comments: true
|
||||
|
||||
```csharp title="binary_tree.cs"
|
||||
/* 初始化二叉树 */
|
||||
// 初始化结点
|
||||
// 初始化节点
|
||||
TreeNode n1 = new TreeNode(1);
|
||||
TreeNode n2 = new TreeNode(2);
|
||||
TreeNode n3 = new TreeNode(3);
|
||||
@@ -287,7 +287,7 @@ comments: true
|
||||
=== "Swift"
|
||||
|
||||
```swift title="binary_tree.swift"
|
||||
// 初始化结点
|
||||
// 初始化节点
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||||
let n1 = TreeNode(x: 1)
|
||||
let n2 = TreeNode(x: 2)
|
||||
let n3 = TreeNode(x: 3)
|
||||
@@ -306,80 +306,80 @@ comments: true
|
||||
|
||||
```
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||||
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||||
**插入与删除结点**。与链表类似，插入与删除结点都可以通过修改指针实现。
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||||
**插入与删除节点**。与链表类似，插入与删除节点都可以通过修改指针实现。
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||||
<p align="center"> Fig. 在二叉树中插入与删除结点 </p>
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||||
<p align="center"> Fig. 在二叉树中插入与删除节点 </p>
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=== "Java"
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||||
```java title="binary_tree.java"
|
||||
TreeNode P = new TreeNode(0);
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||||
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
|
||||
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
|
||||
n1.left = P;
|
||||
P.left = n2;
|
||||
// 删除结点 P
|
||||
// 删除节点 P
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||||
n1.left = n2;
|
||||
```
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||||
=== "C++"
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|
||||
```cpp title="binary_tree.cpp"
|
||||
/* 插入与删除结点 */
|
||||
/* 插入与删除节点 */
|
||||
TreeNode* P = new TreeNode(0);
|
||||
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
|
||||
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
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||||
n1->left = P;
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||||
P->left = n2;
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||||
// 删除结点 P
|
||||
// 删除节点 P
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||||
n1->left = n2;
|
||||
```
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||||
=== "Python"
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||||
```python title="binary_tree.py"
|
||||
""" 插入与删除结点 """
|
||||
""" 插入与删除节点 """
|
||||
p = TreeNode(0)
|
||||
# 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
|
||||
# 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
|
||||
n1.left = p
|
||||
p.left = n2
|
||||
# 删除结点 P
|
||||
# 删除节点 P
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||||
n1.left = n2
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```
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||||
=== "Go"
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||||
```go title="binary_tree.go"
|
||||
/* 插入与删除结点 */
|
||||
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
|
||||
/* 插入与删除节点 */
|
||||
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
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||||
p := NewTreeNode(0)
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||||
n1.Left = p
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||||
p.Left = n2
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||||
// 删除结点 P
|
||||
// 删除节点 P
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||||
n1.Left = n2
|
||||
```
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||||
|
||||
=== "JavaScript"
|
||||
|
||||
```javascript title="binary_tree.js"
|
||||
/* 插入与删除结点 */
|
||||
/* 插入与删除节点 */
|
||||
let P = new TreeNode(0);
|
||||
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
|
||||
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
|
||||
n1.left = P;
|
||||
P.left = n2;
|
||||
// 删除结点 P
|
||||
// 删除节点 P
|
||||
n1.left = n2;
|
||||
```
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||||
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||||
=== "TypeScript"
|
||||
|
||||
```typescript title="binary_tree.ts"
|
||||
/* 插入与删除结点 */
|
||||
/* 插入与删除节点 */
|
||||
const P = new TreeNode(0);
|
||||
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
|
||||
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
|
||||
n1.left = P;
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||||
P.left = n2;
|
||||
// 删除结点 P
|
||||
// 删除节点 P
|
||||
n1.left = n2;
|
||||
```
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||||
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||||
@@ -392,12 +392,12 @@ comments: true
|
||||
=== "C#"
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||||
|
||||
```csharp title="binary_tree.cs"
|
||||
/* 插入与删除结点 */
|
||||
/* 插入与删除节点 */
|
||||
TreeNode P = new TreeNode(0);
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||||
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
|
||||
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
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||||
n1.left = P;
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P.left = n2;
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||||
// 删除结点 P
|
||||
// 删除节点 P
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||||
n1.left = n2;
|
||||
```
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||||
@@ -405,10 +405,10 @@ comments: true
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||||
```swift title="binary_tree.swift"
|
||||
let P = TreeNode(x: 0)
|
||||
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
|
||||
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
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||||
n1.left = P
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||||
P.left = n2
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||||
// 删除结点 P
|
||||
// 删除节点 P
|
||||
n1.left = n2
|
||||
```
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@@ -420,13 +420,13 @@ comments: true
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!!! note
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插入结点会改变二叉树的原有逻辑结构，删除结点往往意味着删除了该结点的所有子树。因此，二叉树中的插入与删除一般都是由一套操作配合完成的，这样才能实现有意义的操作。
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||||
插入节点会改变二叉树的原有逻辑结构，删除节点往往意味着删除了该节点的所有子树。因此，二叉树中的插入与删除一般都是由一套操作配合完成的，这样才能实现有意义的操作。
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## 7.1.3. 常见二叉树类型
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### 完美二叉树
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「完美二叉树 Perfect Binary Tree」的所有层的结点都被完全填满。在完美二叉树中，叶结点的度为 $0$ ，其余所有结点的度都为 $2$ ；若树高度 $= h$ ，则结点总数 $= 2^{h+1} - 1$ ，呈标准的指数级关系，反映着自然界中常见的细胞分裂。
|
||||
「完美二叉树 Perfect Binary Tree」的所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中，叶节点的度为 $0$ ，其余所有节点的度都为 $2$ ；若树高度 $= h$ ，则节点总数 $= 2^{h+1} - 1$ ，呈标准的指数级关系，反映着自然界中常见的细胞分裂。
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||||
!!! tip
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@@ -438,9 +438,9 @@ comments: true
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### 完全二叉树
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「完全二叉树 Complete Binary Tree」只有最底层的结点未被填满，且最底层结点尽量靠左填充。
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||||
「完全二叉树 Complete Binary Tree」只有最底层的节点未被填满，且最底层节点尽量靠左填充。
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**完全二叉树非常适合用数组来表示**。如果按照层序遍历序列的顺序来存储，那么空结点 `null` 一定全部出现在序列的尾部，因此我们就可以不用存储这些 null 了。
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**完全二叉树非常适合用数组来表示**。如果按照层序遍历序列的顺序来存储，那么空节点 `null` 一定全部出现在序列的尾部，因此我们就可以不用存储这些 null 了。
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@@ -448,7 +448,7 @@ comments: true
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### 完满二叉树
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「完满二叉树 Full Binary Tree」除了叶结点之外，其余所有结点都有两个子结点。
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「完满二叉树 Full Binary Tree」除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点。
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@@ -456,7 +456,7 @@ comments: true
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### 平衡二叉树
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「平衡二叉树 Balanced Binary Tree」中任意结点的左子树和右子树的高度之差的绝对值 $\leq 1$ 。
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「平衡二叉树 Balanced Binary Tree」中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值 $\leq 1$ 。
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@@ -464,7 +464,7 @@ comments: true
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## 7.1.4. 二叉树的退化
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当二叉树的每层的结点都被填满时，达到「完美二叉树」；而当所有结点都偏向一边时，二叉树退化为「链表」。
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||||
当二叉树的每层的节点都被填满时，达到「完美二叉树」；而当所有节点都偏向一边时，二叉树退化为「链表」。
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||||
- 完美二叉树是一个二叉树的“最佳状态”，可以完全发挥出二叉树“分治”的优势；
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- 链表则是另一个极端，各项操作都变为线性操作，时间复杂度退化至 $O(n)$ ；
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@@ -473,32 +473,32 @@ comments: true
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<p align="center"> Fig. 二叉树的最佳与最二叉树的最佳和最差结构差情况 </p>
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如下表所示，在最佳和最差结构下，二叉树的叶结点数量、结点总数、高度等达到极大或极小值。
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如下表所示，在最佳和最差结构下，二叉树的叶节点数量、节点总数、高度等达到极大或极小值。
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<div class="center-table" markdown>
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| | 完美二叉树 | 链表 |
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| ----------------------------- | ---------- | ---------- |
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| 第 $i$ 层的结点数量 | $2^{i-1}$ | $1$ |
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| 树的高度为 $h$ 时的叶结点数量 | $2^h$ | $1$ |
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| 树的高度为 $h$ 时的结点总数 | $2^{h+1} - 1$ | $h + 1$ |
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| 树的结点总数为 $n$ 时的高度 | $\log_2 (n+1) - 1$ | $n - 1$ |
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| 第 $i$ 层的节点数量 | $2^{i-1}$ | $1$ |
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| 树的高度为 $h$ 时的叶节点数量 | $2^h$ | $1$ |
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| 树的高度为 $h$ 时的节点总数 | $2^{h+1} - 1$ | $h + 1$ |
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| 树的节点总数为 $n$ 时的高度 | $\log_2 (n+1) - 1$ | $n - 1$ |
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</div>
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## 7.1.5. 二叉树表示方式 *
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我们一般使用二叉树的「链表表示」，即存储单位为结点 `TreeNode` ，结点之间通过指针（引用）相连接。本文前述示例代码展示了二叉树在链表表示下的各项基本操作。
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我们一般使用二叉树的「链表表示」，即存储单位为节点 `TreeNode` ，节点之间通过指针（引用）相连接。本文前述示例代码展示了二叉树在链表表示下的各项基本操作。
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那能否可以用「数组表示」二叉树呢？答案是肯定的。先来分析一个简单案例，给定一个「完美二叉树」，将结点按照层序遍历的顺序编号（从 0 开始），那么可以推导得出父结点索引与子结点索引之间的「映射公式」：**设结点的索引为 $i$ ，则该结点的左子结点索引为 $2i + 1$ 、右子结点索引为 $2i + 2$** 。
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那能否可以用「数组表示」二叉树呢？答案是肯定的。先来分析一个简单案例，给定一个「完美二叉树」，将节点按照层序遍历的顺序编号（从 0 开始），那么可以推导得出父节点索引与子节点索引之间的「映射公式」：**设节点的索引为 $i$ ，则该节点的左子节点索引为 $2i + 1$ 、右子节点索引为 $2i + 2$** 。
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**本质上，映射公式的作用就是链表中的指针**。对于层序遍历序列中的任意结点，我们都可以使用映射公式来访问子结点。因此，可以直接使用层序遍历序列（即数组）来表示完美二叉树。
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**本质上，映射公式的作用就是链表中的指针**。对于层序遍历序列中的任意节点，我们都可以使用映射公式来访问子节点。因此，可以直接使用层序遍历序列（即数组）来表示完美二叉树。
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<p align="center"> Fig. 完美二叉树的数组表示 </p>
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然而，完美二叉树只是个例，二叉树中间层往往存在许多空结点（即 `null` ），而层序遍历序列并不包含这些空结点，并且我们无法单凭序列来猜测空结点的数量和分布位置，**即理论上存在许多种二叉树都符合该层序遍历序列**。显然，这种情况无法使用数组来存储二叉树。
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然而，完美二叉树只是个例，二叉树中间层往往存在许多空节点（即 `null` ），而层序遍历序列并不包含这些空节点，并且我们无法单凭序列来猜测空节点的数量和分布位置，**即理论上存在许多种二叉树都符合该层序遍历序列**。显然，这种情况无法使用数组来存储二叉树。
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@@ -519,7 +519,7 @@ comments: true
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```cpp title=""
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/* 二叉树的数组表示 */
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// 为了符合数据类型为 int ，使用 int 最大值标记空位
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// 该方法的使用前提是没有结点的值 = INT_MAX
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// 该方法的使用前提是没有节点的值 = INT_MAX
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vector<int> tree = { 1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15 };
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```
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@@ -587,10 +587,10 @@ comments: true
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<p align="center"> Fig. 任意类型二叉树的数组表示 </p>
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回顾「完全二叉树」的定义，其只有最底层有空结点，并且最底层的结点尽量靠左，因而所有空结点都一定出现在层序遍历序列的末尾。**因为我们先验地确定了空位的位置，所以在使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储“空位”**。因此，完全二叉树非常适合使用数组来表示。
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回顾「完全二叉树」的定义，其只有最底层有空节点，并且最底层的节点尽量靠左，因而所有空节点都一定出现在层序遍历序列的末尾。**因为我们先验地确定了空位的位置，所以在使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储“空位”**。因此，完全二叉树非常适合使用数组来表示。
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<p align="center"> Fig. 完全二叉树的数组表示 </p>
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数组表示有两个优点： 一是不需要存储指针，节省空间；二是可以随机访问结点。然而，当二叉树中的“空位”很多时，数组中只包含很少结点的数据，空间利用率很低。
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数组表示有两个优点： 一是不需要存储指针，节省空间；二是可以随机访问节点。然而，当二叉树中的“空位”很多时，数组中只包含很少节点的数据，空间利用率很低。
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@@ -4,13 +4,13 @@ comments: true
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# 7.2. 二叉树遍历
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从物理结构角度看，树是一种基于链表的数据结构，因此遍历方式也是通过指针（即引用）逐个遍历结点。同时，树还是一种非线性数据结构，这导致遍历树比遍历链表更加复杂，需要使用搜索算法来实现。
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从物理结构角度看，树是一种基于链表的数据结构，因此遍历方式也是通过指针（即引用）逐个遍历节点。同时，树还是一种非线性数据结构，这导致遍历树比遍历链表更加复杂，需要使用搜索算法来实现。
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常见的二叉树遍历方式有层序遍历、前序遍历、中序遍历、后序遍历。
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## 7.2.1. 层序遍历
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「层序遍历 Level-Order Traversal」从顶至底、一层一层地遍历二叉树，并在每层中按照从左到右的顺序访问结点。
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「层序遍历 Level-Order Traversal」从顶至底、一层一层地遍历二叉树，并在每层中按照从左到右的顺序访问节点。
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层序遍历本质上是「广度优先搜索 Breadth-First Traversal」，其体现着一种“一圈一圈向外”的层进遍历方式。
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@@ -27,17 +27,17 @@ comments: true
|
||||
```java title="binary_tree_bfs.java"
|
||||
/* 层序遍历 */
|
||||
List<Integer> levelOrder(TreeNode root) {
|
||||
// 初始化队列，加入根结点
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||||
// 初始化队列，加入根节点
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||||
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>() {{ add(root); }};
|
||||
// 初始化一个列表，用于保存遍历序列
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||||
List<Integer> list = new ArrayList<>();
|
||||
while (!queue.isEmpty()) {
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||||
TreeNode node = queue.poll(); // 队列出队
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||||
list.add(node.val); // 保存结点值
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||||
list.add(node.val); // 保存节点值
|
||||
if (node.left != null)
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||||
queue.offer(node.left); // 左子结点入队
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||||
queue.offer(node.left); // 左子节点入队
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||||
if (node.right != null)
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||||
queue.offer(node.right); // 右子结点入队
|
||||
queue.offer(node.right); // 右子节点入队
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||||
}
|
||||
return list;
|
||||
}
|
||||
@@ -48,7 +48,7 @@ comments: true
|
||||
```cpp title="binary_tree_bfs.cpp"
|
||||
/* 层序遍历 */
|
||||
vector<int> levelOrder(TreeNode* root) {
|
||||
// 初始化队列，加入根结点
|
||||
// 初始化队列，加入根节点
|
||||
queue<TreeNode*> queue;
|
||||
queue.push(root);
|
||||
// 初始化一个列表，用于保存遍历序列
|
||||
@@ -56,11 +56,11 @@ comments: true
|
||||
while (!queue.empty()) {
|
||||
TreeNode* node = queue.front();
|
||||
queue.pop(); // 队列出队
|
||||
vec.push_back(node->val); // 保存结点值
|
||||
vec.push_back(node->val); // 保存节点值
|
||||
if (node->left != nullptr)
|
||||
queue.push(node->left); // 左子结点入队
|
||||
queue.push(node->left); // 左子节点入队
|
||||
if (node->right != nullptr)
|
||||
queue.push(node->right); // 右子结点入队
|
||||
queue.push(node->right); // 右子节点入队
|
||||
}
|
||||
return vec;
|
||||
}
|
||||
@@ -71,18 +71,18 @@ comments: true
|
||||
```python title="binary_tree_bfs.py"
|
||||
def level_order(root: TreeNode | None) -> list[int]:
|
||||
""" 层序遍历 """
|
||||
# 初始化队列，加入根结点
|
||||
# 初始化队列，加入根节点
|
||||
queue: deque[TreeNode] = deque()
|
||||
queue.append(root)
|
||||
# 初始化一个列表，用于保存遍历序列
|
||||
res: list[int] = []
|
||||
while queue:
|
||||
node: TreeNode = queue.popleft() # 队列出队
|
||||
res.append(node.val) # 保存结点值
|
||||
res.append(node.val) # 保存节点值
|
||||
if node.left is not None:
|
||||
queue.append(node.left) # 左子结点入队
|
||||
queue.append(node.left) # 左子节点入队
|
||||
if node.right is not None:
|
||||
queue.append(node.right) # 右子结点入队
|
||||
queue.append(node.right) # 右子节点入队
|
||||
return res
|
||||
```
|
||||
|
||||
@@ -91,7 +91,7 @@ comments: true
|
||||
```go title="binary_tree_bfs.go"
|
||||
/* 层序遍历 */
|
||||
func levelOrder(root *TreeNode) []int {
|
||||
// 初始化队列，加入根结点
|
||||
// 初始化队列，加入根节点
|
||||
queue := list.New()
|
||||
queue.PushBack(root)
|
||||
// 初始化一个切片，用于保存遍历序列
|
||||
@@ -99,14 +99,14 @@ comments: true
|
||||
for queue.Len() > 0 {
|
||||
// 队列出队
|
||||
node := queue.Remove(queue.Front()).(*TreeNode)
|
||||
// 保存结点值
|
||||
// 保存节点值
|
||||
nums = append(nums, node.Val)
|
||||
if node.Left != nil {
|
||||
// 左子结点入队
|
||||
// 左子节点入队
|
||||
queue.PushBack(node.Left)
|
||||
}
|
||||
if node.Right != nil {
|
||||
// 右子结点入队
|
||||
// 右子节点入队
|
||||
queue.PushBack(node.Right)
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
@@ -119,17 +119,17 @@ comments: true
|
||||
```javascript title="binary_tree_bfs.js"
|
||||
/* 层序遍历 */
|
||||
function levelOrder(root) {
|
||||
// 初始化队列，加入根结点
|
||||
// 初始化队列，加入根节点
|
||||
const queue = [root];
|
||||
// 初始化一个列表，用于保存遍历序列
|
||||
const list = [];
|
||||
while (queue.length) {
|
||||
let node = queue.shift(); // 队列出队
|
||||
list.push(node.val); // 保存结点值
|
||||
list.push(node.val); // 保存节点值
|
||||
if (node.left)
|
||||
queue.push(node.left); // 左子结点入队
|
||||
queue.push(node.left); // 左子节点入队
|
||||
if (node.right)
|
||||
queue.push(node.right); // 右子结点入队
|
||||
queue.push(node.right); // 右子节点入队
|
||||
|
||||
}
|
||||
return list;
|
||||
@@ -141,18 +141,18 @@ comments: true
|
||||
```typescript title="binary_tree_bfs.ts"
|
||||
/* 层序遍历 */
|
||||
function levelOrder(root: TreeNode | null): number[] {
|
||||
// 初始化队列，加入根结点
|
||||
// 初始化队列，加入根节点
|
||||
const queue = [root];
|
||||
// 初始化一个列表，用于保存遍历序列
|
||||
const list: number[] = [];
|
||||
while (queue.length) {
|
||||
let node = queue.shift() as TreeNode; // 队列出队
|
||||
list.push(node.val); // 保存结点值
|
||||
list.push(node.val); // 保存节点值
|
||||
if (node.left) {
|
||||
queue.push(node.left); // 左子结点入队
|
||||
queue.push(node.left); // 左子节点入队
|
||||
}
|
||||
if (node.right) {
|
||||
queue.push(node.right); // 右子结点入队
|
||||
queue.push(node.right); // 右子节点入队
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
return list;
|
||||
@@ -171,7 +171,7 @@ comments: true
|
||||
/* 层序遍历 */
|
||||
List<int> levelOrder(TreeNode root)
|
||||
{
|
||||
// 初始化队列，加入根结点
|
||||
// 初始化队列，加入根节点
|
||||
Queue<TreeNode> queue = new();
|
||||
queue.Enqueue(root);
|
||||
// 初始化一个列表，用于保存遍历序列
|
||||
@@ -179,11 +179,11 @@ comments: true
|
||||
while (queue.Count != 0)
|
||||
{
|
||||
TreeNode node = queue.Dequeue(); // 队列出队
|
||||
list.Add(node.val); // 保存结点值
|
||||
list.Add(node.val); // 保存节点值
|
||||
if (node.left != null)
|
||||
queue.Enqueue(node.left); // 左子结点入队
|
||||
queue.Enqueue(node.left); // 左子节点入队
|
||||
if (node.right != null)
|
||||
queue.Enqueue(node.right); // 右子结点入队
|
||||
queue.Enqueue(node.right); // 右子节点入队
|
||||
}
|
||||
return list;
|
||||
}
|
||||
@@ -194,18 +194,18 @@ comments: true
|
||||
```swift title="binary_tree_bfs.swift"
|
||||
/* 层序遍历 */
|
||||
func levelOrder(root: TreeNode) -> [Int] {
|
||||
// 初始化队列，加入根结点
|
||||
// 初始化队列，加入根节点
|
||||
var queue: [TreeNode] = [root]
|
||||
// 初始化一个列表，用于保存遍历序列
|
||||
var list: [Int] = []
|
||||
while !queue.isEmpty {
|
||||
let node = queue.removeFirst() // 队列出队
|
||||
list.append(node.val) // 保存结点值
|
||||
list.append(node.val) // 保存节点值
|
||||
if let left = node.left {
|
||||
queue.append(left) // 左子结点入队
|
||||
queue.append(left) // 左子节点入队
|
||||
}
|
||||
if let right = node.right {
|
||||
queue.append(right) // 右子结点入队
|
||||
queue.append(right) // 右子节点入队
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
return list
|
||||
@@ -217,7 +217,7 @@ comments: true
|
||||
```zig title="binary_tree_bfs.zig"
|
||||
// 层序遍历
|
||||
fn levelOrder(comptime T: type, mem_allocator: std.mem.Allocator, root: *inc.TreeNode(T)) !std.ArrayList(T) {
|
||||
// 初始化队列，加入根结点
|
||||
// 初始化队列，加入根节点
|
||||
const L = std.TailQueue(*inc.TreeNode(T));
|
||||
var queue = L{};
|
||||
var root_node = try mem_allocator.create(L.Node);
|
||||
@@ -228,16 +228,16 @@ comments: true
|
||||
while (queue.len > 0) {
|
||||
var queue_node = queue.popFirst().?; // 队列出队
|
||||
var node = queue_node.data;
|
||||
try list.append(node.val); // 保存结点值
|
||||
try list.append(node.val); // 保存节点值
|
||||
if (node.left != null) {
|
||||
var tmp_node = try mem_allocator.create(L.Node);
|
||||
tmp_node.data = node.left.?;
|
||||
queue.append(tmp_node); // 左子结点入队
|
||||
queue.append(tmp_node); // 左子节点入队
|
||||
}
|
||||
if (node.right != null) {
|
||||
var tmp_node = try mem_allocator.create(L.Node);
|
||||
tmp_node.data = node.right.?;
|
||||
queue.append(tmp_node); // 右子结点入队
|
||||
queue.append(tmp_node); // 右子节点入队
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
return list;
|
||||
@@ -246,15 +246,15 @@ comments: true
|
||||
|
||||
### 复杂度分析
|
||||
|
||||
**时间复杂度**：所有结点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间，其中 $n$ 为结点数量。
|
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**时间复杂度**：所有节点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间，其中 $n$ 为节点数量。
|
||||
|
||||
**空间复杂度**：当为满二叉树时达到最差情况，遍历到最底层前，队列中最多同时存在 $\frac{n + 1}{2}$ 个结点，使用 $O(n)$ 空间。
|
||||
**空间复杂度**：当为满二叉树时达到最差情况，遍历到最底层前，队列中最多同时存在 $\frac{n + 1}{2}$ 个节点，使用 $O(n)$ 空间。
|
||||
|
||||
## 7.2.2. 前序、中序、后序遍历
|
||||
|
||||
相对地，前、中、后序遍历皆属于「深度优先遍历 Depth-First Traversal」，其体现着一种“先走到尽头，再回头继续”的回溯遍历方式。
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||||
如下图所示，左侧是深度优先遍历的的示意图，右上方是对应的递归实现代码。深度优先遍历就像是绕着整个二叉树的外围“走”一圈，走的过程中，在每个结点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历、后序遍历。
|
||||
如下图所示，左侧是深度优先遍历的的示意图，右上方是对应的递归实现代码。深度优先遍历就像是绕着整个二叉树的外围“走”一圈，走的过程中，在每个节点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历、后序遍历。
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||||
|
||||
|
||||
|
||||
@@ -262,9 +262,9 @@ comments: true
|
||||
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||||
<div class="center-table" markdown>
|
||||
|
||||
| 位置 | 含义 | 此处访问结点时对应 |
|
||||
| 位置 | 含义 | 此处访问节点时对应 |
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||||
| ---------- | ------------------------------------ | ----------------------------- |
|
||||
| 橙色圆圈处 | 刚进入此结点，即将访问该结点的左子树 | 前序遍历 Pre-Order Traversal |
|
||||
| 橙色圆圈处 | 刚进入此节点，即将访问该节点的左子树 | 前序遍历 Pre-Order Traversal |
|
||||
| 蓝色圆圈处 | 已访问完左子树，即将访问右子树 | 中序遍历 In-Order Traversal |
|
||||
| 紫色圆圈处 | 已访问完左子树和右子树，即将返回 | 后序遍历 Post-Order Traversal |
|
||||
|
||||
@@ -278,7 +278,7 @@ comments: true
|
||||
/* 前序遍历 */
|
||||
void preOrder(TreeNode root) {
|
||||
if (root == null) return;
|
||||
// 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
|
||||
// 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
|
||||
list.add(root.val);
|
||||
preOrder(root.left);
|
||||
preOrder(root.right);
|
||||
@@ -287,7 +287,7 @@ comments: true
|
||||
/* 中序遍历 */
|
||||
void inOrder(TreeNode root) {
|
||||
if (root == null) return;
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
|
||||
inOrder(root.left);
|
||||
list.add(root.val);
|
||||
inOrder(root.right);
|
||||
@@ -296,7 +296,7 @@ comments: true
|
||||
/* 后序遍历 */
|
||||
void postOrder(TreeNode root) {
|
||||
if (root == null) return;
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
|
||||
postOrder(root.left);
|
||||
postOrder(root.right);
|
||||
list.add(root.val);
|
||||
@@ -309,7 +309,7 @@ comments: true
|
||||
/* 前序遍历 */
|
||||
void preOrder(TreeNode* root) {
|
||||
if (root == nullptr) return;
|
||||
// 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
|
||||
// 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
|
||||
vec.push_back(root->val);
|
||||
preOrder(root->left);
|
||||
preOrder(root->right);
|
||||
@@ -318,7 +318,7 @@ comments: true
|
||||
/* 中序遍历 */
|
||||
void inOrder(TreeNode* root) {
|
||||
if (root == nullptr) return;
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
|
||||
inOrder(root->left);
|
||||
vec.push_back(root->val);
|
||||
inOrder(root->right);
|
||||
@@ -327,7 +327,7 @@ comments: true
|
||||
/* 后序遍历 */
|
||||
void postOrder(TreeNode* root) {
|
||||
if (root == nullptr) return;
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
|
||||
postOrder(root->left);
|
||||
postOrder(root->right);
|
||||
vec.push_back(root->val);
|
||||
@@ -341,7 +341,7 @@ comments: true
|
||||
""" 前序遍历 """
|
||||
if root is None:
|
||||
return
|
||||
# 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
|
||||
# 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
|
||||
res.append(root.val)
|
||||
pre_order(root=root.left)
|
||||
pre_order(root=root.right)
|
||||
@@ -350,7 +350,7 @@ comments: true
|
||||
""" 中序遍历 """
|
||||
if root is None:
|
||||
return
|
||||
# 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
|
||||
# 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
|
||||
in_order(root=root.left)
|
||||
res.append(root.val)
|
||||
in_order(root=root.right)
|
||||
@@ -359,7 +359,7 @@ comments: true
|
||||
""" 后序遍历 """
|
||||
if root is None:
|
||||
return
|
||||
# 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
|
||||
# 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
|
||||
post_order(root=root.left)
|
||||
post_order(root=root.right)
|
||||
res.append(root.val)
|
||||
@@ -373,7 +373,7 @@ comments: true
|
||||
if node == nil {
|
||||
return
|
||||
}
|
||||
// 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
|
||||
// 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
|
||||
nums = append(nums, node.Val)
|
||||
preOrder(node.Left)
|
||||
preOrder(node.Right)
|
||||
@@ -384,7 +384,7 @@ comments: true
|
||||
if node == nil {
|
||||
return
|
||||
}
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
|
||||
inOrder(node.Left)
|
||||
nums = append(nums, node.Val)
|
||||
inOrder(node.Right)
|
||||
@@ -395,7 +395,7 @@ comments: true
|
||||
if node == nil {
|
||||
return
|
||||
}
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
|
||||
postOrder(node.Left)
|
||||
postOrder(node.Right)
|
||||
nums = append(nums, node.Val)
|
||||
@@ -408,7 +408,7 @@ comments: true
|
||||
/* 前序遍历 */
|
||||
function preOrder(root) {
|
||||
if (root === null) return;
|
||||
// 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
|
||||
// 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
|
||||
list.push(root.val);
|
||||
preOrder(root.left);
|
||||
preOrder(root.right);
|
||||
@@ -417,7 +417,7 @@ comments: true
|
||||
/* 中序遍历 */
|
||||
function inOrder(root) {
|
||||
if (root === null) return;
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
|
||||
inOrder(root.left);
|
||||
list.push(root.val);
|
||||
inOrder(root.right);
|
||||
@@ -426,7 +426,7 @@ comments: true
|
||||
/* 后序遍历 */
|
||||
function postOrder(root) {
|
||||
if (root === null) return;
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
|
||||
postOrder(root.left);
|
||||
postOrder(root.right);
|
||||
list.push(root.val);
|
||||
@@ -441,7 +441,7 @@ comments: true
|
||||
if (root === null) {
|
||||
return;
|
||||
}
|
||||
// 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
|
||||
// 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
|
||||
list.push(root.val);
|
||||
preOrder(root.left);
|
||||
preOrder(root.right);
|
||||
@@ -452,7 +452,7 @@ comments: true
|
||||
if (root === null) {
|
||||
return;
|
||||
}
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
|
||||
inOrder(root.left);
|
||||
list.push(root.val);
|
||||
inOrder(root.right);
|
||||
@@ -463,7 +463,7 @@ comments: true
|
||||
if (root === null) {
|
||||
return;
|
||||
}
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
|
||||
postOrder(root.left);
|
||||
postOrder(root.right);
|
||||
list.push(root.val);
|
||||
@@ -487,7 +487,7 @@ comments: true
|
||||
void preOrder(TreeNode? root)
|
||||
{
|
||||
if (root == null) return;
|
||||
// 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
|
||||
// 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
|
||||
list.Add(root.val);
|
||||
preOrder(root.left);
|
||||
preOrder(root.right);
|
||||
@@ -497,7 +497,7 @@ comments: true
|
||||
void inOrder(TreeNode? root)
|
||||
{
|
||||
if (root == null) return;
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
|
||||
inOrder(root.left);
|
||||
list.Add(root.val);
|
||||
inOrder(root.right);
|
||||
@@ -507,7 +507,7 @@ comments: true
|
||||
void postOrder(TreeNode? root)
|
||||
{
|
||||
if (root == null) return;
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
|
||||
postOrder(root.left);
|
||||
postOrder(root.right);
|
||||
list.Add(root.val);
|
||||
@@ -522,7 +522,7 @@ comments: true
|
||||
guard let root = root else {
|
||||
return
|
||||
}
|
||||
// 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
|
||||
// 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
|
||||
list.append(root.val)
|
||||
preOrder(root: root.left)
|
||||
preOrder(root: root.right)
|
||||
@@ -533,7 +533,7 @@ comments: true
|
||||
guard let root = root else {
|
||||
return
|
||||
}
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
|
||||
inOrder(root: root.left)
|
||||
list.append(root.val)
|
||||
inOrder(root: root.right)
|
||||
@@ -544,7 +544,7 @@ comments: true
|
||||
guard let root = root else {
|
||||
return
|
||||
}
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
|
||||
postOrder(root: root.left)
|
||||
postOrder(root: root.right)
|
||||
list.append(root.val)
|
||||
@@ -557,7 +557,7 @@ comments: true
|
||||
// 前序遍历
|
||||
fn preOrder(comptime T: type, root: ?*inc.TreeNode(T)) !void {
|
||||
if (root == null) return;
|
||||
// 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
|
||||
// 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
|
||||
try list.append(root.?.val);
|
||||
try preOrder(T, root.?.left);
|
||||
try preOrder(T, root.?.right);
|
||||
@@ -566,7 +566,7 @@ comments: true
|
||||
// 中序遍历
|
||||
fn inOrder(comptime T: type, root: ?*inc.TreeNode(T)) !void {
|
||||
if (root == null) return;
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
|
||||
try inOrder(T, root.?.left);
|
||||
try list.append(root.?.val);
|
||||
try inOrder(T, root.?.right);
|
||||
@@ -575,7 +575,7 @@ comments: true
|
||||
// 后序遍历
|
||||
fn postOrder(comptime T: type, root: ?*inc.TreeNode(T)) !void {
|
||||
if (root == null) return;
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
|
||||
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
|
||||
try postOrder(T, root.?.left);
|
||||
try postOrder(T, root.?.right);
|
||||
try list.append(root.?.val);
|
||||
@@ -588,6 +588,6 @@ comments: true
|
||||
|
||||
### 复杂度分析
|
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||||
**时间复杂度**：所有结点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间，其中 $n$ 为结点数量。
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||||
**时间复杂度**：所有节点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间，其中 $n$ 为节点数量。
|
||||
|
||||
**空间复杂度**：当树退化为链表时达到最差情况，递归深度达到 $n$ ，系统使用 $O(n)$ 栈帧空间。
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||||
@@ -6,12 +6,12 @@ comments: true
|
||||
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||||
### 二叉树
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||||
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||||
- 二叉树是一种非线性数据结构，代表着“一分为二”的分治逻辑。二叉树的结点包含「值」和两个「指针」，分别指向左子结点和右子结点。
|
||||
- 选定二叉树中某结点，将其左（右）子结点以下形成的树称为左（右）子树。
|
||||
- 二叉树的术语较多，包括根结点、叶结点、层、度、边、高度、深度等。
|
||||
- 二叉树的初始化、结点插入、结点删除操作与链表的操作方法类似。
|
||||
- 二叉树是一种非线性数据结构，代表着“一分为二”的分治逻辑。二叉树的节点包含「值」和两个「指针」，分别指向左子节点和右子节点。
|
||||
- 选定二叉树中某节点，将其左（右）子节点以下形成的树称为左（右）子树。
|
||||
- 二叉树的术语较多，包括根节点、叶节点、层、度、边、高度、深度等。
|
||||
- 二叉树的初始化、节点插入、节点删除操作与链表的操作方法类似。
|
||||
- 常见的二叉树类型包括完美二叉树、完全二叉树、完满二叉树、平衡二叉树。完美二叉树是理想状态，链表则是退化后的最差状态。
|
||||
- 二叉树可以使用数组表示，具体做法是将结点值和空位按照层序遍历的顺序排列，并基于父结点和子结点之间的索引映射公式实现指针。
|
||||
- 二叉树可以使用数组表示，具体做法是将节点值和空位按照层序遍历的顺序排列，并基于父节点和子节点之间的索引映射公式实现指针。
|
||||
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||||
### 二叉树遍历
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||||
@@ -21,5 +21,5 @@ comments: true
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### 二叉搜索树
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- 二叉搜索树是一种高效的元素查找数据结构，查找、插入、删除操作的时间复杂度皆为 $O(\log n)$ 。二叉搜索树退化为链表后，各项时间复杂度劣化至 $O(n)$ ，因此如何避免退化是非常重要的课题。
|
||||
- AVL 树又称平衡二叉搜索树，其通过旋转操作，使得在不断插入与删除结点后，仍然可以保持二叉树的平衡（不退化）。
|
||||
- AVL 树的旋转操作分为右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋。在插入或删除结点后，AVL 树会从底至顶地执行旋转操作，使树恢复平衡。
|
||||
- AVL 树又称平衡二叉搜索树，其通过旋转操作，使得在不断插入与删除节点后，仍然可以保持二叉树的平衡（不退化）。
|
||||
- AVL 树的旋转操作分为右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋。在插入或删除节点后，AVL 树会从底至顶地执行旋转操作，使树恢复平衡。
|
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