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2023-04-09 04:34:58 +08:00
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chapter_tree/binary_tree_traversal.md
+71 -71
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@@ -4,13 +4,13 @@ comments: true
# 7.2.   二叉树遍历
从物理结构角度看，树是一种基于链表的数据结构，因此遍历方式也是通过指针（即引用）逐个遍历结点。同时，树还是一种非线性数据结构，这导致遍历树比遍历链表更加复杂，需要使用搜索算法来实现。
从物理结构角度看，树是一种基于链表的数据结构，因此遍历方式也是通过指针（即引用）逐个遍历节点。同时，树还是一种非线性数据结构，这导致遍历树比遍历链表更加复杂，需要使用搜索算法来实现。
常见的二叉树遍历方式有层序遍历、前序遍历、中序遍历、后序遍历。
## 7.2.1.   层序遍历
「层序遍历 Level-Order Traversal」从顶至底、一层一层地遍历二叉树，并在每层中按照从左到右的顺序访问结点。
「层序遍历 Level-Order Traversal」从顶至底、一层一层地遍历二叉树，并在每层中按照从左到右的顺序访问节点。
层序遍历本质上是「广度优先搜索 Breadth-First Traversal」，其体现着一种“一圈一圈向外”的层进遍历方式。
@@ -27,17 +27,17 @@ comments: true
```java title="binary_tree_bfs.java"
/* 层序遍历 */
List<Integer> levelOrder(TreeNode root) {
// 初始化队列，加入根结点
// 初始化队列，加入根节点
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>() {{ add(root); }};
// 初始化一个列表，用于保存遍历序列
List<Integer> list = new ArrayList<>();
while (!queue.isEmpty()) {
TreeNode node = queue.poll(); // 队列出队
list.add(node.val); // 保存结点值
list.add(node.val); // 保存节点值
if (node.left != null)
queue.offer(node.left); // 左子结点入队
queue.offer(node.left); // 左子节点入队
if (node.right != null)
queue.offer(node.right); // 右子结点入队
queue.offer(node.right); // 右子节点入队
}
return list;
}
@@ -48,7 +48,7 @@ comments: true
```cpp title="binary_tree_bfs.cpp"
/* 层序遍历 */
vector<int> levelOrder(TreeNode* root) {
// 初始化队列，加入根结点
// 初始化队列，加入根节点
queue<TreeNode*> queue;
queue.push(root);
// 初始化一个列表，用于保存遍历序列
@@ -56,11 +56,11 @@ comments: true
while (!queue.empty()) {
TreeNode* node = queue.front();
queue.pop(); // 队列出队
vec.push_back(node->val); // 保存结点值
vec.push_back(node->val); // 保存节点值
if (node->left != nullptr)
queue.push(node->left); // 左子结点入队
queue.push(node->left); // 左子节点入队
if (node->right != nullptr)
queue.push(node->right); // 右子结点入队
queue.push(node->right); // 右子节点入队
}
return vec;
}
@@ -71,18 +71,18 @@ comments: true
```python title="binary_tree_bfs.py"
def level_order(root: TreeNode | None) -> list[int]:
""" 层序遍历 """
# 初始化队列，加入根结点
# 初始化队列，加入根节点
queue: deque[TreeNode] = deque()
queue.append(root)
# 初始化一个列表，用于保存遍历序列
res: list[int] = []
while queue:
node: TreeNode = queue.popleft() # 队列出队
res.append(node.val) # 保存结点值
res.append(node.val) # 保存节点值
if node.left is not None:
queue.append(node.left) # 左子结点入队
queue.append(node.left) # 左子节点入队
if node.right is not None:
queue.append(node.right) # 右子结点入队
queue.append(node.right) # 右子节点入队
return res
```
@@ -91,7 +91,7 @@ comments: true
```go title="binary_tree_bfs.go"
/* 层序遍历 */
func levelOrder(root *TreeNode) []int {
// 初始化队列，加入根结点
// 初始化队列，加入根节点
queue := list.New()
queue.PushBack(root)
// 初始化一个切片，用于保存遍历序列
@@ -99,14 +99,14 @@ comments: true
for queue.Len() > 0 {
// 队列出队
node := queue.Remove(queue.Front()).(*TreeNode)
// 保存结点值
// 保存节点值
nums = append(nums, node.Val)
if node.Left != nil {
// 左子结点入队
// 左子节点入队
queue.PushBack(node.Left)
}
if node.Right != nil {
// 右子结点入队
// 右子节点入队
queue.PushBack(node.Right)
}
}
@@ -119,17 +119,17 @@ comments: true
```javascript title="binary_tree_bfs.js"
/* 层序遍历 */
function levelOrder(root) {
// 初始化队列，加入根结点
// 初始化队列，加入根节点
const queue = [root];
// 初始化一个列表，用于保存遍历序列
const list = [];
while (queue.length) {
let node = queue.shift(); // 队列出队
list.push(node.val); // 保存结点值
list.push(node.val); // 保存节点值
if (node.left)
queue.push(node.left); // 左子结点入队
queue.push(node.left); // 左子节点入队
if (node.right)
queue.push(node.right); // 右子结点入队
queue.push(node.right); // 右子节点入队
}
return list;
@@ -141,18 +141,18 @@ comments: true
```typescript title="binary_tree_bfs.ts"
/* 层序遍历 */
function levelOrder(root: TreeNode | null): number[] {
// 初始化队列，加入根结点
// 初始化队列，加入根节点
const queue = [root];
// 初始化一个列表，用于保存遍历序列
const list: number[] = [];
while (queue.length) {
let node = queue.shift() as TreeNode; // 队列出队
list.push(node.val); // 保存结点值
list.push(node.val); // 保存节点值
if (node.left) {
queue.push(node.left); // 左子结点入队
queue.push(node.left); // 左子节点入队
}
if (node.right) {
queue.push(node.right); // 右子结点入队
queue.push(node.right); // 右子节点入队
}
}
return list;
@@ -171,7 +171,7 @@ comments: true
/* 层序遍历 */
List<int> levelOrder(TreeNode root)
{
// 初始化队列，加入根结点
// 初始化队列，加入根节点
Queue<TreeNode> queue = new();
queue.Enqueue(root);
// 初始化一个列表，用于保存遍历序列
@@ -179,11 +179,11 @@ comments: true
while (queue.Count != 0)
{
TreeNode node = queue.Dequeue(); // 队列出队
list.Add(node.val); // 保存结点值
list.Add(node.val); // 保存节点值
if (node.left != null)
queue.Enqueue(node.left); // 左子结点入队
queue.Enqueue(node.left); // 左子节点入队
if (node.right != null)
queue.Enqueue(node.right); // 右子结点入队
queue.Enqueue(node.right); // 右子节点入队
}
return list;
}
@@ -194,18 +194,18 @@ comments: true
```swift title="binary_tree_bfs.swift"
/* 层序遍历 */
func levelOrder(root: TreeNode) -> [Int] {
// 初始化队列，加入根结点
// 初始化队列，加入根节点
var queue: [TreeNode] = [root]
// 初始化一个列表，用于保存遍历序列
var list: [Int] = []
while !queue.isEmpty {
let node = queue.removeFirst() // 队列出队
list.append(node.val) // 保存结点值
list.append(node.val) // 保存节点值
if let left = node.left {
queue.append(left) // 左子结点入队
queue.append(left) // 左子节点入队
}
if let right = node.right {
queue.append(right) // 右子结点入队
queue.append(right) // 右子节点入队
}
}
return list
@@ -217,7 +217,7 @@ comments: true
```zig title="binary_tree_bfs.zig"
// 层序遍历
fn levelOrder(comptime T: type, mem_allocator: std.mem.Allocator, root: *inc.TreeNode(T)) !std.ArrayList(T) {
// 初始化队列，加入根结点
// 初始化队列，加入根节点
const L = std.TailQueue(*inc.TreeNode(T));
var queue = L{};
var root_node = try mem_allocator.create(L.Node);
@@ -228,16 +228,16 @@ comments: true
while (queue.len > 0) {
var queue_node = queue.popFirst().?; // 队列出队
var node = queue_node.data;
try list.append(node.val); // 保存结点值
try list.append(node.val); // 保存节点值
if (node.left != null) {
var tmp_node = try mem_allocator.create(L.Node);
tmp_node.data = node.left.?;
queue.append(tmp_node); // 左子结点入队
queue.append(tmp_node); // 左子节点入队
}
if (node.right != null) {
var tmp_node = try mem_allocator.create(L.Node);
tmp_node.data = node.right.?;
queue.append(tmp_node); // 右子结点入队
queue.append(tmp_node); // 右子节点入队
}
}
return list;
@@ -246,15 +246,15 @@ comments: true
### 复杂度分析
**时间复杂度**：所有结点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间，其中 $n$ 为结点数量。
**时间复杂度**：所有节点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间，其中 $n$ 为节点数量。
**空间复杂度**：当为满二叉树时达到最差情况，遍历到最底层前，队列中最多同时存在 $\frac{n + 1}{2}$ 个结点，使用 $O(n)$ 空间。
**空间复杂度**：当为满二叉树时达到最差情况，遍历到最底层前，队列中最多同时存在 $\frac{n + 1}{2}$ 个节点，使用 $O(n)$ 空间。
## 7.2.2. &nbsp; 前序、中序、后序遍历
相对地，前、中、后序遍历皆属于「深度优先遍历 Depth-First Traversal」，其体现着一种“先走到尽头，再回头继续”的回溯遍历方式。
如下图所示，左侧是深度优先遍历的的示意图，右上方是对应的递归实现代码。深度优先遍历就像是绕着整个二叉树的外围“走”一圈，走的过程中，在每个结点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历、后序遍历。
如下图所示，左侧是深度优先遍历的的示意图，右上方是对应的递归实现代码。深度优先遍历就像是绕着整个二叉树的外围“走”一圈，走的过程中，在每个节点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历、后序遍历。
![二叉搜索树的前、中、后序遍历](binary_tree_traversal.assets/binary_tree_dfs.png)
@@ -262,9 +262,9 @@ comments: true
<div class="center-table" markdown>
| 位置 | 含义 | 此处访问结点时对应 |
| 位置 | 含义 | 此处访问节点时对应 |
| ---------- | ------------------------------------ | ----------------------------- |
| 橙色圆圈处 | 刚进入此结点，即将访问该结点的左子树 | 前序遍历 Pre-Order Traversal |
| 橙色圆圈处 | 刚进入此节点，即将访问该节点的左子树 | 前序遍历 Pre-Order Traversal |
| 蓝色圆圈处 | 已访问完左子树，即将访问右子树 | 中序遍历 In-Order Traversal |
| 紫色圆圈处 | 已访问完左子树和右子树，即将返回 | 后序遍历 Post-Order Traversal |
@@ -278,7 +278,7 @@ comments: true
/* 前序遍历 */
void preOrder(TreeNode root) {
if (root == null) return;
// 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
// 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
list.add(root.val);
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
@@ -287,7 +287,7 @@ comments: true
/* 中序遍历 */
void inOrder(TreeNode root) {
if (root == null) return;
// 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
// 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
inOrder(root.left);
list.add(root.val);
inOrder(root.right);
@@ -296,7 +296,7 @@ comments: true
/* 后序遍历 */
void postOrder(TreeNode root) {
if (root == null) return;
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
list.add(root.val);
@@ -309,7 +309,7 @@ comments: true
/* 前序遍历 */
void preOrder(TreeNode* root) {
if (root == nullptr) return;
// 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
// 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
vec.push_back(root->val);
preOrder(root->left);
preOrder(root->right);
@@ -318,7 +318,7 @@ comments: true
/* 中序遍历 */
void inOrder(TreeNode* root) {
if (root == nullptr) return;
// 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
// 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
inOrder(root->left);
vec.push_back(root->val);
inOrder(root->right);
@@ -327,7 +327,7 @@ comments: true
/* 后序遍历 */
void postOrder(TreeNode* root) {
if (root == nullptr) return;
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
postOrder(root->left);
postOrder(root->right);
vec.push_back(root->val);
@@ -341,7 +341,7 @@ comments: true
""" 前序遍历 """
if root is None:
return
# 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
# 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
res.append(root.val)
pre_order(root=root.left)
pre_order(root=root.right)
@@ -350,7 +350,7 @@ comments: true
""" 中序遍历 """
if root is None:
return
# 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
# 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
in_order(root=root.left)
res.append(root.val)
in_order(root=root.right)
@@ -359,7 +359,7 @@ comments: true
""" 后序遍历 """
if root is None:
return
# 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
# 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
post_order(root=root.left)
post_order(root=root.right)
res.append(root.val)
@@ -373,7 +373,7 @@ comments: true
if node == nil {
return
}
// 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
// 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
nums = append(nums, node.Val)
preOrder(node.Left)
preOrder(node.Right)
@@ -384,7 +384,7 @@ comments: true
if node == nil {
return
}
// 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
// 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
inOrder(node.Left)
nums = append(nums, node.Val)
inOrder(node.Right)
@@ -395,7 +395,7 @@ comments: true
if node == nil {
return
}
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
postOrder(node.Left)
postOrder(node.Right)
nums = append(nums, node.Val)
@@ -408,7 +408,7 @@ comments: true
/* 前序遍历 */
function preOrder(root) {
if (root === null) return;
// 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
// 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
list.push(root.val);
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
@@ -417,7 +417,7 @@ comments: true
/* 中序遍历 */
function inOrder(root) {
if (root === null) return;
// 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
// 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
inOrder(root.left);
list.push(root.val);
inOrder(root.right);
@@ -426,7 +426,7 @@ comments: true
/* 后序遍历 */
function postOrder(root) {
if (root === null) return;
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
list.push(root.val);
@@ -441,7 +441,7 @@ comments: true
if (root === null) {
return;
}
// 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
// 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
list.push(root.val);
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
@@ -452,7 +452,7 @@ comments: true
if (root === null) {
return;
}
// 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
// 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
inOrder(root.left);
list.push(root.val);
inOrder(root.right);
@@ -463,7 +463,7 @@ comments: true
if (root === null) {
return;
}
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
list.push(root.val);
@@ -487,7 +487,7 @@ comments: true
void preOrder(TreeNode? root)
{
if (root == null) return;
// 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
// 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
list.Add(root.val);
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
@@ -497,7 +497,7 @@ comments: true
void inOrder(TreeNode? root)
{
if (root == null) return;
// 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
// 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
inOrder(root.left);
list.Add(root.val);
inOrder(root.right);
@@ -507,7 +507,7 @@ comments: true
void postOrder(TreeNode? root)
{
if (root == null) return;
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
list.Add(root.val);
@@ -522,7 +522,7 @@ comments: true
guard let root = root else {
return
}
// 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
// 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
list.append(root.val)
preOrder(root: root.left)
preOrder(root: root.right)
@@ -533,7 +533,7 @@ comments: true
guard let root = root else {
return
}
// 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
// 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
inOrder(root: root.left)
list.append(root.val)
inOrder(root: root.right)
@@ -544,7 +544,7 @@ comments: true
guard let root = root else {
return
}
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
postOrder(root: root.left)
postOrder(root: root.right)
list.append(root.val)
@@ -557,7 +557,7 @@ comments: true
// 前序遍历
fn preOrder(comptime T: type, root: ?*inc.TreeNode(T)) !void {
if (root == null) return;
// 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
// 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
try list.append(root.?.val);
try preOrder(T, root.?.left);
try preOrder(T, root.?.right);
@@ -566,7 +566,7 @@ comments: true
// 中序遍历
fn inOrder(comptime T: type, root: ?*inc.TreeNode(T)) !void {
if (root == null) return;
// 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
// 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
try inOrder(T, root.?.left);
try list.append(root.?.val);
try inOrder(T, root.?.right);
@@ -575,7 +575,7 @@ comments: true
// 后序遍历
fn postOrder(comptime T: type, root: ?*inc.TreeNode(T)) !void {
if (root == null) return;
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
try postOrder(T, root.?.left);
try postOrder(T, root.?.right);
try list.append(root.?.val);
@@ -588,6 +588,6 @@ comments: true
### 复杂度分析
**时间复杂度**：所有结点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间，其中 $n$ 为结点数量。
**时间复杂度**：所有节点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间，其中 $n$ 为节点数量。
**空间复杂度**：当树退化为链表时达到最差情况，递归深度达到 $n$ ，系统使用 $O(n)$ 栈帧空间。