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chapter_computational_complexity/time_complexity.md

@@ -1606,11 +1606,7 @@ $$
 
 <p align="center"> 图：常数阶、线性阶和平方阶的时间复杂度 </p>
 
-以冒泡排序为例，外层循环执行 $n - 1$ 次，内层循环执行 $n-1, n-2, \cdots, 2, 1$ 次，平均为 $\frac{n}{2}$ 次，因此时间复杂度为 $O(n^2)$ ：
-
-$$
-O((n - 1) \frac{n}{2}) = O(n^2)
-$$
+以冒泡排序为例，外层循环执行 $n - 1$ 次，内层循环执行 $n-1, n-2, \dots, 2, 1$ 次，平均为 $n / 2$ 次，因此时间复杂度为 $O((n - 1) n / 2) = O(n^2)$ 。
 
 === "Java"
 
@@ -2557,7 +2553,17 @@ $$
     }
     ```
 
-对数阶常出现于基于分治策略的算法中，体现了“一分为多”和“化繁为简”的算法思想。它增长缓慢，是理想的时间复杂度，仅次于常数阶。
+对数阶常出现于基于分治策略的算法中，体现了“一分为多”和“化繁为简”的算法思想。它增长缓慢，是仅次于常数阶的理想的时间复杂度。
+
+!!! tip
+
+    准确来说，“一分为 $m$”对应的时间复杂度是 $O(\log_m n)$ 。而通过对数换底公式，我们可以得到具有不同底数的、相等的时间复杂度：
+
+    $$
+    O(\log_m n) = O(\log_k n / \log_k m) = O(\log_k n)
+    $$
+
+    因此我们通常会省略底数 $m$ ，将对数阶直接记为 $O(\log n)$ 。
 
 ### 6. &nbsp; 线性对数阶 $O(n \log n)$
 
@@ -2756,7 +2762,7 @@ $$
 阶乘阶对应数学上的“全排列”问题。给定 $n$ 个互不重复的元素，求其所有可能的排列方案，方案数量为：
 
 $$
-n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1
+n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 2 \times 1
 $$
 
 阶乘通常使用递归实现。例如在以下代码中，第一层分裂出 $n$ 个，第二层分裂出 $n - 1$ 个，以此类推，直至第 $n$ 层时停止分裂：
@@ -2953,7 +2959,7 @@ $$
 
 <p align="center"> 图：阶乘阶的时间复杂度 </p>
 
-请注意，因为 $n! > 2^n$ ，所以阶乘阶比指数阶增长得更快，在 $n$ 较大时也是不可接受的。
+请注意，因为当 $n \geq 4$ 时恒有 $n! > 2^n$ ，所以阶乘阶比指数阶增长得更快，在 $n$ 较大时也是不可接受的。
 
 ## 2.2.5 &nbsp; 最差、最佳、平均时间复杂度
 
@@ -3318,7 +3324,7 @@ $$
 
 从上述示例可以看出，最差或最佳时间复杂度只出现于“特殊的数据分布”，这些情况的出现概率可能很小，并不能真实地反映算法运行效率。相比之下，**平均时间复杂度可以体现算法在随机输入数据下的运行效率**，用 $\Theta$ 记号来表示。
 
-对于部分算法，我们可以简单地推算出随机数据分布下的平均情况。比如上述示例，由于输入数组是被打乱的，因此元素 $1$ 出现在任意索引的概率都是相等的，那么算法的平均循环次数就是数组长度的一半 $\frac{n}{2}$ ，平均时间复杂度为 $\Theta(\frac{n}{2}) = \Theta(n)$ 。
+对于部分算法，我们可以简单地推算出随机数据分布下的平均情况。比如上述示例，由于输入数组是被打乱的，因此元素 $1$ 出现在任意索引的概率都是相等的，那么算法的平均循环次数就是数组长度的一半 $n / 2$ ，平均时间复杂度为 $\Theta(n / 2) = \Theta(n)$ 。
 
 但对于较为复杂的算法，计算平均时间复杂度往往是比较困难的，因为很难分析出在数据分布下的整体数学期望。在这种情况下，我们通常使用最差时间复杂度作为算法效率的评判标准。