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2026-07-14 16:16:06 +00:00 · 2023-08-21 19:33:45 +08:00
parent 1aff6d6cc2
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@@ -10,31 +10,31 @@ G & = \{ V, E \} \newline
 \end{aligned}
 $$

+如果将顶点看作节点，将边看作连接各个节点的引用（指针），我们就可以将图看作是一种从链表拓展而来的数据结构。如下图所示，**相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高**，从而更为复杂。
+
 ![链表、树、图之间的关系](graph.assets/linkedlist_tree_graph.png)

-那么，图与其他数据结构的关系是什么？如果我们把顶点看作节点，把边看作连接各个节点的指针，则可将图看作是一种从链表拓展而来的数据结构。**相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高，从而更为复杂**。
+## 图常见类型与术语

-## 图常见类型
-
-根据边是否具有方向，可分为「无向图 undirected graph」和「有向图 directed graph」。
+根据边是否具有方向，可分为下图所示的「无向图 undirected graph」和「有向图 directed graph」。

 - 在无向图中，边表示两顶点之间的“双向”连接关系，例如微信或 QQ 中的“好友关系”。
 - 在有向图中，边具有方向性，即 $A \rightarrow B$ 和 $A \leftarrow B$ 两个方向的边是相互独立的，例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系。

 ![有向图与无向图](graph.assets/directed_graph.png)

-根据所有顶点是否连通，可分为「连通图 connected graph」和「非连通图 disconnected graph」。
+根据所有顶点是否连通，可分为下图所示的「连通图 connected graph」和「非连通图 disconnected graph」。

 - 对于连通图，从某个顶点出发，可以到达其余任意顶点。
 - 对于非连通图，从某个顶点出发，至少有一个顶点无法到达。

 ![连通图与非连通图](graph.assets/connected_graph.png)

-我们还可以为边添加“权重”变量，从而得到「有权图 weighted graph」。例如，在王者荣耀等手游中，系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”，这种亲密度网络就可以用有权图来表示。
+我们还可以为边添加“权重”变量，从而得到下图所示的「有权图 weighted graph」。例如在王者荣耀等手游中，系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”，这种亲密度网络就可以用有权图来表示。

 ![有权图与无权图](graph.assets/weighted_graph.png)

-## 图常用术语
+图的常用术语包括：

 - 「邻接 adjacency」：当两顶点之间存在边相连时，称这两顶点“邻接”。在上图中，顶点 1 的邻接顶点为顶点 2、3、5。
 - 「路径 path」：从顶点 A 到顶点 B 经过的边构成的序列被称为从 A 到 B 的“路径”。在上图中，边序列 1-5-2-4 是顶点 1 到顶点 4 的一条路径。
@@ -42,7 +42,7 @@ $$

 ## 图的表示

-图的常用表示方法包括“邻接矩阵”和“邻接表”。以下使用无向图进行举例。
+图的常用表示方式包括“邻接矩阵”和“邻接表”。以下使用无向图进行举例。

 ### 邻接矩阵

@@ -62,7 +62,7 @@ $$

 ### 邻接表

-「邻接表 adjacency list」使用 $n$ 个链表来表示图，链表节点表示顶点。第 $i$ 条链表对应顶点 $i$ ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点（即与该顶点相连的顶点）。
+「邻接表 adjacency list」使用 $n$ 个链表来表示图，链表节点表示顶点。第 $i$ 条链表对应顶点 $i$ ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点（即与该顶点相连的顶点）。下图展示了一个使用邻接表存储的图的示例。

 ![图的邻接表表示](graph.assets/adjacency_list.png)

@@ -72,7 +72,7 @@ $$

 ## 图常见应用

-实际应用中，许多系统都可以用图来建模，相应的待求解问题也可以约化为图计算问题。
+如下图所示，许多现实系统都可以用图来建模，相应的问题也可以约化为图计算问题。

 <p align="center"> 表：现实生活中常见的图 </p>

@@ -4,7 +4,7 @@

 ## 基于邻接矩阵的实现

-给定一个顶点数量为 $n$ 的无向图，则有：
+给定一个顶点数量为 $n$ 的无向图，则各种操作的实现方式如下图所示。

 - **添加或删除边**：直接在邻接矩阵中修改指定的边即可，使用 $O(1)$ 时间。而由于是无向图，因此需要同时更新两个方向的边。
 - **添加顶点**：在邻接矩阵的尾部添加一行一列，并全部填 $0$ 即可，使用 $O(n)$ 时间。
@@ -102,7 +102,7 @@

 ## 基于邻接表的实现

-设无向图的顶点总数为 $n$ 、边总数为 $m$ ，则有：
+设无向图的顶点总数为 $n$ 、边总数为 $m$ ，则可根据下图所示的方法实现各种操作。

 - **添加边**：在顶点对应链表的末尾添加边即可，使用 $O(1)$ 时间。因为是无向图，所以需要同时添加两个方向的边。
 - **删除边**：在顶点对应链表中查找并删除指定边，使用 $O(m)$ 时间。在无向图中，需要同时删除两个方向的边。
@@ -205,7 +205,7 @@

 ## 效率对比

-设图中共有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边，下表为邻接矩阵和邻接表的时间和空间效率对比。
+设图中共有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边，下表对比了邻接矩阵和邻接表的时间和空间效率。

 <p align="center"> 表：邻接矩阵与邻接表对比 </p>

@@ -10,7 +10,7 @@

 ## 广度优先遍历

-**广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式，从距离最近的顶点开始访问，并一层层向外扩张**。具体来说，从某个顶点出发，先遍历该顶点的所有邻接顶点，然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点，以此类推，直至所有顶点访问完毕。
+**广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式，从某个节点出发，始终优先访问距离最近的顶点，并一层层向外扩张**。如下图所示，从左上角顶点出发，先遍历该顶点的所有邻接顶点，然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点，以此类推，直至所有顶点访问完毕。

 ![图的广度优先遍历](graph_traversal.assets/graph_bfs.png)

@@ -96,7 +96,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
    [class]{}-[func]{graph_bfs}
    ```

-代码相对抽象，建议对照以下动画图示来加深理解。
+代码相对抽象，建议对照下图来加深理解。

 === "<1>"
    ![图的广度优先遍历步骤](graph_traversal.assets/graph_bfs_step1.png)
@@ -143,13 +143,13 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这

 ## 深度优先遍历

-**深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式**。具体地，从某个顶点出发，访问当前顶点的某个邻接顶点，直到走到尽头时返回，再继续走到尽头并返回，以此类推，直至所有顶点遍历完成。
+**深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式**。如下图所示，从左上角顶点出发，访问当前顶点的某个邻接顶点，直到走到尽头时返回，再继续走到尽头并返回，以此类推，直至所有顶点遍历完成。

 ![图的深度优先遍历](graph_traversal.assets/graph_dfs.png)

 ### 算法实现

-这种“走到尽头 + 回溯”的算法形式通常基于递归来实现。与 BFS 类似，在 DFS 中我们也需要借助一个哈希表 `visited` 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。
+这种“走到尽头再返回”的算法范式通常基于递归来实现。与广度优先遍历类似，在深度优先遍历中我们也需要借助一个哈希表 `visited` 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。

 === "Java"