Update ru translation

ru/docs/chapter_backtracking/subset_sum_problem.md

@@ -1,35 +1,95 @@
-我仔细查看了提供的俄文内容，但发现这是关于"回溯算法"（Поиск с возвратом）的通用章节内容，而不是对应中文"子集和问题"（subset_sum_problem）小节的内容。
-
-俄文内容主要讲述：
-- 回溯算法的基本概念
-- 深度优先搜索
-- 尝试与回退
-- 剪枝操作
-- 代码框架
-
-而中文内容是关于：
-- 子集和问题的具体实现
-- 无重复元素的情况
-- 考虑重复元素的情况
-- 重复子集剪枝
-
-**结论：提供的俄文章节内容与中文小节内容不匹配。**
-
-要完成对齐任务，我需要：
-1. 俄文版本中对应"子集和问题"（subset_sum_problem）的具体内容
-2. 或者确认俄文版本中是否存在这个小节
-
-**建议：**
-- 请提供俄文版本中关于"子集和问题"或"Задача о сумме подмножеств"的章节内容
-- 或者提供完整的俄文 chapter_backtracking 目录结构，以便定位正确的对应内容
-
-如果俄文版本确实缺少这个小节，我可以生成如下标记：
-
-```markdown
 # Задача о сумме подмножеств
 
-<!-- 🔴 俄文版完全缺失此小节 -->
-<!-- 中文原文：子集和问题 - 包含无重复元素和考虑重复元素两种情况的完整实现 -->
+## Случай без повторяющихся элементов
+
+!!! question
+
+    Дан массив положительных целых чисел `nums` и целевое положительное целое число `target`. Найдите все возможные комбинации, сумма элементов которых равна `target`. В заданном массиве нет повторяющихся элементов, каждый элемент может быть выбран несколько раз. Верните эти комбинации в виде списка, в котором не должно быть повторяющихся комбинаций.
+
+Например, для входного множества $\{3, 4, 5\}$ и целевого числа $9$ решениями будут $\{3, 3, 3\}, \{4, 5\}$. Следует обратить внимание на следующие два момента:
+
+- элементы входного множества можно выбирать неограниченное количество раз;
+- порядок элементов в подмножестве не имеет значения, например $\{4, 5\}$ и $\{5, 4\}$ — одно и то же подмножество.
+
+### Сравнение с решением задачи о полных перестановках
+
+Подобно задаче о полных перестановках, процесс генерации подмножеств можно представить как серию выборов, а в процессе выбора в реальном времени обновлять сумму элементов. Когда сумма элементов равна `target`, подмножество записывается в список результатов.
+
+Однако, в отличие от задачи о полных перестановках, **в данной задаче элементы множества можно выбирать неограниченное количество раз**, поэтому нет необходимости использовать булев список `selected` для записи выбранных элементов. Для получения начального решения можно просто немного изменить код для полных перестановок.
+
+```src
+[file]{subset_sum_i_naive}-[class]{}-[func]{subset_sum_i_naive}
 ```
 
-请确认是否需要这样处理，或者提供正确的俄文对应内容。
+При вводе в этот код массива $[3, 4, 5]$ и целевого элемента $9$ будет выведено $[3, 3, 3], [4, 5], [5, 4]$. **Хотя удалось найти все подмножества с суммой $9$, среди них есть повторяющиеся подмножества $[4, 5]$ и $[5, 4]$**.
+
+Это происходит потому, что процесс поиска различает порядок выбора, тогда как в подмножествах порядок элементов не важен. Как показано на рисунке ниже, сначала выбрать $4$, а затем $5$ и сначала выбрать $5$, а затем $4$ — это разные ветви, но они соответствуют одному и тому же подмножеству.
+
+![Поиск подмножеств и обрезка по превышению целевого значения](subset_sum_problem.assets/subset_sum_i_naive.png)
+
+**Одним из очевидных подходов к устранению повторяющихся подмножеств является удаление дубликатов из списка результатов**. Однако этот метод очень неэффективен по двум причинам:
+
+- Когда в массиве много элементов, особенно когда значение `target` велико, процесс поиска генерирует множество повторяющихся подмножеств.
+- Сравнение подмножеств (массивов) на различия — очень затратная по времени операция. Она требует сначала сортировки массивов, затем сравнения различий каждого элемента в массиве.
+
+### Обрезка повторяющихся подмножеств
+
+**Рассмотрим устранение дубликатов в процессе поиска с помощью обрезки**. На рисунке ниже показано, что повторяющиеся подмножества возникают при выборе элементов массива в разном порядке, например в следующих случаях:
+
+1. Пусть на первом и втором этапах выбираются $3$ и $4$ соответственно, создаются все подмножества, содержащие эти два элемента, обозначенные как $[3, 4, \dots]$.
+2. Затем если на первом этапе выбирается $4$, **то на втором этапе следует пропустить $3$**, так как подмножество $[4, 3, \dots]$ полностью повторяет подмножество, созданное на этапе `1.`.
+
+В процессе поиска выбор на каждом уровне осуществляется слева направо. Поэтому чем правее ветвь, тем больше она обрезается.
+
+1. На первых двух этапах выбираются $3$ и $5$ и создаются подмножества $[3, 5, \dots]$.
+2. На первых двух этапах выбираются $4$ и $5$ и создаются подмножества $[4, 5, \dots]$.
+3. Если на первом этапе выбирается $5$, **то на втором этапе следует пропустить $3$ и $4$**, так как подмножества $[5, 3, \dots]$ и $[5, 4, \dots]$ полностью повторяют подмножества, описанные на этапах `1.` и `2.`.
+
+![Повторяющиеся подмножества, полученные в результате различного порядка выбора](subset_sum_problem.assets/subset_sum_i_pruning.png)
+
+Обобщим эту мысль. Пусть задан входной массив $[x_1, x_2, \dots, x_n]$. Тогда в процессе поиска последовательность выбора $[x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_m}]$ должна удовлетворять условию $i_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m$, **в противном случае она приведет к дубликатам, и ее нужно обрезать**.
+
+### Код реализации
+
+Для реализации этой обрезки мы инициализируем переменную `start`, которая указывает начальную точку обхода. **После выбора $x_{i}$ следующая итерация начинается с индекса $i$**. Это позволяет для последовательности выбора соблюдать условие $i_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m$, обеспечивая уникальность подмножеств.
+
+Кроме того, в код были внесены следующие две оптимизации:
+
+- Перед началом поиска массив `nums` сортируется. При обходе всех вариантов, **если сумма подмножества превышает `target`, цикл завершается**, так как последующие элементы больше, и их сумма также превысит `target`.
+- Исключение переменной `total`, **подсчет суммы элементов осуществляется с помощью вычитания из `target`**. Решение фиксируется, когда `target` равен $0$.
+
+```src
+[file]{subset_sum_i}-[class]{}-[func]{subset_sum_i}
+```
+
+На рисунке ниже показан полный процесс поиска с возвратом для массива $[3, 4, 5]$ и целевого элемента $9$.
+
+![Процесс поиска с возвратом для реализации задачи о сумме подмножеств I](subset_sum_problem.assets/subset_sum_i.png)
+
+## Случай с повторяющимися элементами
+
+!!! question
+
+    Дан массив положительных целых чисел `nums` и целевое положительное целое число `target`. Найдите все возможные комбинации, сумма элементов которых равна `target`. **Заданный массив может содержать повторяющиеся элементы, каждый элемент может быть выбран только один раз**. Верните эти комбинации в виде списка, в котором не должно быть повторяющихся комбинаций.
+
+В отличие от предыдущей задачи **входной массив может содержать повторяющиеся элементы**, что создает новую проблему. Например, для массива $[4, \hat{4}, 5]$ и целевого элемента $9$ текущий код выдает результат $[4, 5], [\hat{4}, 5]$, что приводит к повторяющимся подмножествам.
+
+**Причина этих повторов в том, что равные элементы выбираются несколько раз на одном этапе**. На рисунке ниже показано, что на первом этапе есть три варианта выбора, два из которых равны $4$. Это приводит к двум повторяющимся ветвям поиска и, следовательно, к повторяющимся подмножествам. Аналогично два элемента $4$ на втором этапе также создают повторяющиеся подмножества.
+
+![Повторяющиеся подмножества из-за равных элементов](subset_sum_problem.assets/subset_sum_ii_repeat.png)
+
+### Обрезка равных элементов
+
+Для решения этой проблемы **необходимо сделать выбор равных элементов на каждом этапе однократным**. Реализация этого подхода довольно изящна: поскольку массив отсортирован, равные элементы находятся рядом друг с другом. Это означает, что если текущий элемент равен предыдущему, то он уже был выбран, и его следует пропустить.
+
+В то же время **в этой задаче предусмотрено, что каждый элемент массива может быть выбран только один раз**. К счастью, можно использовать переменную `start` для выполнения этого ограничения: после выбора $x_{i}$ начинаем следующий цикл с индекса $i + 1$. Это позволяет исключить повторяющиеся подмножества и избежать повторного выбора элементов.
+
+### Код реализации
+
+```src
+[file]{subset_sum_ii}-[class]{}-[func]{subset_sum_ii}
+```
+
+На рисунке ниже демонстрируется процесс обратного отслеживания для массива $[4, 4, 5]$ и целевого элемента $9$, включающий четыре вида обрезки. Проанализируйте рисунок и комментарии в коде, чтобы лучше понять весь процесс поиска и как работают различные операции обрезки.
+
+![Процесс поиска с возвратом для реализации задачи о сумме подмножеств II](subset_sum_problem.assets/subset_sum_ii.png)