xinyin025/hello-algo
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2023-02-26 01:51:44 +08:00
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commit 1a6a6b0342
12 changed files with 238 additions and 167 deletions
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chapter_tree/avl_tree.md
+12 -12
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@@ -8,11 +8,11 @@ comments: true
如下图所示，执行两步删除结点后，该二叉搜索树就会退化为链表。
![degradation_from_removing_node](avl_tree.assets/degradation_from_removing_node.png)
![avltree_degradation_from_removing_node](avl_tree.assets/avltree_degradation_from_removing_node.png)
再比如，在以下完美二叉树中插入两个结点后，树严重向左偏斜，查找操作的时间复杂度也随之发生劣化。
![degradation_from_inserting_node](avl_tree.assets/degradation_from_inserting_node.png)
![avltree_degradation_from_inserting_node](avl_tree.assets/avltree_degradation_from_inserting_node.png)
G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「AVL 树」。**论文中描述了一系列操作，使得在不断添加与删除结点后，AVL 树仍然不会发生退化**，进而使得各种操作的时间复杂度均能保持在 $O(\log n)$ 级别。
@@ -455,20 +455,20 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
如下图所示（结点下方为「平衡因子」），从底至顶看，二叉树中首个失衡结点是 **结点 3**。我们聚焦在以该失衡结点为根结点的子树上，将该结点记为 `node` ，将其左子结点记为 `child` ，执行「右旋」操作。完成右旋后，该子树已经恢复平衡，并且仍然为二叉搜索树。
=== "<1>"
![right_rotate_step1](avl_tree.assets/right_rotate_step1.png)
![avltree_right_rotate_step1](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_step1.png)
=== "<2>"
![right_rotate_step2](avl_tree.assets/right_rotate_step2.png)
![avltree_right_rotate_step2](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_step2.png)
=== "<3>"
![right_rotate_step3](avl_tree.assets/right_rotate_step3.png)
![avltree_right_rotate_step3](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_step3.png)
=== "<4>"
![right_rotate_step4](avl_tree.assets/right_rotate_step4.png)
![avltree_right_rotate_step4](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_step4.png)
进而，如果结点 `child` 本身有右子结点（记为 `grandChild` ），则需要在「右旋」中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的左子结点。
![right_rotate_with_grandchild](avl_tree.assets/right_rotate_with_grandchild.png)
![avltree_right_rotate_with_grandchild](avl_tree.assets/avltree_right_rotate_with_grandchild.png)
“向右旋转”是一种形象化的说法，实际需要通过修改结点指针实现，代码如下所示。
@@ -644,11 +644,11 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
类似地，如果将取上述失衡二叉树的“镜像”，那么则需要「左旋」操作。
![left_rotate](avl_tree.assets/left_rotate.png)
![avltree_left_rotate](avl_tree.assets/avltree_left_rotate.png)
同理，若结点 `child` 本身有左子结点（记为 `grandChild` ），则需要在「左旋」中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的右子结点。
![left_rotate_with_grandchild](avl_tree.assets/left_rotate_with_grandchild.png)
![avltree_left_rotate_with_grandchild](avl_tree.assets/avltree_left_rotate_with_grandchild.png)
观察发现，**「左旋」和「右旋」操作是镜像对称的，两者对应解决的两种失衡情况也是对称的**。根据对称性，我们可以很方便地从「右旋」推导出「左旋」。具体地，只需将「右旋」代码中的把所有的 `left` 替换为 `right` 、所有的 `right` 替换为 `left` ，即可得到「左旋」代码。
@@ -824,19 +824,19 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
对于下图的失衡结点 3 ，**单一使用左旋或右旋都无法使子树恢复平衡**，此时需要「先左旋后右旋」，即先对 `child` 执行「左旋」，再对 `node` 执行「右旋」。
![left_right_rotate](avl_tree.assets/left_right_rotate.png)
![avltree_left_right_rotate](avl_tree.assets/avltree_left_right_rotate.png)
### Case 4 - 先右后左
同理，取以上失衡二叉树的镜像，则需要「先右旋后左旋」，即先对 `child` 执行「右旋」，然后对 `node` 执行「左旋」。
![right_left_rotate](avl_tree.assets/right_left_rotate.png)
![avltree_right_left_rotate](avl_tree.assets/avltree_right_left_rotate.png)
### 旋转的选择
下图描述的四种失衡情况与上述 Cases 逐个对应，分别需采用 **右旋、左旋、先右后左、先左后右** 的旋转操作。
![rotation_cases](avl_tree.assets/rotation_cases.png)
![avltree_rotation_cases](avl_tree.assets/avltree_rotation_cases.png)
具体地，在代码中使用 **失衡结点的平衡因子、较高一侧子结点的平衡因子** 来确定失衡结点属于上图中的哪种情况。
chapter_tree/binary_search_tree.md
+8 -8
View File
@@ -22,16 +22,16 @@ comments: true
- 若 `cur.val = num` ，说明找到目标结点，跳出循环并返回该结点即可；
=== "<1>"
![bst_search_1](binary_search_tree.assets/bst_search_1.png)
![bst_search_step1](binary_search_tree.assets/bst_search_step1.png)
=== "<2>"
![bst_search_2](binary_search_tree.assets/bst_search_2.png)
![bst_search_step2](binary_search_tree.assets/bst_search_step2.png)
=== "<3>"
![bst_search_3](binary_search_tree.assets/bst_search_3.png)
![bst_search_step3](binary_search_tree.assets/bst_search_step3.png)
=== "<4>"
![bst_search_4](binary_search_tree.assets/bst_search_4.png)
![bst_search_step4](binary_search_tree.assets/bst_search_step4.png)
二叉搜索树的查找操作和二分查找算法如出一辙，也是在每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 $O(\log n)$ 时间。
@@ -562,16 +562,16 @@ comments: true
3. 使用 `nex` 替换待删除结点；
=== "<1>"
![bst_remove_case3_1](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_1.png)
![bst_remove_case3_step1](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step1.png)
=== "<2>"
![bst_remove_case3_2](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_2.png)
![bst_remove_case3_step2](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step2.png)
=== "<3>"
![bst_remove_case3_3](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_3.png)
![bst_remove_case3_step3](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step3.png)
=== "<4>"
![bst_remove_case3_4](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_4.png)
![bst_remove_case3_step4](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step4.png)
删除结点操作也使用 $O(\log n)$ 时间，其中查找待删除结点 $O(\log n)$ ，获取中序遍历后继结点 $O(\log n)$ 。