mirror of
https://github.com/krahets/hello-algo.git
synced 2026-08-17 14:10:57 +00:00
fix Ru translation (#1894)
* docs(ru): replace prose quotes with guillemets * docs(ru): replace prose semicolons with periods * docs(ru): align animation title forms * docs(ru): align figure and table references
This commit is contained in:
Yudong Jin
@@ -2,13 +2,13 @@
|
||||
|
||||
<u>Алгоритм поиска с возвратом (backtracking algorithm)</u> - это метод решения задач путем полного перебора. Его основная идея состоит в том, чтобы, начиная с некоторого исходного состояния, грубо перебрать все возможные решения, записывать корректные решения и продолжать поиск до тех пор, пока решение не будет найдено или пока не будут исчерпаны все возможные варианты.
|
||||
|
||||
Обычно алгоритмы поиска с возвратом используют обход в глубину для обхода пространства решений. В главе "Бинарные деревья" мы уже упоминали, что прямой, симметричный и обратный обходы относятся к обходу в глубину. Теперь мы на основе прямого обхода построим задачу поиска с возвратом и постепенно разберем принцип работы этого алгоритма.
|
||||
Обычно алгоритмы поиска с возвратом используют обход в глубину для обхода пространства решений. В главе «Бинарные деревья» мы уже упоминали, что прямой, симметричный и обратный обходы относятся к обходу в глубину. Теперь мы на основе прямого обхода построим задачу поиска с возвратом и постепенно разберем принцип работы этого алгоритма.
|
||||
|
||||
!!! question "Пример 1"
|
||||
|
||||
Дано двоичное дерево. Найдите и запишите все узлы со значением $7$ ; верните список этих узлов.
|
||||
Дано двоичное дерево. Найдите и запишите все узлы со значением $7$. Верните список этих узлов.
|
||||
|
||||
Для этой задачи мы выполняем прямой обход дерева и проверяем, равно ли значение текущего узла $7$ ; если да, то добавляем значение этого узла в список результатов `res` . Соответствующий процесс показан на рисунке ниже и в коде:
|
||||
Для этой задачи мы выполняем прямой обход дерева и проверяем, равно ли значение текущего узла $7$. Если да, то добавляем значение этого узла в список результатов `res` . Соответствующий процесс показан на рисунке ниже и в коде:
|
||||
|
||||
```src
|
||||
[file]{preorder_traversal_i_compact}-[class]{}-[func]{pre_order}
|
||||
@@ -18,9 +18,9 @@
|
||||
|
||||
## Попытка и откат
|
||||
|
||||
**Алгоритм называется поиском с возвратом, потому что при поиске в пространстве решений он использует стратегию "попытка" и "откат"**. Когда в процессе поиска алгоритм приходит в состояние, из которого нельзя двигаться дальше или нельзя получить удовлетворяющее условиям решение, он отменяет предыдущий выбор, возвращается к более раннему состоянию и пробует другие возможные варианты.
|
||||
**Алгоритм называется поиском с возвратом, потому что при поиске в пространстве решений он использует стратегию «попытка» и «откат»**. Когда в процессе поиска алгоритм приходит в состояние, из которого нельзя двигаться дальше или нельзя получить удовлетворяющее условиям решение, он отменяет предыдущий выбор, возвращается к более раннему состоянию и пробует другие возможные варианты.
|
||||
|
||||
Для примера 1 посещение каждого узла представляет собой "попытку", а прохождение листового узла или возврат к родителю через `return` означает "откат".
|
||||
Для примера 1 посещение каждого узла представляет собой «попытку», а прохождение листового узла или возврат к родителю через `return` означает «откат».
|
||||
|
||||
Важно понимать, что **откат не сводится только к возврату из функции**. Чтобы показать это, слегка расширим пример 1.
|
||||
|
||||
@@ -34,9 +34,9 @@
|
||||
[file]{preorder_traversal_ii_compact}-[class]{}-[func]{pre_order}
|
||||
```
|
||||
|
||||
В каждой "попытке" мы добавляем текущий узел в `path` , чтобы записать путь; а перед "откатом" нам нужно удалить этот узел из `path` , **чтобы восстановить состояние, существовавшее до текущей попытки**.
|
||||
В каждой «попытке» мы добавляем текущий узел в `path` , чтобы записать путь. А перед «откатом» нам нужно удалить этот узел из `path` , **чтобы восстановить состояние, существовавшее до текущей попытки**.
|
||||
|
||||
Если посмотреть на процесс, изображенный на рисунке ниже, **то попытку и откат можно понимать как "движение вперед" и "отмену"**: это два взаимно противоположных действия.
|
||||
Если посмотреть на процесс, изображенный на рисунке ниже, **то попытку и откат можно понимать как «движение вперед» и «отмену»**: это два взаимно противоположных действия.
|
||||
|
||||
=== "<1>"
|
||||
|
||||
@@ -73,7 +73,7 @@
|
||||
|
||||
## Обрезка
|
||||
|
||||
Сложные задачи поиска с возвратом обычно содержат одно или несколько ограничений, **которые часто можно использовать для "обрезки"**.
|
||||
Сложные задачи поиска с возвратом обычно содержат одно или несколько ограничений, **которые часто можно использовать для «обрезки»**.
|
||||
|
||||
!!! question "Пример 3"
|
||||
|
||||
@@ -85,13 +85,13 @@
|
||||
[file]{preorder_traversal_iii_compact}-[class]{}-[func]{pre_order}
|
||||
```
|
||||
|
||||
Термин "обрезка" очень нагляден. Как показано на рисунке ниже, во время поиска **мы отсекаем ветви, не удовлетворяющие ограничениям** , тем самым избегая множества бессмысленных попыток и повышая эффективность поиска.
|
||||
Термин «обрезка» очень нагляден. Как показано на рисунке ниже, во время поиска **мы отсекаем ветви, не удовлетворяющие ограничениям** , тем самым избегая множества бессмысленных попыток и повышая эффективность поиска.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
## Каркас кода
|
||||
|
||||
Теперь попробуем извлечь общий каркас из действий "попытка", "откат" и "обрезка", чтобы сделать код более универсальным.
|
||||
Теперь попробуем извлечь общий каркас из действий «попытка», «откат» и «обрезка», чтобы сделать код более универсальным.
|
||||
|
||||
В следующем каркасе кода `state` обозначает текущее состояние задачи, а `choices` - список выборов, доступных в текущем состоянии:
|
||||
|
||||
@@ -449,7 +449,7 @@
|
||||
|
||||
| Термин | Определение | Пример 3 |
|
||||
| ------------------------ | -------------------------------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------------- |
|
||||
| Решение (solution) | Решение - это ответ, удовлетворяющий условиям задачи; решений может быть одно или несколько | Все пути от корня до узла $7$ , удовлетворяющие ограничениям |
|
||||
| Решение (solution) | Решение - это ответ, удовлетворяющий условиям задачи. Решений может быть одно или несколько | Все пути от корня до узла $7$ , удовлетворяющие ограничениям |
|
||||
| Ограничение (constraint) | Ограничение определяет допустимость решения и обычно используется для обрезки | Путь не содержит узлы со значением $3$ |
|
||||
| Состояние (state) | Состояние описывает ситуацию задачи в некоторый момент времени, включая уже сделанные выборы | Текущий путь посещенных узлов, то есть список узлов `path` |
|
||||
| Попытка (attempt) | Попытка - это исследование пространства решений на основе доступных выборов, включая выбор, обновление состояния и проверку, является ли состояние решением | Рекурсивный переход к левому или правому потомку, добавление узла в `path` и проверка, равно ли значение узла $7$ |
|
||||
@@ -458,7 +458,7 @@
|
||||
|
||||
!!! tip
|
||||
|
||||
Такие понятия, как задача, решение и состояние, являются общими и встречаются не только в поиске с возвратом, но и в "разделяй и властвуй", динамическом программировании, жадных алгоритмах и других темах.
|
||||
Такие понятия, как задача, решение и состояние, являются общими и встречаются не только в поиске с возвратом, но и в «разделяй и властвуй», динамическом программировании, жадных алгоритмах и других темах.
|
||||
|
||||
## Преимущества и ограничения
|
||||
|
||||
@@ -481,23 +481,23 @@
|
||||
**Поисковые задачи**: целью таких задач является поиск решений, удовлетворяющих определенным условиям.
|
||||
|
||||
- Задача о перестановках: дано множество, требуется найти все возможные перестановки его элементов.
|
||||
- Задача о сумме подмножеств: даны множество и целевая сумма; нужно найти все подмножества, сумма элементов которых равна целевой.
|
||||
- Задача о Ханойской башне: даны три стержня и набор дисков разного размера; требуется перенести все диски с одного стержня на другой, перемещая за раз только один диск и не помещая больший диск на меньший.
|
||||
- Задача о сумме подмножеств: даны множество и целевая сумма. Нужно найти все подмножества, сумма элементов которых равна целевой.
|
||||
- Задача о Ханойской башне: даны три стержня и набор дисков разного размера. Требуется перенести все диски с одного стержня на другой, перемещая за раз только один диск и не помещая больший диск на меньший.
|
||||
|
||||
**Задачи удовлетворения ограничений**: целью таких задач является поиск решений, удовлетворяющих всем ограничениям.
|
||||
|
||||
- Задача о $n$ ферзях: разместить $n$ ферзей на шахматной доске размера $n \times n$ так, чтобы они не атаковали друг друга.
|
||||
- Судоку: заполнить сетку $9 \times 9$ числами от $1$ до $9$ так, чтобы в каждой строке, каждом столбце и каждом блоке $3 \times 3$ числа не повторялись.
|
||||
- Задача раскраски графа: дан неориентированный граф; требуется раскрасить его вершины минимальным числом цветов так, чтобы соседние вершины имели разные цвета.
|
||||
- Задача раскраски графа: дан неориентированный граф. Требуется раскрасить его вершины минимальным числом цветов так, чтобы соседние вершины имели разные цвета.
|
||||
|
||||
**Задачи комбинаторной оптимизации**: целью таких задач является поиск оптимального решения в некотором комбинаторном пространстве при заданных ограничениях.
|
||||
|
||||
- Задача о рюкзаке 0-1: даны набор предметов и рюкзак; у каждого предмета есть ценность и вес, и нужно выбрать предметы так, чтобы при ограниченной вместимости рюкзака суммарная ценность была максимальной.
|
||||
- Задача о рюкзаке 0-1: даны набор предметов и рюкзак. У каждого предмета есть ценность и вес, и нужно выбрать предметы так, чтобы при ограниченной вместимости рюкзака суммарная ценность была максимальной.
|
||||
- Задача коммивояжера: начиная из некоторой вершины графа, требуется посетить все остальные вершины ровно по одному разу и вернуться в исходную вершину, найдя при этом кратчайший путь.
|
||||
- Задача о максимальной клике: дан неориентированный граф; требуется найти в нем максимальный полный подграф, то есть подграф, в котором любая пара вершин соединена ребром.
|
||||
- Задача о максимальной клике: дан неориентированный граф. Требуется найти в нем максимальный полный подграф, то есть подграф, в котором любая пара вершин соединена ребром.
|
||||
|
||||
Стоит отметить: для многих задач комбинаторной оптимизации поиск с возвратом не является оптимальным способом решения.
|
||||
|
||||
- Задача о рюкзаке 0-1 обычно решается с помощью динамического программирования, что дает более высокую временную эффективность.
|
||||
- Задача коммивояжера является известной NP-Hard задачей; для ее решения часто используют генетические алгоритмы, муравьиные алгоритмы и другие методы.
|
||||
- Задача коммивояжера является известной NP-Hard задачей. Для ее решения часто используют генетические алгоритмы, муравьиные алгоритмы и другие методы.
|
||||
- Задача о максимальной клике является классической задачей теории графов и может решаться жадными и другими эвристическими алгоритмами.
|
||||
|
||||
@@ -5,5 +5,5 @@
|
||||
!!! abstract
|
||||
|
||||
Мы словно исследователи в лабиринте: на пути вперед могут встречаться тупики и трудности.
|
||||
|
||||
|
||||
Сила возврата позволяет нам начать заново, пробовать снова и снова и в конце концов найти выход к свету.
|
||||
|
||||
@@ -2,7 +2,7 @@
|
||||
|
||||
!!! question
|
||||
|
||||
Согласно правилам шахмат ферзь может атаковать фигуры, находящиеся с ним на одной строке, в одном столбце или на одной диагонали. Даны $n$ ферзей и шахматная доска размера $n \times n$ ; требуется найти такие расстановки, при которых ни одна пара ферзей не может атаковать друг друга.
|
||||
Согласно правилам шахмат ферзь может атаковать фигуры, находящиеся с ним на одной строке, в одном столбце или на одной диагонали. Даны $n$ ферзей и шахматная доска размера $n \times n$. Требуется найти такие расстановки, при которых ни одна пара ферзей не может атаковать друг друга.
|
||||
|
||||
Как показано на рисунке ниже, при $n = 4$ существует два решения. С точки зрения поиска с возвратом доска размера $n \times n$ содержит $n^2$ клеток, которые образуют все возможные выборы `choices` . По мере поочередного размещения ферзей состояние доски непрерывно меняется, и текущее содержимое доски образует состояние `state` .
|
||||
|
||||
@@ -18,7 +18,7 @@
|
||||
|
||||
Иначе говоря, можно использовать построчную стратегию: начиная с первой строки, размещать по одному ферзю в каждой строке, пока не будет достигнута последняя.
|
||||
|
||||
На рисунке ниже показан процесс построчного размещения для задачи о 4 ферзях. Из-за ограничений размера изображения на нем раскрыта только одна ветвь поиска для первой строки, а все варианты, не удовлетворяющие ограничениям по столбцам и диагоналям, были отсечены.
|
||||
На рисунке ниже показан процесс построчного размещения для задачи о 4 ферзях. Из-за ограничений размера изображения на рисунке ниже показана лишь одна ветвь поиска для первой строки, а все варианты, не удовлетворяющие ограничениям по столбцам и диагоналям, были отсечены.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
@@ -18,7 +18,7 @@
|
||||
|
||||
Дан массив целых чисел, в котором нет повторяющихся элементов. Верните все возможные перестановки.
|
||||
|
||||
С точки зрения поиска с возвратом **процесс построения перестановок можно представить как результат последовательности выборов**. Пусть входной массив равен $[1, 2, 3]$ ; если мы сначала выберем $1$ , затем $3$ , а потом $2$ , то получим перестановку $[1, 3, 2]$ . Откат здесь означает отмену одного из выборов с последующей попыткой других вариантов.
|
||||
С точки зрения поиска с возвратом **процесс построения перестановок можно представить как результат последовательности выборов**. Пусть входной массив равен $[1, 2, 3]$. Если мы сначала выберем $1$ , затем $3$ , а потом $2$ , то получим перестановку $[1, 3, 2]$ . Откат здесь означает отмену одного из выборов с последующей попыткой других вариантов.
|
||||
|
||||
С точки зрения кода поиска с возвратом множество кандидатов `choices` состоит из всех элементов входного массива, а состояние `state` - из элементов, уже выбранных к текущему моменту. Поскольку каждый элемент разрешено выбирать только один раз, **все элементы в `state` должны быть уникальны**.
|
||||
|
||||
@@ -37,11 +37,11 @@
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Из рисунка видно, что такая обрезка уменьшает размер пространства поиска с $O(n^n)$ до $O(n!)$ .
|
||||
Как видно на рисунке выше, такая обрезка уменьшает размер пространства поиска с $O(n^n)$ до $O(n!)$ .
|
||||
|
||||
### Реализация кода
|
||||
|
||||
После прояснения всей логики можно просто "заполнить пропуски" в шаблоне поиска с возвратом. Чтобы сократить общий объем кода, мы не будем отдельно реализовывать каждую функцию из каркаса, а раскроем их прямо внутри `backtrack()` :
|
||||
После прояснения всей логики можно просто «заполнить пропуски» в шаблоне поиска с возвратом. Чтобы сократить общий объем кода, мы не будем отдельно реализовывать каждую функцию из каркаса, а раскроем их прямо внутри `backtrack()` :
|
||||
|
||||
```src
|
||||
[file]{permutations_i}-[class]{}-[func]{permutations_i}
|
||||
@@ -63,7 +63,7 @@
|
||||
|
||||
### Обрезка равных элементов
|
||||
|
||||
Посмотрите на рисунок ниже: в первом раунде выбрать $1$ или выбрать $\hat{1}$ - это одно и то же, а значит, все перестановки, полученные из этих двух выборов, будут дублироваться. Поэтому ветвь $\hat{1}$ нужно отсечь.
|
||||
Как видно на рисунке ниже, в первом раунде выбрать $1$ или выбрать $\hat{1}$ - это одно и то же, а значит, все перестановки, полученные из этих двух выборов, будут дублироваться. Поэтому ветвь $\hat{1}$ нужно отсечь.
|
||||
|
||||
Точно так же, если в первом раунде выбрать $2$ , то во втором раунде выборы $1$ и $\hat{1}$ снова создадут дублирующиеся ветви, поэтому и в этом случае ветвь $\hat{1}$ нужно отсечь.
|
||||
|
||||
@@ -79,7 +79,7 @@
|
||||
[file]{permutations_ii}-[class]{}-[func]{permutations_ii}
|
||||
```
|
||||
|
||||
Если предположить, что все элементы попарно различны, то из $n$ элементов можно получить $n!$ перестановок; при записи результата требуется копировать список длины $n$ , что занимает $O(n)$ времени. **Следовательно, временная сложность равна $O(n!n)$** .
|
||||
Если предположить, что все элементы попарно различны, то из $n$ элементов можно получить $n!$ перестановок. При записи результата требуется копировать список длины $n$ , что занимает $O(n)$ времени. **Следовательно, временная сложность равна $O(n!n)$** .
|
||||
|
||||
Максимальная глубина рекурсии равна $n$ , что требует $O(n)$ стековой памяти. Массив `selected` занимает $O(n)$ пространства. Одновременно может существовать до $n$ хеш-множеств `duplicated` , что дает $O(n^2)$ памяти. **Следовательно, пространственная сложность равна $O(n^2)$** .
|
||||
|
||||
|
||||
@@ -4,7 +4,7 @@
|
||||
|
||||
!!! question
|
||||
|
||||
Дан массив положительных целых чисел `nums` и целое положительное значение `target` . Найдите все возможные комбинации, сумма элементов которых равна `target` . Во входном массиве нет повторяющихся элементов, и каждый элемент можно выбирать неограниченное число раз. Верните эти комбинации в виде списка; в результате не должно быть повторяющихся комбинаций.
|
||||
Дан массив положительных целых чисел `nums` и целое положительное значение `target` . Найдите все возможные комбинации, сумма элементов которых равна `target` . Во входном массиве нет повторяющихся элементов, и каждый элемент можно выбирать неограниченное число раз. Верните эти комбинации в виде списка. В результате не должно быть повторяющихся комбинаций.
|
||||
|
||||
Например, для входного множества $\{3, 4, 5\}$ и целевого значения $9$ решениями будут $\{3, 3, 3\}$ и $\{4, 5\}$ . При этом важно учитывать два обстоятельства.
|
||||
|
||||
@@ -13,7 +13,7 @@
|
||||
|
||||
### Отталкиваемся от решения задачи о перестановках
|
||||
|
||||
Как и в задаче о перестановках, можно представлять построение подмножеств как результат последовательности выборов и во время выбора динамически обновлять "сумму элементов"; когда эта сумма становится равной `target` , соответствующее подмножество записывается в список результатов.
|
||||
Как и в задаче о перестановках, можно представлять построение подмножеств как результат последовательности выборов и во время выбора динамически обновлять «сумму элементов». Когда эта сумма становится равной `target` , соответствующее подмножество записывается в список результатов.
|
||||
|
||||
Однако в отличие от задачи о перестановках **в этой задаче элементы множества можно выбирать неограниченное число раз**, поэтому нам не нужен булев список `selected` для записи того, был ли выбран элемент. Можно слегка изменить код для перестановок и получить первоначальную версию решения:
|
||||
|
||||
@@ -34,7 +34,7 @@
|
||||
|
||||
### Обрезка повторяющихся подмножеств
|
||||
|
||||
**Поэтому стоит выполнять устранение дубликатов прямо во время поиска, с помощью обрезки**. Посмотрите на рисунок ниже: повторяющиеся подмножества возникают тогда, когда элементы массива выбираются в разном порядке, например так.
|
||||
**Поэтому стоит выполнять устранение дубликатов прямо во время поиска, с помощью обрезки**. Как видно на рисунке ниже, повторяющиеся подмножества возникают тогда, когда элементы массива выбираются в разном порядке, например так.
|
||||
|
||||
1. Если в первом и втором раундах выбрать соответственно $3$ и $4$ , то будут сгенерированы все подмножества, содержащие эти два элемента, и их можно обозначить как $[3, 4, \dots]$ .
|
||||
2. После этого, если в первом раунде выбрать $4$ , **то во втором раунде нужно пропустить $3$** , потому что подмножества $[4, 3, \dots]$ полностью дублируют подмножества, уже построенные на шаге `1.` .
|
||||
@@ -47,7 +47,7 @@
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
В общем виде, если входной массив имеет вид $[x_1, x_2, \dots, x_n]$ , а последовательность выборов в ходе поиска равна $[x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_m}]$ , то она должна удовлетворять условию $i_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m$ ; **все последовательности выборов, не удовлетворяющие этому условию, приводят к дубликатам и должны отсекаться**.
|
||||
В общем виде, если входной массив имеет вид $[x_1, x_2, \dots, x_n]$ , а последовательность выборов в ходе поиска равна $[x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_m}]$ , то она должна удовлетворять условию $i_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m$. **Все последовательности выборов, не удовлетворяющие этому условию, приводят к дубликатам и должны отсекаться**.
|
||||
|
||||
### Реализация кода
|
||||
|
||||
@@ -56,7 +56,7 @@
|
||||
Помимо этого, мы внесем в код еще два улучшения.
|
||||
|
||||
- Перед началом поиска отсортируем массив `nums` . Тогда при обходе всех вариантов **можно сразу прервать цикл, как только сумма подмножества превысит `target`** , потому что все последующие элементы будут еще больше и их сумма тоже превысит `target` .
|
||||
- Откажемся от отдельной переменной суммы `total` и **будем учитывать сумму через вычитание из `target`** ; когда `target` станет равным $0$ , решение фиксируется.
|
||||
- Откажемся от отдельной переменной суммы `total` и **будем учитывать сумму через вычитание из `target`**. Когда `target` станет равным $0$ , решение фиксируется.
|
||||
|
||||
```src
|
||||
[file]{subset_sum_i}-[class]{}-[func]{subset_sum_i}
|
||||
@@ -70,11 +70,11 @@
|
||||
|
||||
!!! question
|
||||
|
||||
Дан массив положительных целых чисел `nums` и целое положительное значение `target` . Найдите все возможные комбинации, сумма элементов которых равна `target` . **Во входном массиве могут присутствовать повторяющиеся элементы, и каждый элемент разрешено выбирать только один раз**. Верните эти комбинации в виде списка; в результате не должно быть повторяющихся комбинаций.
|
||||
Дан массив положительных целых чисел `nums` и целое положительное значение `target` . Найдите все возможные комбинации, сумма элементов которых равна `target` . **Во входном массиве могут присутствовать повторяющиеся элементы, и каждый элемент разрешено выбирать только один раз**. Верните эти комбинации в виде списка. В результате не должно быть повторяющихся комбинаций.
|
||||
|
||||
По сравнению с предыдущей задачей **во входном массиве теперь могут присутствовать повторяющиеся элементы**, и это создает новую проблему. Например, если дан массив $[4, \hat{4}, 5]$ и целевое значение $9$ , то существующий код вернет результат $[4, 5], [\hat{4}, 5]$ , то есть с повторяющимся подмножеством.
|
||||
|
||||
**Причина появления дублей в том, что равные элементы выбираются несколько раз в одном и том же раунде**. На рисунке ниже в первом раунде существует три варианта выбора, и два из них равны $4$ ; из-за этого появляются две дублирующиеся ветви поиска и, соответственно, повторяющиеся подмножества. Точно так же два элемента $4$ во втором раунде тоже порождают дубликаты.
|
||||
**Причина появления дублей в том, что равные элементы выбираются несколько раз в одном и том же раунде**. На рисунке ниже в первом раунде существует три варианта выбора, и два из них равны $4$. Из-за этого появляются две дублирующиеся ветви поиска и, соответственно, повторяющиеся подмножества. Точно так же два элемента $4$ во втором раунде тоже порождают дубликаты.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
@@ -3,11 +3,11 @@
|
||||
### Ключевые выводы
|
||||
|
||||
- Алгоритм поиска с возвратом по своей сути является методом полного перебора: он ищет решения путем обхода пространства решений в глубину. Во время поиска он фиксирует решения, удовлетворяющие условиям, пока не найдет все такие решения или пока обход не завершится.
|
||||
- Процесс поиска с возвратом состоит из двух частей: попытки и отката. Он с помощью поиска в глубину пробует разные варианты выбора; когда встречается состояние, не удовлетворяющее ограничениям, алгоритм отменяет предыдущий выбор, возвращается к прошлому состоянию и продолжает пробовать другие варианты. Попытка и откат являются двумя противоположными по направлению действиями.
|
||||
- Процесс поиска с возвратом состоит из двух частей: попытки и отката. Он с помощью поиска в глубину пробует разные варианты выбора. Когда встречается состояние, не удовлетворяющее ограничениям, алгоритм отменяет предыдущий выбор, возвращается к прошлому состоянию и продолжает пробовать другие варианты. Попытка и откат являются двумя противоположными по направлению действиями.
|
||||
- Задачи поиска с возвратом обычно содержат несколько ограничений, которые можно использовать для обрезки. Обрезка позволяет заранее завершать ненужные ветви поиска и тем самым значительно повышать эффективность.
|
||||
- Алгоритм поиска с возвратом в первую очередь применяется для решения поисковых задач и задач с ограничениями. Задачи комбинаторной оптимизации тоже можно решать с его помощью, но для них часто существуют более эффективные или более подходящие методы.
|
||||
- Задача о перестановках нацелена на поиск всех возможных перестановок элементов данного множества. Мы используем массив для записи того, был ли выбран каждый элемент, и отсекаем ветви, где один и тот же элемент выбирается повторно, чтобы гарантировать однократный выбор каждого элемента.
|
||||
- В задаче о перестановках, если во множестве присутствуют повторяющиеся элементы, в итоговом результате возникнут повторяющиеся перестановки. Поэтому нужно ограничить выбор равных элементов так, чтобы в каждом раунде каждый из них выбирался только один раз; обычно это реализуется с помощью хеш-множества.
|
||||
- В задаче о перестановках, если во множестве присутствуют повторяющиеся элементы, в итоговом результате возникнут повторяющиеся перестановки. Поэтому нужно ограничить выбор равных элементов так, чтобы в каждом раунде каждый из них выбирался только один раз. Обычно это реализуется с помощью хеш-множества.
|
||||
- Цель задачи о сумме подмножеств - найти все подмножества данного множества, сумма которых равна целевому значению. В множестве порядок элементов не важен, однако процесс поиска порождает результаты во всех возможных порядках, из-за чего появляются повторяющиеся подмножества. Поэтому перед запуском поиска с возвратом мы сортируем данные и вводим переменную, указывающую начальную точку обхода в каждом раунде, чтобы отсечь ветви, создающие дубликаты.
|
||||
- В задаче о сумме подмножеств равные элементы массива также порождают повторяющиеся множества. При наличии предварительной сортировки их можно отсекать, проверяя равенство соседних элементов, и тем самым гарантировать, что в каждом раунде равные элементы будут выбираться только один раз.
|
||||
- Задача о $n$ ферзях состоит в поиске способов разместить $n$ ферзей на доске размера $n \times n$ так, чтобы никакие два ферзя не атаковали друг друга. Ограничения этой задачи включают строки, столбцы, главные диагонали и побочные диагонали. Чтобы выполнить ограничение по строкам, используется построчная стратегия размещения, гарантирующая по одному ферзю в каждой строке.
|
||||
@@ -17,7 +17,7 @@
|
||||
|
||||
**Q**: Как понять связь между поиском с возвратом и рекурсией?
|
||||
|
||||
В целом поиск с возвратом - это скорее "алгоритмическая стратегия", а рекурсия больше похожа на "инструмент".
|
||||
В целом поиск с возвратом - это скорее «алгоритмическая стратегия», а рекурсия больше похожа на «инструмент».
|
||||
|
||||
- Алгоритмы поиска с возвратом обычно реализуются на основе рекурсии. Однако поиск с возвратом - это лишь один из вариантов применения рекурсии, а именно ее использование в поисковых задачах.
|
||||
- Структура рекурсии отражает парадигму разбиения на подзадачи и часто применяется для решения задач "разделяй и властвуй", поиска с возвратом, динамического программирования (мемоизированной рекурсии) и других подобных задач.
|
||||
- Структура рекурсии отражает парадигму разбиения на подзадачи и часто применяется для решения задач «разделяй и властвуй», поиска с возвратом, динамического программирования (мемоизированной рекурсии) и других подобных задач.
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user