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chapter_greedy/fractional_knapsack_problem.md

@@ -40,17 +40,7 @@ status: new
 
 <p align="center"> Fig. 分数背包的贪心策略 </p>
 
-**第三步：正确性证明**
-
-采用反证法。假设物品 $x$ 是单位价值最高的物品，使用某算法求得最大价值为 $res$ ，但该解中不包含物品 $x$ 。
-
-现在从背包中拿出单位重量的任意物品，并替换为单位重量的物品 $x$ 。由于物品 $x$ 的单位价值最高，因此替换后的总价值一定大于 $res$ 。**这与 $res$ 是最优解矛盾，说明最优解中必须包含物品 $x$ 。**
-
-对于该解中的其他物品，我们也可以构建出上述矛盾。总而言之，**单位价值更大的物品总是更优选择**，这说明贪心策略是有效的。
-
-**实现代码**
-
-我们构建了一个物品类 `Item` ，以便将物品按照单位价值进行排序。在循环贪心选择中，分为放入整个物品或放入部分物品两种情况。当背包已满时，则跳出循环并返回解。
+我们构建了一个物品类 `Item` ，以便将物品按照单位价值进行排序。循环进行贪心选择，当背包已满时跳出并返回解。
 
 === "Java"
 
@@ -228,10 +218,18 @@ status: new
     [class]{}-[func]{fractionalKnapsack}
     ```
 
-如下图所示，如果将一个 2D 图表的横轴和纵轴分别看作物品重量和物品单位价值，则分数背包问题可被转化为“求在有限横轴区间下的最大围成面积”。这个类比可以帮助我们从几何角度清晰地看到贪心策略的有效性。
+最差情况下，需要遍历整个物品列表，**因此时间复杂度为 $O(n)$** ，其中 $n$ 为物品数量。由于初始化了一个 `Item` 对象列表，**因此空间复杂度为 $O(n)$** 。
+
+**第三步：正确性证明**
+
+采用反证法。假设物品 $x$ 是单位价值最高的物品，使用某算法求得最大价值为 $res$ ，但该解中不包含物品 $x$ 。
+
+现在从背包中拿出单位重量的任意物品，并替换为单位重量的物品 $x$ 。由于物品 $x$ 的单位价值最高，因此替换后的总价值一定大于 $res$ 。**这与 $res$ 是最优解矛盾，说明最优解中必须包含物品 $x$ 。**
+
+对于该解中的其他物品，我们也可以构建出上述矛盾。总而言之，**单位价值更大的物品总是更优选择**，这说明贪心策略是有效的。
+
+如下图所示，如果将物品重量和物品单位价值分别看作一个 2D 图表的横轴和纵轴，则分数背包问题可被转化为“求在有限横轴区间下的最大围成面积”。这个类比可以帮助我们从几何角度清晰地看到贪心策略的有效性。
 
 ![分数背包问题的几何表示](fractional_knapsack_problem.assets/fractional_knapsack_area_chart.png)
 
 <p align="center"> Fig. 分数背包问题的几何表示 </p>
-
-最差情况下，需要遍历整个物品列表，**因此时间复杂度为 $O(n)$** ，其中 $n$ 为物品数量。由于初始化了一个 `Item` 对象列表，**因此空间复杂度为 $O(n)$** 。

chapter_greedy/greedy_algorithm.md

@@ -16,7 +16,7 @@ status: new
 
 !!! question
 
-    给定 $n$ 种硬币，第 $i$ 个硬币的面值为 $coins[i - 1]$ ，目标金额为 $amt$ ，**每种硬币可以重复选取**，问能够凑出目标金额的最少硬币个数。如果无法凑出目标金额则返回 $-1$ 。
+    给定 $n$ 种硬币，第 $i$ 个硬币的面值为 $coins[i - 1]$ ，目标金额为 $amt$ ，每种硬币可以重复选取，问能够凑出目标金额的最少硬币个数。如果无法凑出目标金额则返回 $-1$ 。
 
 贪心算法会迭代地做出一个又一个的贪心选择，每轮都将问题转化成一个规模更小的子问题，直到问题被解决。
 
@@ -190,8 +190,8 @@ status: new
 
 确定贪心策略是求解问题的核心步骤，但实施起来并没有那么容易。主要有两方面原因：
 
-1. **不同问题的贪心策略的差异较大**。对于许多问题来说，贪心策略都比较浅显，我们通过一些大概的思考与尝试就能得出。而对于一些复杂问题，贪心策略可能非常隐蔽，这种情况就非常考验个人的解题经验与算法能力了。
-2. **某些贪心策略具有较强的迷惑性**。当我们满怀信心设计好贪心策略，写出解题代码并提交运行，很可能发现部分测试样例无法通过。这是因为设计的贪心策略只是“部分正确”的，上文介绍的零钱兑换就是个很好的例子。
+- **不同问题的贪心策略的差异较大**。对于许多问题来说，贪心策略都比较浅显，我们通过一些大概的思考与尝试就能得出。而对于一些复杂问题，贪心策略可能非常隐蔽，这种情况就非常考验个人的解题经验与算法能力了。
+- **某些贪心策略具有较强的迷惑性**。当我们满怀信心设计好贪心策略，写出解题代码并提交运行，很可能发现部分测试样例无法通过。这是因为设计的贪心策略只是“部分正确”的，上文介绍的零钱兑换就是个很好的例子。
 
 为了保证正确性，我们应该对贪心策略进行严谨的数学证明，**通常需要用到反证法或数学归纳法**。
 

chapter_greedy/index.md

@@ -16,3 +16,4 @@ status: new
 
 - [15.1   贪心算法](https://www.hello-algo.com/chapter_greedy/greedy_algorithm/)
 - [15.2   分数背包问题](https://www.hello-algo.com/chapter_greedy/fractional_knapsack_problem/)
+- [15.3   最大容量问题](https://www.hello-algo.com/chapter_greedy/max_capacity_problem/)

chapter_greedy/max_capacity_problem.md

@@ -0,0 +1,227 @@
+---
+comments: true
+status: new
+---
+
+# 15.3.   最大容量问题
+
+!!! question
+
+    输入一个数组 $ht$ ，数组中的每个元素代表一个垂直隔板的高度。数组中的任意两个隔板，以及它们之间的空间可以组成一个容器。容器的容量等于高度和宽度的乘积（即面积），其中高度由较短的隔板决定，宽度是两个隔板的数组索引之差。
+    
+    请在数组中选择两个隔板，使得组成的容器的容量最大，返回最大容量。
+
+![最大容量问题的示例数据](max_capacity_problem.assets/max_capacity_example.png)
+
+<p align="center"> Fig. 最大容量问题的示例数据 </p>
+
+**第一步：问题分析**
+
+容器由任意两个隔板围成，**因此本题的状态为两个隔板的索引，记为 $[i, j]$** 。
+
+根据定义，容量等于高度乘以宽度，其中高度由短板决定，宽度是两隔板的索引之差。设容量为 $cap[i, j]$ ，可得计算公式：
+
+$$
+cap[i, j] = \min(ht[i], ht[j]) \times (j - i)
+$$
+
+设数组长度为 $n$ ，两个隔板的组合数量（即状态总数）为 $C_n^2 = \frac{n(n - 1)}{2}$ 个。最直接地，**我们可以穷举所有状态**，从而求得最大容量，时间复杂度为 $O(n^2)$ 。
+
+**第二步：贪心策略确定**
+
+当然，这道题还有更高效率的解法。如下图所示，现选取一个状态 $[i, j]$ ，其满足索引 $i < j$ 且高度 $ht[i] < ht[j]$ ，即 $i$ 为短板、 $j$ 为长板。
+
+![初始状态](max_capacity_problem.assets/max_capacity_initial_state.png)
+
+<p align="center"> Fig. 初始状态 </p>
+
+我们发现，**如果将长板 $j$ 向短板 $i$ 靠近，则容量一定变小**。这是因为在移动长板 $j$ 后：
+
+- 宽度 $j-i$ 肯定变小；
+- 高度由短板决定，因此高度只可能不变（ $i$ 仍为短板）或变小（移动后的 $j$ 成为短板）；
+
+![向内移动长板后的状态](max_capacity_problem.assets/max_capacity_moving_long_board.png)
+
+<p align="center"> Fig. 向内移动长板后的状态 </p>
+
+反向思考，**我们只有向内收缩短板 $i$ ，才有可能使容量变大**。因为虽然宽度一定变小，**但高度可能会变大**（移动后的短板 $i$ 变长了）。
+
+![向内移动长板后的状态](max_capacity_problem.assets/max_capacity_moving_short_board.png)
+
+<p align="center"> Fig. 向内移动长板后的状态 </p>
+
+由此便可推出本题的贪心策略：
+
+1. 初始状态下，指针 $i$ , $j$ 分列与数组两端。
+2. 计算当前状态的容量 $cap[i, j]$ ，并更新最大容量。
+3. 比较板 $i$ 和 板 $j$ 的高度，并将短板向内移动一格。
+4. 循环执行第 `2.` , `3.` 步，直至 $i$ 和 $j$ 相遇时结束。
+
+=== "<1>"
+    ![最大容量问题的贪心过程](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step1.png)
+
+=== "<2>"
+    ![max_capacity_greedy_step2](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step2.png)
+
+=== "<3>"
+    ![max_capacity_greedy_step3](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step3.png)
+
+=== "<4>"
+    ![max_capacity_greedy_step4](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step4.png)
+
+=== "<5>"
+    ![max_capacity_greedy_step5](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step5.png)
+
+=== "<6>"
+    ![max_capacity_greedy_step6](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step6.png)
+
+=== "<7>"
+    ![max_capacity_greedy_step7](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step7.png)
+
+=== "<8>"
+    ![max_capacity_greedy_step8](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step8.png)
+
+=== "<9>"
+    ![max_capacity_greedy_step9](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step9.png)
+
+代码实现如下所示。最多循环 $n$ 轮，**因此时间复杂度为 $O(n)$** 。变量 $i$ , $j$ , $res$ 使用常数大小额外空间，**因此空间复杂度为 $O(1)$** 。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="max_capacity.java"
+    /* 最大容量：贪心 */
+    int maxCapacity(int[] ht) {
+        // 初始化 i, j 分列数组两端
+        int i = 0, j = ht.length - 1;
+        // 初始最大容量为 0
+        int res = 0;
+        // 循环贪心选择，直至两板相遇
+        while (i < j) {
+            // 更新最大容量
+            int cap = Math.min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
+            res = Math.max(res, cap);
+            // 向内移动短板
+            if (ht[i] < ht[j]) {
+                i++;
+            } else {
+                j--;
+            }
+        }
+        return res;
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="max_capacity.cpp"
+    /* 最大容量：贪心 */
+    int maxCapacity(vector<int> &ht) {
+        // 初始化 i, j 分列数组两端
+        int i = 0, j = ht.size() - 1;
+        // 初始最大容量为 0
+        int res = 0;
+        // 循环贪心选择，直至两板相遇
+        while (i < j) {
+            // 更新最大容量
+            int cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
+            res = max(res, cap);
+            // 向内移动短板
+            if (ht[i] < ht[j]) {
+                i++;
+            } else {
+                j--;
+            }
+        }
+        return res;
+    }
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="max_capacity.py"
+    def max_capacity(ht: list[int]) -> int:
+        """最大容量：贪心"""
+        # 初始化 i, j 分列数组两端
+        i, j = 0, len(ht) - 1
+        # 初始最大容量为 0
+        res = 0
+        # 循环贪心选择，直至两板相遇
+        while i < j:
+            # 更新最大容量
+            cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i)
+            res = max(res, cap)
+            # 向内移动短板
+            if ht[i] < ht[j]:
+                i += 1
+            else:
+                j -= 1
+        return res
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="max_capacity.go"
+    [class]{}-[func]{maxCapacity}
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```javascript title="max_capacity.js"
+    [class]{}-[func]{maxCapacity}
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="max_capacity.ts"
+    [class]{}-[func]{maxCapacity}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="max_capacity.c"
+    [class]{}-[func]{maxCapacity}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="max_capacity.cs"
+    [class]{max_capacity}-[func]{maxCapacity}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="max_capacity.swift"
+    [class]{}-[func]{maxCapacity}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="max_capacity.zig"
+    [class]{}-[func]{maxCapacity}
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="max_capacity.dart"
+    [class]{}-[func]{maxCapacity}
+    ```
+
+**第三步：正确性证明**
+
+之所以贪心比穷举更快，是因为每轮的贪心选择都会“跳过”一些状态。
+
+比如在状态 $cap[i, j]$ 下，$i$ 为短板、$j$ 为长板。若贪心地将短板 $i$ 向内移动一格，会导致以下状态被“跳过”，**意味着之后无法验证这些状态的容量大小**。
+
+$$
+cap[i, i+1], cap[i, i+2], \cdots, cap[i, j-2], cap[i, j-1]
+$$
+
+![移动短板导致被跳过的状态](max_capacity_problem.assets/max_capacity_skipped_states.png)
+
+<p align="center"> Fig. 移动短板导致被跳过的状态 </p>
+
+观察发现，**这些被跳过的状态实际上就是将长板 $j$ 向内移动的所有状态**。而在第二步中，我们已经证明内移长板一定会导致容量变小，也就是说这些被跳过的状态的容量一定更小。
+
+也就是说，被跳过的状态都不可能是最优解，**跳过它们不会导致错过最优解**。
+
+以上的分析说明，**移动短板的操作是“安全”的**，贪心策略是有效的。