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chapter_hashing/hash_collision.md

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-# 6.2.   哈希冲突
+# 7.2.   哈希冲突
 
 在理想情况下，哈希函数应为每个输入生成唯一的输出，实现 key 和 value 的一一对应。然而实际上，向哈希函数输入不同的 key 却产生相同输出的情况是存在的，这种现象被称为「哈希冲突 Hash Collision」。哈希冲突可能导致查询结果错误，从而严重影响哈希表的可用性。
 
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 另一方面，**可以考虑优化哈希表的表示以缓解哈希冲突**，常用方法包括「链式地址 Separate Chaining」和「开放寻址 Open Addressing」。
 
-## 6.2.1.   哈希表扩容
+## 7.2.1.   哈希表扩容
 
 哈希函数的最后一步通常是对桶数量 $n$ 取余，作用是将哈希值映射到桶索引范围，从而将 key 放入对应的桶中。当哈希表容量越大（即 $n$ 越大）时，多个 key 被分配到同一个桶中的概率就越低，冲突就越少。
 
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 编程语言通常使用「负载因子 Load Factor」来衡量哈希冲突的严重程度，**定义为哈希表中元素数量除以桶数量**，常作为哈希表扩容的触发条件。在 Java 中，当负载因子 $> 0.75$ 时，系统会将 HashMap 容量扩展为原先的 $2$ 倍。
 
-## 6.2.2.   链式地址
+## 7.2.2.   链式地址
 
 在原始哈希表中，每个桶仅能存储一个键值对。**链式地址将单个元素转换为链表，将键值对作为链表节点，将所有发生冲突的键值对都存储在同一链表中**。
 
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 为了提高操作效率，**可以将链表转换为「AVL 树」或「红黑树」**，将查询操作的时间复杂度优化至 $O(\log n)$ 。
 
-## 6.2.3.   开放寻址
+## 7.2.3.   开放寻址
 
 「开放寻址」方法不引入额外的数据结构，而是通过“多次探测”来解决哈希冲突，**探测方主要包括线性探测、平方探测、多次哈希**。
 

chapter_hashing/hash_map.md

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-# 6.1.   哈希表
+# 7.1.   哈希表
 
 哈希表通过建立「键 key」与「值 value」之间的映射，实现高效的元素查询。具体而言，我们向哈希表输入一个 key，则可以在 $O(1)$ 时间内获取对应的 value 。
 
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 <p align="center"> Fig. 哈希表的抽象表示 </p>
 
-## 6.1.1. &nbsp; 哈希表效率
+除哈希表外，我们还可以使用数组或链表实现查询功能，各项操作的时间复杂度如下表所示。
 
-除哈希表外，还可以使用以下数据结构来实现上述查询功能：
-
-1. **无序数组**：每个元素为  `[学号, 姓名]` ；
-2. **有序数组**：将 `1.` 中的数组按照学号从小到大排序；
-3. **链表**：每个节点的值为 `[学号, 姓名]` ；
-4. **二叉搜索树**：每个节点的值为 `[学号, 姓名]` ，根据学号大小来构建树；
-
-各项操作的时间复杂度如下表所示（详解可见[二叉搜索树章节](https://www.hello-algo.com/chapter_tree/binary_search_tree/)）。无论是查找元素还是增删元素，哈希表的时间复杂度都是 $O(1)$ ，全面胜出！
+在哈希表中增删查改的时间复杂度都是 $O(1)$ ，全面胜出！因此，哈希表常用于对查找效率要求较高的场景。
 
 <div class="center-table" markdown>
 
-|          | 无序数组 | 有序数组    | 链表   | 二叉搜索树  | 哈希表 |
-| -------- | -------- | ----------- | ------ | ----------- | ------ |
-| 查找元素 | $O(n)$   | $O(\log n)$ | $O(n)$ | $O(\log n)$ | $O(1)$ |
-| 插入元素 | $O(1)$   | $O(n)$      | $O(1)$ | $O(\log n)$ | $O(1)$ |
-| 删除元素 | $O(n)$   | $O(n)$      | $O(n)$ | $O(\log n)$ | $O(1)$ |
+|          | 数组   | 链表   | 哈希表 |
+| -------- | ------ | ------ | ------ |
+| 查找元素 | $O(n)$ | $O(n)$ | $O(1)$ |
+| 插入元素 | $O(1)$ | $O(1)$ | $O(1)$ |
+| 删除元素 | $O(n)$ | $O(n)$ | $O(1)$ |
 
 </div>
 
-## 6.1.2. &nbsp; 哈希表常用操作
+## 7.1.1. &nbsp; 哈希表常用操作
 
 哈希表的基本操作包括 **初始化、查询操作、添加与删除键值对**。
 
@@ -394,7 +387,7 @@ comments: true
 
     ```
 
-## 6.1.3. &nbsp; 哈希函数
+## 7.1.2. &nbsp; 哈希函数
 
 哈希表的底层实现为数组，同时可能包含链表、二叉树（红黑树）等数据结构，以提高查询性能（将在下节讨论）。
 
@@ -1286,7 +1279,7 @@ $$
     }
     ```
 
-## 6.1.4. &nbsp; 哈希冲突
+## 7.1.3. &nbsp; 哈希冲突
 
 细心的你可能已经注意到，**在某些情况下，哈希函数 $f(x) = x % 100$ 可能无法正常工作**。具体来说，当输入的 key 后两位相同时，哈希函数的计算结果也会相同，从而指向同一个 value 。例如，查询学号为 $12836$ 和 $20336$ 的两个学生时，我们得到：
 

chapter_hashing/summary.md

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-# 6.3.   小结
+# 7.3.   小结
 
 - 哈希表能够在 $O(1)$ 时间内将键 key 映射到值 value，效率非常高。
 - 常见的哈希表操作包括查询、添加与删除键值对、遍历键值对等。