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chapter_tree/avl_tree.md

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-# 7.4.   AVL 树 *
+# 8.4.   AVL 树 *
 
 在二叉搜索树章节中，我们提到了在多次插入和删除操作后，二叉搜索树可能退化为链表。这种情况下，所有操作的时间复杂度将从 $O(\log n)$ 恶化为 $O(n)$。
 
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 G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「AVL 树」。论文中详细描述了一系列操作，确保在持续添加和删除节点后，AVL 树不会退化，从而使得各种操作的时间复杂度保持在 $O(\log n)$ 级别。换句话说，在需要频繁进行增删查改操作的场景中，AVL 树能始终保持高效的数据操作性能，具有很好的应用价值。
 
-## 7.4.1.   AVL 树常见术语
+## 8.4.1.   AVL 树常见术语
 
 「AVL 树」既是二叉搜索树也是平衡二叉树，同时满足这两类二叉树的所有性质，因此也被称为「平衡二叉搜索树」。
 
@@ -448,7 +448,7 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
 
     设平衡因子为 $f$ ，则一棵 AVL 树的任意节点的平衡因子皆满足 $-1 \le f \le 1$ 。
 
-## 7.4.2.   AVL 树旋转
+## 8.4.2.   AVL 树旋转
 
 AVL 树的特点在于「旋转 Rotation」操作，它能够在不影响二叉树的中序遍历序列的前提下，使失衡节点重新恢复平衡。换句话说，**旋转操作既能保持树的「二叉搜索树」属性，也能使树重新变为「平衡二叉树」**。
 
@@ -1186,7 +1186,7 @@ AVL 树的特点在于「旋转 Rotation」操作，它能够在不影响二叉
     }
     ```
 
-## 7.4.3.   AVL 树常用操作
+## 8.4.3.   AVL 树常用操作
 
 ### 插入节点
 
@@ -1875,7 +1875,7 @@ AVL 树的特点在于「旋转 Rotation」操作，它能够在不影响二叉
 
 AVL 树的节点查找操作与二叉搜索树一致，在此不再赘述。
 
-## 7.4.4.   AVL 树典型应用
+## 8.4.4.   AVL 树典型应用
 
 - 组织和存储大型数据，适用于高频查找、低频增删的场景；
 - 用于构建数据库中的索引系统；

chapter_tree/binary_search_tree.md

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 comments: true
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-# 7.3.   二叉搜索树
+# 8.3.   二叉搜索树
 
 「二叉搜索树 Binary Search Tree」满足以下条件：
 
@@ -13,7 +13,7 @@ comments: true
 
 <p align="center"> Fig. 二叉搜索树 </p>
 
-## 7.3.1. &nbsp; 二叉搜索树的操作
+## 8.3.1. &nbsp; 二叉搜索树的操作
 
 ### 查找节点
 
@@ -1076,38 +1076,23 @@ comments: true
 
 <p align="center"> Fig. 二叉搜索树的中序遍历序列 </p>
 
-## 7.3.2. &nbsp; 二叉搜索树的效率
+## 8.3.2. &nbsp; 二叉搜索树的效率
 
-假设给定 $n$ 个数字，最常见的存储方式是「数组」。对于这串乱序的数字，常见操作的效率如下：
+给定一组数据，我们考虑使用数组或二叉搜索树存储。
 
-- **查找元素**：由于数组是无序的，因此需要遍历数组来确定，使用 $O(n)$ 时间；
-- **插入元素**：只需将元素添加至数组尾部即可，使用 $O(1)$ 时间；
-- **删除元素**：先查找元素，使用 $O(n)$ 时间，再在数组中删除该元素，使用 $O(n)$ 时间；
-- **获取最小 / 最大元素**：需要遍历数组来确定，使用 $O(n)$ 时间；
-
-为了获得先验信息，我们可以预先将数组元素进行排序，得到一个「排序数组」。此时操作效率如下：
-
-- **查找元素**：由于数组已排序，可以使用二分查找，平均使用 $O(\log n)$ 时间；
-- **插入元素**：先查找插入位置，使用 $O(\log n)$ 时间，再插入到指定位置，使用 $O(n)$ 时间；
-- **删除元素**：先查找元素，使用 $O(\log n)$ 时间，再在数组中删除该元素，使用 $O(n)$ 时间；
-- **获取最小 / 最大元素**：数组头部和尾部元素即是最小和最大元素，使用 $O(1)$ 时间；
-
-观察可知，无序数组和有序数组中的各项操作的时间复杂度呈现“偏科”的特点，即有的快有的慢。**然而，二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，在数据量 $n$ 较大时具有显著优势**。
+观察可知，二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，具有稳定且高效的性能表现。只有在高频添加、低频查找删除的数据适用场景下，数组比二叉搜索树的效率更高。
 
 <div class="center-table" markdown>
 
-|                     | 无序数组 | 有序数组    | 二叉搜索树  |
-| ------------------- | -------- | ----------- | ----------- |
-| 查找指定元素        | $O(n)$   | $O(\log n)$ | $O(\log n)$ |
-| 插入元素            | $O(1)$   | $O(n)$      | $O(\log n)$ |
-| 删除元素            | $O(n)$   | $O(n)$      | $O(\log n)$ |
-| 获取最小 / 最大元素 | $O(n)$   | $O(1)$      | $O(\log n)$ |
+|          | 无序数组 | 二叉搜索树  |
+| -------- | -------- | ----------- |
+| 查找元素 | $O(n)$   | $O(\log n)$ |
+| 插入元素 | $O(1)$   | $O(\log n)$ |
+| 删除元素 | $O(n)$   | $O(\log n)$ |
 
 </div>
 
-## 7.3.3. &nbsp; 二叉搜索树的退化
-
-在理想情况下，我们希望二叉搜索树是“平衡”的，这样就可以在 $\log n$ 轮循环内查找任意节点。
+在理想情况下，二叉搜索树是“平衡”的，这样就可以在 $\log n$ 轮循环内查找任意节点。
 
 然而，如果我们在二叉搜索树中不断地插入和删除节点，可能导致二叉树退化为链表，这时各种操作的时间复杂度也会退化为 $O(n)$ 。
 
@@ -1115,7 +1100,7 @@ comments: true
 
 <p align="center"> Fig. 二叉搜索树的平衡与退化 </p>
 
-## 7.3.4. &nbsp; 二叉搜索树常见应用
+## 8.3.3. &nbsp; 二叉搜索树常见应用
 
 - 用作系统中的多级索引，实现高效的查找、插入、删除操作。
 - 作为某些搜索算法的底层数据结构。

chapter_tree/binary_tree.md

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-# 7.1.   二叉树
+# 8.1.   二叉树
 
 「二叉树 Binary Tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着“一分为二”的分治逻辑。与链表类似，二叉树的基本单元是节点，每个节点包含一个「值」和两个「指针」。
 
@@ -135,7 +135,7 @@ comments: true
 
 <p align="center"> Fig. 父节点、子节点、子树 </p>
 
-## 7.1.1. &nbsp; 二叉树常见术语
+## 8.1.1. &nbsp; 二叉树常见术语
 
 二叉树涉及的术语较多，建议尽量理解并记住。
 
@@ -156,7 +156,7 @@ comments: true
 
     请注意，我们通常将「高度」和「深度」定义为“走过边的数量”，但有些题目或教材可能会将其定义为“走过节点的数量”。在这种情况下，高度和深度都需要加 1 。
 
-## 7.1.2. &nbsp; 二叉树基本操作
+## 8.1.2. &nbsp; 二叉树基本操作
 
 **初始化二叉树**。与链表类似，首先初始化节点，然后构建引用指向（即指针）。
 
@@ -422,7 +422,7 @@ comments: true
 
     需要注意的是，插入节点可能会改变二叉树的原有逻辑结构，而删除节点通常意味着删除该节点及其所有子树。因此，在二叉树中，插入与删除操作通常是由一套操作配合完成的，以实现有实际意义的操作。
 
-## 7.1.3. &nbsp; 常见二叉树类型
+## 8.1.3. &nbsp; 常见二叉树类型
 
 ### 完美二叉树
 
@@ -460,7 +460,7 @@ comments: true
 
 <p align="center"> Fig. 平衡二叉树 </p>
 
-## 7.1.4. &nbsp; 二叉树的退化
+## 8.1.4. &nbsp; 二叉树的退化
 
 当二叉树的每层节点都被填满时，达到「完美二叉树」；而当所有节点都偏向一侧时，二叉树退化为「链表」。
 
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 </div>
 
-## 7.1.5. &nbsp; 二叉树表示方式 *
+## 8.1.5. &nbsp; 二叉树表示方式 *
 
 我们通常使用二叉树的「链表表示」，即存储单位为节点 `TreeNode` ，节点之间通过指针相连接。本文前述示例代码展示了二叉树在链表表示下的各项基本操作。
 

chapter_tree/binary_tree_traversal.md

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-# 7.2.   二叉树遍历
+# 8.2.   二叉树遍历
 
 从物理结构的角度来看，树是一种基于链表的数据结构，因此其遍历方式是通过指针逐个访问节点。然而，树是一种非线性数据结构，这使得遍历树比遍历链表更加复杂，需要借助搜索算法来实现。
 
 二叉树常见的遍历方式包括层序遍历、前序遍历、中序遍历和后序遍历等。
 
-## 7.2.1.   层序遍历
+## 8.2.1.   层序遍历
 
 「层序遍历 Level-Order Traversal」从顶部到底部逐层遍历二叉树，并在每一层按照从左到右的顺序访问节点。
 
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 **空间复杂度**：在最差情况下，即满二叉树时，遍历到最底层之前，队列中最多同时存在 $\frac{n + 1}{2}$ 个节点，占用 $O(n)$ 空间。
 
-## 7.2.2.   前序、中序、后序遍历
+## 8.2.2.   前序、中序、后序遍历
 
 相应地，前序、中序和后序遍历都属于「深度优先遍历 Depth-First Traversal」，它体现了一种“先走到尽头，再回溯继续”的遍历方式。
 

chapter_tree/summary.md

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-# 7.5.   小结
+# 8.5.   小结
 
 - 二叉树是一种非线性数据结构，体现“一分为二”的分治逻辑。每个二叉树节点包含一个值以及两个指针，分别指向其左子节点和右子节点。
 - 对于二叉树中的某个节点，其左（右）子节点及其以下形成的树被称为该节点的左（右）子树。