xinyin025/hello-algo
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2023-06-02 02:38:24 +08:00
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chapter_computational_complexity/space_complexity.md
+115
View File
@@ -264,6 +264,12 @@ comments: true
```
=== "Dart"
```dart title=""
```
## 2.3.2.   推算方法
空间复杂度的推算方法与时间复杂度大致相同，只是将统计对象从“计算操作数量”转为“使用空间大小”。与时间复杂度不同的是，**我们通常只关注「最差空间复杂度」**，这是因为内存空间是一项硬性要求，我们必须确保在所有输入数据下都有足够的内存空间预留。
@@ -386,6 +392,12 @@ comments: true
```
=== "Dart"
```dart title=""
```
**在递归函数中，需要注意统计栈帧空间**。例如，函数 `loop()` 在循环中调用了 $n$ 次 `function()` ，每轮中的 `function()` 都返回并释放了栈帧空间，因此空间复杂度仍为 $O(1)$ 。而递归函数 `recur()` 在运行过程中会同时存在 $n$ 个未返回的 `recur()` ，从而占用 $O(n)$ 的栈帧空间。
=== "Java"
@@ -585,6 +597,12 @@ comments: true
```
=== "Dart"
```dart title=""
```
## 2.3.3.   常见类型
设输入数据大小为 $n$ ，常见的空间复杂度类型有（从低到高排列）
@@ -826,6 +844,27 @@ $$
}
```
=== "Dart"
```dart title="space_complexity.dart"
/* 常数阶 */
void constant(int n) {
// 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
final int a = 0;
int b = 0;
List<int> nums = List.filled(10000, 0);
// 循环中的变量占用 O(1) 空间
for (var i = 0; i < n; i++) {
int c = 0;
}
// 循环中的函数占用 O(1) 空间
for (var i = 0; i < n; i++) {
function();
}
}
```
### 线性阶 $O(n)$
线性阶常见于元素数量与 $n$ 成正比的数组、链表、栈、队列等。
@@ -1051,6 +1090,26 @@ $$
}
```
=== "Dart"
```dart title="space_complexity.dart"
/* 线性阶 */
void linear(int n) {
// 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
List<int> nums = List.filled(n, 0);
// 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
List<ListNode> nodes = [];
for (var i = 0; i < n; i++) {
nodes.add(ListNode(i));
}
// 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
Map<int, String> map = HashMap();
for (var i = 0; i < n; i++) {
map.putIfAbsent(i, () => i.toString());
}
}
```
以下递归函数会同时存在 $n$ 个未返回的 `algorithm()` 函数，使用 $O(n)$ 大小的栈帧空间。
=== "Java"
@@ -1170,6 +1229,17 @@ $$
}
```
=== "Dart"
```dart title="space_complexity.dart"
/* 线性阶（递归实现） */
void linearRecur(int n) {
print('递归 n = $n');
if (n == 1) return;
linearRecur(n - 1);
}
```
![递归函数产生的线性阶空间复杂度](space_complexity.assets/space_complexity_recursive_linear.png)
<p align="center"> Fig. 递归函数产生的线性阶空间复杂度 </p>
@@ -1351,6 +1421,26 @@ $$
}
```
=== "Dart"
```dart title="space_complexity.dart"
/* 平方阶 */
void quadratic(int n) {
// 矩阵占用 O(n^2) 空间
List<List<int>> numMatrix = List.generate(n, (_) => List.filled(n, 0));
// 二维列表占用 O(n^2) 空间
List<List<int>> numList = [];
for (var i = 0; i < n; i++) {
List<int> tmp = [];
for (int j = 0; j < n; j++) {
tmp.add(0);
}
numList.add(tmp);
}
}
```
在以下递归函数中，同时存在 $n$ 个未返回的 `algorithm()` ，并且每个函数中都初始化了一个数组，长度分别为 $n, n-1, n-2, ..., 2, 1$ ，平均长度为 $\frac{n}{2}$ ，因此总体占用 $O(n^2)$ 空间。
=== "Java"
@@ -1484,6 +1574,18 @@ $$
}
```
=== "Dart"
```dart title="space_complexity.dart"
/* 平方阶（递归实现） */
int quadraticRecur(int n) {
if (n <= 0) return 0;
List<int> nums = List.filled(n, 0);
print('递归 n = $n 中的 nums 长度 = ${nums.length}');
return quadraticRecur(n - 1);
}
```
![递归函数产生的平方阶空间复杂度](space_complexity.assets/space_complexity_recursive_quadratic.png)
<p align="center"> Fig. 递归函数产生的平方阶空间复杂度 </p>
@@ -1630,6 +1732,19 @@ $$
}
```
=== "Dart"
```dart title="space_complexity.dart"
/* 指数阶（建立满二叉树） */
TreeNode? buildTree(int n) {
if (n == 0) return null;
TreeNode root = TreeNode(0);
root.left = buildTree(n - 1);
root.right = buildTree(n - 1);
return root;
}
```
![满二叉树产生的指数阶空间复杂度](space_complexity.assets/space_complexity_exponential.png)
<p align="center"> Fig. 满二叉树产生的指数阶空间复杂度 </p>
chapter_computational_complexity/time_complexity.md
+212
View File
@@ -159,6 +159,12 @@ $$
```
=== "Dart"
```dart title=""
```
然而实际上，**统计算法的运行时间既不合理也不现实**。首先，我们不希望预估时间和运行平台绑定，因为算法需要在各种不同的平台上运行。其次，我们很难获知每种操作的运行时间，这给预估过程带来了极大的难度。
## 2.2.2. &nbsp; 统计时间增长趋势
@@ -369,6 +375,12 @@ $$
```
=== "Dart"
```dart title=""
```
![算法 A, B, C 的时间增长趋势](time_complexity.assets/time_complexity_simple_example.png)
<p align="center"> Fig. 算法 A, B, C 的时间增长趋势 </p>
@@ -521,6 +533,12 @@ $$
```
=== "Dart"
```dart title=""
```
$T(n)$ 是一次函数，说明时间增长趋势是线性的，因此可以得出时间复杂度是线性阶。
我们将线性阶的时间复杂度记为 $O(n)$ ，这个数学符号称为「大 $O$ 记号 Big-$O$ Notation」，表示函数 $T(n)$ 的「渐近上界 Asymptotic Upper Bound」。
@@ -747,6 +765,12 @@ $$
```
=== "Dart"
```dart title=""
```
### 2) 判断渐近上界
**时间复杂度由多项式 $T(n)$ 中最高阶的项来决定**。这是因为在 $n$ 趋于无穷大时，最高阶的项将发挥主导作用，其他项的影响都可以被忽略。
@@ -924,6 +948,20 @@ $$
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 常数阶 */
int constant(int n) {
int count = 0;
int size = 100000;
for (var i = 0; i < size; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
### 线性阶 $O(n)$
线性阶的操作数量相对于输入数据大小以线性级别增长。线性阶通常出现在单层循环中。
@@ -1050,6 +1088,19 @@ $$
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 线性阶 */
int linear(int n) {
int count = 0;
for (var i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
遍历数组和遍历链表等操作的时间复杂度均为 $O(n)$ ，其中 $n$ 为数组或链表的长度。
!!! question "如何确定输入数据大小 $n$ ？"
@@ -1194,6 +1245,20 @@ $$
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 线性阶（遍历数组） */
int arrayTraversal(List<int> nums) {
int count = 0;
// 循环次数与数组长度成正比
for (var num in nums) {
count++;
}
return count;
}
```
### 平方阶 $O(n^2)$
平方阶的操作数量相对于输入数据大小以平方级别增长。平方阶通常出现在嵌套循环中，外层循环和内层循环都为 $O(n)$ ，因此总体为 $O(n^2)$ 。
@@ -1357,6 +1422,22 @@ $$
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 平方阶 */
int quadratic(int n) {
int count = 0;
// 循环次数与数组长度成平方关系
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
count++;
}
}
return count;
}
```
![常数阶、线性阶、平方阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_constant_linear_quadratic.png)
<p align="center"> Fig. 常数阶、线性阶、平方阶的时间复杂度 </p>
@@ -1595,6 +1676,29 @@ $$
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 平方阶（冒泡排序） */
int bubbleSort(List<int> nums) {
int count = 0; // 计数器
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
for (var i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
// 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for (var j = 0; j < i; j++) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
int tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
return count;
}
```
### 指数阶 $O(2^n)$
!!! note
@@ -1788,6 +1892,24 @@ $$
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 指数阶（循环实现） */
int exponential(int n) {
int count = 0, base = 1;
// cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for (var i = 0; i < n; i++) {
for (var j = 0; j < base; j++) {
count++;
}
base *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count;
}
```
![指数阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_exponential.png)
<p align="center"> Fig. 指数阶的时间复杂度 </p>
@@ -1901,6 +2023,16 @@ $$
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 指数阶（递归实现） */
int expRecur(int n) {
if (n == 1) return 1;
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}
```
### 对数阶 $O(\log n)$
与指数阶相反，对数阶反映了“每轮缩减到一半的情况”。对数阶仅次于常数阶，时间增长缓慢，是理想的时间复杂度。
@@ -2050,6 +2182,20 @@ $$
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 对数阶（循环实现） */
int logarithmic(num n) {
int count = 0;
while (n > 1) {
n = n / 2;
count++;
}
return count;
}
```
![对数阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic.png)
<p align="center"> Fig. 对数阶的时间复杂度 </p>
@@ -2163,6 +2309,16 @@ $$
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 对数阶（递归实现） */
int logRecur(num n) {
if (n <= 1) return 0;
return logRecur(n / 2) + 1;
}
```
### 线性对数阶 $O(n \log n)$
线性对数阶常出现于嵌套循环中，两层循环的时间复杂度分别为 $O(\log n)$ 和 $O(n)$ 。
@@ -2320,6 +2476,20 @@ $$
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 线性对数阶 */
int linearLogRecur(num n) {
if (n <= 1) return 1;
int count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2);
for (var i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
![线性对数阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic_linear.png)
<p align="center"> Fig. 线性对数阶的时间复杂度 </p>
@@ -2490,6 +2660,21 @@ $$
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 阶乘阶（递归实现） */
int factorialRecur(int n) {
if (n == 0) return 1;
int count = 0;
// 从 1 个分裂出 n 个
for (var i = 0; i < n; i++) {
count += factorialRecur(n - 1);
}
return count;
}
```
![阶乘阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_factorial.png)
<p align="center"> Fig. 阶乘阶的时间复杂度 </p>
@@ -2800,6 +2985,33 @@ $$
}
```
=== "Dart"
```dart title="worst_best_time_complexity.dart"
/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
List<int> randomNumbers(int n) {
final nums = List.filled(n, 0);
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (var i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = i + 1;
}
// 随机打乱数组元素
nums.shuffle();
return nums;
}
/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
int findOne(List<int> nums) {
for (var i = 0; i < nums.length; i++) {
// 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
// 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
if (nums[i] == 1) return i;
}
return -1;
}
```
!!! tip
实际应用中我们很少使用「最佳时间复杂度」，因为通常只有在很小概率下才能达到，可能会带来一定的误导性。相反，「最差时间复杂度」更为实用，因为它给出了一个“效率安全值”，让我们可以放心地使用算法。