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This commit is contained in:
Yudong Jin
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1962 年 G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在论文“An algorithm for the organization of information”中提出了「AVL 树」。论文中详细描述了一系列操作，确保在持续添加和删除节点后，AVL 树不会退化，从而使得各种操作的时间复杂度保持在 $O(\log n)$ 级别。换句话说，在需要频繁进行增删查改操作的场景中，AVL 树能始终保持高效的数据操作性能，具有很好的应用价值。
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1962 年 G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在论文“An algorithm for the organization of information”中提出了<u>AVL（树）</u>。论文中详细描述了一系列操作，确保在持续添加和删除节点后，AVL 树不会退化，从而使得各种操作的时间复杂度保持在 $O(\log n)$ 级别。换句话说，在需要频繁进行增删查改操作的场景中，AVL 树能始终保持高效的数据操作性能，具有很好的应用价值。
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## AVL 树常见术语
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AVL 树既是二叉搜索树，也是平衡二叉树，同时满足这两类二叉树的所有性质，因此是一种「平衡二叉搜索树 balanced binary search tree」。
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AVL 树既是二叉搜索树，也是平衡二叉树，同时满足这两类二叉树的所有性质，因此是一种<u>平衡二叉搜索树（balanced binary search tree）</u>。
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### 节点高度
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@@ -231,7 +231,7 @@ AVL 树既是二叉搜索树，也是平衡二叉树，同时满足这两类二
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### 节点平衡因子
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节点的「平衡因子 balance factor」定义为节点左子树的高度减去右子树的高度，同时规定空节点的平衡因子为 $0$ 。我们同样将获取节点平衡因子的功能封装成函数，方便后续使用：
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节点的<u>平衡因子（balance factor）</u>定义为节点左子树的高度减去右子树的高度，同时规定空节点的平衡因子为 $0$ 。我们同样将获取节点平衡因子的功能封装成函数，方便后续使用：
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```src
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[file]{avl_tree}-[class]{avl_tree}-[func]{balance_factor}
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@@ -1,6 +1,6 @@
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# 二叉搜索树
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如下图所示，「二叉搜索树 binary search tree」满足以下条件。
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如下图所示，<u>二叉搜索树（binary search tree）</u>满足以下条件。
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1. 对于根节点，左子树中所有节点的值 $<$ 根节点的值 $<$ 右子树中所有节点的值。
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2. 任意节点的左、右子树也是二叉搜索树，即同样满足条件 `1.` 。
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@@ -1,6 +1,6 @@
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# 二叉树
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「二叉树 binary tree」是一种非线性数据结构，代表“祖先”与“后代”之间的派生关系，体现了“一分为二”的分治逻辑。与链表类似，二叉树的基本单元是节点，每个节点包含值、左子节点引用和右子节点引用。
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<u>二叉树（binary tree）</u>是一种非线性数据结构，代表“祖先”与“后代”之间的派生关系，体现了“一分为二”的分治逻辑。与链表类似，二叉树的基本单元是节点，每个节点包含值、左子节点引用和右子节点引用。
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=== "Python"
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每个节点都有两个引用（指针），分别指向「左子节点 left-child node」和「右子节点 right-child node」，该节点被称为这两个子节点的「父节点 parent node」。当给定一个二叉树的节点时，我们将该节点的左子节点及其以下节点形成的树称为该节点的「左子树 left subtree」，同理可得「右子树 right subtree」。
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每个节点都有两个引用（指针），分别指向<u>左子节点（left-child node）</u>和<u>右子节点（right-child node）</u>，该节点被称为这两个子节点的<u>父节点（parent node）</u>。当给定一个二叉树的节点时，我们将该节点的左子节点及其以下节点形成的树称为该节点的<u>左子树（left subtree）</u>，同理可得<u>右子树（right subtree）</u>。
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**在二叉树中，除叶节点外，其他所有节点都包含子节点和非空子树**。如下图所示，如果将“节点 2”视为父节点，则其左子节点和右子节点分别是“节点 4”和“节点 5”，左子树是“节点 4 及其以下节点形成的树”，右子树是“节点 5 及其以下节点形成的树”。
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@@ -208,14 +208,14 @@
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二叉树的常用术语如下图所示。
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- 「根节点 root node」：位于二叉树顶层的节点，没有父节点。
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- 「叶节点 leaf node」：没有子节点的节点，其两个指针均指向 `None` 。
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- 「边 edge」：连接两个节点的线段，即节点引用（指针）。
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- 节点所在的「层 level」：从顶至底递增，根节点所在层为 1 。
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- 节点的「度 degree」：节点的子节点的数量。在二叉树中，度的取值范围是 0、1、2 。
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- 二叉树的「高度 height」：从根节点到最远叶节点所经过的边的数量。
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- 节点的「深度 depth」：从根节点到该节点所经过的边的数量。
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- 节点的「高度 height」：从距离该节点最远的叶节点到该节点所经过的边的数量。
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- <u>根节点（root node）</u>：位于二叉树顶层的节点，没有父节点。
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- <u>叶节点（leaf node）</u>：没有子节点的节点，其两个指针均指向 `None` 。
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- <u>边（edge）</u>：连接两个节点的线段，即节点引用（指针）。
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- 节点所在的<u>层（level）</u>：从顶至底递增，根节点所在层为 1 。
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- 节点的<u>度（degree）</u>：节点的子节点的数量。在二叉树中，度的取值范围是 0、1、2 。
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- 二叉树的<u>高度（height）</u>：从根节点到最远叶节点所经过的边的数量。
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- 节点的<u>深度（depth）</u>：从根节点到该节点所经过的边的数量。
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- 节点的<u>高度（height）</u>：从距离该节点最远的叶节点到该节点所经过的边的数量。
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@@ -615,29 +615,29 @@
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### 完美二叉树
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如下图所示，「完美二叉树 perfect binary tree」所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中，叶节点的度为 $0$ ，其余所有节点的度都为 $2$ ；若树的高度为 $h$ ，则节点总数为 $2^{h+1} - 1$ ，呈现标准的指数级关系，反映了自然界中常见的细胞分裂现象。
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如下图所示，<u>完美二叉树（perfect binary tree）</u>所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中，叶节点的度为 $0$ ，其余所有节点的度都为 $2$ ；若树的高度为 $h$ ，则节点总数为 $2^{h+1} - 1$ ，呈现标准的指数级关系，反映了自然界中常见的细胞分裂现象。
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!!! tip
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请注意，在中文社区中，完美二叉树常被称为「满二叉树」。
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请注意，在中文社区中，完美二叉树常被称为<u>满二叉树</u>。
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### 完全二叉树
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如下图所示，「完全二叉树 complete binary tree」只有最底层的节点未被填满，且最底层节点尽量靠左填充。
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如下图所示，<u>完全二叉树（complete binary tree）</u>只有最底层的节点未被填满，且最底层节点尽量靠左填充。
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### 完满二叉树
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如下图所示，「完满二叉树 full binary tree」除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点。
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如下图所示，<u>完满二叉树（full binary tree）</u>除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点。
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### 平衡二叉树
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如下图所示，「平衡二叉树 balanced binary tree」中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 1 。
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如下图所示，<u>平衡二叉树（balanced binary tree）</u>中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 1 。
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@@ -6,9 +6,9 @@
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## 层序遍历
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如下图所示，「层序遍历 level-order traversal」从顶部到底部逐层遍历二叉树，并在每一层按照从左到右的顺序访问节点。
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如下图所示，<u>层序遍历（level-order traversal）</u>从顶部到底部逐层遍历二叉树，并在每一层按照从左到右的顺序访问节点。
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层序遍历本质上属于「广度优先遍历 breadth-first traversal」，也称「广度优先搜索 breadth-first search, BFS」，它体现了一种“一圈一圈向外扩展”的逐层遍历方式。
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层序遍历本质上属于<u>广度优先遍历（breadth-first traversal）</u>，也称<u>广度优先搜索（breadth-first search, BFS）</u>，它体现了一种“一圈一圈向外扩展”的逐层遍历方式。
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@@ -27,7 +27,7 @@
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## 前序、中序、后序遍历
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相应地，前序、中序和后序遍历都属于「深度优先遍历 depth-first traversal」，也称「深度优先搜索 depth-first search, DFS」，它体现了一种“先走到尽头，再回溯继续”的遍历方式。
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相应地，前序、中序和后序遍历都属于<u>深度优先遍历（depth-first traversal）</u>，也称<u>深度优先搜索（depth-first search, DFS）</u>，它体现了一种“先走到尽头，再回溯继续”的遍历方式。
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下图展示了对二叉树进行深度优先遍历的工作原理。**深度优先遍历就像是绕着整棵二叉树的外围“走”一圈**，在每个节点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历和后序遍历。
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