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Yudong Jin
2024-04-03 03:52:17 +08:00
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# 二叉树
「二叉树 binary tree」是一种非线性数据结构，代表“祖先”与“后代”之间的派生关系，体现了“一分为二”的分治逻辑。与链表类似，二叉树的基本单元是节点，每个节点包含值、左子节点引用和右子节点引用。
<u>二叉树（binary tree）</u>是一种非线性数据结构，代表“祖先”与“后代”之间的派生关系，体现了“一分为二”的分治逻辑。与链表类似，二叉树的基本单元是节点，每个节点包含值、左子节点引用和右子节点引用。
=== "Python"
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每个节点都有两个引用（指针），分别指向「左子节点 left-child node」和「右子节点 right-child node」，该节点被称为这两个子节点的「父节点 parent node」。当给定一个二叉树的节点时，我们将该节点的左子节点及其以下节点形成的树称为该节点的「左子树 left subtree」，同理可得「右子树 right subtree」。
每个节点都有两个引用（指针），分别指向<u>左子节点（left-child node）</u>和<u>右子节点（right-child node）</u>，该节点被称为这两个子节点的<u>父节点（parent node）</u>。当给定一个二叉树的节点时，我们将该节点的左子节点及其以下节点形成的树称为该节点的<u>左子树（left subtree）</u>，同理可得<u>右子树（right subtree）</u>。
**在二叉树中，除叶节点外，其他所有节点都包含子节点和非空子树**。如下图所示，如果将“节点 2”视为父节点，则其左子节点和右子节点分别是“节点 4”和“节点 5”，左子树是“节点 4 及其以下节点形成的树”，右子树是“节点 5 及其以下节点形成的树”。
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二叉树的常用术语如下图所示。
- 「根节点 root node」：位于二叉树顶层的节点，没有父节点。
- 「叶节点 leaf node」：没有子节点的节点，其两个指针均指向 `None` 。
- 「边 edge」：连接两个节点的线段，即节点引用（指针）。
- 节点所在的「层 level」：从顶至底递增，根节点所在层为 1 。
- 节点的「度 degree」：节点的子节点的数量。在二叉树中，度的取值范围是 0、1、2 。
- 二叉树的「高度 height」：从根节点到最远叶节点所经过的边的数量。
- 节点的「深度 depth」：从根节点到该节点所经过的边的数量。
- 节点的「高度 height」：从距离该节点最远的叶节点到该节点所经过的边的数量。
- <u>根节点（root node）</u>：位于二叉树顶层的节点，没有父节点。
- <u>叶节点（leaf node）</u>：没有子节点的节点，其两个指针均指向 `None` 。
- <u>边（edge）</u>：连接两个节点的线段，即节点引用（指针）。
- 节点所在的<u>层（level）</u>：从顶至底递增，根节点所在层为 1 。
- 节点的<u>度（degree）</u>：节点的子节点的数量。在二叉树中，度的取值范围是 0、1、2 。
- 二叉树的<u>高度（height）</u>：从根节点到最远叶节点所经过的边的数量。
- 节点的<u>深度（depth）</u>：从根节点到该节点所经过的边的数量。
- 节点的<u>高度（height）</u>：从距离该节点最远的叶节点到该节点所经过的边的数量。
![二叉树的常用术语](binary_tree.assets/binary_tree_terminology.png)
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### 完美二叉树
如下图所示，「完美二叉树 perfect binary tree」所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中，叶节点的度为 $0$ ，其余所有节点的度都为 $2$ ；若树的高度为 $h$ ，则节点总数为 $2^{h+1} - 1$ ，呈现标准的指数级关系，反映了自然界中常见的细胞分裂现象。
如下图所示，<u>完美二叉树（perfect binary tree）</u>所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中，叶节点的度为 $0$ ，其余所有节点的度都为 $2$ ；若树的高度为 $h$ ，则节点总数为 $2^{h+1} - 1$ ，呈现标准的指数级关系，反映了自然界中常见的细胞分裂现象。
!!! tip
请注意，在中文社区中，完美二叉树常被称为「满二叉树」。
请注意，在中文社区中，完美二叉树常被称为<u>满二叉树</u>。
![完美二叉树](binary_tree.assets/perfect_binary_tree.png)
### 完全二叉树
如下图所示，「完全二叉树 complete binary tree」只有最底层的节点未被填满，且最底层节点尽量靠左填充。
如下图所示，<u>完全二叉树（complete binary tree）</u>只有最底层的节点未被填满，且最底层节点尽量靠左填充。
![完全二叉树](binary_tree.assets/complete_binary_tree.png)
### 完满二叉树
如下图所示，「完满二叉树 full binary tree」除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点。
如下图所示，<u>完满二叉树（full binary tree）</u>除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点。
![完满二叉树](binary_tree.assets/full_binary_tree.png)
### 平衡二叉树
如下图所示，「平衡二叉树 balanced binary tree」中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 1 。
如下图所示，<u>平衡二叉树（balanced binary tree）</u>中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 1 。
![平衡二叉树](binary_tree.assets/balanced_binary_tree.png)