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docs/chapter_dynamic_programming/exercises.md

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+comments: true
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+<!-- 此文件由 utils/exercises/publish_exercises.py 根据 exercises.yaml 自动生成，请勿直接修改。 -->
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+# 14.8 &nbsp; 练习
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+## 14.8.1 &nbsp; 知识巩固
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+### 1. &nbsp; 什么时候适合使用动态规划
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+一位同学说：“只要能写出递推式，就应该使用动态规划。”
+请判断下面三个任务分别更适合使用动态规划、回溯，还是使用循环或数学公式而不建立 `dp` 表，并写出一个关键理由。
+
+<!-- numbered-subquestions -->
+
+1. 使用面值 `[1, 3, 4]` 的硬币凑出金额 6，求最少硬币数，每种硬币可重复使用；
+2. 输出 `[1, 2, 3]` 的全部排列；
+3. 计算 $1 + 2 + \dots + n$。
+
+    对于你判断为适合动态规划的任务，再说明 `dp[i]` 表示什么。
+
+??? success "参考答案"
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+    1. 适合动态规划。令 `dp[i]` 表示凑出金额 `i` 所需的最少硬币数。
+        对于每枚不超过 `i` 的硬币 `c`，都可以把 `dp[i-c] + 1` 作为候选答案，
+        再从这些候选值中取最小值。不同选择会反复遇到同一金额，较大金额的最优解也能由较小金额的最优解构成。
+        金额 6 的答案是 2，即 `3 + 3`。
+
+    2. 应使用回溯。题目要求逐个生成全部 6 个排列，回溯可以系统地尝试一个选择、继续搜索，
+        再撤销选择并尝试其他分支。无论采用什么方法，实际输出这些排列时都不能跳过枚举。
+
+    3. 使用循环或等差数列公式即可。虽然能写出 `S(i) = S(i-1) + i`，但计算 `S(i)` 时只依赖一个更小的 `S(i-1)`，
+        每个部分和只需计算一次，不存在重复子问题，因此无需建立 `dp` 表。“能写递推式”不等于“需要动态规划”。
+
+### 2. &nbsp; 背包表中的一个格子怎么算
+
+0-1 背包：物品重量 `wgt = [1, 2, 3]` ，价值 `val = [5, 11, 15]` ，背包容量 4 。
+`dp[i][c]` 表示只考虑前 $i$ 件物品、背包容量上限为 $c$ 时，能够取得的最大价值；
+不要求恰好装满背包。
+
+现在只计算状态 `dp[3][4]`。已知 `dp[2][4] = 16`、`dp[2][1] = 5`：
+
+<!-- numbered-subquestions -->
+
+1. 不选第 3 件物品时，候选价值是多少？
+2. 选择第 3 件物品时，还剩多少容量，候选价值是多少？
+3. `dp[3][4]` 应取多少？对应选择了哪些物品？
+
+??? success "参考答案"
+
+    1. 不选第 3 件物品时，沿用前两件物品的结果，候选价值为 `dp[2][4] = 16`。
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+    2. 第 3 件物品重量为 3，放入后还剩容量 $4-3=1$；候选价值为
+        `dp[2][1] + 15 = 5 + 15 = 20`。
+
+    3. 比较 16 和 20，得到 `dp[3][4] = 20`。它对应选择第 1、3 件物品，
+        总重量为 $1+3=4$，总价值为 $5+15=20$。
+
+        这个状态的计算体现了 0-1 背包的一次“选或不选”比较。
+
+### 3. &nbsp; 背包容量应该按什么顺序更新
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+一个 0-1 背包只有一件物品：重量为 2，价值为 5；背包容量为 4。
+每件物品最多选择一次，初始一维数组为 `dp = [0, 0, 0, 0, 0]`。
+
+一位同学在处理这件物品时，按容量从 2 到 4 更新：
+
+- 更新 `dp[2]` 后得到 5；
+- 更新 `dp[3]` 后也得到 5；
+- 更新 `dp[4]` 时又使用刚得到的 `dp[2]`，于是得到 `dp[4] = 10`。
+
+<!-- numbered-subquestions -->
+
+1. `dp[4] = 10` 这个结果是否正确？为什么？
+2. 根据“每件物品最多选择一次”的条件，`dp[4]` 应为多少？
+3. 处理每件物品时，容量应从大到小还是从小到大更新？这样做避免了什么问题？
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+??? success "参考答案"
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+    1. 这个结果不正确。价值 10 相当于把这件价值为 5 的物品放入了两次，
+        违反了“每件物品最多选择一次”的条件。
+
+    2. 背包中最多只能放入这一件物品，所以正确的 `dp[4]` 为 5。
+
+    3. 容量应从大到小更新，即依次处理 4、3、2。
+        这样在计算 `dp[c]` 时，所读取的 `dp[c-2]` 仍是处理当前物品之前的结果，
+        不会在同一轮中重复使用当前物品。
+
+## 14.8.2 &nbsp; 编程练习
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+### 1. &nbsp; 爬楼梯的方案数
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+一段楼梯共有 `n` 阶。你每次只能向上走 1 阶或 2 阶，且必须恰好到达第 `n` 阶。
+请计算共有多少种不同的走法。规定 `n >= 1`，走法只按每一步走 1 阶还是 2 阶来区分。
+请使用一维动态规划数组完成，暂不使用只保留两个状态的空间优化写法。
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+??? tip "解题提示"
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+    1. 到达第 i 阶的最后一步，只可能跨 1 阶或 2 阶
+    2. 因此有 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
+    3. 先处理 n 为 1 和 2 的情况，再从第 3 阶开始填表
+
+[LeetCode](https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" } [题目解析](https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs/solutions/2361764/70-pa-lou-ti-dong-tai-gui-hua-qing-xi-tu-ruwa/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }
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+> **说明：** 题解讲解了一维 dp 状态和转移，但给出的代码采用滚动变量压缩空间；本练习要求先实现一维 dp 表，滚动变量仅作为选做优化
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+### 2. &nbsp; 0-1 背包
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+给定等长数组 `wgt` 和 `val`，第 `i` 件物品的重量为正整数 `wgt[i]`、价值为非负整数 `val[i]`，
+背包容量 `cap` 为非负整数。每件物品最多选择一次，请在总重量不超过 `cap` 的条件下，
+求能够装入背包的最大总价值。请使用一维动态规划实现。
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+??? tip "解题提示"
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+    1. 初始化长度为 cap + 1 的数组 dp，其中 dp[c] 表示容量上限为 c 时的最大价值
+    2. 处理物品 i 时，比较“不选它”的 dp[c] 与“选它”的 dp[c-wgt[i]] + val[i]
+    3. 容量必须从大到小更新，避免在同一轮中重复选择当前物品

docs/chapter_dynamic_programming/index.md

@@ -22,3 +22,4 @@ icon: material/table-pivot
 - [14.5   完全背包问题](unbounded_knapsack_problem.md)
 - [14.6   编辑距离问题](edit_distance_problem.md)
 - [14.7   小结](summary.md)
+- [14.8   练习](exercises.md)