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ja/docs/chapter_computational_complexity/exercises.md

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+comments: true
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+
+<!-- utils/exercises/publish_exercises.py により自動生成されています。直接編集しないでください。 -->
+
+# 2.6 &nbsp; 演習
+
+## 2.6.1 &nbsp; 確認問題
+
+### 1. &nbsp; 反復と再帰の時間・空間計算量
+
+次の 2 つのコードは、どちらも $1 + 2 + \dots + n$ を計算します（$n \ge 1$ とします）。`n` を 4 として、
+プログラムが実際に実行される順序に沿って次の問いに答え、2 つの書き方の効率を比較してください。
+
+```python
+def sum_iter(n):
+    s = 0
+    for i in range(1, n + 1):
+        s += i
+    return s
+
+def sum_recur(n):
+    if n == 1:
+        return 1
+    return n + sum_recur(n - 1)
+```
+
+<!-- numbered-subquestions -->
+
+1. `sum_iter(4)` を実行すると、各ループの終了時に変数 `s` はそれぞれいくつになりますか？
+2. `sum_recur(4)` を実行すると、どの関数が順に呼び出されますか？最も深い呼び出しから戻るとき、結果はどのように求められますか？
+3. 2 つの書き方の時間計算量と空間計算量は、それぞれいくつですか？問い 1、2 の実行過程と結び付けて理由を説明してください。
+
+??? success "解答"
+
+    1. ループ変数 `i` は `1、2、3、4` の順に変化し、各ループの終了時に `s` は
+        `1、3、6、10` となります。したがって、`sum_iter(4)` は 10 を返します。
+
+    2. 関数は
+        `sum_recur(4) → sum_recur(3) → sum_recur(2) → sum_recur(1)` の順に呼び出されます。
+        `sum_recur(1)` が 1 を返した後、各呼び出しは順に `2 + 1 = 3`、`3 + 3 = 6`、`4 + 6 = 10` を得ます。
+        最も深い呼び出しに到達した時点では、4 回の関数呼び出しはどれもまだ終了していません。
+
+    3. どちらのコードも、$n$ に比例する回数のループまたは呼び出しを行うため、時間計算量はともに $O(n)$ です。
+        一方、空間計算量は異なります。反復版が使う変数は定数個だけなので $O(1)$ です。
+        再帰版では、終了条件に到達するまで、それまでの関数呼び出しが結果を待つ必要があります。そのため、呼び出しスタックには最大で $n$ 回分の呼び出しが同時に保存され、
+        空間計算量は $O(n)$ です。
+
+        空間計算量を分析するときは、コード中の変数だけでなく、再帰呼び出しが使う空間も考える必要があります。
+
+### 2. &nbsp; 3 つのコードの時間計算量
+
+次の 3 つのコード片はいずれも、正の整数 $n$ を入力とします。時間計算量が小さい順に並べ、それぞれの計算量を書いてください。
+
+```python
+# コード片 1
+s = 0
+for i in range(n):
+    s += i
+
+# コード片 2
+s = 0
+for i in range(n):
+    for j in range(i, n):
+        s += j
+
+# コード片 3
+while n > 1:
+    n = n // 2
+```
+
+??? success "解答"
+
+    小さい順に、コード片 3 は $O(\log n)$、コード片 1 は $O(n)$、コード片 2 は $O(n^2)$ です。
+    コード片 3 では、ループのたびに $n$ が半分になるため、ループ回数は約 $\log_2 n$ 回です。
+    コード片 1 のループはちょうど $n$ 回実行されます。コード片 2 の内側のループ回数は順に
+    $n,n-1,\dots,1$ で、合計は $n(n+1)/2$ となるため、二次の計算量です。
+
+### 3. &nbsp; どちらの反転が空間を節約できるか
+
+配列 `nums` のすべての要素を逆順にする方法として、次の 2 つがあります。
+
+<!-- numbered-subquestions -->
+
+1. 同じ長さの新しい配列 `res` を作り、逆順にコピーして返す。
+2. 2 つのインデックス `i` と `j` をそれぞれ先頭と末尾から中央へ動かし、`nums[i]` と `nums[j]` を順に交換する。
+
+    2 つの方法の空間計算量は、それぞれいくつですか？どちらが「インプレース」な操作ですか？
+
+??? success "解答"
+
+    1. 入力と同じ長さの補助配列が必要なため、空間計算量は $O(n)$ です。
+
+    2. 使うのは 2 つのインデックス変数だけなので、
+        空間計算量は $O(1)$ であり、インプレースな操作です。
+
+        ただし、インプレースな反転は入力配列を変更します。
+        入力の変更が許される場合にのみ優先して使うべきです。元の配列を残す必要がある場合は、方法 1 のコピーにかかる空間を省くことはできません。
+
+## 2.6.2 &nbsp; プログラミング演習
+
+### 1. &nbsp; フィボナッチ数
+
+フィボナッチ数列は、$F(0)=0$、$F(1)=1$ を満たし、$n\ge2$ のとき
+$F(n)=F(n-1)+F(n-2)$ となります。
+
+0 以上の整数 `n` が与えられます。再帰を使わず、ループを使って $F(n)$ を計算し、返してください。
+
+??? tip "解法のヒント"
+
+    1. まず、n が 0 と 1 の場合をそれぞれ処理します
+    2. 次の項の計算に必要なのは直前の 2 項だけで、数列全体を保存する必要はありません
+    3. 2 つの変数を更新するときは、後で使う古い値を先に上書きしないよう注意します
+
+[LeetCode](https://leetcode.com/problems/fibonacci-number/){ .rounded-button .exercise-button target="_blank" rel="noopener noreferrer" }